§1 จำนวนเชิงซ้อน

1° คำนิยาม. สัญกรณ์พีชคณิต

คำจำกัดความ 1. จำนวนเชิงซ้อนคู่อันดับของจำนวนจริงจะถูกเรียก และ หากสำหรับพวกเขามีการกำหนดแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันการบวกและการคูณซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) ตัวเลขสองตัว
และ
เท่ากับถ้าและถ้าเท่านั้น
,
, เช่น.

2) ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน
และ

และเท่าเทียมกัน
, เช่น.

3) ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน
และ
คือตัวเลขที่แสดงโดย
และเท่าเทียมกัน กล่าวคือ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงแทน ค.

สูตร (2), (3) สำหรับตัวเลขของแบบฟอร์ม
ใช้แบบฟอร์ม

โดยเหตุใดจึงเป็นไปตามการดำเนินการของการบวกและการคูณตัวเลขของแบบฟอร์ม
ตรงกับการบวกและการคูณของจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม
ระบุด้วยจำนวนจริง .

จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่า หน่วยจินตภาพและถูกกำหนดไว้ , เช่น.
จากนั้นจาก (3)

จาก (2), (3)  ซึ่งหมายถึง

นิพจน์ (4) เรียกว่า สัญกรณ์พีชคณิตจำนวนเชิงซ้อน.

ในสัญลักษณ์พีชคณิต การดำเนินการของการบวกและการคูณจะอยู่ในรูปแบบ:

จำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วย
,– ส่วนจริง – ส่วนจินตภาพ เป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ การกำหนด:
,
.

คำจำกัดความ 2- จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่า ผันด้วยจำนวนเชิงซ้อน
.

คุณสมบัติของการผันคำกริยาที่ซับซ้อน

1)

2)
.

3) ถ้า
, ที่
.

4)
.

5)
– จำนวนจริง

การพิสูจน์จะดำเนินการโดยการคำนวณโดยตรง

คำจำกัดความ 3- ตัวเลข
เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน
และถูกกำหนดไว้
.

เห็นได้ชัดว่า
, และ


- สูตรยังชัดเจน:
และ
.

2° คุณสมบัติของการดำเนินการบวกและการคูณ

1) การเปลี่ยนแปลง:
,
.

2) การเชื่อมโยง:,
.

3) การกระจายสินค้า: .

การพิสูจน์ 1) – 3) ดำเนินการโดยการคำนวณโดยตรงโดยอิงตามคุณสมบัติที่คล้ายกันของจำนวนจริง

4)
,
.

5) , ค ! เป็นไปตามสมการ
- นี้

6) ,ค, 0, ! :
- นี้ พบได้โดยการคูณสมการด้วย



.

ตัวอย่าง. ลองจินตนาการถึงจำนวนเชิงซ้อน
ในรูปแบบพีชคณิต เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนคอนจูเกตของตัวส่วน เรามี:

3. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ให้ระบุระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ แล้ว
คคุณสามารถจับคู่จุดบนเครื่องบินกับพิกัดได้
.(ดูรูปที่ 1) แน่นอนว่าการโต้ตอบดังกล่าวเป็นแบบตัวต่อตัว ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขจริงนอนอยู่บนแกนแอบซิสซา และจินตภาพล้วนๆ วางอยู่บนแกนกำหนด ดังนั้นจึงเรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงและแกนพิกัด − แกนจินตภาพ- ระนาบที่จำนวนเชิงซ้อนอยู่เรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน.

โปรดทราบว่า และ
มีความสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิดและ และ สมมาตรเกี่ยวกับอ็อกซ์

จำนวนเชิงซ้อนแต่ละตัว (เช่น แต่ละจุดบนระนาบ) สามารถเชื่อมโยงกับเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด O และจุดสิ้นสุดที่จุด
- ความสอดคล้องระหว่างเวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อนเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน , แสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน

ดี เส้นเวกเตอร์
ตรงกับจำนวนเชิงซ้อน
มีค่าเท่ากัน
, และ
,
.

เมื่อใช้การตีความเวกเตอร์ เราจะเห็นว่าเวกเตอร์นั้น
− ผลรวมของเวกเตอร์ และ , ก
− ผลรวมของเวกเตอร์ และ
.(ดูรูปที่ 2) ดังนั้นอสมการต่อไปนี้จึงถูกต้อง: ,

ประกอบกับความยาว เวกเตอร์ เรามาแนะนำมุมกันดีกว่า ระหว่างเวกเตอร์ และแกนวัว นับจากทิศทางบวกของแกนวัว ถ้านับทวนเข็มนาฬิกา เครื่องหมายของมุมจะถือเป็นบวก ถ้าตามเข็มนาฬิกาก็ถือเป็นลบ มุมนี้เรียกว่า. อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนและถูกกำหนดไว้
- มุม ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน แต่แม่นยำ
- สำหรับ
อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้

สูตร (6) กำหนดสิ่งที่เรียกว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน.

จาก (5) จะได้ว่า ถ้า
และ
ที่

จาก (5)
แล้วไง และ จำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยเฉพาะ การสนทนาไม่เป็นความจริง กล่าวคือ เรื่องจำนวนเชิงซ้อน โมดูลของมัน เป็นเอกลักษณ์และการโต้แย้ง โดยอาศัยอำนาจตาม (7) - ด้วยความแม่นยำ
- นอกจากนี้ยังตามมาจาก (7) ว่าอาร์กิวเมนต์ สามารถหาได้เป็นคำตอบของสมการ

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกคำตอบของสมการนี้จะเป็นคำตอบของ (7)

ในบรรดาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนจะมีการเลือกค่าหนึ่งซึ่งเรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์และแสดงแทน
- โดยปกติแล้วค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะถูกเลือกในช่วงเวลาหนึ่ง
หรือในช่วงเวลา

สะดวกในการดำเนินการคูณและหารในรูปแบบตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบท 1โมดูลัสผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน และ เท่ากับผลคูณของโมดูล และอาร์กิวเมนต์คือผลรวมของอาร์กิวเมนต์ เช่น

, ก.

เช่นเดียวกัน

,

การพิสูจน์.อนุญาต ,. จากนั้นโดยการคูณโดยตรงเราจะได้:

เช่นเดียวกัน

.■

ผลที่ตามมา(สูตรมูฟร์) สำหรับ
สูตรของ Moivre ใช้ได้

ป ตัวอย่าง. ให้เราค้นหาตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุด
- จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ว่า

ดังนั้น ในการสร้างมัน คุณต้องสร้างจุดก่อน ซึ่งก็คือการกลับกัน สัมพันธ์กับวงกลมหน่วย แล้วหาจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนวัว

อนุญาต
,เหล่านั้น.
จำนวนเชิงซ้อน
แสดงโดย
, เช่น. รสูตรของออยเลอร์ใช้ได้

เพราะ
, ที่
,
- จากทฤษฎีบท 1
ฟังก์ชันมีอะไรบ้าง
คุณสามารถทำงานเหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังปกติได้ เช่น ความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง

,
,
.

จาก (8)
สัญกรณ์สาธิตจำนวนเชิงซ้อน

, ที่ไหน
,

ตัวอย่าง. .

4° ราก - ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาสมการ

อนุญาต
และหาคำตอบของสมการ (9) ในรูปแบบ
- จากนั้น (9) เข้าสู่รูปแบบ
จากที่เราพบสิ่งนั้น
,
, เช่น.

,
,
.

ดังนั้นสมการ (9) จึงมีราก

ให้เราแสดงว่าใน (10) นั้นมีอยู่จริง รากที่แตกต่างกัน จริงหรือ,

แตกต่างกันเพราะว่า ข้อโต้แย้งของพวกเขาแตกต่างกันและแตกต่างกันน้อยกว่า
- ต่อไป,
, เพราะ
- เช่นเดียวกัน
.

ดังนั้นสมการ (9) ที่
มีอย่างแน่นอน ราก
ซึ่งอยู่ที่จุดยอดของเส้นปกติ - รูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ที.โอ.

จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2การสกัดราก - ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน
มันเป็นไปได้เสมอ ความหมายรากทั้งหมด ระดับของ อยู่ที่จุดยอดที่ถูกต้อง -gon จารึกไว้ในวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์และรัศมี
- ในเวลาเดียวกัน

ผลที่ตามมาราก - กำลัง 1 แสดงโดยสูตร

.

ผลคูณของรากสองตัวของ 1 คือราก 1 คือราก -พลังแห่งความสามัคคี ราก
:
.

ให้เรานึกถึงข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นการแสดงออกถึงรูปร่าง ก + สอง, ที่ไหน ก, ขเป็นจำนวนจริง และ ฉัน- สิ่งที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่มีกำลังสองเท่ากับ –1 นั่นก็คือ ฉัน 2 = –1 ตัวเลข กเรียกว่า ส่วนที่แท้จริงและหมายเลข ข - ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน z = ก + สอง- ถ้า ข= 0 จากนั้นแทน ก + 0ฉันพวกเขาเพียงแค่เขียน ก- จะเห็นได้ว่ามีจำนวนจริงอยู่ กรณีพิเศษจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อนจะเหมือนกับจำนวนจริง กล่าวคือ สามารถบวก ลบ คูณ และหารซึ่งกันและกันได้ การบวกและการลบเกิดขึ้นตามกฎ ( ก + สอง) ± ( ค + ดิ) = (ก ± ค) + (ข ± ง)ฉันและการคูณเป็นไปตามกฎ ( ก + สอง) · ( ค + ดิ) = (เครื่องปรับอากาศ – บีดี) + (โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช)ฉัน(ในที่นี้ใช้แบบนั้น. ฉัน 2 = –1) หมายเลข = ก – สองเรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนถึง z = ก + สอง- ความเท่าเทียมกัน z · = ก 2 + ข 2 ช่วยให้คุณเข้าใจวิธีหารจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งด้วยจำนวนเชิงซ้อนอีกตัว (ที่ไม่ใช่ศูนย์):

(ตัวอย่างเช่น, .)

จำนวนเชิงซ้อนมีความสะดวกและเห็นภาพ การแสดงทางเรขาคณิต: ตัวเลข z = ก + สองสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) บนระนาบคาร์ทีเซียน (หรือซึ่งเกือบจะเหมือนกันคือจุด - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่มีพิกัดเหล่านี้) ในกรณีนี้ ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) เท่ากับ ปริมาณนี้เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = ก + สองและเขียนแทนด้วย | z- เรียกว่ามุมที่เวกเตอร์นี้ทำกับทิศทางบวกของแกน x (นับทวนเข็มนาฬิกา) การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน zและเขียนแทนด้วย Arg z- อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ต้องบวกด้วยผลคูณของ 2 เท่านั้น π เรเดียน (หรือ 360° หากนับเป็นองศา) ท้ายที่สุดแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าการหมุนด้วยมุมดังกล่าวรอบจุดกำเนิดจะไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ แต่ถ้าเป็นเวกเตอร์ความยาว รสร้างมุม φ โดยมีทิศทางบวกของแกน x ดังนั้นพิกัดจะเท่ากับ ( รเพราะ φ ; รบาป φ - จากที่นี่ปรากฎว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน: z = |z- · (cos(หาเรื่อง z) + ฉันบาป(หาเรื่อง z- การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบนี้มักจะสะดวก เนื่องจากจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิตินั้นง่ายมาก: z 1 · z 2 = |z 1 | - z 2 | · (cos(หาเรื่อง z 1 + หาเรื่อง z 2) + ฉันบาป(หาเรื่อง z 1 + หาเรื่อง z 2)) (เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์) จากนี้ไปตาม สูตรของ Moivre: z n = |z|n· (คอส( n· (หาเรื่อง z)) + ฉันบาป( n· (หาเรื่อง z- การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้ง่ายต่อการเรียนรู้วิธีแยกรากจากจำนวนเชิงซ้อนในระดับใดๆ ก็ตาม รากที่ nพลังจากหมายเลข z- นี่คือจำนวนเชิงซ้อน ว, อะไร ไม่ทราบ = z- เป็นที่ชัดเจนว่า และ ที่ไหน เคสามารถรับค่าใดๆ จากเซตได้ (0, 1, ..., n– 1) ซึ่งหมายความว่ามีอยู่เสมอ nราก nระดับของจำนวนเชิงซ้อน (บนระนาบจะอยู่ที่จุดยอดของเส้นปกติ n-gon)

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อนและพหุนาม

บรรยาย 22

§1 จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความพื้นฐาน

เครื่องหมาย ถูกนำมาใช้โดยอัตราส่วน
และเรียกว่าหน่วยจินตภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง
.

คำนิยาม. การแสดงออกของแบบฟอร์ม
, ที่ไหน
เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน และจำนวน เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และแสดงถึง
, ตัวเลข – ส่วนจินตภาพ และแสดงถึง
.

จากคำจำกัดความนี้ สรุปได้ว่าจำนวนจริงคือจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีส่วนจินตภาพเท่ากับศูนย์

สะดวกในการแสดงจำนวนเชิงซ้อนด้วยจุดของระนาบซึ่งให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนไว้ กล่าวคือ จำนวนเชิงซ้อน
สอดคล้องกับจุด
และในทางกลับกัน บนแกน
มีการแสดงจำนวนจริงและเรียกว่าแกนจริง จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม

เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ พวกมันแสดงด้วยจุดบนแกน
ซึ่งเรียกว่าแกนจินตภาพ ระนาบนี้ซึ่งทำหน้าที่แทนจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าระนาบเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นจำนวนจริง เช่น เช่นนั้น
ซึ่งบางครั้งเรียกว่าจินตภาพ

กล่าวกันว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน

การบวก การลบ และการคูณจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎปกติของพีชคณิตพหุนาม โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า

- การดำเนินการหารสามารถกำหนดเป็นค่าผกผันของการดำเนินการคูณ และสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ของผลลัพธ์ได้ (หากตัวหารไม่เป็นศูนย์) อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติมีการใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป

จำนวนเชิงซ้อน
และ
เรียกว่าคอนจูเกต บนระนาบเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดที่สมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง เห็นได้ชัดว่า:

1)

;

2)
;

3)
.

ตอนนี้แบ่ง บน สามารถทำได้ดังนี้:

.

มันไม่ยากที่จะแสดงสิ่งนั้น

,

สัญลักษณ์อยู่ที่ไหน หมายถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดๆ

อนุญาต
จำนวนจินตภาพบางส่วน และ – ตัวแปรที่แท้จริง ผลคูณของทวินามสองตัว

คือตรีโกณมิติกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

ตอนนี้เมื่อมีจำนวนเชิงซ้อน เราก็สามารถแก้สมการกำลังสองใดๆ ก็ได้
.ถ้าอย่างนั้น

และสมการนี้มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองอัน

.

ถ้า
แล้วสมการจะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองราก ถ้า
จากนั้นสมการจะมีรากที่เหมือนกันสองอัน

§2 รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นจำนวนเชิงซ้อน
สะดวกในการแสดงเป็นจุด
- หมายเลขนี้สามารถระบุได้ด้วยเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้
- ด้วยการตีความนี้ การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎสำหรับการบวกและการลบเวกเตอร์ สำหรับการคูณและหารจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบอื่นจะสะดวกกว่า

ให้เราแนะนำบนระนาบที่ซับซ้อน
ระบบพิกัดเชิงขั้ว แล้วที่ไหน.
,
และจำนวนเชิงซ้อน
สามารถเขียนเป็น:

สัญกรณ์รูปแบบนี้เรียกว่าตรีโกณมิติ (ตรงกันข้ามกับรูปแบบพีชคณิต
- ในรูปแบบนี้หมายเลข เรียกว่าโมดูลและ – อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน - พวกเขาถูกกำหนด:
,

- สำหรับโมดูลเรามีสูตร

อาร์กิวเมนต์ของตัวเลขไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ขึ้นอยู่กับคำศัพท์
,
- ค่าของการโต้แย้งที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
เรียกว่าตัวหลักและแสดงแทน
- แล้ว,
- สำหรับค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ คุณสามารถรับนิพจน์ต่อไปนี้:

,

อาร์กิวเมนต์จำนวน
ถือว่าไม่แน่นอน

เงื่อนไขสำหรับความเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติมีรูปแบบ: โมดูลของตัวเลขเท่ากัน และอาร์กิวเมนต์ต่างกันด้วยผลคูณของ
.

ลองหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติ:

ดังนั้น เมื่อตัวเลขถูกคูณ โมดูลของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของมัน

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อทำการหาร โมดูลของตัวเลขจะถูกแบ่งออก และอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก

เมื่อเข้าใจถึงการยกกำลังเป็นการคูณซ้ำ เราสามารถหาสูตรในการยกจำนวนเชิงซ้อนเป็นกำลังได้:

ให้เราได้มาซึ่งสูตรสำหรับ
– ราก - ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน (อย่าสับสนกับรากเลขคณิตของจำนวนจริง!) การดำเนินการแยกรากเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการดำเนินการยกกำลัง นั่นเป็นเหตุผล
เป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่นนั้น
.

อนุญาต
เป็นที่รู้จักแต่
จำเป็นต้องพบ แล้ว

จากความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติจะเป็นไปตามนั้น

,
,
.

จากที่นี่
(นี่คือรากเลขคณิต!)

,
.

มันง่ายที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น สามารถยอมรับได้เท่านั้น ค่าที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน เช่น เมื่อ
- ในที่สุดเราก็ได้สูตร:

,
.

ดังนั้นราก กำลัง th ของจำนวนเชิงซ้อนมี ความหมายที่แตกต่างกัน บนระนาบเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จะอยู่ที่จุดยอดอย่างถูกต้อง - รูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี
โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ราก "แรก" มีข้อโต้แย้ง
ข้อโต้แย้งของราก "เพื่อนบ้าน" สองอันนั้นแตกต่างกัน
.

ตัวอย่าง. ลองหารากที่สามของหน่วยจินตภาพ:
,
,
- แล้ว:

,