หรือเรียกสั้น ๆ ว่า - อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชันโดยนัยคืออะไร? เนื่องจากบทเรียนของฉันใช้งานได้จริง ฉันจึงพยายามหลีกเลี่ยงคำจำกัดความและทฤษฎีบท แต่การทำเช่นนี้ในที่นี้จะเหมาะสม ฟังก์ชันคืออะไรล่ะ?

ฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยวคือกฎที่ระบุว่าสำหรับแต่ละค่าของตัวแปรอิสระจะมีค่าฟังก์ชันเพียงค่าเดียวเท่านั้น

ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรอิสระหรือ การโต้แย้ง.
ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรตามหรือ การทำงาน.

พูดโดยประมาณคือมีตัวอักษร "Y" เข้ามา ในกรณีนี้- และมีฟังก์ชั่น

จนถึงตอนนี้เราได้ดูฟังก์ชันที่กำหนดไว้แล้ว ชัดเจนรูปร่าง. มันหมายความว่าอะไร? เรามาดำเนินการซักถามโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า

พิจารณาฟังก์ชัน

เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "เกม" (ฟังก์ชัน) เพียงอย่างเดียวและทางขวา - แค่ "X" เท่านั้น- นั่นก็คือฟังก์ชัน อย่างชัดเจนแสดงผ่านตัวแปรอิสระ

ลองดูฟังก์ชันอื่น:

นี่คือจุดที่ตัวแปรปะปนกัน นอกจากนี้ เป็นไปไม่ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามแสดง "Y" ผ่าน "X" เท่านั้น วิธีการเหล่านี้มีอะไรบ้าง? การโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การย้ายออกจากวงเล็บ การโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน ฯลฯ เขียนความเท่าเทียมกันใหม่และพยายามแสดงตัว "y" อย่างชัดเจน: . คุณสามารถบิดและหมุนสมการได้หลายชั่วโมง แต่คุณจะไม่สำเร็จ

ให้ฉันแนะนำคุณ: - ตัวอย่าง ฟังก์ชันโดยนัย.

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันโดยนัย มีอยู่จริง(แต่ก็ไม่เสมอไป) มันมีกราฟ (เหมือนกับฟังก์ชัน “ปกติ”) ฟังก์ชันโดยนัยเหมือนกันทุกประการ มีอยู่จริงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, อนุพันธ์อันดับสอง, ฯลฯ อย่างที่พวกเขาพูด เคารพสิทธิทั้งหมดของชนกลุ่มน้อยทางเพศ

และในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มันไม่ยากขนาดนั้น! กฎการแยกความแตกต่างทั้งหมด ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นยังคงมีผลใช้บังคับอยู่ ความแตกต่างอยู่ที่จุดแปลกประหลาดจุดหนึ่งซึ่งเราจะพิจารณากันในตอนนี้

ใช่แล้วฉันจะแจ้งข่าวดีให้คุณทราบ - งานที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ดำเนินการตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวดและชัดเจนโดยไม่ต้องใช้หินอยู่หน้าสามแทร็ก

ตัวอย่างที่ 1

1) ในระยะแรกเราแนบลายเส้นทั้งสองส่วน:

2) เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์ (กฎสองข้อแรกของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา):

3) การสร้างความแตกต่างโดยตรง
วิธีแยกความแตกต่างมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ จะทำอย่างไรเมื่อมี "เกม" อยู่ภายใต้จังหวะ?

ถึงขั้นอับอายเลยทีเดียว อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอนุพันธ์ของมัน: .

วิธีแยกแยะ

ที่นี่เรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ทำไม ดูเหมือนว่าใต้ไซน์จะมีตัวอักษร "Y" เพียงตัวเดียว แต่ความจริงก็คือมีตัวอักษร "y" เพียงตัวเดียว - ตัวเองเป็นหน้าที่(ดูคำจำกัดความตอนต้นบทเรียน) ดังนั้นไซน์จึงเป็นฟังก์ชันภายนอกและเป็นฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เราสร้างความแตกต่างให้กับผลิตภัณฑ์ตามกฎปกติ :

โปรดทราบว่า - ก็เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นกัน “เกมที่มีเสียงระฆังและนกหวีด” ใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:

หากมีวงเล็บให้ขยายออก:

4) ทางด้านซ้ายเรารวบรวมคำศัพท์ที่มี "Y" พร้อมด้วยจำนวนเฉพาะ ใน ด้านขวา- โอนอย่างอื่นทั้งหมด:

5) ทางด้านซ้ายเราจะนำอนุพันธ์ออกจากวงเล็บ:

6) และตามกฎของสัดส่วน เราใส่วงเล็บเหล่านี้ลงในตัวส่วนของด้านขวา:

พบอนุพันธ์แล้ว พร้อม.

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามสามารถเขียนใหม่โดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: - และแยกความแตกต่างโดยใช้อัลกอริธึมที่เพิ่งกล่าวถึง ในความเป็นจริงวลี "ฟังก์ชันโดยนัย" และ "ฟังก์ชันโดยนัย" แตกต่างกันในความหมายที่แตกต่างกันนิดหน่อย วลี "ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย" เป็นคำทั่วไปและถูกต้องมากกว่า - ฟังก์ชั่นนี้ระบุไว้โดยปริยาย แต่ที่นี่คุณสามารถแสดง "เกม" และนำเสนอฟังก์ชั่นได้อย่างชัดเจน วลี “ฟังก์ชันโดยนัย” หมายถึงฟังก์ชันโดยนัย “คลาสสิก” เมื่อไม่สามารถแสดง “y” ได้

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

ความสนใจ!คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีที่สองได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์บางส่วนอย่างมั่นใจ ผู้เริ่มเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และกาน้ำชาโปรดอย่าอ่านและข้ามจุดนี้ไปไม่เช่นนั้นหัวของคุณจะเลอะเทอะไปหมด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยโดยใช้วิธีที่สอง

เราโอนข้อกำหนดทั้งหมดไปที่ ด้านซ้าย:

และพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

จากนั้นหาอนุพันธ์ของเราได้โดยใช้สูตร

มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น:

วิธีที่สองช่วยให้คุณสามารถทำการตรวจสอบได้ แต่ไม่แนะนำให้เขียนงานเวอร์ชันสุดท้ายเนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนจะได้รับการเรียนรู้ในภายหลังและนักเรียนที่ศึกษาหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว" ยังไม่ควรรู้อนุพันธ์บางส่วน

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เพิ่มจังหวะทั้งสองส่วน:

เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้น:

การหาอนุพันธ์:

การเปิดวงเล็บทั้งหมด:

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายส่วนที่เหลือ - ไปทางขวา:

ทางด้านซ้ายเราใส่มันออกจากวงเล็บ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่เศษส่วนจะเกิดขึ้นหลังจากการหาอนุพันธ์ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองดูอีกสองตัวอย่าง

บ่อยครั้งมากเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติ (เช่น ในมาตรวิทยาที่สูงขึ้นหรือโฟโตแกรมเมทรีเชิงวิเคราะห์) ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหลายตัวจะปรากฏขึ้น เช่น ข้อโต้แย้ง x, y, z หนึ่งฟังก์ชัน ฉ(x,y,z) ) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรใหม่ ยู วี ดับบลิว ).

สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อเคลื่อนที่จากระบบพิกัดคงที่ อ็อกซิซ เข้าสู่ระบบมือถือ โอ 0 ยูวีดับเบิลยู และกลับมา ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องรู้อนุพันธ์บางส่วนทั้งหมดเกี่ยวกับตัวแปร "คงที่" - "เก่า" และ "เคลื่อนไหว" - "ใหม่" เนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนเหล่านี้มักจะแสดงลักษณะของตำแหน่งของวัตถุในระบบพิกัดเหล่านี้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่งผลต่อความสอดคล้องของภาพถ่ายทางอากาศกับวัตถุจริง ในกรณีเช่นนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

นั่นคือให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนมา ต ตัวแปร "ใหม่" สามตัว ยู วี ดับบลิว ผ่านตัวแปร "เก่า" สามตัว x, y, z, แล้ว:

ความคิดเห็น อาจมีการเปลี่ยนแปลงจำนวนตัวแปร ตัวอย่างเช่น: ถ้า

โดยเฉพาะถ้า z = ฉ(xy), y = y(x) จากนั้นเราจะได้สูตรที่เรียกว่า "อนุพันธ์รวม":

สูตรเดียวกันสำหรับ “อนุพันธ์รวม” ในกรณีของ:

จะอยู่ในรูปแบบ:

สูตรอื่นๆ (1.27) - (1.32) ก็สามารถทำได้เช่นกัน

หมายเหตุ: สูตร "อนุพันธ์รวม" ใช้ในหลักสูตรฟิสิกส์หัวข้อ "อุทกพลศาสตร์" เมื่อได้รับระบบพื้นฐานของสมการการเคลื่อนที่ของของไหล

ตัวอย่าง 1.10. ที่ให้ไว้:

ตาม (1.31):

§7 อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายของตัวแปรหลายตัว

ดังที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันที่ระบุโดยนัยของตัวแปรหนึ่งตัวถูกกำหนดไว้ดังนี้: ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x เรียกว่าโดยปริยายหากได้รับจากสมการที่ไม่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพ ย :

ตัวอย่างที่ 1.11

สมการ

ระบุสองฟังก์ชันโดยปริยาย:

และสมการ

ไม่ได้ระบุฟังก์ชันใดๆ

ทฤษฎีบท 1.2 (การดำรงอยู่ของฟังก์ชันโดยนัย)

ให้ฟังก์ชัน z =ฉ(x,y) และอนุพันธ์ย่อยของมัน ฉ" x และ ฉ" ย กำหนดและต่อเนื่องในบางพื้นที่ คุณ M0 คะแนน ม 0 (x 0 ย 0 ) - นอกจาก, ฉ(x 0 ,ย 0 )=0 และ ฉ"(x 0 ,ย 0 )≠0 จากนั้นสมการ (1.33) จะกำหนดในบริเวณใกล้เคียง คุณ M0 ฟังก์ชันโดยนัย y=y(x) ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง ดี มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง x 0 , และ ใช่(x 0 )=ป 0 .

ไม่มีข้อพิสูจน์

จากทฤษฎีบท 1.2 จะได้ตามนั้นในช่วงเวลานี้ ดี :

นั่นก็คือมีตัวตนอยู่ในนั้น

โดยหาอนุพันธ์ “ผลรวม” ตามข้อ (1.31)

นั่นคือ (1.35) ให้สูตรการหาอนุพันธ์โดยปริยาย ฟังก์ชันที่กำหนดตัวแปรหนึ่ง x .

ฟังก์ชันโดยนัยของตัวแปรสองตัวขึ้นไปถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

เช่นหากเป็นบางพื้นที่ วี ช่องว่าง อ็อกซิซ สมการต่อไปนี้ถือเป็น:

จากนั้นภายใต้เงื่อนไขบางประการของฟังก์ชัน เอฟ มันกำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย

นอกจากนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.35) จะพบอนุพันธ์ย่อยได้ดังนี้

เราจะเรียนรู้ที่จะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย กล่าวคือ ระบุโดยสมการบางตัวที่เชื่อมโยงตัวแปร xและ ย- ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

,

,

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยนั้นพบได้ค่อนข้างง่าย ตอนนี้เรามาดูกฎและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกัน แล้วดูว่าเหตุใดจึงจำเป็น

เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย คุณต้องแยกแยะทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพกับ x เงื่อนไขที่มีเพียง X เท่านั้นจะกลายเป็นอนุพันธ์ตามปกติของฟังก์ชันจาก X และเงื่อนไขของเกมจะต้องสร้างความแตกต่างโดยใช้กฎสำหรับแยกฟังก์ชันที่ซับซ้อน เนื่องจากเกมเป็นฟังก์ชันของ X พูดง่ายๆ ก็คือ อนุพันธ์ที่เป็นผลลัพธ์ของเทอมที่มี x ควรให้ผลลัพธ์เป็น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจาก y คูณด้วยอนุพันธ์จาก y ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของคำจะเขียนเป็น อนุพันธ์ของคำจะเขียนเป็น ถัดไปจากทั้งหมดนี้คุณต้องแสดง "จังหวะเกม" นี้และจะได้รับอนุพันธ์ที่ต้องการของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย ลองดูตัวอย่างนี้ด้วย

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพกับ x โดยสมมติว่า i เป็นฟังก์ชันของ x:

จากที่นี่เราจะได้อนุพันธ์ที่จำเป็นในงาน:

ตอนนี้มีบางอย่างเกี่ยวกับคุณสมบัติที่ไม่ชัดเจนของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย และเหตุใดจึงจำเป็นต้องมีกฎพิเศษสำหรับการสร้างความแตกต่าง ในบางกรณี คุณสามารถมั่นใจได้ว่าการแทนที่นิพจน์ในรูปของ x ลงในสมการที่กำหนด (ดูตัวอย่างด้านบน) แทนที่จะเป็น y จะทำให้สมการนี้กลายเป็นเอกลักษณ์ได้ ดังนั้น. สมการข้างต้นกำหนดฟังก์ชันต่อไปนี้โดยปริยาย:

หลังจากแทนนิพจน์สำหรับเกมกำลังสองผ่าน x ลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัว:

.

สำนวนที่เราทดแทนได้มาจากการแก้สมการของเกม

หากเราต้องแยกความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันชัดแจ้งที่เกี่ยวข้อง

จากนั้นเราจะได้คำตอบตามตัวอย่างที่ 1 - จากฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

แต่ไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายจะสามารถแสดงในรูปแบบได้ ย = ฉ(x) - ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย

ไม่ได้แสดงผ่านฟังก์ชันเบื้องต้น นั่นคือ สมการเหล่านี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่อเกม ดังนั้นจึงมีกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย ซึ่งเราได้ศึกษาไปแล้วและจะนำไปใช้ในตัวอย่างนี้ต่อไปอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

.

เราแสดงค่าเฉพาะและ - ที่เอาต์พุต - อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

.

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพ x:

.

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

.

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพ x:

.

เราแสดงและรับอนุพันธ์:

.

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

สารละลาย. เราย้ายเงื่อนไขทางด้านขวาของสมการไปทางซ้ายและปล่อยศูนย์ไว้ทางด้านขวา เราแยกทั้งสองข้างของสมการด้วยความเคารพ x

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในใจของเราภาพของฟังก์ชันมีความเกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมกันและเส้นที่เกี่ยวข้อง - กราฟของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น - การพึ่งพาการทำงานซึ่งมีกราฟอยู่ พาราโบลากำลังสองมีจุดยอดที่จุดเริ่มต้นและกิ่งก้านชี้ขึ้น เป็นฟังก์ชันไซน์ที่รู้จักในเรื่องคลื่น

ในตัวอย่างเหล่านี้ ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือ y และด้านขวาคือนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ x กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้แก้สมการสำหรับ y แล้ว เป็นตัวแทนของการพึ่งพาการทำงานในรูปแบบของการแสดงออกดังกล่าวเรียกว่า โดยระบุฟังก์ชันไว้อย่างชัดเจน(หรือ ทำหน้าที่อย่างชัดเจน- และการกำหนดฟังก์ชันประเภทนี้เป็นสิ่งที่เราคุ้นเคยมากที่สุด ในตัวอย่างและปัญหาส่วนใหญ่ เราจะนำเสนอด้วยฟังก์ชันที่ชัดเจน เราได้พูดคุยในรายละเอียดเกี่ยวกับความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งที่ระบุไว้อย่างชัดเจนแล้ว

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันแสดงถึงความสอดคล้องระหว่างชุดของค่า x และชุดของค่า y และการติดต่อกันนี้ไม่จำเป็นต้องสร้างขึ้นโดยสูตรหรือนิพจน์เชิงวิเคราะห์ใด ๆ นั่นคือมีหลายวิธีในการระบุฟังก์ชันนอกเหนือจากฟังก์ชันปกติ

ในบทความนี้เราจะดูที่ ฟังก์ชันโดยนัยและวิธีการค้นหาอนุพันธ์ของพวกมัน- ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย ได้แก่ หรือ

ดังที่คุณสังเกตเห็น ฟังก์ชันโดยนัยถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ แต่ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ไม่ใช่ทั้งหมดที่จะกำหนดฟังก์ชันได้ เช่น ไม่มีคู่ ตัวเลขจริง x และ y ไม่เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์นี้จึงไม่ได้ระบุฟังก์ชันโดยนัย

มันสามารถกำหนดกฎของการโต้ตอบระหว่างปริมาณ x และ y โดยปริยายและแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ x สามารถสอดคล้องกับค่าใดค่าหนึ่ง (ในกรณีนี้เรามีฟังก์ชันค่าเดียว) หรือค่าหลายค่าของฟังก์ชัน (ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าหลายค่า) ตัวอย่างเช่น ค่า x = 1 สอดคล้องกับค่าจริงสองค่า y = 2 และ y = -2 ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย

การนำฟังก์ชันโดยนัยมาเป็นรูปแบบที่ชัดเจนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป ไม่เช่นนั้นก็ไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยนัยด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น, - ไม่ได้แปลงเป็นรูปแบบที่ชัดเจน แต่ - ถูกแปลง

ตอนนี้ถึงจุดแล้ว

ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย จำเป็นต้องแยกแยะทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ x โดยพิจารณาว่า y เป็นฟังก์ชันของ x แล้วจึงแสดงออก

การสร้างความแตกต่างของนิพจน์ที่มี x และ y(x) ดำเนินการโดยใช้กฎการหาอนุพันธ์และกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เรามาดูตัวอย่างโดยละเอียดกันทันทีเพื่อไม่ให้มีคำถามเพิ่มเติม

ตัวอย่าง.

แยกแยะการแสดงออก ใน x โดยพิจารณา y เป็นฟังก์ชันของ x

สารละลาย.

เพราะ y เป็นฟังก์ชันของ x แล้วก็เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน สามารถเขียนแทนตามอัตภาพเป็น f(g(x)) โดยที่ f คือฟังก์ชันลูกบาศก์ และ g(x) = y จากนั้น ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้: .

เมื่อแยกแยะนิพจน์ที่สอง เราจะนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และดำเนินการเหมือนในกรณีก่อนหน้า (โดยที่ f คือฟังก์ชันไซน์ g(x) = y):

สำหรับนิพจน์ที่สาม เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

เมื่อใช้กฎอย่างต่อเนื่อง เราจะแยกแยะนิพจน์สุดท้าย:

ตอนนี้คุณสามารถไปยังการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายได้ เพราะคุณมีความรู้ทั้งหมดแล้ว

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย

สารละลาย.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัยจะแสดงเป็นนิพจน์ที่มี x และ y เสมอ: เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้ เราจะแยกความแตกต่างของความเสมอภาคทั้งสองด้าน:

ให้เราแก้สมการผลลัพธ์ด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์:

คำตอบ:

.

ความคิดเห็น

หากต้องการรวมวัสดุ เรามาแก้ตัวอย่างอื่นกัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

ในบทความนี้เราจะดูงานทั่วไปอีกสองงานที่มักพบ การทดสอบในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง เพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้สำเร็จ คุณจะต้องสามารถค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างน้อยก็ในระดับกลาง คุณสามารถเรียนรู้ที่จะค้นหาอนุพันธ์ได้จริงตั้งแต่เริ่มต้นในบทเรียนพื้นฐานสองบทและ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- หากทักษะการสร้างความแตกต่างของคุณโอเค ลุยเลย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย

หรือเรียกสั้นๆ ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชันโดยนัยคืออะไร? ก่อนอื่น เรามาจำคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งกันก่อน:

ฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยวเป็นกฎเกณฑ์ที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน

ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรอิสระหรือ การโต้แย้ง.
ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรตามหรือ การทำงาน .

จนถึงตอนนี้เราได้ดูฟังก์ชันที่กำหนดไว้แล้ว ชัดเจนรูปร่าง. มันหมายความว่าอะไร? เรามาดำเนินการซักถามโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า

พิจารณาฟังก์ชัน

เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "ผู้เล่น" คนเดียวและทางขวา - แค่ "X" เท่านั้น- นั่นก็คือฟังก์ชัน อย่างชัดเจนแสดงผ่านตัวแปรอิสระ

ลองดูฟังก์ชันอื่น:

นี่คือจุดที่ตัวแปรปะปนกัน นอกจากนี้ เป็นไปไม่ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามแสดง "Y" ผ่าน "X" เท่านั้น วิธีการเหล่านี้มีอะไรบ้าง? การโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การย้ายออกจากวงเล็บ การโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน ฯลฯ เขียนความเท่าเทียมกันใหม่และพยายามแสดงตัว "y" อย่างชัดเจน: . คุณสามารถบิดและหมุนสมการได้หลายชั่วโมง แต่คุณจะไม่สำเร็จ

ให้ฉันแนะนำคุณ: – ตัวอย่าง ฟังก์ชันโดยนัย.

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันโดยนัย มีอยู่จริง(แต่ก็ไม่เสมอไป) มันมีกราฟ (เหมือนกับฟังก์ชัน “ปกติ”) ฟังก์ชันโดยนัยเหมือนกันทุกประการ มีอยู่จริงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, อนุพันธ์อันดับสอง, ฯลฯ อย่างที่พวกเขาพูด เคารพสิทธิทั้งหมดของชนกลุ่มน้อยทางเพศ

และในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มันไม่ยากขนาดนั้น! กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานยังคงมีผลใช้บังคับ ความแตกต่างอยู่ที่จุดแปลกประหลาดจุดหนึ่งซึ่งเราจะพิจารณากันในตอนนี้

ใช่แล้วฉันจะแจ้งข่าวดีให้คุณทราบ - งานที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ดำเนินการตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวดและชัดเจนโดยไม่ต้องใช้หินอยู่หน้าสามแทร็ก

ตัวอย่างที่ 1

1) ในระยะแรกเราแนบลายเส้นทั้งสองส่วน:

2) เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์ (กฎสองข้อแรกของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา):

3) การสร้างความแตกต่างโดยตรง
วิธีแยกความแตกต่างมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ จะทำอย่างไรเมื่อมี "เกม" อยู่ภายใต้จังหวะ?

- ถึงขั้นอัปยศอดสู อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอนุพันธ์ของมัน: .

วิธีแยกแยะ
ที่นี่เรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ทำไม ดูเหมือนว่าใต้ไซน์จะมีตัวอักษร "Y" เพียงตัวเดียว แต่ความจริงก็คือมีตัวอักษร "y" เพียงตัวเดียว - ตัวเองเป็นหน้าที่(ดูคำจำกัดความตอนต้นบทเรียน) ดังนั้นไซน์จึงเป็นฟังก์ชันภายนอกและเป็นฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เราสร้างความแตกต่างให้กับผลิตภัณฑ์ตามกฎปกติ :

โปรดทราบว่า – ก็เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นกัน “เกมที่มีเสียงระฆังและนกหวีด” ใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:


หากมีวงเล็บให้ขยายออก:

4) ทางด้านซ้ายเรารวบรวมคำศัพท์ที่มี "Y" พร้อมด้วยจำนวนเฉพาะ ย้ายทุกอย่างไปทางด้านขวา:

5) ทางด้านซ้ายเราจะนำอนุพันธ์ออกจากวงเล็บ:

6) และตามกฎของสัดส่วน เราใส่วงเล็บเหล่านี้ลงในตัวส่วนของด้านขวา:

พบอนุพันธ์แล้ว พร้อม.

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามสามารถเขียนใหม่โดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: - และแยกความแตกต่างโดยใช้อัลกอริธึมที่เพิ่งกล่าวถึง ในความเป็นจริงวลี "ฟังก์ชันโดยนัย" และ "ฟังก์ชันโดยนัย" แตกต่างกันในความหมายที่แตกต่างกันนิดหน่อย วลี "ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย" เป็นคำทั่วไปและถูกต้องมากกว่า – ฟังก์ชั่นนี้ระบุไว้โดยปริยาย แต่ที่นี่คุณสามารถแสดง “เกม” และนำเสนอฟังก์ชั่นได้อย่างชัดเจน วลี “ฟังก์ชันโดยนัย” หมายถึงฟังก์ชันโดยนัย “คลาสสิก” เมื่อไม่สามารถแสดง “y” ได้

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

ความสนใจ!คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีที่สองได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้วิธีค้นหาอย่างมั่นใจ อนุพันธ์บางส่วน- ขอมือใหม่แคลคูลัสและมือใหม่หน่อยครับ อย่าอ่านและข้ามจุดนี้ไม่อย่างนั้นหัวคุณจะเละเทะไปหมด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยโดยใช้วิธีที่สอง

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

และพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

จากนั้นหาอนุพันธ์ของเราได้โดยใช้สูตร
มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น:

วิธีที่สองช่วยให้คุณสามารถทำการตรวจสอบได้ แต่ไม่แนะนำให้เขียนงานเวอร์ชันสุดท้ายเนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนจะได้รับการเรียนรู้ในภายหลังและนักเรียนที่ศึกษาหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว" ยังไม่ควรรู้อนุพันธ์บางส่วน

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เพิ่มจังหวะทั้งสองส่วน:

เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้น:

การหาอนุพันธ์:

การเปิดวงเล็บทั้งหมด:

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย ส่วนที่เหลือไปทางขวา:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่เศษส่วนจะเกิดขึ้นหลังจากการหาอนุพันธ์ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองดูอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีดและใช้กฎความเป็นเส้นตรง:

แยกความแตกต่างโดยใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน และกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร :

การขยายวงเล็บ:

ตอนนี้เราต้องกำจัดเศษส่วนออก. ซึ่งสามารถทำได้ในภายหลัง แต่มีเหตุผลมากกว่าที่จะทำทันที ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วย คูณ บน . โดยรายละเอียดจะมีลักษณะดังนี้:

บางครั้งหลังจากการแยกความแตกต่าง 2-3 เศษส่วนจะปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเรามีเศษส่วนอีกตัวหนึ่ง ก็ต้องดำเนินการซ้ำ - คูณ แต่ละเทอมของแต่ละส่วนบน

ทางด้านซ้ายเราใส่มันออกจากวงเล็บ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- สิ่งเดียวก็คือก่อนที่คุณจะกำจัดเศษส่วน คุณจะต้องกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วนเสียก่อน เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

อย่าเครียด ทุกอย่างในย่อหน้านี้ก็ค่อนข้างง่ายเช่นกัน คุณสามารถเขียนสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ได้ แต่เพื่อให้ชัดเจน ผมจะเขียนตัวอย่างเฉพาะเจาะจงทันที ในรูปแบบพาราเมตริก ฟังก์ชันจะได้รับจากสมการสองสมการ: บ่อยครั้งที่สมการไม่ได้เขียนอยู่ใต้วงเล็บปีกกา แต่เขียนตามลำดับ: , .

ตัวแปรนี้เรียกว่าพารามิเตอร์และสามารถนำค่าจาก “ลบอนันต์” ไปเป็น “บวกอนันต์” ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาค่าและแทนที่ลงในสมการทั้งสอง: - หรือในแง่มนุษย์: “ถ้า x เท่ากับสี่ แล้ว y ก็เท่ากับหนึ่ง” บน ประสานงานเครื่องบินคุณสามารถทำเครื่องหมายจุดได้ และจุดนี้จะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาจุดสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ “te” ได้ สำหรับฟังก์ชัน "ปกติ" สำหรับชาวอเมริกันอินเดียนของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพาราเมตริก สิทธิ์ทั้งหมดก็ได้รับการเคารพเช่นกัน: คุณสามารถสร้างกราฟ ค้นหาอนุพันธ์ ฯลฯ อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณสามารถใช้โปรแกรมของฉันได้

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เป็นไปได้ที่จะแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน ให้เราแสดงพารามิเตอร์จากสมการแรก: – และแทนลงในสมการที่สอง: - ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันลูกบาศก์ธรรมดา

ในกรณีที่ "รุนแรง" มากขึ้น เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้ผล แต่มันไม่สำคัญเพราะมีสูตรสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก:

เราพบอนุพันธ์ของ "เกมที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร te":

กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์นั้นใช้ได้สำหรับตัวอักษร ดังนั้น ไม่มีความแปลกใหม่ในกระบวนการค้นหาอนุพันธ์- เพียงแทนที่ "X's" ทั้งหมดในตารางด้วยตัวอักษร "Te"

เราค้นหาอนุพันธ์ของ “x เทียบกับตัวแปร te”:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตรของเรา:

พร้อม. อนุพันธ์ก็ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เช่นเดียวกับฟังก์ชันนั่นเอง

สำหรับสัญลักษณ์ แทนที่จะเขียนลงในสูตร เราสามารถเขียนมันได้โดยไม่ต้องมีตัวห้อย เนื่องจากนี่คืออนุพันธ์ "ปกติ" "เทียบกับ X" แต่ในวรรณคดีมีตัวเลือกอยู่เสมอ ดังนั้นฉันจะไม่เบี่ยงเบนไปจากมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 6

เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

ดังนั้น:

คุณลักษณะพิเศษในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริกก็คือข้อเท็จจริงที่ว่า ในแต่ละขั้นตอนจะเป็นประโยชน์ในการลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ให้มากที่สุด- ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา เมื่อฉันพบมัน ฉันจึงเปิดวงเล็บใต้รูต (แม้ว่าฉันอาจจะไม่ได้ทำเช่นนี้ก็ตาม) มีโอกาสดีที่เมื่อนำมาแทนสูตรหลายอย่างจะลดลงไปด้วยดี แม้ว่าแน่นอนว่ายังมีตัวอย่างที่มีคำตอบเงอะงะอยู่บ้าง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ในบทความ ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์เราดูตัวอย่างที่เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณยังสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ซึ่งพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: เห็นได้ชัดว่าในการหาอนุพันธ์อันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งก่อน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์อันดับแรกกันก่อน
เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตร เพื่อให้เข้าใจง่าย เราใช้สูตรตรีโกณมิติ: