สมการกำลังสองมีวิธีแก้มากมาย เครื่องคิดเลขออนไลน์
แค่. ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรก
จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:
หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการขั้นแรก สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการทำถูกต้อง
กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ก, ขและ ค.
สูตรการหารากของสมการกำลังสอง
เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ - อย่างที่คุณเห็นเพื่อค้นหา X เรา
เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์จาก สมการกำลังสอง- เพียงใส่อย่างระมัดระวัง
ค่านิยม ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ เราแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!
ตัวอย่างเช่นในสมการ:
ก =1; ข = 3; ค = -4.
เราแทนค่าและเขียน:
ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:
นี่คือคำตอบ
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก, ขและ กับ- หรือมากกว่าด้วยการทดแทน
ค่าลบลงในสูตรคำนวณราก การบันทึกสูตรอย่างละเอียดช่วยได้ที่นี่
พร้อมหมายเลขเฉพาะ มีปัญหาเรื่องการคำนวณ จัดให้เลย!
สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:
ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1
เราอธิบายทุกอย่างอย่างละเอียดรอบคอบ โดยไม่ขาดสิ่งใดเลยโดยมีป้ายและวงเล็บทั้งหมด:
บ่อยครั้ง สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:
ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก
นัดแรก- อย่าขี้เกียจไปก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน
สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:
อย่ารีบเขียนสูตรรูต! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และค
สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:
กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:
แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น
ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1
แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตตา.
เพื่อแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์
x 2 +bx+c=0,
แล้วx 1 x 2 =ค
x 1 +x 2 =−ข
สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้น ก≠1:
x2+ขx+ค=0,
หารสมการทั้งหมดด้วย ตอบ:
→ →
ที่ไหน x1และ x 2 - รากของสมการ
แผนกต้อนรับที่สาม- หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณ
สมการที่มีตัวส่วนร่วม
บทสรุป. คำแนะนำการปฏิบัติ:
1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.
2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง
สมการด้วย -1
3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน
ปัจจัย.
4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 คุณสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดาย
นอกจากนี้ยังมีการศึกษาปัญหาสมการกำลังสองด้วย หลักสูตรของโรงเรียนและในมหาวิทยาลัย พวกเขาหมายถึงสมการในรูปแบบ a*x^2 + b*x + c = 0 โดยที่ เอ็กซ์-ตัวแปร a, b, c – ค่าคงที่; ก<>0 . ภารกิจคือการหารากของสมการ
ความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง
กราฟของฟังก์ชันที่แสดงด้วยสมการกำลังสองคือพาราโบลา ผลเฉลย (ราก) ของสมการกำลังสองคือจุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา (x) ตามมาว่ามีความเป็นไปได้สามกรณี:
1) พาราโบลาไม่มีจุดตัดกับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่าอยู่ในระนาบบนที่มีกิ่งก้านอยู่ด้านบนหรือด้านล่างมีกิ่งก้านอยู่ด้านล่าง ในกรณีเช่นนี้ สมการกำลังสองไม่มีรากจริง (มีรากที่ซับซ้อนสองอัน)
2) พาราโบลามีจุดตัดกับแกน Ox หนึ่งจุด จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา และสมการกำลังสองที่จุดนั้นจะได้ค่าต่ำสุดหรือ ค่าสูงสุด- ในกรณีนี้ สมการกำลังสองมีรากจริงหนึ่งราก (หรือรากที่เหมือนกันสองราก)
3) กรณีสุดท้ายน่าสนใจกว่าในทางปฏิบัติ - มีจุดตัดกันสองจุดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่ามีรากจริงสองอันของสมการ
จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ยกกำลังของตัวแปร สามารถสรุปข้อสรุปที่น่าสนใจเกี่ยวกับตำแหน่งของพาราโบลาได้
1) ถ้าสัมประสิทธิ์ a มากกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น หากเป็นลบ กิ่งของพาราโบลาจะชี้ลง
2) ถ้าสัมประสิทธิ์ b มากกว่าศูนย์ จุดยอดของพาราโบลาจะอยู่ที่ครึ่งระนาบด้านซ้าย หากใช้ค่าลบ ก็จะอยู่ทางขวา
ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสอง
ลองถ่ายโอนค่าคงที่จากสมการกำลังสองกัน
สำหรับเครื่องหมายเท่ากับ เราจะได้นิพจน์
คูณทั้งสองข้างด้วย 4a
ที่จะไปทางซ้าย กำลังสองที่สมบูรณ์แบบเพิ่ม b^2 ทั้งสองข้างแล้วทำการแปลง
จากที่นี่เราพบว่า
สูตรสำหรับการแบ่งแยกและรากของสมการกำลังสอง
ค่าจำแนกคือค่าของนิพจน์ราก หากเป็นบวก สมการจะมีรากจริงสองค่าซึ่งคำนวณโดยสูตร เมื่อตัวแยกแยะเป็นศูนย์ สมการกำลังสองจะมีคำตอบเดียว (รากที่ตรงกันสองตัว) ซึ่งสามารถหาได้อย่างง่ายดายจากสูตรด้านบนสำหรับ D=0 เมื่อตัวจำแนกเป็นลบ สมการนั้นจะไม่มีรากจริง อย่างไรก็ตาม การแก้สมการกำลังสองจะพบได้ในระนาบเชิงซ้อน และค่าของสมการจะคำนวณโดยใช้สูตร
ทฤษฎีบทของเวียตตา
ลองพิจารณารากสองตัวของสมการกำลังสองและสร้างสมการกำลังสองบนพื้นฐานของมัน จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ p ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากของสมการเท่ากับเทอมอิสระ q สูตรข้างต้นจะมีลักษณะดังนี้ หากในสมการคลาสสิก ค่าคงที่ a ไม่ใช่ศูนย์ คุณจะต้องหารสมการทั้งหมดด้วยค่านั้น จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
ตารางการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง
ปล่อยให้งานถูกกำหนด: แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรกเราต้องแก้สมการ (หาราก) ต่อไป เราจะแทนค่ารากที่พบลงในสูตรการขยายตัวของสมการกำลังสอง ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาได้
โจทย์สมการกำลังสอง
ภารกิจที่ 1 ค้นหารากของสมการกำลังสอง
x^2-26x+120=0 .
วิธีแก้: เขียนค่าสัมประสิทธิ์แล้วแทนที่ลงในสูตรแยกแยะ
รากของค่านี้คือ 14 หาได้ง่ายด้วยเครื่องคิดเลขหรือจำไว้ด้วยการใช้บ่อย อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวกในตอนท้ายของบทความ ฉันจะให้รายการตัวเลขกำลังสองที่มักพบได้ ปัญหาดังกล่าว
เราแทนค่าที่พบลงในสูตรรูท
และเราได้รับ
ภารกิจที่ 2 แก้สมการ
2x 2 +x-3=0
วิธีแก้: เรามีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เขียนค่าสัมประสิทธิ์แล้วค้นหาตัวแยกแยะ
การใช้สูตรที่รู้จักทำให้เราหารากของสมการกำลังสองได้
ภารกิจที่ 3 แก้สมการ
9x 2 -12x+4=0.
วิธีแก้: เรามีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ การพิจารณาเลือกปฏิบัติ
เรามีกรณีที่รากตรงกัน ค้นหาค่าของรากโดยใช้สูตร
ภารกิจที่ 4 แก้สมการ
x^2+x-6=0 .
วิธีแก้: ในกรณีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ x น้อย แนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ตามเงื่อนไขของมันเราได้สมการสองสมการ
จากเงื่อนไขที่สอง เราพบว่าผลคูณต้องเท่ากับ -6 ซึ่งหมายความว่ารากอันใดอันหนึ่งเป็นลบ เรามีคู่วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ดังต่อไปนี้ (-3;2), (3;-2) เมื่อคำนึงถึงเงื่อนไขแรก เราจะปฏิเสธคู่ที่สองของคำตอบ
รากของสมการเท่ากัน
ปัญหาที่ 5. ค้นหาความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าถ้าเส้นรอบรูปของมันคือ 18 ซม. และพื้นที่ของมันคือ 77 ซม. 2
วิธีแก้ปัญหา: ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลรวมของด้านประชิด ลองแสดงว่า x เป็นด้านที่ใหญ่กว่า แล้ว 18-x คือด้านที่เล็กกว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของความยาวเหล่านี้:
x(18-x)=77;
หรือ
x 2 -18x+77=0.
ลองหาการแบ่งแยกของสมการกัน
การคำนวณรากของสมการ
ถ้า x=11,ที่ 18's=7 ,สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน (ถ้า x=7 แล้ว 21=9)
ปัญหาที่ 6 แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง 10x 2 -11x+3=0
วิธีแก้: ลองคำนวณรากของสมการกัน เพื่อหาค่าแยกแยะ
เราแทนที่ค่าที่พบลงในสูตรรูทแล้วคำนวณ
เราใช้สูตรในการสลายสมการกำลังสองด้วยราก
การเปิดวงเล็บเราได้รับตัวตน
สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์
ตัวอย่างที่ 1 ค่าพารามิเตอร์ใด เอสมการ (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 มีหนึ่งรูทหรือไม่?
วิธีแก้ไข: โดยการแทนที่ค่า a=3 โดยตรง เราจะพบว่ามันไม่มีวิธีแก้ปัญหา ต่อไป เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสมการที่มีการแบ่งแยกเป็นศูนย์จะมีรากของการคูณ 2 หนึ่งตัว ลองเขียนการแบ่งแยกออกมา
ลองทำให้มันง่ายขึ้นและจัดให้เป็นศูนย์
เราได้รับสมการกำลังสองเทียบกับพารามิเตอร์ a ซึ่งสามารถหาคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ผลรวมของรากคือ 7 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ 12 จากการค้นหาอย่างง่าย เราพบว่าตัวเลข 3,4 จะเป็นรากของสมการ เนื่องจากเราได้ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหา a=3 ไปแล้วในตอนเริ่มต้นการคำนวณ วิธีเดียวที่ถูกต้องคือ - ก=4.ดังนั้น สำหรับ a=4 สมการจะมีหนึ่งราก
ตัวอย่างที่ 2 ค่าพารามิเตอร์ใด เอสมการ ก(ก+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0มีมากกว่าหนึ่งรากใช่ไหม?
วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นมาพิจารณาจุดเอกพจน์ก่อน โดยจะเป็นค่า a=0 และ a=-3 เมื่อ a=0 สมการจะง่ายขึ้นเป็นรูปแบบ 6x-9=0; x=3/2 และจะมีหนึ่งรูท สำหรับ a= -3 เราจะได้ข้อมูลประจำตัว 0=0
มาคำนวณการแบ่งแยกกัน
และหาค่าของ a ที่เป็นบวก
จากเงื่อนไขแรก เราได้ a>3 ประการที่สอง เราพบการแบ่งแยกและรากของสมการ
เรามากำหนดช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้กัน ค่าบวก- โดยการแทนจุด a=0 เราจะได้ 3>0
.
ดังนั้น นอกช่วง (-3;1/3) ฟังก์ชันจะเป็นลบ อย่าลืมประเด็น ก=0,ซึ่งควรตัดออกเพราะสมการเดิมมีรากเดียว
เป็นผลให้เราได้รับสองช่วงเวลาที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา
ในทางปฏิบัติจะมีงานที่คล้ายกันมากมาย ลองคิดงานด้วยตัวเองและอย่าลืมคำนึงถึงเงื่อนไขที่ไม่เกิดร่วมกัน ศึกษาสูตรการแก้สมการกำลังสองให้ดี ซึ่งมักจำเป็นในการคำนวณในปัญหาและวิทยาศาสตร์ต่างๆ
มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง
สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0
ก่อนเรียน วิธีการเฉพาะคำตอบ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:
- ไม่มีราก
- มีรากเพียงอันเดียว
- พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน
นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองกับสมการเชิงเส้น โดยที่รากนั้นมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.
เลือกปฏิบัติ
ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac
คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:
- ถ้า D< 0, корней нет;
- ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
- ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน
โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:
งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0
ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131
การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0
การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง
โปรดทราบว่ามีการเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ
อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น
รากของสมการกำลังสอง
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:
สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง
เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 − 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0
สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16
D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:
สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64
D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]
ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0
D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:
อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0
สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:
สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์
แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.
ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:
ตั้งแต่เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:
- หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้ราก 2 อัน สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
- ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.
อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามี จำนวนบวก- จะมีสองราก ถ้าเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย
ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:
งาน. แก้สมการกำลังสอง:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5
ระดับรายการ
สมการกำลังสอง คู่มือที่ครอบคลุม (2019)
ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes ยกกำลังสาม (หรือมากกว่า)
การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสองเท่านั้น
มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น
ตัวอย่างที่ 1
ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย
ย้ายทุกอย่างไปที่ ด้านซ้ายและจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับกำลังของ x จากมากไปน้อย
ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!
ตัวอย่างที่ 2
ลองคูณทางซ้ายและ ด้านขวาถึง:
สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!
ตัวอย่างที่ 3
ลองคูณทุกอย่างด้วย:
น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:
ตัวอย่างที่ 4
ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:
ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!
ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:
ตัวอย่าง:
คำตอบ:
- สี่เหลี่ยม;
- สี่เหลี่ยม;
- ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- สี่เหลี่ยม;
- ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- สี่เหลี่ยม.
นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:
- สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)
- สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:
ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี X กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น
ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน
การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
ก่อนอื่น เรามาเน้นไปที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:
- ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
- ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
- ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน
1. ฉัน. เนื่องจากเรารู้วิธีหาสแควร์รูทแล้ว ลองใช้สมการนี้ในการแสดงออกแทน
นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ
และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้
เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 5:
แก้สมการ
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?
คำตอบ:
อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!
ตัวอย่างที่ 6:
แก้สมการ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 7:
แก้สมการ
โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ
ไม่มีราก!
สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:
คำตอบ:
ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:
แก้สมการ
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
ดังนั้น,
สมการนี้มีสองราก
คำตอบ:
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:
เราจะทำโดยไม่มีตัวอย่างที่นี่
การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์
เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่
การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)
จดจำ สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม
วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน
1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก
การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร
ถ้าสมการนั้นมีราก คุณต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนนี้ Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ
- หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
- หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก
กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่างที่ 9:
แก้สมการ
ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก
ขั้นตอนที่ 3
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 10:
แก้สมการ
สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 11:
แก้สมการ
สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป
ขั้นตอนที่ 2
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ
ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว
คำตอบ:ไม่มีราก
2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):
สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:
ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 12:
แก้สมการ
สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า -
ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:
และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:
มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากัน
และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:
คำตอบ: ; .
ตัวอย่างที่ 13:
แก้สมการ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 14:
แก้สมการ
ให้สมการซึ่งหมายความว่า:
คำตอบ:
สมการกำลังสอง ระดับกลาง
สมการกำลังสองคืออะไร?
กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ
ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.
ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป
ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์
คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ
วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:
ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า
เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:
I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน
ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
ที่สาม ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยกัน
แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:
จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:
ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ
ถ้าเรามีสองราก
ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้
ตัวอย่าง:
โซลูชั่น:
คำตอบ:
อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!
กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ
ไม่มีราก
หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า
คำตอบ:
ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ
คำตอบ:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:
ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ
ตัวอย่าง:
แก้สมการ
สารละลาย:
ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:
คำตอบ:
วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:
1. การเลือกปฏิบัติ
การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร โปรดจำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม
คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ
- ถ้าสมการนั้นมีราก:
- ถ้าสมการนั้นมีรากที่เหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:
รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่
- ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก
ทำไมจึงเป็นไปได้ ปริมาณที่แตกต่างกันราก? ให้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสองกัน กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:
ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด
นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาก็ชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง
ตัวอย่าง:
โซลูชั่น:
คำตอบ:
คำตอบ: .
คำตอบ:
ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข
คำตอบ: .
2. ทฤษฎีบทของเวียตตา
การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม
สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()
ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
ตัวอย่าง #1:
แก้สมการ
สารละลาย:
สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า - ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; -
ผลรวมของรากของสมการคือ:
และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:
เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
- และ. จำนวนเงินเท่ากัน
และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:
ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา
คำตอบ: ; -
ตัวอย่าง #2:
สารละลาย:
ลองเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:
และ: พวกเขาให้ทั้งหมด
และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็นและท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์
คำตอบ:
ตัวอย่าง #3:
สารละลาย:
เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็น จำนวนลบ- สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.
ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและผลต่างจะเท่ากับ:
และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี
และ: - ไม่เหมาะสม;
และ: - ไม่เหมาะสม;
และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:
คำตอบ:
ตัวอย่าง #4:
แก้สมการ
สารละลาย:
ให้สมการซึ่งหมายความว่า:
พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก
เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:
เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:
คำตอบ:
ตัวอย่าง #5:
แก้สมการ
สารละลาย:
ให้สมการซึ่งหมายความว่า:
ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยมีรากหนึ่งอันเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ
ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:
แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ
คำตอบ:
เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตนามให้บ่อยที่สุด
แต่ทฤษฎีบทของ Vieta มีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหาราก เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:
โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:
ภารกิจที่ 1. ((x)^(2))-8x+12=0
ตามทฤษฎีบทของ Vieta:
ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:
ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;
: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ
คำตอบ: ; -
ภารกิจที่ 2
และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน
แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)
คำตอบ: ; -
ภารกิจที่ 3
อืม... ที่ไหนล่ะ?
คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปไว้ในส่วนเดียว:
ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ
โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:
ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.
ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)
คำตอบ: ; -
ภารกิจที่ 4
สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์
ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก
คำตอบ: ; -
ภารกิจที่ 5
คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:
อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:
รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า
คำตอบ: ; -
ให้ฉันสรุป:
- ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
- เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
- หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบสมการ คู่ที่เหมาะสมตัวคูณของพจน์อิสระ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)
3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น
ตัวอย่างเช่น:
ตัวอย่างที่ 1:
แก้สมการ: .
สารละลาย:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2:
แก้สมการ: .
สารละลาย:
คำตอบ:
ใน มุมมองทั่วไปการเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:
ดังนี้.
ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา
สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ
สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์
สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .
สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:
- ถ้าสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
- หากมีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
- ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:
1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :
1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,
2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:
- ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
- ถ้าสมการนั้นมีรากสองอัน
1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :
1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,
2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:
1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:
สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:
2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่
2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก
1) นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: ,
2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:
3) ค้นหารากของสมการ:
- ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
- ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
- ถ้าสมการนั้นไม่มีราก
2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา
ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.
2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์
ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้คุณสามารถทำได้ แก้สมการกำลังสอง.
โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี:
- การใช้วิจารณญาณ
- ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta (ถ้าเป็นไปได้)
นอกจากนี้คำตอบจะแสดงเป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่การประมาณ
ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ \(81x^2-16x-1=0\) คำตอบจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:
โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนมัธยมศึกษาในการเตรียมตัวสำหรับ การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต
หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการให้ทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้ ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมของคุณเองได้น้องชาย
หรือน้องสาวในขณะที่ระดับการศึกษาด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขเพิ่มขึ้น
หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น
กฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง
ตัวอักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) เป็นต้น
สามารถป้อนตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้ นอกจากนี้,ตัวเลขเศษส่วน
สามารถป้อนได้ไม่เพียงแต่เป็นทศนิยมเท่านั้น แต่ยังเป็นเศษส่วนสามัญด้วย
กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถแยกออกจากส่วนทั้งหมดด้วยจุดหรือลูกน้ำก็ได้ เช่น คุณสามารถเข้าได้ทศนิยม
เช่นนี้: 2.5x - 3.5x^2
กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้
ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้ /
เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: &
ส่วนทั้งหมดถูกแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์:
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) เมื่อป้อนนิพจน์คุณสามารถใช้วงเล็บได้
- ในกรณีนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสอง นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่าง: x^2+2x-1
ตัดสินใจ
พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...
ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.
เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:
ทฤษฎีเล็กน้อย
สมการกำลังสองและรากของมัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
แต่ละสมการ
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ดูเหมือนว่า
\(ขวาน^2+bx+c=0, \)
โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลข
ในสมการแรก a = -1, b = 6 และ c = 1.4 ในสมการที่สอง a = 8, b = -7 และ c = 0 ในสมการที่สาม a = 1, b = 0 และ c = 4/9 สมการดังกล่าวเรียกว่า สมการกำลังสอง.
คำนิยาม.
สมการกำลังสองเรียกว่าสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \)
ตัวเลข a, b และ c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวแรก ตัวเลข b คือสัมประสิทธิ์ตัวที่สอง และตัวเลข c คือพจน์อิสระ
ในแต่ละสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ \(a \neq 0 \) กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร x คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส จึงเป็นที่มาของชื่อ: สมการกำลังสอง
โปรดทราบว่าสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการระดับ 2 เนื่องจากด้านซ้ายเป็นพหุนามของระดับ 2
สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 1 เรียกว่า ให้สมการกำลังสอง- ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่ให้มาคือสมการ
\(x^2-11x+30=0, \ควอด x^2-6x=0, \ควอด x^2-8=0 \)
หากในสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 สัมประสิทธิ์ b หรือ c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์ สมการดังกล่าวจะเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- ดังนั้น สมการ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 จึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในตอนแรก b=0 ในส่วนที่สอง c=0 ในส่วนที่สาม b=0 และ c=0
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีสามประเภท:
1) ขวาน 2 +c=0 โดยที่ \(c \neq 0 \);
2) ขวาน 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \);
3) ขวาน 2 =0
ลองพิจารณาแก้สมการของแต่ละประเภทเหล่านี้กัน
ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +c=0 สำหรับ \(c \neq 0 \) ให้เลื่อนเทอมอิสระไปทางด้านขวาแล้วหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \ลูกศรขวา x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
เนื่องจาก \(c \neq 0 \) ดังนั้น \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
ถ้า \(-\frac(c)(a)>0\) สมการจะมีรากที่สอง
ถ้า \(-\frac(c)(a) ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายแล้วได้สมการ
\(x(ax+b)=0 \ลูกศรขวา \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \ลูกศรขวา \left\( \begin (อาร์เรย์)(ล.) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(อาร์เรย์) \right
ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) มีสองรากเสมอ
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ดังนั้นจึงมีรากเดียวคือ 0
สูตรหารากของสมการกำลังสอง
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้สมการกำลังสองซึ่งทั้งสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบและพจน์อิสระไม่เป็นศูนย์
ให้เราแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป และผลที่ได้คือสูตรสำหรับราก สูตรนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการกำลังสองใดๆ ได้
แก้สมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0
เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการกำลังสองรีดิวซ์ที่เท่ากัน
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
ลองแปลงสมการนี้โดยเลือกกำลังสองของทวินาม:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ลูกศรขวา \)
การแสดงออกที่รุนแรงเรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” ในภาษาละติน - discriminator) มันถูกกำหนดด้วยตัวอักษร D นั่นคือ
\(D = ข^2-4ac\)
ตอนนี้ เมื่อใช้สัญลักษณ์แบ่งแยก เราจะเขียนสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใหม่:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \) โดยที่ \(D= b^2-4ac \)
เห็นได้ชัดว่า:
1) ถ้า D>0 แสดงว่าสมการกำลังสองมีสองราก
2) ถ้า D=0 แล้วสมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก \(x=-\frac(b)(2a)\)
3) ถ้า D ดังนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของการแบ่งแยก สมการกำลังสองสามารถมีรากสองอัน (สำหรับ D > 0) หนึ่งราก (สำหรับ D = 0) หรือไม่มีราก (สำหรับ D เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สิ่งนี้ ตามสูตรแนะนำให้ทำดังนี้
1) คำนวณจำแนกและเปรียบเทียบกับศูนย์
2) ถ้าค่าจำแนกเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้ใช้สูตรราก ถ้าค่าจำแนกเป็นค่าลบ ให้เขียนว่าไม่มีค่าราก
ทฤษฎีบทของเวียตตา
สมการกำลังสองที่กำหนด ax 2 -7x+10=0 มีราก 2 และ 5 ผลรวมของรากคือ 7 และผลคูณคือ 10 เราจะเห็นว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่นำมากับค่าตรงข้าม เครื่องหมาย และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ สมการกำลังสองลดรูปใดๆ ที่มีรากจะมีคุณสมบัตินี้
ผลรวมของรากของสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ
เหล่านั้น. ทฤษฎีบทของเวียตาระบุว่าราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสองลดลง x 2 +px+q=0 มีคุณสมบัติ:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)