ปริซึม ความหมายของปริซึม ปริมาตรของปริซึมตรงและเอียง

ความสามารถในการกำหนดปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและการปฏิบัติ รูปหนึ่งคือปริซึม ในบทความนี้ เราจะมาดูว่ามันคืออะไรและแสดงวิธีคำนวณปริมาตรของปริซึมแบบเอียง

ปริซึมในเรขาคณิตหมายถึงอะไร?

เรากำลังพูดถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (รูปทรงหลายเหลี่ยม) ซึ่งถูกสร้างขึ้นโดยฐานที่เหมือนกันสองฐานที่อยู่ในระนาบขนานและสี่เหลี่ยมด้านขนานหลายอันที่เชื่อมต่อฐานที่ทำเครื่องหมายไว้

ฐานของปริซึมสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ตามได้ เช่น สามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปเจ็ดเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้ จำนวนมุม (ด้าน) ของรูปหลายเหลี่ยมจะกำหนดชื่อของรูปหลายเหลี่ยม

ปริซึมใดๆ ที่มี n-gon อยู่ที่ฐาน (n คือจำนวนด้าน) ประกอบด้วยด้าน n+2 ด้าน จุดยอด 2 × n และขอบ 3 × n จากตัวเลขที่ให้มา จะเห็นได้ชัดว่าจำนวนองค์ประกอบของปริซึมสอดคล้องกับทฤษฎีบทของออยเลอร์:

3 × n = 2 × n + n + 2 - 2

ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นว่าปริซึมสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมที่ทำจากแก้วมีลักษณะอย่างไร

ประเภทของรูป ปริซึมเฉียง

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นว่าชื่อของปริซึมนั้นถูกกำหนดโดยจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน อย่างไรก็ตาม มีคุณสมบัติอื่นในโครงสร้างที่กำหนดคุณสมบัติของรูปภาพ ดังนั้น หากสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่สร้างพื้นผิวด้านข้างของปริซึมแสดงด้วยสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง สำหรับระยะห่างระหว่างฐานจะเท่ากับความยาวของขอบด้านข้างของสี่เหลี่ยมใดๆ

ถ้าบางส่วนหรือทั้งหมด ด้านข้างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วเรากำลังพูดถึงปริซึมเอียง ความสูงของมันจะน้อยกว่าความยาวของซี่โครงด้านข้างอยู่แล้ว

เกณฑ์อีกประการหนึ่งในการจัดประเภทตัวเลขที่เป็นปัญหาคือความยาวของด้านข้างและมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน หากเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมจะเป็นปกติ รูปตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานเรียกว่ารูปปกติ สะดวกในการกำหนดพื้นที่ผิวและปริมาตร ปริซึมเฉียงในเรื่องนี้ทำให้เกิดความยากลำบากบางประการ

รูปด้านล่างแสดงปริซึมสองตัวที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม มุม 90° แสดงความแตกต่างพื้นฐานระหว่างปริซึมตรงและปริซึมเอียง

สูตรกำหนดปริมาตรของรูป

ส่วนของช่องว่างที่หน้าปริซึมจำกัดเรียกว่าปริมาตร สำหรับตัวเลขประเภทใดก็ตามที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ค่านี้สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ในที่นี้สัญลักษณ์ h แสดงถึงความสูงของปริซึม ซึ่งเป็นหน่วยวัดระยะห่างระหว่างฐานสองฐาน สัญลักษณ์ S o - พื้นที่ฐานเดียว

พื้นที่ฐานก็หาง่าย เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นสม่ำเสมอหรือไม่ และยังทราบจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้วย จึงควรใช้สูตรที่เหมาะสมและรับ S o ตัวอย่างเช่น สำหรับเอ็นกอนปกติที่มีความยาวด้าน a พื้นที่จะเป็น:

S n = n / 4 × a 2 × ctg (ไพ / n)

ทีนี้มาดูความสูง h กัน สำหรับปริซึมตรง การกำหนดความสูงไม่ใช่เรื่องยาก แต่สำหรับปริซึมแบบเอียงนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเรขาคณิตต่างๆ โดยเริ่มจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจง ยังไงก็มี วิธีการสากลการกำหนดความสูงของร่าง มาอธิบายสั้น ๆ กัน

แนวคิดคือการหาระยะทางจากจุดหนึ่งในอวกาศถึงระนาบ สมมติว่าเครื่องบินได้รับจากสมการ:

A × x+ B × y + C × z + D = 0

จากนั้นเครื่องบินจะอยู่ห่างจากจุดที่มีพิกัด (x 1 ; y 1 ; z 1):

h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (ก 2 + ข 2 + ค 2)

ถ้าแกนพิกัดอยู่ในตำแหน่งที่จุด (0; 0; 0) อยู่ในระนาบของฐานล่างของปริซึม สมการสำหรับระนาบฐานสามารถเขียนได้ดังนี้

ซึ่งหมายความว่าสูตรความสูงจะถูกเขียนดังนี้:

แค่หาพิกัด z ของจุดใดๆ บนฐานด้านบนเพื่อกำหนดความสูงของรูปก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ในรูปด้านล่าง ฐานของปริซึมเอียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 10 ซม. จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรหากทราบว่าความยาวของขอบด้านข้างคือ 15 ซม. และ มุมแหลมสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านหน้าคือ 70°

เนื่องจากความสูง h ของรูปคือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย เราจึงใช้สูตรในการกำหนดพื้นที่เพื่อหา h ให้เราแสดงด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนี้:

จากนั้นคุณสามารถเขียนสูตรต่อไปนี้เพื่อกำหนดพื้นที่ S p:

S p = a × b × sin (α);

เราได้มาจากไหน:

โดยที่ α คือมุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมเอียงจึงมีรูปแบบดังนี้

V = a 2 × b × sin (α)

เราแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขลงในสูตรแล้วได้คำตอบ: V µ 1410 cm 3

ปริมาตรของปริซึมเอียง

ปริซึมทั้งหมดแบ่งออกเป็น ตรง และ โน้มเอียง .

ปริซึมตรง, ฐาน

ซึ่งทำหน้าที่ถูกต้อง

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า

ถูกต้อง ปริซึม.

คุณสมบัติของปริซึมปกติ:

1. ฐานของปริซึมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ 2. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมปกติจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน 3. ขอบด้านข้างของปริซึมปกติจะเท่ากัน .

หน้าตัดปริซึม

ส่วนตั้งฉากของปริซึมคือส่วนที่เกิดจากระนาบที่ตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

พื้นผิวด้านข้างของปริซึมเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของส่วนตั้งฉากและความยาวของขอบด้านข้าง

S b =P orth.section C

1. ระยะห่างระหว่างซี่โครงเอียง

ปริซึมสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ: 2 ซม., 3 ซม. และ 4 ซม

พื้นผิวด้านข้างของปริซึมคือ 45 ซม 2 . ค้นหาขอบด้านข้าง

สารละลาย:

ในส่วนตั้งฉากของปริซึมจะมีรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีเส้นรอบรูปเท่ากับ 2+3+4=9

ซึ่งหมายความว่าขอบด้านข้างเท่ากับ 45:9 = 5 (ซม.)

ค้นหาองค์ประกอบที่ไม่รู้จัก

สามเหลี่ยมปกติ

ปริซึม

ตามองค์ประกอบที่ระบุในตาราง

คำตอบ

ขอบคุณสำหรับบทเรียน

การบ้าน.

ปริมาตรเป็นคุณลักษณะของตัวเลขใดๆ ที่มีมิติที่ไม่เป็นศูนย์ในปริภูมิทั้งสามมิติ ในบทความนี้ จากมุมมองของสเตอริโอเมทรี (เรขาคณิตของตัวเลขเชิงพื้นที่) เราจะดูปริซึมและแสดงวิธีหาปริมาตรของปริซึมประเภทต่างๆ

Stereometry มีคำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถามนี้ ในนั้นปริซึมเข้าใจได้ว่าเป็นรูปที่เกิดจากใบหน้าที่มีรูปหลายเหลี่ยมเหมือนกันสองหน้าและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลายรูป ภาพด้านล่างแสดงปริซึมที่แตกต่างกันสี่อัน

แต่ละอันสามารถรับได้ดังนี้: คุณต้องใช้รูปหลายเหลี่ยม (สามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ ) และส่วนของความยาวที่กำหนด จากนั้นแต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมควรถูกถ่ายโอนโดยใช้ส่วนขนานไปยังระนาบอื่น ในระนาบใหม่ซึ่งจะขนานกับระนาบเดิม จะได้รูปหลายเหลี่ยมใหม่คล้ายกับที่เลือกไว้ในตอนแรก

ปริซึมสามารถมีได้หลายประเภท ดังนั้นจึงสามารถตรง เอียง และสม่ำเสมอได้ หากขอบด้านข้างของปริซึม (ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของฐาน) ตั้งฉากกับฐานของรูป แสดงว่าส่วนหลังนั้นตั้งตรง ดังนั้น หากไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ เรากำลังพูดถึงปริซึมแบบเอียง รูปปกติคือปริซึมตรงที่มีฐานด้านเท่าและมีฐานด้านเท่า

ปริมาตรของปริซึมปกติ

เริ่มจากจุดเริ่มต้นกันก่อน กรณีง่ายๆ- ให้เราบอกสูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมปกติที่มีฐาน n เหลี่ยม สูตรปริมาตร V สำหรับรูปใด ๆ ของคลาสที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีรูปแบบดังต่อไปนี้:

นั่นคือเพื่อกำหนดปริมาตรก็เพียงพอที่จะคำนวณพื้นที่ของฐานใดฐานหนึ่ง S o แล้วคูณด้วยความสูง h ของรูป

ในกรณีของปริซึมปกติ เราจะระบุความยาวของด้านข้างของฐานด้วยตัวอักษร a และความสูงซึ่งเท่ากับความยาวของขอบด้านข้างด้วยตัวอักษร h หากฐานเป็น n-gon ปกติ ในการคำนวณพื้นที่ จะง่ายที่สุดในการใช้สูตรสากลต่อไปนี้:

S n = n/4*a2*ctg(ไพ/n)

ด้วยการแทนจำนวนด้าน n และความยาวของด้าน a ลงในสมการ คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของฐาน n เหลี่ยมได้ โปรดทราบว่าฟังก์ชันโคแทนเจนต์ที่นี่คำนวณสำหรับมุม pi/n ซึ่งแสดงเป็นเรเดียน

เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันที่เขียนสำหรับ S n เราจะได้สูตรสุดท้ายสำหรับปริมาตรของปริซึมปกติ:

Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n)

สำหรับแต่ละกรณี คุณสามารถเขียนสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับ V ได้ แต่สูตรทั้งหมดเป็นไปตามนิพจน์ทั่วไปที่เขียนไว้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะได้:

โวลต์ 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h

หากเราใช้ h=a ในนิพจน์นี้ เราจะได้สูตรสำหรับปริมาตรของลูกบาศก์

ปริมาตรของปริซึมตรง

ให้เราทราบทันทีว่าสำหรับตัวเลขตรงนั้นไม่มีสูตรทั่วไปในการคำนวณปริมาตรซึ่งระบุไว้ข้างต้นสำหรับปริซึมปกติ เมื่อค้นหาค่าที่กำลังพิจารณา ควรใช้นิพจน์ดั้งเดิม:

โดยที่ h คือความยาวของขอบด้านข้าง ดังเช่นในกรณีก่อนหน้า ส่วนพื้นที่ฐาน ส o สามารถรับได้มากที่สุด ความหมายที่แตกต่างกัน- ปัญหาในการคำนวณปริมาตรของปริซึมตรงลงมาเพื่อหาพื้นที่ฐาน

การคำนวณค่าของ S o ควรดำเนินการตามลักษณะของฐานนั้นเอง ตัวอย่างเช่น หากเป็นรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ก็คำนวณได้ดังนี้

โดยที่ h a คือเส้นตั้งฉากของสามเหลี่ยม นั่นคือ ความสูงลดลงถึงฐาน a

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ก็อาจเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยม หรือรูปแบบใดก็ได้ ในกรณีทั้งหมดนี้ คุณควรใช้สูตรการวางแผนระนาบที่เหมาะสมเพื่อกำหนดพื้นที่ ตัวอย่างเช่น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู สูตรนี้จะมีลักษณะดังนี้:

S o4 = 1/2*(ก 1 + ก 2)*ชม.

โดยที่ h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู โดย 1 และ 2 คือความยาวของด้านขนานกัน

เพื่อกำหนดพื้นที่สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีขนาดใหญ่กว่า ลำดับสูงควรจะแบ่งออกเป็น ตัวเลขง่ายๆ(สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม) และคำนวณผลรวมของพื้นที่หลัง

ปริมาตรของปริซึมที่เอียง

นี่เป็นกรณีที่ยากที่สุดในการคำนวณปริมาตรของปริซึม สูตรทั่วไปสำหรับตัวเลขดังกล่าวยังใช้:

อย่างไรก็ตามความยากลำบากในการค้นหาพื้นที่ของฐานที่เป็นตัวแทนของรูปหลายเหลี่ยมชนิดใด ๆ จะถูกเพิ่มเข้าไปในปัญหาในการกำหนดความสูงของรูป ในปริซึมแบบเอียงจะมีความยาวน้อยกว่าความยาวของขอบด้านข้างเสมอ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาความสูงนี้คือ ถ้าทราบมุมใดๆ ของรูป (แบนหรือไดฮีดรัล) หากให้มุมดังกล่าวมา คุณควรใช้มุมนั้นสร้างภายในปริซึม สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งจะมีความสูง h เป็นด้านใดด้านหนึ่งและใช้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงหาค่าของ h

ปัญหาเรขาคณิตเพื่อกำหนดปริมาตร

เมื่อพิจารณาจากปริซึมปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม มีความสูง 14 เซนติเมตร และด้านยาวด้านละ 5 เซนติเมตร มีปริมาตรเท่าใด

เนื่องจากเราจะพูดถึง รูปร่างที่ถูกต้องเราก็มีสิทธิใช้สูตรที่รู้ๆ กัน เรามี:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(ไพ/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151.55 ซม.3

ปริซึมสามเหลี่ยมเป็นรูปที่ค่อนข้างสมมาตร ซึ่งมักใช้ในโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมต่างๆ ปริซึมแก้วนี้ใช้ในทัศนศาสตร์

แนวคิดของปริซึม สูตรปริมาตรปริซึมประเภทต่างๆ ทั้งแบบปกติ แบบตรง และแบบเฉียง แก้ไขปัญหา-ทุกเรื่องการเดินทางเข้าเยี่ยมชมสถานที่

ข้อความถอดความของบทเรียน:

วันนี้เราจะได้สูตรหาปริมาตรของปริซึมเอียงโดยใช้อินทิกรัล

โปรดจำไว้ว่าปริซึมคืออะไรและปริซึมชนิดใดที่เรียกว่าเฉียง?

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยมีหน้าสองหน้า (ฐาน) เป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันซึ่งอยู่ในระนาบขนานกัน และหน้าอีกด้าน (ด้าน) เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน แสดงว่าปริซึมนั้นตั้งตรง มิฉะนั้นจะเรียกว่าปริซึมเอียง

ปริมาตรของปริซึมเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

1) พิจารณาปริซึมเอียงสามเหลี่ยม VSEV2S2E2 ปริมาตรของปริซึมนี้คือ V พื้นที่ฐานคือ S และความสูงคือ h

ลองใช้สูตร: ปริมาตรเท่ากับอินทิกรัลตั้งแต่ 0 ถึง h S ของ x de x

V= โดยที่พื้นที่ของหน้าตัดตั้งฉากกับแกน Ox โดยที่ ให้เราเลือกแกน Ox และจุด O คือที่มาของพิกัดและอยู่ในระนาบ ALL (ฐานล่างของปริซึมเอียง) ทิศทางของแกน Ox ตั้งฉากกับระนาบ ALL จากนั้นแกน Ox จะตัดระนาบที่จุด h และเราจะวาดระนาบ E1 ขนานกับฐานของปริซึมเอียงและตั้งฉากกับแกน Ox เนื่องจากระนาบขนานกันและ ใบหน้าด้านข้างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้ว BE = , CE = C1E1 = C2E2; ВС=В1С1=В2С2

ดังนั้นสามเหลี่ยม ALL = E2 จะเท่ากันทั้งสามด้าน ถ้าสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ พื้นที่ของมันจะเท่ากัน พื้นที่ของส่วนใดส่วนหนึ่ง S(x) เท่ากับพื้นที่ของฐาน Sbas

ใน ในกรณีนี้พื้นที่ฐานคงที่ ลองเอา 0 และ h เป็นขีดจำกัดการรวมเข้าด้วยกัน เราได้สูตร: ปริมาตรเท่ากับอินทิกรัลจาก 0 ถึง h S จาก x de x หรืออินทิกรัลจาก 0 ถึง h ของพื้นที่ฐานจาก x de x พื้นที่ฐานเป็นค่าคงที่ (ค่าคงที่) เราสามารถทำได้ นำมันออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลแล้วปรากฎว่าอินทิกรัลตั้งแต่ 0 ถึง h de x เท่ากับเถ้าลบ 0:

ปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

2) ขอให้เราพิสูจน์สูตรนี้สำหรับปริซึมที่มีความโน้มเอียงแบบ n-gonal ใดๆ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ลองใช้ปริซึมเอียงห้าเหลี่ยมกัน ให้เราแบ่งปริซึมเอียงออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมหลายปริซึม ในกรณีนี้ออกเป็นสามปริซึม (เช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องปริมาตรของปริซึมตรง) ให้เราแสดงปริมาตรของปริซึมเอียงเป็น V จากนั้นปริมาตรของปริซึมเอียงจะประกอบด้วยผลรวมของปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมสามอัน (ตามคุณสมบัติของปริมาตร)

V=V1+V2+V3 และเรามองหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร: ปริมาตรของปริซึมเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของปริซึมเอียงคือ เท่ากับผลรวมผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง เราจะนำความสูง h ออกจากวงเล็บ (เนื่องจากปริซึมทั้งสามปริซึมเท่ากัน) และเราจะได้:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ขอบด้านข้างของปริซึมเอียงคือ 4 ซม. และทำมุม 30° กับระนาบของฐาน ด้านข้างของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงฐานคือ 12, 12 และ 14 ซม. จงหาปริมาตรของปริซึมเอียง .

ให้ไว้: - ปริซึมเอียง

AB = 12 ซม., BC = 12 ซม., AC = 14 ซม., B = 4 ซม., BK = 30°

ค้นหา: V - ?

โครงสร้างเพิ่มเติม: ในปริซึมเอียงเราวาดส่วนสูง H

เรารู้ว่าปริมาตรของปริซึมเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ที่ฐานของปริซึมเอียงจะมีรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจซึ่งรู้ทุกด้านซึ่งหมายความว่าเราใช้สูตรของนกกระสา: พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ รากที่สองจากผลคูณของ PE โดยผลต่างของ PE และ a, โดยผลต่างของ PE และ BE, โดยผลต่างของ PE และ CE โดยที่ PE คือค่ากึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ซึ่งเราหาโดยใช้สูตร: ครึ่งหนึ่งของ ผลรวมของทุกด้าน a, b และ c:

เราคำนวณกึ่งปริมณฑล:

ลองแทนค่าของกึ่งเส้นรอบรูปลงในสูตรพื้นที่ฐาน ลดรูปลงแล้วได้คำตอบ: ราก 7 ตัวของ 95

พิจารณา ΔB H เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก H คือความสูงของปริซึมที่เอียง จากนิยามของไซน์ ขาจะเท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและไซน์ของมุมตรงข้าม

ค่าไซน์ของ 30° เท่ากับครึ่งหนึ่ง ซึ่งหมายถึง

เราเรียนรู้สิ่งนั้น

และความสูง H - ความสูงของปริซึมเอียง - เท่ากับ 2

ดังนั้นปริมาตรจึงเท่ากัน

คำจำกัดความของปริซึม:

• А1А2…แอนВ1В2Вn– ปริซึม

• รูปหลายเหลี่ยม A1A2…An และ B1B2…Bn – ฐานปริซึม

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน А1А2В2В1, А1А2В2В1,... А1А1В1Вn – ใบหน้าด้านข้าง

• ส่วน A1B1, A2B2…แอนบี – ซี่โครงด้านข้างของปริซึม

ประเภทของปริซึม

• ปริซึม ปริซึม ปริซึม สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม สามเหลี่ยม

ปริซึมเฉียงและตรง

• ถ้าขอบข้างของปริซึมตั้งฉากกับฐาน เรียกว่าปริซึม โดยตรง , มิฉะนั้น - โน้มเอียง .

ปริซึมที่ถูกต้อง

• เรียกว่าปริซึม ถูกต้อง ถ้ามันตรงและมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ผิวรวมของปริซึม

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

• ทฤษฎีบท

• พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม

ปริมาตรของปริซึมเอียง

• ทฤษฎีบท

• ปริมาตรของปริซึมเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

การพิสูจน์

• การพิสูจน์

• ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของปริซึมสามเหลี่ยมก่อน แล้วจึงพิสูจน์ปริซึมตามใจชอบ

1. พิจารณาปริซึมสามเหลี่ยมที่มีปริมาตร V พื้นที่ฐาน S และความสูง h ลองทำเครื่องหมายจุด O บนฐานหนึ่งของปริซึมแล้วกำหนดแกน Ox ตั้งฉากกับฐาน ขอให้เราพิจารณาหน้าตัดของปริซึมด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน Ox และขนานกับระนาบของฐาน ให้เราแสดงด้วยตัวอักษร x abscissa ของจุดตัดของระนาบนี้กับแกน Ox และโดย S (x) พื้นที่ของส่วนที่เป็นผล

ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ S (x) เท่ากับพื้นที่ S ของฐานของปริซึม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่าสามเหลี่ยม ABC (ฐานของปริซึม) และ A1B1C1 (หน้าตัดของปริซึมข้างระนาบที่พิจารณา) จะเท่ากัน ในความเป็นจริง รูปสี่เหลี่ยม AA1BB1 เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ส่วน AA1 และ BB1 เท่ากันและขนานกัน) ดังนั้น A1B1 = AB ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่า B1C1 = BC และ A1C1 = AC ดังนั้น สามเหลี่ยม A1B1C1 และ ABC เท่ากันทั้งสามด้าน ดังนั้น S(x)=S. ตอนนี้เราใช้สูตรพื้นฐานในการคำนวณปริมาตรของวัตถุที่ a=0 และ b=h เราได้

2. ชม. ชม. ชม, ส ซ*ช.ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2. ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของปริซึมตามอำเภอใจที่มีความสูง ชม.และพื้นที่ฐาน S ปริซึมดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมที่มีความสูงรวมได้ ชม.- ให้เราแสดงปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมแต่ละอันโดยใช้สูตรที่เราพิสูจน์แล้วและเพิ่มปริมาตรเหล่านี้ นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ชม,เราได้รับผลรวมของพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมในวงเล็บคือ พื้นที่ สฐานของปริซึมเดิม ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมเดิมจึงเท่ากับ ซ*ช.ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว