ลำดับพื้นฐานคือความสมบูรณ์ของเซตของจำนวนจริง สัจพจน์ของจำนวนจริง

คำจำกัดความ 2. เซตจะกล่าวกันว่ามีขอบเขตด้านบน (ด้านล่าง) หากมีตัวเลขที่ c (ตามลำดับ ) สำหรับใดๆ

จำนวน c ในกรณีนี้เรียกว่าขอบเขตบน (ตามลำดับ ล่าง) ของเซต X หรือเมเจอร์ (รอง) ของเซต X

คำจำกัดความ 3 ชุดที่มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่างเรียกว่าขอบเขต

คำจำกัดความ 4. องค์ประกอบ a เรียกว่าองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดหรือสูงสุด (เล็กที่สุดหรือน้อยที่สุด) ของเซต ถ้า (ตามลำดับ ) สำหรับองค์ประกอบใดๆ

ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางส่วนและในขณะเดียวกันก็ให้สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับคำจำกัดความขององค์ประกอบสูงสุดและต่ำสุดตามลำดับ:

พร้อมกับการกำหนด (อ่านว่า “สูงสุด” (อ่าน “ขั้นต่ำ” ในความหมายเดียวกันคือมีการใช้สัญลักษณ์ตามลำดับ)

จากสัจพจน์ลำดับที่ 1 จะตามมาทันทีว่าหากมีองค์ประกอบสูงสุด (ต่ำสุด) ในชุดตัวเลข ก็จะมีองค์ประกอบเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกชุด แม้แต่ชุดที่จำกัด ก็ตามจะมีองค์ประกอบสูงสุด (น้อยที่สุด)

ตัวอย่างเช่น ชุดหนึ่งมีองค์ประกอบขั้นต่ำ แต่ไม่มีองค์ประกอบสูงสุดตามที่สามารถตรวจสอบได้ง่าย

คำจำกัดความ 5. จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งจำกัดเซตจากด้านบนเรียกว่าขอบเขตบน (หรือขอบเขตบนที่แน่นอน) ของเซต X และเขียนแทนด้วย (อ่านว่า “supremum หรือ

นี่คือคำจำกัดความพื้นฐานของย่อหน้านี้ ดังนั้น,

ในวงเล็บแรก ทางด้านขวาของแนวคิดที่กำลังกำหนด มีเขียนไว้ว่าจำกัด X จากด้านบน วงเล็บที่สองบอกว่านั่นคือจำนวนขั้นต่ำที่มีคุณสมบัตินี้ แม่นยำยิ่งขึ้น วงเล็บที่สองระบุว่าตัวเลขใดๆ ที่น้อยกว่าจะไม่เป็นขอบเขตบนของ X อีกต่อไป

ในทำนองเดียวกัน แนวคิดเรื่องขอบเขตล่าง (ขอบเขตล่างที่แน่นอน) ของเซต X ถูกนำมาใช้เป็นขอบเขตที่ใหญ่ที่สุดของขอบเขตล่างของเซต X

คำนิยาม 6

นอกจากการกำหนดแล้ว (อ่านว่า "ไม่สำคัญสำหรับใบหน้าส่วนล่างของ X" แล้ว ยังใช้การกำหนดอีกด้วย

ดังนั้นจึงให้คำจำกัดความต่อไปนี้:

แต่ข้างต้น เราได้กล่าวไว้ว่าไม่ใช่ทุกชุดจะมีองค์ประกอบขั้นต่ำหรือสูงสุด ดังนั้นคำจำกัดความที่ยอมรับของขอบเขตบนและล่างของชุดตัวเลขจำเป็นต้องมีการโต้แย้ง ซึ่งมีดังต่อไปนี้

เล็มมา (หลักการขอบเขตบน) เซตย่อยที่ไม่ว่างทุกเซตของเซตจำนวนจริงที่มีขอบเขตด้านบนจะมีค่าสูงสุดไม่ซ้ำกัน

เนื่องจากเราทราบถึงเอกลักษณ์ขององค์ประกอบขั้นต่ำของชุดตัวเลขแล้ว เราเพียงแต่ต้องตรวจสอบการมีอยู่ของขอบเขตบนเท่านั้น

ให้เซตย่อยนี้เป็นเซตของขอบเขตบนของ X โดยเงื่อนไข จากนั้น ตามสัจพจน์ของความสมบูรณ์ จะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งที่ทำให้เลข c จึงเป็นเซตของ X และจำนวนรองในฐานะที่เป็นเซตย่อยของ X เป็นองค์ประกอบของ Y แต่ในฐานะรองของ Y เลข c จึงเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของเซต Y ดังนั้น

แน่นอนว่าการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของขอบเขตล่างของชุดตัวเลขที่อยู่ด้านล่างนั้นได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน เช่น

ตามกฎแล้วทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จะหาทางออกโดยปล่อยให้ตัวเลขชุดหนึ่ง (ข้อมูลเริ่มต้น) ถูกประมวลผลเป็นตัวเลขอีกชุดหนึ่งที่ถือเป็นเป้าหมายขั้นกลางหรือเป้าหมายสุดท้ายของการคำนวณ ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันตัวเลขจึงครอบครองสถานที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์และการประยุกต์ (หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเชิงตัวเลขเชิงอนุพันธ์) ถือเป็นวัตถุหลักของการศึกษาการวิเคราะห์แบบดั้งเดิม แต่คำอธิบายที่สมบูรณ์เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้จากมุมมองของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ดังที่คุณอาจเคยสัมผัสมาแล้วในโรงเรียนและอย่างที่คุณเห็นในไม่ช้า เป็นไปไม่ได้หากไม่มีคำจำกัดความที่แน่นอนของเซตของจำนวนจริงที่ฟังก์ชันเหล่านี้ใช้ กระทำ.

ตัวเลขในคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับเวลาในฟิสิกส์ เป็นที่รู้จักสำหรับทุกคน แต่เฉพาะผู้เชี่ยวชาญเท่านั้นที่เข้าใจไม่ได้ นี่เป็นหนึ่งในนามธรรมทางคณิตศาสตร์หลักซึ่งเห็นได้ชัดว่ายังคงมีวิวัฒนาการที่สำคัญรออยู่ข้างหน้าและเรื่องราวนี้สามารถอุทิศให้กับหลักสูตรเร่งรัดอิสระได้ ในที่นี้เราหมายถึงเพียงรวบรวมสิ่งที่ผู้อ่านรู้โดยทั่วไปเกี่ยวกับจำนวนจริงจากโรงเรียนมัธยมปลาย โดยเน้นที่คุณสมบัติพื้นฐานและเป็นอิสระของตัวเลขในรูปแบบของสัจพจน์ ในการทำเช่นนั้น เป้าหมายของเราคือการให้คำจำกัดความที่ถูกต้องของจำนวนจริง เหมาะสำหรับการใช้ทางคณิตศาสตร์ในภายหลัง และให้ความสนใจเป็นพิเศษกับคุณสมบัติของความสมบูรณ์หรือความต่อเนื่อง ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการผ่านไปสู่ขีดจำกัด - หลักที่ไม่ใช่ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์

§ 1. สัจพจน์และคุณสมบัติทั่วไปบางประการของเซตของจำนวนจริง

1. นิยามเซตของจำนวนจริง

คำจำกัดความ 1. เซต E เรียกว่าเซตของจำนวนจริง (จำนวนจริง) และองค์ประกอบของเซตนั้นเรียกว่าจำนวนจริง (จำนวนจริง)

ตัวเลขหากเป็นไปตามชุดเงื่อนไขต่อไปนี้ เรียกว่าสัจพจน์ของจำนวนจริง:

(I) สัจพจน์ของการบวก

การแมปที่กำหนด (การดำเนินการเพิ่มเติม)

การกำหนดให้กับองค์ประกอบแต่ละคู่ที่ได้รับคำสั่งจาก E องค์ประกอบบางอย่างเรียกว่าผลรวมของ x และ y ในกรณีนี้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

มีองค์ประกอบที่เป็นกลาง 0 (เรียกว่าศูนย์ในกรณีของการบวก) เช่นนั้นสำหรับค่าใดๆ

สำหรับองค์ประกอบใด ๆ มีองค์ประกอบที่เรียกว่าตรงกันข้ามกับสิ่งนั้น

การดำเนินการ 4 มีความเชื่อมโยง เช่น สำหรับองค์ประกอบใดๆ จาก

การดำเนินการ 4 เป็นการสับเปลี่ยน กล่าวคือ สำหรับองค์ประกอบใดๆ จาก E

หากมีการกำหนดการดำเนินการในชุดบางชุดที่สอดคล้องกับสัจพจน์ พวกเขากล่าวว่ามีการกำหนดโครงสร้างของกลุ่มหรือมีกลุ่ม หากการดำเนินการเรียกว่าการบวก กลุ่มนั้นจะเรียกว่าการบวก นอกจากนี้ หากทราบว่าการดำเนินการเป็นแบบสับเปลี่ยน กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขแล้ว กลุ่มนั้นจะเรียกว่าสับเปลี่ยนหรือแบบอาบีเลียน ดังนั้น สัจพจน์กล่าวว่า E เป็นกลุ่มบวกของชาวอาบีเลียน

(II) สัจพจน์ของการคูณ

การแมปที่กำหนด (การดำเนินการคูณ)

การกำหนดให้กับองค์ประกอบแต่ละคู่ที่เรียงลำดับจาก E องค์ประกอบบางตัว เรียกว่าผลคูณของ x และ y และในลักษณะที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. มีองค์ประกอบที่เป็นกลางในกรณีคูณด้วยหนึ่ง) เช่นนั้น

2. สำหรับองค์ประกอบใดๆ จะมีองค์ประกอบที่เรียกว่าอินเวอร์สเช่นนั้น

3. การดำเนินการมีความเชื่อมโยง เช่น ใด ๆ ของ E

4. การดำเนินการเป็นแบบสับเปลี่ยน เช่น เพื่อใดๆ

โปรดทราบว่าในส่วนของการดำเนินการคูณนั้น เซตสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นกลุ่ม (การคูณ)

(I, II) ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการคูณ

การคูณเป็นการแจกแจงด้วยความเคารพต่อการบวก เช่น

โปรดทราบว่า เนื่องจากธรรมชาติของการคูณมีการสับเปลี่ยน ความเสมอภาคสุดท้ายจะยังคงอยู่หากลำดับของตัวประกอบในทั้งสองส่วนมีการเปลี่ยนแปลง

หากในบางชุดมีการดำเนินการสองอย่างที่เป็นไปตามสัจพจน์ที่แสดงไว้ทั้งหมด จะเรียกว่าสนามพีชคณิตหรือเรียกง่ายๆ ว่าสนาม

(III) สัจพจน์ของการสั่งซื้อ

องค์ประกอบของ E มีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ สำหรับองค์ประกอบจาก E จะถูกพิจารณาว่าบรรลุผลสำเร็จหรือไม่ ในกรณีนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าความสัมพันธ์ที่ไม่เท่าเทียมกัน

เซตซึ่งอยู่ระหว่างองค์ประกอบบางอย่างซึ่งมีความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ 0, 1, 2 ดังที่ทราบกันดีเรียกว่าเรียงลำดับบางส่วน และหากนอกจากนี้ สัจพจน์ที่ 3 เป็นที่พอใจ นั่นคือ องค์ประกอบสองรายการใด ๆ ของเซตนั้นเทียบเคียงได้ จากนั้นเซตนี้เรียกว่าลำดับเชิงเส้น

ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงเรียงลำดับเชิงเส้นตามความสัมพันธ์อสมการระหว่างองค์ประกอบต่างๆ

(I, III) ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและลำดับใน R

ถ้า x เป็นองค์ประกอบของ R แล้ว

(II, III) ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและลำดับใน R

ถ้าเป็นองค์ประกอบของ R แล้ว

(IV) สัจพจน์ของความสมบูรณ์ (ความต่อเนื่อง)

ถ้า X และ Y เป็นสับเซตที่ไม่ว่างของ E ที่มีคุณสมบัติเช่นนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ ก็จะมีสิ่งนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ

นี่เป็นการเติมเต็มรายการสัจพจน์ ซึ่งการปฏิบัติตามเซต E ใดๆ จะทำให้เราสามารถพิจารณาเซตนี้เป็นการดำเนินการเฉพาะหรือแบบจำลองของจำนวนจริงอย่างที่พวกเขาพูดกัน

คำจำกัดความนี้อย่างเป็นทางการไม่ได้คาดเดาข้อมูลเบื้องต้นใดๆ เกี่ยวกับตัวเลข และจากนั้น "รวมถึงความคิดทางคณิตศาสตร์" อย่างเป็นทางการอีกครั้ง เราจะต้องได้รับคุณสมบัติที่เหลืออยู่ของจำนวนจริงเป็นทฤษฎีบท ฉันอยากจะแสดงความคิดเห็นอย่างไม่เป็นทางการบางประการเกี่ยวกับพิธีการตามหลักสัจพจน์นี้

ลองนึกภาพว่าคุณยังไม่ก้าวหน้าจากการบวกแอปเปิ้ล ลูกบาศก์ หรือปริมาณที่ระบุชื่ออื่นๆ ไปเป็นการบวกจำนวนธรรมชาติที่เป็นนามธรรม คุณไม่ได้วัดส่วนและไม่ได้มาถึงจำนวนตรรกยะ ว่าคุณไม่ทราบการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในสมัยก่อนว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สมส่วนกับด้านข้าง ดังนั้นความยาวของมันจึงไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้ นั่นคือ ต้องใช้จำนวนอตรรกยะ ว่าคุณไม่มีแนวคิดเรื่อง "มากกว่า" ที่เกิดขึ้นในกระบวนการวัด คุณไม่แสดงลำดับให้กับตัวเอง เช่น ด้วยภาพของเส้นจำนวน หากไม่มีทั้งหมดนี้มาก่อนชุดสัจพจน์ที่ระบุไว้จะไม่เพียงแต่ไม่ถูกมองว่าเป็นผลแน่นอนของการพัฒนาทางจิตวิญญาณเท่านั้น แต่อย่างน้อยก็จะดูแปลกและไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นผลไม้แห่งจินตนาการตามอำเภอใจ

เกี่ยวกับระบบสัจพจน์เชิงนามธรรมใดๆ มีคำถามอย่างน้อยสองข้อเกิดขึ้นทันที

ประการแรก สัจพจน์เหล่านี้เข้ากันได้หรือไม่ กล่าวคือ มีชุดที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ทั้งหมดหรือไม่ นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับความสอดคล้องของสัจพจน์

ประการที่สอง ไม่ว่าระบบสัจพจน์ที่กำหนดจะกำหนดวัตถุทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะหรือไม่ก็ตาม กล่าวคือ ดังที่นักตรรกศาสตร์จะกล่าวว่า ระบบของสัจพจน์นั้นเป็นแบบเด็ดขาด

ความคลุมเครือที่นี่จะต้องเข้าใจดังนี้ ถ้าบุคคล A และ B สร้างแบบจำลองของตนเอง เช่น ระบบตัวเลขที่เป็นไปตามสัจพจน์อย่างอิสระ เช่น ความสัมพันธ์เชิงตรรกะสามารถเกิดขึ้นได้ระหว่างเซตต่างๆ แม้ว่าจะรักษาการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์เชิงลำดับไว้ก็ตาม เช่น

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ พวกมันเป็นเพียงการใช้งาน (แบบจำลอง) ที่แตกต่างกัน (เท่ากันโดยสิ้นเชิง) ของจำนวนจริง (เช่น - เศษส่วนทศนิยมอนันต์ และ - จุดบนเส้นจำนวน) การใช้งานดังกล่าวเรียกว่า isomorphic และการทำแผนที่เรียกว่า isomorphism ผลลัพธ์ของกิจกรรมทางคณิตศาสตร์จึงไม่เกี่ยวข้องกับการใช้งานส่วนบุคคล แต่เกี่ยวข้องกับแต่ละแบบจำลองจากคลาสของแบบจำลองไอโซมอร์ฟิกของสัจพจน์ที่กำหนด

เราจะไม่อภิปรายคำถามที่กล่าวข้างต้นที่นี่ และจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงคำตอบที่ให้ข้อมูลเท่านั้น

คำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามเกี่ยวกับความสอดคล้องของสัจพจน์นั้นเป็นเงื่อนไขเสมอ ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข ดูเหมือนว่านี้: ตามสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่เรายอมรับ (ดูบทที่ 1, § 4, ย่อหน้าที่ 2) เราสามารถสร้างชุดของจำนวนธรรมชาติ จากนั้นจึงสร้างชุดของจำนวนตรรกยะ และ สุดท้ายคือเซต E ของจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมด

คำจำกัดความของส่วนที่ซ้อนกัน บทพิสูจน์บทแทรกของ Cauchy-Cantor บนส่วนที่ซ้อนกัน

เนื้อหา

การกำหนดเส้นที่ซ้อนกัน

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงสองตัว () และปล่อยให้มันเป็นไป

เซตของตัวเลข x ที่เป็นไปตามอสมการเรียกว่าเซ็กเมนต์ที่มีจุดสิ้นสุด a และ b

ส่วนถูกกำหนดดังนี้: . ลำดับส่วนของตัวเลขเรียกว่าเป็นลำดับ
.
ส่วนที่ซ้อนกัน
.

หากแต่ละส่วนที่ตามมามีอยู่ในส่วนก่อนหน้า:

นั่นคือส่วนปลายของเซ็กเมนต์เชื่อมต่อกันด้วยความไม่เท่าเทียมกัน:
บทแทรกบนส่วนที่ซ้อนกัน (หลักการ Cauchy-Cantor)
,
สำหรับลำดับของส่วนที่ซ้อนกัน จะมีจุดที่เป็นของส่วนเหล่านี้ทั้งหมด

หากความยาวของเซ็กเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์: แล้วจุดนั้นก็มีจุดเดียวเท่านั้นบทแทรกนี้เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทส่วนที่ซ้อนกัน.

หรือ

หลักการโคชี-คันทอร์ การพิสูจน์เพื่อเป็นการพิสูจน์

ส่วนแรกของบทแทรกให้เราใช้สัจพจน์ของความสมบูรณ์ของจำนวนจริง
.

สัจพจน์ของความสมบูรณ์ของจำนวนจริง
.
เป็นดังนี้ ให้เซต A และ B เป็นเซตย่อยสองชุดของจำนวนจริง โดยที่องค์ประกอบสองตัวใดๆ และเซตเหล่านี้จะมีอสมการคงอยู่

จากนั้นจะมีจำนวนจริง c ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับทุกคน: ลองใช้สัจพจน์นี้กัน ให้เซต A เป็นเซตของจุดปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ และให้เซต B เป็นเซตของจุดปลายด้านขวา จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ระหว่างสององค์ประกอบใดๆ ของเซตเหล่านี้.

จากนั้นจากสัจพจน์ของความสมบูรณ์ของจำนวนจริง จึงมีตัวเลข c อยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับอสมการทั้งหมด n ทั้งหมดต่อไปนี้
(1) .

ซึ่งหมายความว่าจุด c เป็นของทุกส่วน 1 มาพิสูจน์กัน 2 ส่วนที่สองของบทแทรก อนุญาต . ตามคำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับ หมายความว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ จะมีจำนวนธรรมชาติ N ขึ้นอยู่กับ ε ซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n > N จะมีอสมการคงอยู่สมมติว่าตรงกันข้าม ให้มีจุดที่แตกต่างกันสองจุด c
;
.
และค
.
, ค
.
1 ≠ ค 2
ที่เป็นของทุกส่วน ซึ่งหมายความว่าสำหรับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดต่อไปนี้: จากที่นี่.

การสมัคร (1) เรามี:

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ต้องคงไว้สำหรับค่าบวกใด ๆ ของε

มันเป็นไปตามนั้น

ตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือกส่วนต่างๆ เพื่อให้ปลายด้านซ้ายและขวามาบรรจบกันเป็นจำนวนอตรรกยะ

จากนั้นจำนวนตรรกยะใดๆ เมื่อ n เพิ่มขึ้น ก็จะหลุดออกจากระบบการแบ่งส่วนเสมอ ตัวเลขเดียวที่เป็นของเซกเมนต์ทั้งหมดคือจำนวนอตรรกยะ
วรรณกรรมที่ใช้:

§ 7 โอ.วี. เบซอฟ. บรรยายเรื่องการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตอนที่ 1 มอสโก 2547

- รากฐานของการวิเคราะห์ 4

ความสมบูรณ์ของเซตของจำนวนจริง

7.1. การแนะนำ.คำนิยาม.

7.1. การแนะนำ.ตามจำนวนจริง a เราหมายถึงคลาสที่เทียบเท่า a ของลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ มากมายร

คลาสความเท่าเทียมกันของลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะจะเรียกว่าเซตของจำนวนจริง< eÎมากมาย 1) ลิม n = a Û " 0 $ โปเอ็น $ โป("ไม่มี

, n ³ p) Þ |a n - a| ปอนด์อี

" 0 < eÎมากมาย 2) ลำดับใด ๆ (a n) ที่มาบรรจบกันก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน $ โป$ โป $ โป((" ม. $ โป, "ไม่มี

, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | ปอนด์อี) มากมายเป็นเรื่องปกติที่จะพยายามนำขั้นตอนการแยกตัวประกอบไปใช้กับเซตของลำดับพื้นฐานของจำนวนจริง โดยการเปรียบเทียบกับ §6 เราจะไม่ได้ชุดของคลาสความเท่าเทียมกันของลำดับพื้นฐานของจำนวนจริงที่มีเซตนั้นอยู่หรือ

เป็นเซตย่อยของมันเองเหรอ?

ปรากฎว่าไม่ มากมาย.

ในส่วนนี้ เราจะสร้างคุณสมบัติที่น่าทึ่ง: คุณสมบัติของความสมบูรณ์ของเซตของจำนวนจริง ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าลำดับพื้นฐานใดๆ ของจำนวนจริงมาบรรจบกัน

7.1. การแนะนำ. 7.2. การประมาณจำนวนจริงด้วยเศษส่วนทศนิยม< MÎลำดับ (q n) ถูกผูกไว้ถ้า $ 0ถาม $ โปนั่น (" ไม่ใช่O

|qn | ปอนด์เอ็ม). ทฤษฎีบท 1

ลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะทุกลำดับมีขอบเขตการพิสูจน์ $ โป- กำหนดให้ (q n) เป็นลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ ดังนั้น โดยอาศัยพื้นฐาน เพราะ e=1 จะมี pО ดังกล่าว

1) ลิม n = a Û " 0 , อะไร:ยังไม่มีข้อความ:

((" m ³ p) Þ |q n -q m | 1 ปอนด์)

m = p -fix จากนั้น " n ³ p |q n | £ |q p | + 1

แท้จริงแล้ว: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |คิวพี | Þ |q n | £ 1 + |q p |. $ โปสมมติว่า M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) เราได้รับ: " nО

|qn | £ M.ð

ในข้อ 6.3 ความสัมพันธ์เอกนารี "เป็นบวก" ถูกระบุไว้ในชุด ตกลงที่จะเขียน ">0" จากนั้น ³ 0 Û (a > 0 หรือ a = 0) ทฤษฎีบท 2

- ให้ลำดับพื้นฐาน (qn) ของจำนวนตรรกยะแทนจำนวนจริง a แล้ว: $ โปก) ($ p 1 О ลำดับ (q n) ถูกผูกไว้ถ้า $ 0, $MO $ โป("ไม่มี

, " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M $ โป b) ($ p 2 О ลำดับ (q n) ถูกผูกไว้ถ้า $ 0, $MO $ โป, $mО

, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ aเนื่องจาก " n³p 1 q n -M £ 0 ดังนั้นลำดับพื้นฐาน q n -M - ความแตกต่างระหว่างลำดับพื้นฐาน (q n) และลำดับคงที่ M ไม่สามารถเป็นลำดับบวกได้เนื่องจากเป็นศูนย์หรือลบ

ดังนั้น จำนวนจริง (a-M) ที่แสดงโดยลำดับนี้จึงไม่สามารถเป็นบวกได้ กล่าวคือ a-M £ 0 เช่น £M.

ในทำนองเดียวกัน b) ถือว่า

ทฤษฎีบท 3 - ลำดับพื้นฐาน (q n) ของจำนวนตรรกยะแสดงถึงจำนวนจริง a ก็ต่อเมื่อหาก " 0 มากมาย$pо $ โปนั่น "nÎ $ โปและn³p อสมการ |q n -a| ปอนด์อี:

(q n)Îa Û " 0< eÎมากมาย 2) ลำดับใด ๆ (a n) ที่มาบรรจบกันก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน $ โป, $MO $ โป, n³p) Þ |q n -a| ปอนด์อี

, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ aเราจะพิสูจน์ความจำเป็นเท่านั้น เห็นได้ชัดว่า "eО มากมาย$ อี 1 โอ ลำดับ (q n) ถูกผูกไว้ถ้า $ 0(อี 1 ปอนด์อี)

ให้ลำดับพื้นฐาน (qn) ของจำนวนตรรกยะเป็นตัวแทนของจำนวน a

ตามเงื่อนไขมันเป็นพื้นฐานนั่นคือ "0< eÎลำดับ (q n) ถูกผูกไว้ถ้า $ 0 2) ลำดับใด ๆ (a n) ที่มาบรรจบกันก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน $ โป, $MO ยังไม่มีข้อความ"ฉัน $ โป, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

ให้เราแก้ไขn³p จากนั้นเราจะได้ลำดับพื้นฐาน (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .)

เงื่อนไขทั้งหมดของลำดับนี้สำหรับ m³p เป็นไปตามอสมการ: |q m -q n |£ e/2

ตามทฤษฎีบทที่ 2 จำนวนจริงแทนด้วยลำดับนี้ | a-q n | £e/2.

- a-q n | £ อี โอ มากมาย"น³ป.

ทฤษฎีบท 4 - ไม่ว่าจำนวนจริง a จะเป็นจำนวนเต็มใดก็ตาม จะมีจำนวนเต็ม M เสมอ ซึ่งจะทำให้อสมการ M£a เป็นที่น่าพอใจ

(" aÎ มากมาย- ม ซี(ล้านปอนด์< M+1))

, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a

ขั้นตอนที่ 1 หลักฐานการดำรงอยู่

ให้ลำดับพื้นฐาน (q n) ของจำนวนตรรกยะแทนจำนวนจริง a: ((q n)Оa) โดยทฤษฎีบท 1, $ LО ซี 0เช่นนั้น "nО $ โป q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L)

โดยทฤษฎีบท 3 (q n)Îa Û " e>0, eО มากมาย 2) ลำดับใด ๆ (a n) ที่มาบรรจบกันก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน $ โป: ((" ไม่ใช่ $ โป, n³p) Þ ½q n -a½ £ e)

จากนั้น " n³p ½a½=½a- qn + qn ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e

เพราะ e เป็นตัวเลขใดๆ >0 แล้ว –L £ a £ L หลังจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า -1-L< a < L+1.

จากนั้น ในกลุ่มจำนวนเต็มจำกัด: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1 เราจะพบว่า อันดับแรกหมายเลข M+1 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข a< M+1.

จากนั้นหมายเลข M ไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

ขั้นตอนที่ 2 พิสูจน์เอกลักษณ์4

วางแผน:

การแนะนำ

• 1 สัจพจน์ของความต่อเนื่อง
• 2 บทบาทของสัจพจน์ของความต่อเนื่องในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
• 3 สูตรอื่นของคุณสมบัติความต่อเนื่องและประโยคที่เทียบเท่า
  • 3.1 ความต่อเนื่องตาม Dedekind
  • 3.2 บทแทรกบนส่วนที่ซ้อนกัน (หลักการ Cauchy-Cantor)
  • 3.3 หลักการอันสูงสุด
  • 3.4 บทแทรกจำกัด (หลักการไฮน์-บอเรล)
  • 3.5 บทแทรกจุดจำกัด (หลักการโบลซาโน-ไวเออร์สตราส)
• 4 ความเท่าเทียมกันของประโยคแสดงความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริง
หมายเหตุ
วรรณกรรม

การแนะนำ

ความต่อเนื่องของจำนวนจริง- คุณสมบัติของระบบจำนวนจริงที่เซตของจำนวนตรรกยะไม่มี บางครั้งแทนที่จะพูดถึงความต่อเนื่อง ความสมบูรณ์ของระบบจำนวนจริง- คุณสมบัติความต่อเนื่องมีสูตรต่างๆ มากมาย ซึ่งสูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ: หลักการของเดเดคินด์เรื่องความต่อเนื่องของจำนวนจริง, หลักการช่วงซ้อนของ Cauchy-Cantor, ทฤษฎีบทสูงสุด- ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ยอมรับของจำนวนจริง คุณสมบัติของความต่อเนื่องสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นสัจพจน์ในสูตรหนึ่งหรืออีกสูตรหนึ่ง หรือพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทก็ได้

1. สัจพจน์ของความต่อเนื่อง

ประโยคต่อไปนี้อาจเป็นสูตรที่ง่ายและสะดวกที่สุดสำหรับการประยุกต์คุณสมบัติความต่อเนื่องของจำนวนจริง ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนจริง ข้อความนี้หรือสิ่งที่เทียบเท่าจะรวมอยู่ในจำนวนสัจพจน์ของจำนวนจริงอย่างแน่นอน

ภาพประกอบทางเรขาคณิตของสัจพจน์ของความต่อเนื่อง

สัจพจน์ของความต่อเนื่อง (ความสมบูรณ์) ไม่ว่าเซตที่ไม่ว่างเปล่าจะเป็นเช่นไรสำหรับสององค์ประกอบใดๆ และอสมการที่มีอยู่ ก็จะมีตัวเลข ξ ในลักษณะที่ว่าสำหรับ all และความสัมพันธ์จะคงอยู่

ในเชิงเรขาคณิต หากเราถือว่าจำนวนจริงเป็นจุดบนเส้นตรง ข้อความนี้ดูเหมือนจะชัดเจน ถ้ามีสองชุด กและ บีโดยที่บนเส้นจำนวน องค์ประกอบทั้งหมดของหนึ่งในนั้นอยู่ทางด้านซ้ายขององค์ประกอบทั้งหมดของวินาที จากนั้นจะมีตัวเลข ξ การแบ่งสองชุดนี้ก็คือนอนอยู่ทางด้านขวาของธาตุทั้งหมด ก(ยกเว้นบางที ξ ตัวมันเอง) และทางด้านซ้ายขององค์ประกอบทั้งหมด บี(ข้อจำกัดความรับผิดชอบเดียวกัน)

ควรสังเกตไว้ที่นี่ว่าแม้จะมี "ความชัดเจน" ของคุณสมบัตินี้ แต่ก็ไม่เป็นความจริงเสมอไปสำหรับจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสองชุด:

จะเห็นได้ง่ายว่าองค์ประกอบใดและความไม่เท่าเทียมกัน ก < ข- อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลไม่มีตัวเลข ξ ที่แยกสองชุดนี้ออกจากกัน ที่จริงแล้ว จำนวนนี้สามารถเป็นได้เท่านั้น แต่มันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

2. บทบาทของสัจพจน์ของความต่อเนื่องในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ความสำคัญของสัจพจน์ของความต่อเนื่องก็คือหากไม่มีการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดก็เป็นไปไม่ได้ เพื่อแสดงให้เห็น เราได้นำเสนอการวิเคราะห์พื้นฐานหลายประการ ซึ่งการพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องของจำนวนจริง:

สุดท้ายนี้ ต้องขอบคุณอีกครั้งที่ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนทำให้เราสามารถกำหนดค่าของนิพจน์ได้ ก xแล้วโดยพลการ ในทำนองเดียวกัน การใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่อง เราจะพิสูจน์การมีอยู่ของบันทึกตัวเลข ก ขสำหรับใด ๆ

ในช่วงเวลาประวัติศาสตร์อันยาวนาน นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจากการวิเคราะห์ใน "จุดละเอียดอ่อน" ซึ่งหมายถึงการให้เหตุผลทางเรขาคณิต และบ่อยครั้งที่ข้ามมันไปโดยสิ้นเชิงเพราะมันชัดเจน มีการใช้แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องที่สำคัญทั้งหมดโดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน เฉพาะในช่วงสามสุดท้ายของศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ไวเออร์สตราส ทำการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยสร้างทฤษฎีที่เข้มงวดข้อแรกเกี่ยวกับจำนวนจริงที่เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เขาเสนอคำจำกัดความคลาสสิกของขีดจำกัดในภาษา พิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งที่ได้รับการพิจารณาว่า "ชัดเจน" ต่อหน้าเขา และด้วยเหตุนี้การสร้างรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงเสร็จสิ้น

ต่อมามีการเสนอแนวทางอื่นในการกำหนดจำนวนจริง ในแนวทางสัจพจน์ ความต่อเนื่องของจำนวนจริงถูกเน้นไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นสัจพจน์ที่แยกจากกัน ในแนวทางเชิงสร้างสรรค์สำหรับทฤษฎีจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น เมื่อสร้างจำนวนจริงโดยใช้ส่วนของ Dedekind คุณสมบัติของความต่อเนื่อง (ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง) จะได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นทฤษฎีบท

3. สูตรอื่น ๆ ของคุณสมบัติของความต่อเนื่องและประโยคที่เทียบเท่า

มีข้อความหลายข้อความที่แสดงคุณสมบัติของความต่อเนื่องของจำนวนจริง หลักการแต่ละข้อเหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างทฤษฎีจำนวนจริงให้เป็นสัจพจน์ของความต่อเนื่องได้ และหลักการอื่นๆ ทั้งหมดก็สามารถหาได้จากทฤษฎีดังกล่าว ปัญหานี้จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดเพิ่มเติมในส่วนถัดไป

3.1. ความต่อเนื่องตาม Dedekind

Dedekind พิจารณาคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องของจำนวนจริงในงานของเขาเรื่อง "Continuity and Irrational Numbers" ในนั้นเขาเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะกับจุดบนเส้นตรง ดังที่ทราบกันดีว่าสามารถสร้างการติดต่อระหว่างจำนวนตรรกยะและจุดบนเส้นได้เมื่อเลือกจุดเริ่มต้นและหน่วยการวัดของเซ็กเมนต์บนเส้น การใช้หลังกับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว กสร้างส่วนที่เกี่ยวข้องและวางไว้ทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับว่ามีหรือไม่ กจำนวนบวกหรือลบจะได้แต้ม พีตรงกับจำนวน ก- ดังนั้น สำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน กหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ตรงกัน พีบนเส้นตรง

ปรากฎว่ามีจุดบนเส้นตรงจำนวนอนันต์ที่ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะใดๆ ตัวอย่างเช่น จุดที่ได้จากการวางแผนความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนส่วนของหน่วย ดังนั้นขอบเขตของจำนวนตรรกยะจึงไม่มีค่านั้น ความสมบูรณ์, หรือ ความต่อเนื่องซึ่งมีอยู่ในเส้นตรง

เพื่อค้นหาว่าความต่อเนื่องนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง Dedekind กล่าวข้อสังเกตต่อไปนี้ ถ้า พีมีจุดใดจุดหนึ่งบนเส้น จากนั้นทุกจุดบนเส้นจะแบ่งออกเป็นสองชั้น: จุดที่ตั้งอยู่ทางด้านซ้าย พีและจุดที่อยู่ทางด้านขวา พี- จุดเดียวกันเลย พีสามารถกำหนดให้กับชั้นล่างหรือชั้นบนได้ตามอำเภอใจ Dedekind มองเห็นสาระสำคัญของความต่อเนื่องในหลักการย้อนกลับ:

ในเชิงเรขาคณิต หลักการนี้ดูเหมือนชัดเจน แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ Dedekind เน้นย้ำว่าโดยพื้นฐานแล้ว หลักการนี้เป็นสมมุติฐานที่แสดงออกถึงแก่นแท้ของทรัพย์สินนั้นที่เกิดจากทางตรง ซึ่งเราเรียกว่าความต่อเนื่อง

เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญของความต่อเนื่องของเส้นจำนวนในความหมายของ Dedekind ได้ดีขึ้น ให้พิจารณาส่วนใดส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง นั่นคือ การหารจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสองชั้นที่ไม่ว่าง เพื่อให้ตัวเลขทั้งหมด ของชั้นหนึ่งอยู่บนเส้นจำนวนทางด้านซ้ายของจำนวนวินาทีทั้งหมด คลาสเหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตามนั้น ต่ำกว่าและ ชนชั้นสูงส่วนต่างๆ ตามทฤษฎีแล้ว มีความเป็นไปได้ 4 ประการ:

1. ชั้นล่างมีองค์ประกอบสูงสุด ชั้นบนไม่มีขั้นต่ำ
2. ชั้นล่างไม่มีองค์ประกอบสูงสุด แต่ชั้นบนมีองค์ประกอบขั้นต่ำ
3. ชั้นล่างมีสูงสุดและชั้นบนมีองค์ประกอบขั้นต่ำ
4. ชั้นล่างไม่มีค่าสูงสุด และชั้นบนไม่มีองค์ประกอบขั้นต่ำ

ในกรณีแรกและที่สอง องค์ประกอบสูงสุดของด้านล่างหรือองค์ประกอบขั้นต่ำของด้านบนตามลำดับจะสร้างส่วนนี้ ในกรณีที่สามเรามี เผ่นและในช่วงที่สี่ - ช่องว่าง- ดังนั้น ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนหมายความว่าในชุดของจำนวนจริงจะไม่มีการข้ามหรือช่องว่าง กล่าวคือ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างแล้ว ไม่มีช่องว่าง

หากเราแนะนำแนวคิดในส่วนของเซตของจำนวนจริง หลักการความต่อเนื่องของ Dedekind สามารถกำหนดได้ดังนี้

หลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind (ความสมบูรณ์) สำหรับแต่ละส่วนของเซตของจำนวนจริง จะมีตัวเลขตัวหนึ่งที่สร้างส่วนนี้

ความคิดเห็น การกำหนดสัจพจน์ของความต่อเนื่องเกี่ยวกับการมีอยู่ของจุดที่แยกสองชุดนั้นชวนให้นึกถึงการกำหนดหลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind อันที่จริง ข้อความเหล่านี้เทียบเท่ากัน และโดยพื้นฐานแล้วเป็นสูตรที่แตกต่างกันของสิ่งเดียวกัน ดังนั้นทั้งสองข้อความนี้จึงถูกเรียกว่า หลักการของเดเดคินด์เรื่องความต่อเนื่องของจำนวนจริง.

3.2. บทแทรกบนส่วนที่ซ้อนกัน (หลักการ Cauchy-Cantor)

บทแทรกบนส่วนที่ซ้อนกัน (คอชี่ - คันทอร์) ระบบใดๆ ของส่วนที่ซ้อนกัน

มีจุดตัดที่ไม่ว่าง นั่นคือ มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวที่อยู่ในทุกส่วนของระบบที่กำหนด

นอกจากนี้ หากความยาวของส่วนของระบบที่กำหนดมีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นก็คือ

ดังนั้นจุดตัดของระบบนี้จึงประกอบด้วยจุดเดียว

คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า ความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงในความหมายของคันทอร์- ด้านล่างนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าสำหรับฟิลด์ที่เรียงลำดับของ Archimedean ความต่อเนื่องตาม Cantor จะเทียบเท่ากับความต่อเนื่องตาม Dedekind

3.3. หลักการอันสูงสุด

หลักการอันสูงสุด. จำนวนจริงที่ไม่ว่างทุกชุดที่อยู่ด้านบนจะมีค่าสูงสุด

ในหลักสูตรแคลคูลัส ข้อเสนอนี้มักจะเป็นทฤษฎีบทและการพิสูจน์ของมันจะใช้ประโยชน์จากความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ในเวลาเดียวกัน ในทางกลับกัน เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามีการมีอยู่ของจุดสูงสุดสำหรับเซตที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่ขอบเขตด้านบน และอาศัยสิ่งนี้เพื่อพิสูจน์ เช่น หลักการของความต่อเนื่องตาม Dedekind ดังนั้น ทฤษฎีบทสุพรีมัมจึงเป็นหนึ่งในสูตรสมมูลที่เทียบเท่ากันของสมบัติความต่อเนื่องของจำนวนจริง

ความคิดเห็น แทนที่จะมีอำนาจสูงสุด เราสามารถใช้แนวคิดคู่ของความไม่สำคัญได้

หลักการของความไม่มั่นคง ชุดจำนวนจริงที่ไม่ว่างทุกชุดที่ขอบเขตจากด้านล่างจะมีค่าไม่สิ้นสุด

ข้อเสนอนี้ยังเทียบเท่ากับหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind อีกด้วย นอกจากนี้ ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าข้อความของทฤษฎีบทระดับบนเป็นไปตามโดยตรงจากข้อความของทฤษฎีบทระดับล่าง และในทางกลับกัน (ดูด้านล่าง)

3.4. บทแทรกจำกัด (หลักการไฮน์-บอเรล)

บทปกจำกัด Lemma (ไฮน์ - โบเรล). ในระบบของช่วงเวลาใดๆ ที่ครอบคลุมเซกเมนต์ จะมีระบบย่อยที่มีขอบเขตจำกัดครอบคลุมเซ็กเมนต์นี้

3.5. บทแทรกจุดจำกัด (หลักการโบลซาโน-ไวเออร์สตราส)

บทแทรกจุดจำกัด (โบลซาโน่ - ไวเออร์สตราส) ชุดจำนวนจำกัดอนันต์ทุกชุดมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด

4. ความเท่าเทียมกันของประโยคแสดงความต่อเนื่องของเซตจำนวนจริง

เรามาตั้งข้อสังเกตเบื้องต้นกัน ตามคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของจำนวนจริง เซตของจำนวนจริงเป็นไปตามสัจพจน์สามกลุ่ม กลุ่มแรกคือสัจพจน์ภาคสนาม กลุ่มที่สองแสดงข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นเซตที่มีลำดับเชิงเส้น และความสัมพันธ์ของลำดับสอดคล้องกับการดำเนินการพื้นฐานของสนาม ดังนั้น กลุ่มสัจพจน์กลุ่มแรกและกลุ่มที่สองจึงหมายความว่าเซตของจำนวนจริงแสดงถึงเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ สัจพจน์กลุ่มที่สามประกอบด้วยสัจพจน์เดียว - สัจพจน์แห่งความต่อเนื่อง (หรือความสมบูรณ์)

เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันของสูตรต่างๆ ของความต่อเนื่องของจำนวนจริง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าหากข้อความใดข้อความหนึ่งเหล่านี้มีไว้สำหรับเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ ความถูกต้องของข้อความอื่นๆ ทั้งหมดจะตามมาจากนี้

ทฤษฎีบท. อนุญาต เป็นเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามอำเภอใจ ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทนี้ ประโยคทั้งสี่นี้ใช้เฉพาะข้อเท็จจริงที่ว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นถูกนำมาใช้เท่านั้น และไม่ใช้โครงสร้างของสนาม ดังนั้นแต่ละชุดจึงแสดงคุณสมบัติของเซตที่มีการเรียงลำดับเชิงเส้น คุณสมบัตินี้ (ของเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามใจชอบ ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตของจำนวนจริง) จะถูกเรียก ความต่อเนื่องหรือความสมบูรณ์ตาม Dedekind.

การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของประโยคอื่นๆ จำเป็นต้องมีโครงสร้างสนามอยู่แล้ว

ทฤษฎีบท. ปล่อยให้เป็นสนามที่สั่งโดยพลการ ประโยคต่อไปนี้เทียบเท่า:

ความคิดเห็น ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบท หลักการของส่วนที่ซ้อนกันนั่นเอง ไม่เทียบเท่าหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind จากหลักการความต่อเนื่องของเดเดไคนด์ หลักการของส่วนที่ซ้อนกันจะตามมา แต่สำหรับการสนทนานั้น จำเป็นต้องกำหนดเพิ่มเติมว่าฟิลด์ที่ได้รับการจัดลำดับเป็นไปตามสัจพจน์ของอาร์คิมิดีส

การพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นสามารถพบได้ในหนังสือจากรายการอ้างอิงด้านล่าง

หมายเหตุ

1. โซริช, วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 - เอ็ด ฉบับที่ 4 - อ.: "MCNMO", 2545. - หน้า 43.
2. ตัวอย่างเช่น ด้วยคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของจำนวนจริง หลักการความต่อเนื่องของ Dedekind จะรวมอยู่ในจำนวนสัจพจน์ และด้วยคำจำกัดความเชิงสร้างสรรค์ของจำนวนจริงโดยใช้ส่วนของ Dedekind ข้อความเดียวกันนี้จึงเป็นทฤษฎีบทอยู่แล้ว - ดูตัวอย่าง ฟิคเทนโกลท์ส, จี. เอ็ม.
3. Kudryavtsev, L.D.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉบับที่ 5 - อ.: “อีแร้ง”, 2546. - ต. 1. - หน้า 38.
4. Kudryavtsev, L.D.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉบับที่ 5 - อ.: “อีแร้ง”, 2546. - ต. 1. - หน้า 84.
5. โซริช, วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 - เอ็ด 4 ฉบับแก้ไข.. - อ.: “MCNMO”, 2545. - หน้า 81.
6. เดเดไคนด์, อาร์.ความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะ - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen - ฉบับแก้ไขครั้งที่ 4 - โอเดสซา: คณิตศาสตร์ 2466 - 44 น.

วรรณกรรม

• Kudryavtsev, L.D.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉบับที่ 5 - อ.: “อีแร้ง”, 2546. - ต. 1. - 704 หน้า - ไอ 5-7107-4119-1
• ฟิคเทนโกลท์ส, จี. เอ็ม.พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉบับที่ 7 - อ.: “FIZMATLIT”, 2545. - ต. 1. - 416 หน้า - ไอ 5-9221-0196-X
• เดเดไคนด์, อาร์.ความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะ - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen - ฉบับแก้ไขครั้งที่ 4 - โอเดสซา: คณิตศาสตร์ 2466 - 44 น. ความสมบูรณ์ของทัวริง การแบ่งส่วนของเซต การแปรผันของเซต ระดับของเซต