การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

นักเรียนต้องเผชิญกับแนวคิดเรื่องปิระมิดก่อนที่จะเรียนเรขาคณิต ความผิดอยู่ที่สิ่งมหัศจรรย์อันยิ่งใหญ่ของอียิปต์ที่มีชื่อเสียงของโลก ดังนั้นเมื่อเริ่มศึกษารูปทรงหลายเหลี่ยมอันมหัศจรรย์นี้ นักเรียนส่วนใหญ่ก็จินตนาการถึงมันอย่างชัดเจนอยู่แล้ว สถานที่ท่องเที่ยวที่กล่าวมาข้างต้นทั้งหมดมีรูปร่างที่ถูกต้อง เกิดอะไรขึ้น ปิรามิดปกติและมีคุณสมบัติอะไรบ้างนั้นจะมีการหารือกันต่อไป

คำนิยาม

ปิระมิดมีคำจำกัดความค่อนข้างมาก ตั้งแต่สมัยโบราณก็ได้รับความนิยมอย่างมาก

ตัวอย่างเช่น Euclid ให้นิยามว่ามันเป็นรูปร่างที่ประกอบด้วยระนาบซึ่งเริ่มจากจุดหนึ่งมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง

นกกระสาให้สูตรที่แม่นยำยิ่งขึ้น เขายืนยันว่านี่คือตัวเลขนั้น มีฐานและระนาบเป็นรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง

ขึ้นอยู่กับ การตีความที่ทันสมัยปิรามิดถูกแสดงเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงพื้นที่ซึ่งประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมแบนรูป k-gon และ k จำนวนหนึ่งซึ่งมีจุดร่วมหนึ่งจุด

มาดูรายละเอียดกันดีกว่า ประกอบด้วยองค์ประกอบอะไรบ้าง:

• k-gon ถือเป็นพื้นฐานของรูปนี้
• รูปร่าง 3 เหลี่ยมยื่นออกมาตามขอบของส่วนด้านข้าง
• ส่วนบนซึ่งเป็นที่มาขององค์ประกอบด้านข้างเรียกว่าเอเพ็กซ์
• ทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดเรียกว่าขอบ
• หากเส้นตรงลดลงจากจุดยอดถึงระนาบของร่างที่มุม 90 องศา จากนั้นส่วนของมันจะปิดล้อม พื้นที่ภายใน- ความสูงของปิรามิด
• ในองค์ประกอบด้านข้างใดๆ สามารถลากเส้นตั้งฉากเรียกว่าอะโพเธมไปไว้ที่ด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้

จำนวนขอบคำนวณโดยใช้สูตร 2*k โดยที่ k คือจำนวนด้านของ k-gon สามารถกำหนดหน้าหลายหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม เช่น พีระมิดได้โดยใช้นิพจน์ k+1

สำคัญ!พีระมิดที่มีรูปร่างปกติคือรูปทรงสามมิติซึ่งมีระนาบฐานเป็นรูปเคกอนที่มีด้านเท่ากัน

คุณสมบัติพื้นฐาน

ปิรามิดที่ถูกต้อง มีคุณสมบัติมากมายซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของเธอ มาแสดงรายการกัน:

1. พื้นฐานคือรูปร่างที่ถูกต้อง
2. ขอบของปิรามิดที่จำกัดองค์ประกอบด้านข้างมีค่าตัวเลขเท่ากัน
3. องค์ประกอบด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
4. ฐานของความสูงของรูปจะอยู่ที่กึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยม ในขณะที่ฐานของความสูงของรูปนั้นอยู่ที่จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม ในขณะเดียวกันก็เป็นจุดศูนย์กลางของรูปที่ถูกจารึกไว้และถูกจำกัดขอบเขตไปพร้อมๆ กัน
5. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน
6. พื้นผิวด้านข้างทั้งหมดมีมุมเอียงเท่ากันเมื่อเทียบกับฐาน

ด้วยคุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ การคำนวณองค์ประกอบจึงง่ายกว่ามาก จากคุณสมบัติข้างต้นเราให้ความสนใจ สองสัญญาณ:

1. ในกรณีที่รูปหลายเหลี่ยมพอดีกับวงกลม ใบหน้าด้านข้างจะมีมุมเท่ากันกับฐาน
2. เมื่ออธิบายวงกลมรอบรูปหลายเหลี่ยม ขอบทั้งหมดของพีระมิดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดจะมีความยาวเท่ากันและมีมุมเท่ากับฐาน

ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ - รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

มีหน้าจั่วทั้งสี่ด้าน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นภาพบนเครื่องบิน แต่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ

ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องเชื่อมโยงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับเส้นทแยงมุม ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ เส้นทแยงมุมเท่ากับผลคูณของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรากที่ 2 ของทั้งสอง

มันขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมปกติ

ปิระมิดสามเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูป 3 เหลี่ยมปกติ

หากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและขอบด้านข้างเท่ากับขอบของฐาน ก็จะเป็นรูปดังกล่าว เรียกว่าจัตุรมุข

ใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้ามี 3 เหลี่ยมด้านเท่ากันหมด ใน ในกรณีนี้คุณจำเป็นต้องรู้บางประเด็นและไม่ต้องเสียเวลาในการคำนวณ:

• มุมเอียงของซี่โครงกับฐานใด ๆ คือ 60 องศา
• ขนาดของใบหน้าภายในทั้งหมดก็คือ 60 องศาเช่นกัน
• ใบหน้าใด ๆ สามารถทำหน้าที่เป็นฐานได้
• เมื่อวาดอยู่ภายในร่าง สิ่งเหล่านี้คือองค์ประกอบที่เท่ากัน

ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ในรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ก็มี หลายประเภทแบน. บ่อยครั้งในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน พวกเขาทำงานร่วมกับสอง:

• แกน;
• ขนานไปกับพื้นฐาน

ส่วนตามแนวแกนได้มาจากการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบที่ผ่านจุดยอด ขอบด้านข้าง และแกน ในกรณีนี้ แกนคือความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด ระนาบการตัดถูกจำกัดด้วยเส้นตัดกับทุกหน้า ทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยม

ความสนใจ!ในปิรามิดปกติ ส่วนตามแนวแกนจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

หากระนาบการตัดวิ่งขนานกับฐาน ผลลัพธ์ที่ได้คือทางเลือกที่สอง ในกรณีนี้ เรามีรูปหน้าตัดคล้ายกับฐาน

ตัวอย่างเช่น ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ส่วนขนานกับฐานก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นกัน ซึ่งมีขนาดเล็กกว่าเท่านั้น

เมื่อแก้ไขปัญหาภายใต้เงื่อนไขนี้ให้ใช้เครื่องหมายและคุณสมบัติของตัวเลขที่คล้ายคลึงกัน ตามทฤษฎีบทของทาเลส- ก่อนอื่น จำเป็นต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

หากระนาบขนานกับฐานแล้วตัดออก ส่วนบนรูปทรงหลายเหลี่ยมจากนั้นจะได้ปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติในส่วนล่าง จากนั้นฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนจะเรียกว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ในกรณีนี้ ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ส่วนตามแนวแกนก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน

เพื่อกำหนดความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน จำเป็นต้องวาดความสูงในส่วนแนวแกน ซึ่งก็คือ ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ผิว

ปัญหาเรขาคณิตหลักที่ต้องแก้ไขในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนคือ การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปิรามิด

ค่าพื้นที่ผิวมีสองประเภท:

• พื้นที่ขององค์ประกอบด้านข้าง
• พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด

จากชื่อก็ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงอะไร พื้นผิวด้านข้างรวมเฉพาะองค์ประกอบด้านข้างเท่านั้น จากนี้ไปเพื่อค้นหามัน คุณเพียงแค่ต้องบวกพื้นที่ของระนาบข้าง ซึ่งก็คือพื้นที่ของหน้าจั่ว 3 เหลี่ยม ลองหาสูตรสำหรับพื้นที่ขององค์ประกอบด้านข้าง:

1. พื้นที่ของหน้าจั่ว 3 เหลี่ยมคือ Str=1/2(aL) โดยที่ a คือด้านข้างของฐาน L คือระยะแนบใน
2. จำนวนระนาบด้านข้างขึ้นอยู่กับประเภทของเคกอนที่ฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีระนาบด้านข้างสี่ระนาบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องบวกพื้นที่ของตัวเลขสี่หลัก Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้นด้วยวิธีนี้เนื่องจากค่าคือ 4a = Rosn โดยที่ Rosn คือเส้นรอบวงของฐาน และพจน์ 1/2*Rosn คือกึ่งเส้นรอบรูป
3. ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าพื้นที่ขององค์ประกอบด้านข้าง ปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน: Sside=Rosn*L

สี่เหลี่ยม เต็มพื้นผิวปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของระนาบด้านข้างและฐาน: Sp.p = Sside + Sbas

ส่วนพื้นที่ฐานจะใช้สูตรตามประเภทของรูปหลายเหลี่ยมในที่นี้

ปริมาตรของปิระมิดปกติเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของระนาบฐานและความสูงหารด้วยสาม: V=1/3*Sbas*H โดยที่ H คือความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ปิรามิดปกติในเรขาคณิตคืออะไร

คุณสมบัติของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

เมื่อเราพบกับคำว่า "ปิรามิด" ความทรงจำที่เชื่อมโยงกันของเราจะพาเราไปที่อียิปต์ หากเราพูดถึงอนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมในยุคแรกๆ เราสามารถพูดได้ว่ามีจำนวนอย่างน้อยหลายร้อยแห่ง นักเขียนชาวอาหรับในศตวรรษที่ 13 กล่าวว่า “ทุกสิ่งในโลกกลัวเวลา และเวลากลัวปิรามิด” ปิรามิดเป็นเพียงหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่รอดมาได้ในยุคของเราก่อนยุคเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม นักวิจัยยังคงไม่สามารถค้นหากุญแจสู่ความลึกลับทั้งหมดได้ ยิ่งเราเรียนรู้เกี่ยวกับปิรามิดมากเท่าไร เราก็ยิ่งมีคำถามมากขึ้นเท่านั้น ปิระมิดเป็นที่สนใจของนักประวัติศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักชีววิทยา แพทย์ นักปรัชญา ฯลฯ ปิระมิดเหล่านี้กระตุ้นความสนใจอย่างมากและส่งเสริมให้ศึกษาคุณสมบัติของพวกมันอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น ทั้งจากมุมมองทางคณิตศาสตร์และมุมมองอื่น ๆ (ทางประวัติศาสตร์ ภูมิศาสตร์ ฯลฯ)

นั่นเป็นเหตุผล วัตถุประสงค์การวิจัยของเราคือเพื่อศึกษาคุณสมบัติของปิรามิดจากมุมมองที่ต่างกัน เราได้ระบุว่าเป็นเป้าหมายระดับกลาง: การพิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดจากมุมมองของคณิตศาสตร์, การศึกษาสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของความลับและความลึกลับของปิรามิดตลอดจนความเป็นไปได้ของการประยุกต์ใช้

วัตถุการศึกษาในงานนี้เป็นแบบปิรามิด

รายการการวิจัย: ลักษณะและคุณสมบัติของปิรามิด

งานวิจัย:

ศึกษาวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ยอดนิยมในหัวข้อการวิจัย

พิจารณาปิรามิดเป็นตัวเรขาคณิต

กำหนดคุณสมบัติและคุณสมบัติของปิรามิด

ค้นหาวัสดุที่ยืนยันการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของปิรามิดในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ

วิธีการการวิจัย: การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ การสร้างแบบจำลองทางจิต

ผลที่คาดว่าจะได้รับจากการทำงานควรมีข้อมูลที่มีโครงสร้างเกี่ยวกับปิรามิด คุณสมบัติ และความเป็นไปได้ในการใช้งาน

ขั้นตอนการเตรียมโครงการ:

การกำหนดหัวข้อโครงการ เป้าหมาย และวัตถุประสงค์

ศึกษาและรวบรวมวัสดุ

จัดทำแผนโครงการ

การกำหนดผลลัพธ์ที่คาดหวังของกิจกรรมในโครงการรวมถึงการดูดซับวัสดุใหม่การสร้างความรู้ทักษะและความสามารถในกิจกรรมรายวิชา

การนำเสนอผลการวิจัย

การสะท้อนกลับ

ปิรามิดเป็นตัวเรขาคณิต

ลองพิจารณาที่มาของคำและคำศัพท์กันดู” ปิรามิด- เป็นที่น่าสังเกตทันทีว่า "ปิรามิด" หรือ " ปิรามิด"(ภาษาอังกฤษ), " ปิรามิด"(ฝรั่งเศส สเปน และ ภาษาสลาฟ), "ปิรามิด"(เยอรมัน) เป็นศัพท์ตะวันตกที่มีต้นกำเนิดมาจากภาษากรีกโบราณ ในภาษากรีกโบราณ πύραμίς (“น อิรามิส"และอีกมากมาย ชม. Πύραμίδες « ปิรามิด") มีความหมายหลายประการ ชาวกรีกโบราณเรียกว่า ปิรามิด» เค้กข้าวสาลีที่มีรูปร่างคล้ายอาคารอียิปต์ ต่อมาคำนี้มีความหมายว่า "สิ่งก่อสร้างขนาดใหญ่ที่มีพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐานและมีด้านลาดเอียงมาบรรจบกันที่ด้านบน พจนานุกรมนิรุกติศาสตร์ระบุว่า "ปิรามิส" ของกรีกมาจากภาษาอียิปต์ " พิมาร์”การตีความคำเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรก "ปิรามิด"พบในยุโรปในปี 1555 และหมายถึง: "หนึ่งในโครงสร้างโบราณของกษัตริย์" หลังจากการค้นพบปิรามิดในเม็กซิโกและด้วยการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 ปิรามิดไม่ได้เป็นเพียงอนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมโบราณเท่านั้น แต่ยังเป็นรูปทรงเรขาคณิตปกติที่มีด้านสมมาตรสี่ด้าน (พ.ศ. 2259) จุดเริ่มต้นของเรขาคณิตของปิรามิดถูกวางไว้ในอียิปต์โบราณและบาบิโลน แต่ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขัน กรีกโบราณ- คนแรกที่สร้างปริมาตรของปิรามิดคือเดโมคริตุส และได้รับการพิสูจน์โดย Eudoxus แห่ง Cnidus

คำจำกัดความแรกเป็นของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผู้เขียนบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่มาจากเรา Euclid ใน "หลักการ" เล่มที่ 12 เขาให้คำจำกัดความของปิรามิดว่าเป็นรูปของแข็งที่ล้อมรอบด้วยระนาบซึ่งจากระนาบหนึ่ง (ฐาน) มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง (ยอด) แต่คำจำกัดความนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์มาตั้งแต่สมัยโบราณ นกกระสาจึงเสนอคำจำกัดความของปิรามิดดังนี้: “เป็นรูปที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งและมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม”

มีคำจำกัดความของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Adrien Marie Legendre ซึ่งในปี 1794 ในงานของเขา "Elements of Geometry" ให้คำจำกัดความของปิรามิดดังนี้: "ปิรามิดคือรูปทรงทึบที่เกิดจากสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งและสิ้นสุดที่ด้านต่างๆ ของ ฐานแบน”

พจนานุกรมสมัยใหม่ตีความคำว่า "ปิรามิด" ดังนี้

	รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม	พจนานุกรมอธิบายภาษารัสเซีย, เอ็ด. ดี. เอ็น. อูชาโควา
	วัตถุที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมเท่ากันซึ่งมีจุดยอดเป็นจุดเดียวและมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส	พจนานุกรมอธิบายของ V.I. Dahl
	รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม	พจนานุกรมอธิบาย เอ็ด. S.I. Ozhegova และ N.Yu.Shvedova
	รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและมีใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม	ที.เอฟ. เอฟเรมอฟ พจนานุกรมอธิบายและจัดทำคำใหม่ของภาษารัสเซีย
	รูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งด้านหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม และอีกด้านเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน	พจนานุกรม คำต่างประเทศ
	ตัวเรขาคณิต ซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมจำนวนเท่ากับฐานที่มีด้านข้าง โดยมาบรรจบกันที่จุดยอดจนถึงจุดหนึ่ง	พจนานุกรมคำต่างประเทศในภาษารัสเซีย
	รูปทรงหลายเหลี่ยม หน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบน และหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยม ฐานเป็นด้านข้างของฐานของรูปหลายเหลี่ยม และจุดยอดมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง	เอฟ บร็อคเฮาส์ ไอเอ เอฟรอน. พจนานุกรมสารานุกรม
	รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม	ทันสมัย พจนานุกรมอธิบาย
	รูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งใบหน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม	พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์

จากการวิเคราะห์คำจำกัดความของปิรามิด เราสามารถสรุปได้ว่าแหล่งที่มาทั้งหมดมีสูตรที่คล้ายกัน:

ปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ขึ้นอยู่กับจำนวนมุมฐาน ปิรามิดถูกจัดประเภทเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ

รูปหลายเหลี่ยม A 1 A 2 A 3 ... An คือฐานของพีระมิด และสามเหลี่ยม RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 คือด้านด้านข้างของพีระมิด P คือด้านบนของพีระมิด ปิรามิด, เซ็กเมนต์ RA 1 , RA 2 , ..., RAN - ซี่โครงด้านข้าง

เส้นตั้งฉากที่ดึงจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐานเรียกว่า ความสูงปิรามิด

นอกจากปิรามิดตามอำเภอใจแล้ว ยังมีปิรามิดปกติที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พื้นที่พื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่หน้าทั้งหมด Sfull = ด้าน S + S main โดยที่ด้าน S คือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง

ปริมาณพีระมิดพบได้จากสูตร: V=1/3S main.h โดยที่ S main - พื้นที่ฐาน h - ความสูง

ถึง คุณสมบัติของปิรามิดรวม:

เมื่อขอบด้านข้างทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน เป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายวงกลมรอบฐานของพีระมิด โดยให้ด้านบนของปิรามิดยื่นออกมาตรงกลางวงกลมนี้ ซี่โครงด้านข้างมีมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน เช่น เมื่อซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน หรือเมื่อสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้และยอดของปิรามิดจะฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ หมายความว่า ขอบด้านข้างทั้งหมด ของปิระมิดจะมีขนาดเท่ากัน

เมื่อใบหน้าด้านข้างมีมุมเอียงกับระนาบของฐานที่มีขนาดเท่ากัน จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิด และยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ ; ความสูงของใบหน้าด้านข้างมีความยาวเท่ากัน พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง

ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้องถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และจุดยอดของมันถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติมีขนาดเท่ากัน เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (รูปที่ 2a) แกนของปิระมิดปกติคือเส้นตรงที่มีส่วนสูง อะโพเธม -ความสูงของด้านข้างของปิรามิดปกติที่ลากจากจุดยอด

สี่เหลี่ยมใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติแสดงดังนี้: =1/2P h โดยที่ P คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูงของด้านด้านข้าง (ด้านตรงข้ามมุมฉากของปิรามิดปกติ) ถ้าปิรามิดตัดกันด้วยระนาบ A'B'C'D' ซึ่งขนานกับฐาน ขอบและความสูงด้านข้างจะถูกแบ่งด้วยระนาบนี้ออกเป็นส่วนต่างๆ ตามสัดส่วน ในหน้าตัดจะได้รูปหลายเหลี่ยม A'B'C'D' คล้ายกับฐาน พื้นที่หน้าตัดและฐานสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของระยะห่างจากจุดยอด

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนได้มาจากการตัดส่วนบนออกจากปิรามิดโดยมีระนาบขนานกับฐาน (รูปที่ 2b) ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมคล้าย ABCD และ A`B`C`D` ส่วนด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐาน ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนหาได้จากสูตร: V = 1/3 h (S + + S') โดยที่ S และ S' คือพื้นที่ของฐาน ABCD และ A'B'C'D' โดย h คือ ความสูง

ฐานของปิรามิด n-gonal ที่ถูกตัดทอนปกติคือ เอ็นกอนปกติ- พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติแสดงดังนี้: = ½(P+P')h โดยที่ P และ P' คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูงของด้านด้านข้าง (อะเทมของปิรามิดที่ถูกตัดปลายปกติ)

ส่วนของปิรามิดโดยระนาบที่บินผ่านยอดเป็นรูปสามเหลี่ยม ส่วนที่ผ่านขอบด้านข้างของพีระมิดที่ไม่อยู่ติดกัน 2 อันเรียกว่าส่วนทแยงมุม หากส่วนนี้ผ่านจุดที่ขอบด้านข้างและด้านข้างของฐาน รอยต่อของมันไปยังระนาบฐานของปิรามิดจะเป็นด้านนี้ ส่วนที่ผ่านจุดที่วางอยู่บนใบหน้าของปิรามิดและรอยตัดของหน้าตัดที่กำหนดให้บนระนาบฐาน จากนั้น ให้ดำเนินการก่อสร้างดังต่อไปนี้ หาจุดตัดของระนาบของหน้าตัดที่กำหนดให้และรอยรอยตัดของ ปิรามิดและกำหนดมัน สร้างเส้นตรงผ่าน จุดที่กำหนดให้และจุดตัดที่เกิด ทำซ้ำขั้นตอนเหล่านี้สำหรับใบหน้าถัดไป

ปิรามิดสี่เหลี่ยม -นี่คือปิรามิดที่ขอบด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน ในกรณีนี้ ขอบนี้จะเป็นความสูงของปิรามิด (รูปที่ 2c)

ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเป็นปิระมิดซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและมีปลายยื่นออกมาตรงกลางฐาน กรณีพิเศษของปิระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ จัตุรมุข- (รูปที่ 2a)

ลองพิจารณาทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงปิรามิดกับตัวเรขาคณิตอื่นๆ

ทรงกลม

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด เมื่อที่ฐานของปิรามิดจะมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่รอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) ศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบของปิรามิดที่ตั้งฉากกับพวกมัน จากทฤษฎีบทนี้ เป็นไปตามที่ว่าทรงกลมสามารถอธิบายได้ทั้งรอบรูปสามเหลี่ยมใดๆ และรอบปิรามิดปกติใดๆ ทรงกลมสามารถเขียนลงในปิรามิดได้เมื่อระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของปิรามิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

กรวย

กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจารึกไว้ในปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยนั้นถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด ยิ่งกว่านั้น คุณสามารถใส่กรวยลงในปิรามิดได้ก็ต่อเมื่อจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากัน (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) กล่าวกันว่ากรวยถูกอธิบายไว้ใกล้กับปิรามิดเมื่อจุดยอดของมันตรงกันและฐานของมันอยู่ใกล้กับฐานของปิรามิด ยิ่งไปกว่านั้น เป็นไปได้ที่จะอธิบายกรวยใกล้กับปิรามิดก็ต่อเมื่อขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากันทุกด้าน (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) ความสูงของกรวยและปิรามิดนั้นเท่ากัน

กระบอก

กล่าวกันว่าทรงกระบอกจะถูกจารึกไว้ในปิรามิดหากฐานใดฐานหนึ่งตรงกับวงกลมที่ขนานกับฐานของพีระมิดซึ่งจารึกไว้ในส่วนของพีระมิด และฐานอีกฐานหนึ่งเป็นของฐานของปิรามิด กล่าวกันว่าทรงกระบอกนั้นถูกอธิบายไว้ใกล้กับปิรามิดหากส่วนบนของปิรามิดเป็นของฐานใดฐานหนึ่ง และฐานอีกอันนั้นถูกอธิบายไว้ใกล้กับฐานของปิรามิด ยิ่งไปกว่านั้น เป็นไปได้ที่จะอธิบายทรงกระบอกใกล้กับปิรามิดก็ต่อเมื่อมีรูปหลายเหลี่ยมจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ)

บ่อยครั้งในการวิจัยนักวิทยาศาสตร์ใช้คุณสมบัติของปิรามิด ด้วยสัดส่วนอัตราส่วนทองคำ- เราจะดูว่าอัตราส่วนทองคำถูกใช้อย่างไรในการสร้างปิรามิดในย่อหน้าถัดไป และที่นี่เราจะกล่าวถึงคำจำกัดความของอัตราส่วนทองคำ

พจนานุกรมสารานุกรมทางคณิตศาสตร์ให้คำจำกัดความต่อไปนี้ อัตราส่วนทองคำ- นี่คือการแบ่งส่วนของ AB ออกเป็นสองส่วนในลักษณะที่ส่วนที่ใหญ่กว่าของ AC คือสัดส่วนเฉลี่ยระหว่าง AB ส่วนทั้งหมดและ CD ส่วนที่เล็กกว่า

การหาค่าพีชคณิตของส่วนสีทองของเซ็กเมนต์ AB = a จะลดลงเหลือเพียงการแก้สมการ a:x = x:(a-x) โดยที่ x มีค่าประมาณ 0.62a อัตราส่วน x สามารถแสดงเป็นเศษส่วน n/n+1= 0,618, โดยที่ n คือหมายเลขฟีโบนัชชีที่มีหมายเลข n

อัตราส่วนทองคำมักใช้ในงานศิลปะ สถาปัตยกรรม และพบได้ในธรรมชาติ ตัวอย่างที่ชัดเจนคือรูปปั้นของ Apollo Belvedere และวิหารพาร์เธนอน ในระหว่างการก่อสร้างวิหารพาร์เธนอน มีการใช้อัตราส่วนความสูงของอาคารต่อความยาวและอัตราส่วนนี้คือ 0.618 วัตถุรอบตัวเราก็เป็นตัวอย่างของอัตราส่วนทองคำด้วย เช่น การเย็บเล่มหนังสือหลายเล่มก็มีอัตราส่วนความกว้างต่อความยาวใกล้เคียง 0.618 เช่นกัน

ดังนั้นเมื่อศึกษาวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเกี่ยวกับปัญหาการวิจัยเราได้ข้อสรุปว่าปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน เราตรวจสอบองค์ประกอบและคุณสมบัติของปิรามิด ประเภทและความสัมพันธ์กับสัดส่วนของอัตราส่วนทองคำ

2. คุณสมบัติของปิรามิด

ดังนั้นในพจนานุกรมสารานุกรมใหญ่จึงเขียนว่าปิรามิดเป็นโครงสร้างขนาดมหึมาที่มีรูปร่างทางเรขาคณิตของปิรามิด (บางครั้งก็เป็นขั้นบันไดหรือรูปหอคอย) ปิรามิดเป็นชื่อที่ตั้งให้กับหลุมศพของฟาโรห์อียิปต์โบราณในช่วงสหัสวรรษที่ 3 - 2 ก่อนคริสต์ศักราช e. เช่นเดียวกับแท่นวัดในอเมริกากลางและอเมริกาใต้ที่เกี่ยวข้องกับลัทธิจักรวาลวิทยา ในบรรดาปิรามิดอันยิ่งใหญ่ของอียิปต์ มหาพีระมิดแห่งฟาโรห์ Cheops ครอบครองสถานที่พิเศษ ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์รูปร่างและขนาดของปิรามิด Cheops เราควรจำไว้ว่าชาวอียิปต์ใช้ระบบการวัดแบบใด ชาวอียิปต์มีความยาวสามหน่วย: "ศอก" (466 มม.) ซึ่งเท่ากับ "ฝ่ามือ" เจ็ดอัน (66.5 มม.) ซึ่งเท่ากับ "นิ้ว" สี่นิ้ว (16.6 มม.)

นักวิจัยส่วนใหญ่เห็นพ้องกันว่าความยาวของด้านข้างของฐานของปิรามิด เช่น GF เท่ากับ L = 233.16 ม. ค่านี้ตรงกับ 500 “ศอก” พอดี การปฏิบัติตามข้องอ 500 ข้ออย่างสมบูรณ์จะเกิดขึ้นหากความยาวของ "ข้อศอก" เท่ากับ 0.4663 ม.

ความสูงของปิรามิด (H) ประเมินโดยนักวิจัยในช่วงต่างๆ จาก 146.6 ถึง 148.2 ม. และขึ้นอยู่กับความสูงที่ยอมรับของปิรามิด ความสัมพันธ์ทั้งหมดขององค์ประกอบทางเรขาคณิตจะเปลี่ยนไป อะไรคือสาเหตุของความแตกต่างในการประมาณความสูงของปิรามิด? ความจริงก็คือปิรามิด Cheops ถูกตัดทอน แพลตฟอร์มส่วนบนในปัจจุบันมีขนาดประมาณ 10x10 ม. แต่เมื่อหนึ่งศตวรรษก่อนมีขนาด 6x6 ม. เห็นได้ชัดว่าส่วนบนของปิรามิดถูกรื้อออก และไม่สอดคล้องกับอันเดิม เมื่อประเมินความสูงของปิรามิดจำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัยทางกายภาพเช่นการทรุดตัวของโครงสร้าง สำหรับ เวลานานภายใต้อิทธิพลของแรงกดดันมหาศาล (ถึง 500 ตันต่อ 1 ม. 2 ของพื้นผิวด้านล่าง) ความสูงของปิรามิดลดลงเมื่อเทียบกับความสูงเดิม ความสูงดั้งเดิมของปิรามิดสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้โดยการค้นหาแนวคิดทางเรขาคณิตพื้นฐาน

ในปี ค.ศ. 1837 พันเอกจี. ไวส์ชาวอังกฤษได้วัดมุมเอียงของหน้าพีระมิด ซึ่งปรากฏว่ามีค่าเท่ากับ = 51°51" ค่านี้ยังคงได้รับการยอมรับจากนักวิจัยส่วนใหญ่ในปัจจุบัน ค่าที่ระบุของ มุมสอดคล้องกับแทนเจนต์ (tg a) เท่ากับ 1.27306 ค่านี้สอดคล้องกับอัตราส่วนความสูงของพีระมิด AC ต่อครึ่งหนึ่งของฐาน CB นั่นคือ AC / CB = H / (L / 2) = 2H / ล.

และที่นี่นักวิจัยก็พบกับความประหลาดใจครั้งใหญ่! ความจริงก็คือ หากเราหาสแควร์รูทของอัตราส่วนทองคำ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ = 1.272 เมื่อเปรียบเทียบค่านี้กับค่า tg a = 1.27306 เราจะเห็นว่าค่าเหล่านี้อยู่ใกล้กันมาก หากเราใช้มุม a = 51°50" นั่นคือ ลดมันลงเพียงหนึ่งอาร์คนาที ค่าของ a จะเท่ากับ 1.272 นั่นคือ มันจะตรงกับค่า ควรสังเกตว่าใน 1840 G. Wise ทำการวัดซ้ำและชี้แจงว่าค่าของมุม a = 51°50"

การวัดเหล่านี้นำนักวิจัยไปสู่สมมติฐานที่น่าสนใจดังต่อไปนี้: สามเหลี่ยม ACB ของปิรามิด Cheops ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน AC / CB = 1.272

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยอัตราส่วนของขา AC/CB = หากตอนนี้เราแสดงความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABC ด้วย x, y, z และยังคำนึงว่าอัตราส่วน y/x = ดังนั้นตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส ความยาว z สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

หากเรายอมรับ x = 1, y = แล้ว:

สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีด้านอยู่ในอัตราส่วน t::1 เรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก “สีทอง”

จากนั้นหากเราใช้สมมติฐานพื้นฐานว่า "แนวคิดทางเรขาคณิต" หลักของปิรามิด Cheops นั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก "สีทอง" จากที่นี่เราสามารถคำนวณความสูงของ "การออกแบบ" ของปิรามิด Cheops ได้อย่างง่ายดาย มันเท่ากับ:

ส = (ลิตร/2)/= 148.28 ม.

ตอนนี้เรามาดูความสัมพันธ์อื่น ๆ ของปิรามิด Cheops ซึ่งเกิดจากสมมติฐาน "ทองคำ" โดยเฉพาะเราจะหาอัตราส่วนของพื้นที่ด้านนอกของปิรามิดต่อพื้นที่ฐานของมัน ในการทำเช่นนี้เราใช้ความยาวของขา CB เป็นหนึ่งนั่นคือ: CB = 1 แต่ความยาวของด้านข้างของฐานของปิรามิดคือ GF = 2 และพื้นที่ของฐาน EFGH จะ เท่ากับ S EFGH = 4

ตอนนี้ให้เราคำนวณพื้นที่ด้านข้างของพีระมิด Cheops S D . เนื่องจากความสูง AB ของสามเหลี่ยม AEF เท่ากับ t พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากับ S D = t จากนั้นพื้นที่รวมของด้านทั้งสี่ด้านของพีระมิดจะเท่ากับ 4t และ อัตราส่วนของพื้นที่ด้านนอกทั้งหมดของปิรามิดต่อพื้นที่ฐานจะเท่ากับอัตราส่วนทองคำ- นี่คือความลึกลับทางเรขาคณิตหลักของปิรามิด Cheops

และในระหว่างการก่อสร้างปิรามิดของอียิปต์พบว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นที่ความสูงของปิรามิดนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านข้างแต่ละอันทุกประการ นี่คือการยืนยันโดยการวัดล่าสุด

เรารู้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นค่าคงที่ซึ่งนักคณิตศาสตร์และเด็กนักเรียนยุคใหม่รู้จักกันดี - นี่คือตัวเลข “พาย” = 3.1416... แต่ถ้าเราบวกทั้งสี่ด้านของฐานเข้าด้วยกัน ของปิรามิด Cheops เราจะได้ 931.22 ม. เมื่อหารตัวเลขนี้ด้วยความสูงของพีระมิด (2x148.208) เราจะได้ 3.1416... นั่นคือตัวเลข “Pi” ด้วยเหตุนี้ ปิรามิด Cheops จึงเป็นอนุสาวรีย์ที่ไม่ซ้ำใครซึ่งแสดงถึงศูนย์รวมทางวัตถุของการเล่นตัวเลข "Pi" บทบาทที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์

ดังนั้นการมีอยู่ของอัตราส่วนทองคำในมิติของปิรามิด - อัตราส่วนของด้านสองด้านของพีระมิดต่อความสูง - เป็นตัวเลขที่มีมูลค่าใกล้เคียงกับตัวเลข π มากนี่เป็นคุณสมบัติอย่างไม่ต้องสงสัย แม้ว่าผู้เขียนหลายคนจะเชื่อว่าความบังเอิญนี้เป็นเรื่องบังเอิญ แต่เนื่องจากเศษส่วน 14/11 ถือเป็น “ค่าประมาณที่ดีสำหรับ รากที่สองจากอัตราส่วนของหน้าตัดทองคำ และอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับวงกลมที่จารึกไว้”

อย่างไรก็ตามการพูดเฉพาะเกี่ยวกับปิรามิดของอียิปต์ที่นี่ไม่ถูกต้อง ไม่เพียงแต่มีปิรามิดของอียิปต์เท่านั้น แต่ยังมีปิรามิดทั้งเครือข่ายบนโลกอีกด้วย อนุสาวรีย์หลัก (ปิรามิดของอียิปต์และเม็กซิกัน เกาะอีสเตอร์ และสโตนเฮนจ์คอมเพล็กซ์ในอังกฤษ) เมื่อมองแวบแรกจะกระจัดกระจายแบบสุ่มทั่วโลกของเรา แต่ถ้ารวมปิรามิดที่ซับซ้อนของทิเบตไว้ในการศึกษาระบบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของตำแหน่งของปิรามิดบนพื้นผิวโลกก็จะปรากฏขึ้น เมื่อเทียบกับพื้นหลังของเทือกเขาหิมาลัย รูปแบบเสี้ยมมีความโดดเด่นอย่างชัดเจน - ภูเขา Kailash ที่ตั้งของเมือง Kailash ปิรามิดของอียิปต์และเม็กซิกันนั้นน่าสนใจมากกล่าวคือ - ถ้าคุณเชื่อมต่อเมือง Kailash กับปิรามิดเม็กซิกัน เส้นที่เชื่อมต่อพวกมันจะไปที่เกาะอีสเตอร์ หากคุณเชื่อมต่อเมือง Kailash กับปิรามิดของอียิปต์ เส้นเชื่อมต่อของพวกเขาก็จะไปที่เกาะอีสเตอร์อีกครั้ง ระบุไว้อย่างชัดเจนถึงหนึ่งในสี่ โลก- ถ้าเราเชื่อมต่อปิรามิดเม็กซิกันและอียิปต์เข้าด้วยกัน เราจะเห็นสามเหลี่ยมสองอันที่เท่ากัน หากคุณพบพื้นที่ของพวกเขา ผลรวมของมันจะเท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่โลก

มีการเปิดเผยความเชื่อมโยงที่ไม่อาจปฏิเสธได้ระหว่างกลุ่มพีระมิดทิเบต กับโครงสร้างอื่นๆสมัยโบราณ - ปิรามิดของอียิปต์และเม็กซิกัน, ยักษ์ใหญ่ของเกาะอีสเตอร์และสโตนเฮนจ์คอมเพล็กซ์ในอังกฤษ ความสูงของปิรามิดหลักของทิเบต - ภูเขา Kailash - คือ 6714 เมตร ระยะทางจาก Kailash ถึงขั้วโลกเหนือคือ 6714 กิโลเมตร ระยะทางจาก Kailash ถึง Stonehenge คือ 6714 กิโลเมตร ถ้าเราวางสิ่งเหล่านี้ไว้บนโลกจากขั้วโลกเหนือ 6714 กิโลเมตร เราก็จะถึงสิ่งที่เรียกว่า Devil's Tower ซึ่งมีลักษณะคล้ายปิรามิดที่ถูกตัดทอน และสุดท้ายก็ตรงเลย 6714 กิโลเมตรจากสโตนเฮนจ์ถึงสามเหลี่ยมเบอร์มิวดา

จากการศึกษาเหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่าบนโลกนี้มีระบบภูมิศาสตร์เสี้ยม

ดังนั้นคุณสมบัติได้แก่ อัตราส่วนของพื้นที่ด้านนอกทั้งหมดของปิรามิดต่อพื้นที่ฐานจะเท่ากับอัตราส่วนทองคำการปรากฏตัวในมิติของปิรามิดของอัตราส่วนทองคำ - อัตราส่วนของด้านสองด้านของปิรามิดต่อความสูง - เป็นตัวเลขที่มีมูลค่าใกล้เคียงกับตัวเลข π มากเช่น ปิรามิด Cheops เป็นอนุสาวรีย์ที่ไม่ซ้ำใครซึ่งแสดงถึงศูนย์รวมทางวัตถุของตัวเลข "Pi" การดำรงอยู่ของระบบภูมิศาสตร์เสี้ยม

3. คุณสมบัติและการใช้ประโยชน์อื่นๆ ของปิระมิด

ลองพิจารณาการใช้งานจริงของสิ่งนี้ รูปทรงเรขาคณิต- ตัวอย่างเช่น, โฮโลแกรมก่อนอื่นเรามาดูกันว่าโฮโลแกรมคืออะไร โฮโลแกรม -ชุดของเทคโนโลยีสำหรับการบันทึก การสร้าง และการปรับรูปร่างใหม่ของสนามคลื่นของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงแสง ซึ่งเป็นวิธีการถ่ายภาพพิเศษที่บันทึกภาพของวัตถุสามมิติแล้วสร้างใหม่โดยใช้เลเซอร์ ระดับสูงสุดคล้ายกับของจริง โฮโลแกรมเป็นผลผลิตจากโฮโลแกรม ซึ่งเป็นภาพสามมิติที่สร้างขึ้นโดยใช้เลเซอร์ซึ่งสร้างภาพของวัตถุสามมิติขึ้นมาใหม่ การใช้ปิรามิดจัตุรมุขที่ถูกตัดทอนเป็นประจำคุณสามารถสร้างภาพขึ้นมาใหม่ได้ - โฮโลแกรม ไฟล์ภาพถ่ายและปิรามิดจัตุรมุขที่ถูกตัดทอนตามปกติจะถูกสร้างขึ้นจากวัสดุโปร่งแสง การเยื้องเล็กๆ เกิดขึ้นจากพิกเซลล่างสุดและพิกเซลตรงกลางสัมพันธ์กับแกนกำหนด จุดนี้จะอยู่ตรงกลางด้านข้างของสี่เหลี่ยมที่เกิดจากส่วนนั้น ภาพถ่ายจะถูกคูณ และสำเนาจะถูกวางในลักษณะเดียวกันกับอีกสามด้านที่เหลือ วางปิรามิดลงบนสี่เหลี่ยมโดยให้หน้าตัดคว่ำลงเพื่อให้ตรงกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส จอภาพจะสร้างคลื่นแสง โดยแต่ละภาพที่เหมือนกันทั้งสี่ภาพจะตกลงไปที่ใบหน้าโดยอยู่ในระนาบที่เป็นรูปหน้าปิรามิด เป็นผลให้ในแต่ละใบหน้าทั้งสี่เรามีภาพที่เหมือนกันและเนื่องจากวัสดุที่ใช้สร้างปิรามิดมีคุณสมบัติโปร่งใส คลื่นจึงดูเหมือนจะหักเหโดยมาบรรจบกันที่ตรงกลาง เป็นผลให้เราได้รูปแบบการรบกวนเดียวกันของคลื่นนิ่ง แกนกลาง หรือแกนการหมุน ซึ่งเป็นความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ วิธีนี้ยังใช้ได้กับภาพวิดีโอด้วย เนื่องจากหลักการทำงานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อพิจารณาเป็นกรณีพิเศษจะเห็นว่ามีการใช้ปิระมิดกันอย่างแพร่หลาย ชีวิตประจำวันแม้กระทั่งใน ครัวเรือน- รูปร่างเสี้ยมมักพบในธรรมชาติเป็นหลัก ได้แก่ พืช ผลึก โมเลกุลมีเทนมีรูปร่างเหมือนปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ - จัตุรมุขหน่วยเซลล์ของคริสตัลเพชรก็เป็นทรงจัตุรมุขเช่นกัน โดยมีอะตอมของคาร์บอนอยู่ตรงกลางและมีจุดยอดสี่จุด ปิรามิดพบได้ที่บ้านและในของเล่นเด็ก ปุ่มและแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์มักมีลักษณะคล้ายปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยม สามารถมองเห็นได้ในรูปแบบขององค์ประกอบของอาคารหรือโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมเช่นโครงสร้างหลังคาโปร่งแสง

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการใช้คำว่า "ปิรามิด"

ปิรามิดทางนิเวศวิทยา- สิ่งเหล่านี้เป็นแบบจำลองกราฟิก (โดยปกติจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยม) สะท้อนถึงจำนวนบุคคล (ปิรามิดของตัวเลข) ปริมาณของมวลชีวมวล (ปิรามิดของชีวมวล) หรือพลังงานที่มีอยู่ในนั้น (ปิรามิดของพลังงาน) ในแต่ละระดับโภชนาการและ บ่งบอกถึงการลดลงของตัวชี้วัดทั้งหมดพร้อมกับระดับโภชนาการที่เพิ่มขึ้น

ปิรามิดข้อมูลมันสะท้อนถึงลำดับชั้น ประเภทต่างๆข้อมูล. การให้ข้อมูลมีโครงสร้างตามรูปแบบเสี้ยมต่อไปนี้: ที่ด้านบนเป็นตัวบ่งชี้หลักซึ่งคุณสามารถติดตามก้าวของความเคลื่อนไหวขององค์กรไปสู่เป้าหมายที่เลือกได้อย่างชัดเจน หากมีสิ่งผิดปกติคุณสามารถไปที่ระดับกลางของปิรามิด - ข้อมูลทั่วไป โดยจะอธิบายรูปภาพของตัวบ่งชี้แต่ละตัวให้ชัดเจนแยกกันหรือร่วมกับตัวบ่งชี้แต่ละตัว การใช้ข้อมูลนี้ ทำให้คุณสามารถระบุตำแหน่งที่เป็นไปได้ของความล้มเหลวหรือปัญหาได้ หากต้องการข้อมูลที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นคุณต้องไปที่ฐานของปิรามิด - คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสถานะของกระบวนการทั้งหมดในรูปแบบตัวเลข ข้อมูลนี้ช่วยระบุสาเหตุของปัญหาเพื่อให้สามารถแก้ไขและหลีกเลี่ยงได้ในอนาคต

อนุกรมวิธานของบลูมอนุกรมวิธานของ Bloom นำเสนอการจำแนกประเภทของงานในรูปแบบของปิรามิดที่ครูตั้งไว้สำหรับนักเรียน และเป้าหมายการเรียนรู้ตามลำดับ เธอแบ่งเป้าหมายทางการศึกษาออกเป็นสามส่วน ได้แก่ การรับรู้ อารมณ์ และจิต ภายในแต่ละทรงกลม เพื่อที่จะก้าวไปสู่ระดับที่สูงขึ้น จำเป็นต้องมีประสบการณ์ของระดับก่อนหน้าที่โดดเด่นในทรงกลมนี้

ปิรามิดทางการเงิน- ปรากฏการณ์เฉพาะ การพัฒนาเศรษฐกิจ- ชื่อ “ปิรามิด” แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงสถานการณ์ที่ผู้คน “ที่อยู่ด้านล่าง” ของพีระมิดให้เงินกับยอดเล็ก พร้อมกันนั้นละ สมาชิกใหม่จ่ายเพื่อเพิ่มความเป็นไปได้ในการเลื่อนตำแหน่งขึ้นไปบนยอดปิรามิด

ปิรามิดแห่งความต้องการ Maslow สะท้อนให้เห็นถึงหนึ่งในความนิยมมากที่สุดและ ทฤษฎีที่รู้จักแรงจูงใจ - ทฤษฎีลำดับชั้น ความต้องการ- มาสโลว์กระจายความต้องการตามที่เพิ่มขึ้น โดยอธิบายโครงสร้างนี้ด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าบุคคลไม่สามารถประสบกับความต้องการได้ ระดับสูงสำหรับตอนนี้มันต้องการสิ่งดั้งเดิมมากกว่านี้ เมื่อความต้องการที่อยู่ระดับล่างได้รับการสนองความต้องการในระดับที่สูงกว่าก็มีความเกี่ยวข้องมากขึ้นเรื่อยๆ แต่ไม่ได้หมายความว่าความต้องการใหม่จะเข้ามาแทนที่ความต้องการเดิมก็ต่อเมื่อความต้องการก่อนหน้านี้ได้รับการตอบสนองอย่างเต็มที่แล้วเท่านั้น

อีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้คำว่า "ปิรามิด" ก็คือ ปิรามิดอาหาร -การแสดงแผนผังของหลักการ การกินเพื่อสุขภาพพัฒนาโดยนักโภชนาการ อาหารที่อยู่ตรงฐานของปิรามิดควรรับประทานให้บ่อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ ในขณะที่อาหารที่อยู่ด้านบนสุดของปิรามิดควรหลีกเลี่ยงหรือบริโภคในปริมาณที่จำกัด

ดังนั้นทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นจึงแสดงให้เห็นถึงความหลากหลายของการใช้ปิรามิดในชีวิตของเรา บางทีปิระมิดอาจมีจุดประสงค์ที่สูงกว่ามากและมีไว้สำหรับบางสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่านั้น วิธีปฏิบัติการใช้งานซึ่งขณะนี้เปิดอยู่

บทสรุป

ในชีวิตของเราเราต้องเผชิญกับปิรามิดอยู่ตลอดเวลา - พวกมันโบราณ ปิรามิดอียิปต์และของเล่นที่เด็กๆ เล่นด้วย วัตถุทางสถาปัตยกรรมและการออกแบบ ผลึกธรรมชาติ ไวรัสที่มองเห็นได้ด้วยกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนเท่านั้น ตลอดระยะเวลาหลายพันปีที่พวกมันดำรงอยู่ ปิรามิดได้กลายเป็นสัญลักษณ์ชนิดหนึ่งที่แสดงถึงความปรารถนาของมนุษย์ที่จะไปถึงจุดสุดยอดของความรู้

ในระหว่างการศึกษา เราพบว่าปิรามิดเป็นปรากฏการณ์ที่พบได้ทั่วไปทั่วโลก

เราศึกษาวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ยอดนิยมในหัวข้อการวิจัยตรวจสอบการตีความคำว่า "ปิรามิด" ต่างๆโดยพิจารณาว่าในแง่เรขาคณิตปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี จุดสุดยอดทั่วไป เราศึกษาประเภทของปิรามิด (ปกติ ตัดทอน สี่เหลี่ยม) องค์ประกอบ (อะโพเทม หน้าด้านข้าง ขอบด้านข้าง ปลาย ความสูง ฐาน ส่วนแนวทแยง) และคุณสมบัติของปิรามิดเรขาคณิต เมื่อขอบด้านข้างเท่ากันและเมื่อหันด้านข้าง มีความโน้มเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน เราตรวจสอบทฤษฎีบทที่เชื่อมต่อปิรามิดกับตัวเรขาคณิตอื่นๆ (ทรงกลม กรวย ทรงกระบอก)

เราได้รวมคุณสมบัติของปิรามิดดังต่อไปนี้:

อัตราส่วนของพื้นที่ด้านนอกทั้งหมดของปิรามิดต่อพื้นที่ฐานจะเท่ากับอัตราส่วนทองคำ

การปรากฏตัวในมิติของปิรามิดของอัตราส่วนทองคำ - อัตราส่วนของด้านสองด้านของปิรามิดต่อความสูง - เป็นตัวเลขที่มีมูลค่าใกล้เคียงกับตัวเลข π มากเช่น ปิรามิด Cheops เป็นอนุสาวรีย์ที่ไม่ซ้ำใครซึ่งแสดงถึงศูนย์รวมทางวัตถุของตัวเลข "Pi"

การดำรงอยู่ของระบบภูมิศาสตร์เสี้ยม

เราได้ศึกษา แอปพลิเคชั่นที่ทันสมัยของรูปทรงเรขาคณิตนี้ เราดูว่าปิรามิดและโฮโลแกรมเชื่อมโยงกันอย่างไร และสังเกตว่ารูปร่างปิรามิดนั้นมักพบในธรรมชาติมากที่สุด (พืช ผลึก โมเลกุลมีเทน โครงสร้างของโครงตาข่ายเพชร ฯลฯ) ตลอดการศึกษา เราพบเนื้อหาที่ยืนยันการใช้คุณสมบัติของปิรามิดในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ ในชีวิตประจำวันของผู้คน ในการวิเคราะห์ข้อมูล ในเศรษฐศาสตร์ และในสาขาอื่นๆ อีกมากมาย และพวกเขาก็สรุปได้ว่าบางทีปิรามิดอาจมีจุดประสงค์ที่สูงกว่ามากและมีไว้สำหรับบางสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่าวิธีการใช้งานจริงที่ค้นพบในปัจจุบัน

อ้างอิง.

ฟาน เดอร์ แวร์เดน, บาร์เทล ลีนเดอร์ต. วิทยาศาสตร์ตื่นตัว. คณิตศาสตร์ อียิปต์โบราณบาบิโลนและกรีซ [ข้อความ]/ B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A.V. คณิตศาสตร์และศิลปะ [ข้อความ]/ A.V. Voloshinov - มอสโก: “การตรัสรู้” 2000

ประวัติศาสตร์โลก(สารานุกรมสำหรับเด็ก). [ข้อความ]/ - อ.: “Avanta+”, 1993.

ฮาโลแกรม . [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - บทความบนอินเทอร์เน็ต

เรขาคณิต [ข้อความ]: หนังสือเรียน. เกรด 10 - 11 สำหรับสถาบันการศึกษา Atanasyan L.S. , V.F. Butuzov และอื่น ๆ - ฉบับที่ 22 - อ.: การศึกษา, 2556.

คอปเปน เอฟ. ยุคใหม่ปิรามิด [ข้อความ]/ F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์ [ข้อความ]/ A. M. Prokhorov และคนอื่น ๆ - M .: สารานุกรมโซเวียต, 1988.

Muldashev E.R. ระบบโลกของปิรามิดและอนุสรณ์สถานโบราณวัตถุช่วยเราจากจุดสิ้นสุดของโลก แต่ ... [ข้อความ]/ E.R. Muldashev - M.: "AiF-Print"; อ.: “OLMA-PRESS”; เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: สำนักพิมพ์ "เนวา"; 2546.

Perelman Ya. I. คณิตศาสตร์แสนสนุก [ข้อความ]/ Ya. I. Perelman - M.: Tsentrpoligraf, 2017

ไรชาร์ด จี. ปิรามิดส์. [ข้อความ]/ Hans Reichard - M.: Slovo, 1978

เทอร์รา-พจนานุกรม พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ [ข้อความ]/ - อ.: TERRA, 1998.

Tompkins P. ความลับของมหาปิรามิดแห่ง Cheops [ข้อความ]/ ปีเตอร์ ทอมป์กินส์ - อ.: “Centropolygraph”, 2551

Uvarov V. คุณสมบัติวิเศษของปิรามิด [ข้อความ]/ V. Uvarov - Lenizdat, 2549

Sharygin I.F. เรขาคณิตเกรด 10-11 [ข้อความ]/ I.F. ชารีจิน:. - อ: “การตรัสรู้”, 2000

Yakovenko M. กุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจปิรามิด [แหล่งข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - บทความบนอินเทอร์เน็ต

เรายังคงพิจารณางานที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ต่อไป เราได้ศึกษาปัญหาที่ให้เงื่อนไขไว้แล้ว และจำเป็นต้องค้นหาระยะห่างระหว่างจุดหรือมุมที่กำหนดสองจุด

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยม และมีจุดยอดร่วม

ปิรามิดปกติคือปิรามิดที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติ และจุดยอดของมันถูกฉายไปที่กึ่งกลางของฐาน

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ - ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านบนของปิรามิดถูกฉายไว้ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (สี่เหลี่ยม)

ML - ระยะกึ่งกลาง
∠MLO - มุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด
∠MCO - มุมระหว่างขอบด้านข้างกับระนาบฐานของปิรามิด

ในบทความนี้เราจะดูปัญหาในการแก้ไขปิรามิดปกติ คุณต้องค้นหาองค์ประกอบบางส่วน พื้นที่ผิวด้านข้าง ปริมาตร และความสูง แน่นอนคุณจำเป็นต้องรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด และสูตรการหาปริมาตรของปิรามิด

ในบทความ "" นำเสนอสูตรที่จำเป็นในการแก้ปัญหาในระบบสามมิติ ดังนั้นภารกิจ:

SABCDจุด โอ- ศูนย์กลางของฐานสจุดยอด, ดังนั้น = 51, เอ.ซี.= 136. หาขอบด้านข้างเอส.ซี..

ในกรณีนี้ฐานจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งหมายความว่าเส้นทแยงมุม AC และ BD เท่ากัน โดยตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด โปรดทราบว่าในปิรามิดปกติ ความสูงที่ตกลงมาจากด้านบนจะผ่านจุดศูนย์กลางของฐานปิรามิด SO คือความสูงและสามเหลี่ยมซสี่เหลี่ยม จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

วิธีการสกัดรากจาก จำนวนมาก.

คำตอบ: 85

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ SABCDจุด โอ- ศูนย์กลางของฐาน สจุดยอด, ดังนั้น = 4, เอ.ซี.= 6. หาขอบด้านข้าง เอส.ซี..

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ SABCDจุด โอ- ศูนย์กลางของฐาน สจุดยอด, เอส.ซี. = 5, เอ.ซี.= 6. ค้นหาความยาวของส่วน ดังนั้น.

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ SABCDจุด โอ- ศูนย์กลางของฐาน สจุดยอด, ดังนั้น = 4, เอส.ซี.= 5. ค้นหาความยาวของส่วน เอ.ซี..

สบส ร- ตรงกลางซี่โครง บี.ซี., ส- สูงสุด. เป็นที่ทราบกันว่า เอบี= 7, ก เอส.อาร์.= 16. จงหาพื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและอะโพเทม (apothem คือความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด):

หรืออาจกล่าวได้ว่า พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้ง 3 ด้าน ใบหน้าด้านข้างในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน ในกรณีนี้:

คำตอบ: 168

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สบส ร- ตรงกลางซี่โครง บี.ซี., ส- สูงสุด. เป็นที่ทราบกันว่า เอบี= 1, ก เอส.อาร์.= 2. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้าง

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สบส ร- ตรงกลางซี่โครง บี.ซี., ส- สูงสุด. เป็นที่ทราบกันว่า เอบี= 1 และพื้นที่ผิวด้านข้างคือ 3 จงหาความยาวของเซ็กเมนต์ เอส.อาร์..

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สบส ล- ตรงกลางซี่โครง บี.ซี., ส- สูงสุด. เป็นที่ทราบกันว่า สล= 2 และพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างคือ 3 จงหาความยาวของเซ็กเมนต์ เอบี.

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สบส ม- พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีคือ 25 ปริมาตรของปิรามิดคือ 100 จงหาความยาวของส่วนนั้น นางสาว.

ฐานของปิระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า. นั่นเป็นเหตุผล มเป็นจุดศูนย์กลางของฐาน และนางสาว- ความสูงของปิรามิดปกติสบส- ปริมาตรของปิรามิด สบสเท่ากับ: ดูโซลูชัน

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สบสค่ามัธยฐานของฐานตัดกันที่จุดนั้น ม- พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีเท่ากับ 3, นางสาว= 1. จงหาปริมาตรของปิรามิด

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สบสค่ามัธยฐานของฐานตัดกันที่จุดนั้น ม- ปริมาตรของปิรามิดคือ 1 นางสาว= 1. หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีซี.

มาจบที่นี่กัน อย่างที่คุณเห็น ปัญหาได้รับการแก้ไขในหนึ่งหรือสองขั้นตอน ในอนาคตเราจะพิจารณาปัญหาอื่น ๆ จากส่วนนี้ซึ่งจะมีการมอบร่างการปฏิวัติอย่าพลาด!

ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

พีระมิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15) ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและด้านบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน (รูปที่ 16) ปิระมิดสามเหลี่ยมที่มีขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงด้านข้างของปิระมิดคือด้านของหน้าด้านข้างที่ไม่เป็นฐาน ความสูง พีระมิดคือระยะห่างจากยอดถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง . ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมด เรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิรามิด ขอบด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานเท่ากัน ดังนั้น ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับฐาน

2. หากในปิระมิดขอบด้านข้างทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน ให้ยื่นด้านบนของปิรามิดไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

3. หากใบหน้าทั้งหมดในปิรามิดเอียงไปในระนาบของฐานเท่าๆ กัน ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ สูตรที่ถูกต้องคือ:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ชม– ความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ฮา– ระยะกึ่งกลาง;

ชม- ความสูง;

สเต็มเลย

ด้านเอส

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

วี– ปริมาตรของปิระมิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ เป็นส่วนหนึ่งของปิรามิดปกติที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิระมิด

บริเวณปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน หน้าด้านข้าง – สี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดซึ่งไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนแนวทแยง คือส่วนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 – พื้นที่ฐานบนและล่าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

ชม- ความสูง;

วี– ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ สูตรถูกต้อง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 – เส้นรอบวงของฐาน;

ฮา– ระยะกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ 60° ค้นหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

ปิรามิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าที่ฐานจะมีสามเหลี่ยมด้านเท่าและใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของด้านข้างของพีระมิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นคือมุม กระหว่างสองตั้งฉาก: ฯลฯ ด้านบนของปิรามิดถูกฉายไว้ที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลมและวงกลมที่จารึกไว้ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- มุมเอียงของขอบด้านข้าง (เช่น เอส.บี.) คือมุมระหว่างขอบกับส่วนที่ยื่นออกมาบนระนาบของฐาน สำหรับซี่โครงนั้น เอส.บี.มุมนี้จะเป็นมุม ส.บ- หากต้องการหาแทนเจนต์คุณต้องรู้ขา ดังนั้นและ โอ.บี.- ให้ความยาวของส่วน บีดีเท่ากับ 3 ก- จุด เกี่ยวกับส่วน บีดีแบ่งออกเป็นส่วนๆ และจากที่เราพบ ดังนั้น: จากที่เราพบ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดทอนปกติ หากเส้นทแยงมุมของฐานเท่ากับ ซม. และ ซม. และมีความสูง 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณจะต้องค้นหาด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยมโดยรู้เส้นทแยงมุม ด้านข้างของฐานเท่ากับ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:

คำตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานคือ 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของปิรามิดคือ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ด้านข้างของปิรามิดนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานจะให้ตามเงื่อนไข ไม่ทราบส่วนสูงเท่านั้น เราจะพบเธอจากที่ไหน ก 1 อีตั้งฉากจากจุดหนึ่ง ก 1 บนระนาบฐานล่าง ก 1 ดี– ตั้งฉากจาก ก 1 ต่อ เครื่องปรับอากาศ. ก 1 อี= 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด เพื่อค้นหา เดมาสร้างภาพวาดเพิ่มเติมเพื่อแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพกึ่งกลางฐานบนและล่าง เนื่องจาก (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลง– รัศมีที่จารึกไว้ในวงกลมและ โอม– รัศมีที่เขียนไว้ในวงกลม:

เอ็มเค = DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีฐานอยู่ กและ ข (ก> ข- แต่ละ ขอบด้านข้างสร้างมุมเท่ากับระนาบฐานของปิรามิด เจ- หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้ข้อความที่ว่าถ้าทุกด้านของปิรามิดเอียงไปที่ระนาบของฐานเท่ากัน จุดยอดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม เอสโอดีคือเส้นโครงมุมตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม ซีเอสดีไปจนถึงระนาบของฐาน โดยทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ฉายภาพมุมฉาก รูปร่างแบนเราได้รับ:

หมายความเช่นเดียวกัน ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี- มาวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกัน เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) จุด เกี่ยวกับ– จุดศูนย์กลางของวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ดังนั้น หรือ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี