การแก้อสมการด้วยโมดูลัส อสมการกับโมดูลัส

วันนี้เพื่อน ๆ จะไม่มีน้ำมูกหรือน้ำมูก แต่ฉันจะส่งคุณไปต่อสู้กับหนึ่งในคู่ต่อสู้ที่น่าเกรงขามที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8-9 แทน

ใช่ คุณเข้าใจทุกอย่างถูกต้องแล้ว เรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลัส เราจะดูเทคนิคพื้นฐานสี่ประการที่คุณจะได้เรียนรู้ในการแก้ปัญหาดังกล่าวประมาณ 90% แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? เราจะพูดถึงพวกเขาในบทเรียนแยกต่างหาก :)

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะวิเคราะห์เทคนิคใดๆ ฉันอยากจะเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงสองประการที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว มิฉะนั้น คุณอาจเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจเนื้อหาของบทเรียนวันนี้เลย

สิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว

Captain Obviousness ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยโมดูลัส คุณจำเป็นต้องรู้สองสิ่ง:

1. ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขอย่างไร
2. โมดูลคืออะไร?

เริ่มจากจุดที่สองกันก่อน

คำจำกัดความของโมดูล

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ มีสองคำจำกัดความ: พีชคณิตและกราฟิก เริ่มต้นด้วย - พีชคณิต:

คำนิยาม. โมดูลัสของตัวเลข $x$ อาจเป็นตัวเลขนั้นเอง ถ้าไม่เป็นลบ หรือเป็นจำนวนที่อยู่ตรงข้าม ถ้า $x$ เดิมยังคงเป็นลบ

มันเขียนแบบนี้:

\[\ซ้าย| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

การพูด ในภาษาง่ายๆโมดูลัสคือ “ตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายลบ” และมันอยู่ในความเป็นคู่นี้อย่างแน่นอน (ในบางสถานที่คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับหมายเลขเดิม แต่ในบางสถานที่คุณจะต้องลบเครื่องหมายลบบางประเภทออก) นั่นคือจุดที่ความยากลำบากทั้งหมดอยู่ที่นักเรียนระดับเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความทางเรขาคณิตด้วย การรู้ก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่เราจะหันไปใช้เฉพาะในกรณีที่ซับซ้อนและบางกรณีพิเศษเท่านั้น ซึ่งวิธีการทางเรขาคณิตสะดวกกว่าพีชคณิต (สปอยเลอร์: ไม่ใช่วันนี้)

คำนิยาม. ให้จุด $a$ ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน จากนั้นโมดูล $\left| x-a \right|$ คือระยะห่างจากจุด $x$ ถึงจุด $a$ บนเส้นนี้

หากคุณวาดภาพคุณจะได้สิ่งนี้:

คำจำกัดความของโมดูลกราฟิก

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง จากคำจำกัดความของโมดูล คุณสมบัติหลักจะตามมาทันที: โมดูลัสของตัวเลขจะเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบเสมอ- ข้อเท็จจริงนี้จะเป็นหัวข้อสีแดงที่ดำเนินไปตลอดการเล่าเรื่องทั้งหมดของเราในวันนี้

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน วิธีช่วงเวลา

ทีนี้มาดูความไม่เท่าเทียมกันกัน มีพวกมันมากมาย แต่งานของเราตอนนี้คือต้องสามารถแก้ไขอย่างน้อยที่สุดก็ง่ายที่สุด พวกที่ลงมา. อสมการเชิงเส้นเช่นเดียวกับวิธีช่วงเวลา

ฉันมีบทเรียนสำคัญสองบทในหัวข้อนี้ (อย่างไรก็ตาม มีประโยชน์มาก - ฉันแนะนำให้ศึกษาบทเรียนเหล่านี้):

1. วิธีช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (โดยเฉพาะดูวิดีโอ)
2. อสมการเชิงตรรกศาสตร์แบบเศษส่วนเป็นบทเรียนที่กว้างขวางมาก แต่หลังจากนั้น คุณจะไม่มีคำถามใดๆ เลย

หากคุณรู้ทั้งหมดนี้ หากวลี "เปลี่ยนจากความไม่เท่าเทียมกันไปสู่สมการ" ไม่ได้ทำให้คุณมีความปรารถนาที่คลุมเครือที่จะชนกำแพงคุณก็พร้อมแล้ว: ยินดีต้อนรับสู่หัวข้อหลักของบทเรียน :)

1. อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสน้อยกว่าฟังก์ชัน”

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดเกี่ยวกับโมดูล จำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \ltg\]

ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่โดยปกติแล้วจะเป็นพหุนาม ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \ขวา| \ltx+7; \\ & \ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \ซ้าย| ((x)^(2))-2\ซ้าย| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

ทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ในบรรทัดเดียวตามรูปแบบต่อไปนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเรากำจัดโมดูลออกไป แต่ในทางกลับกัน เราก็ได้รับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า (หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน นั่นคือระบบของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง) แต่การเปลี่ยนแปลงนี้คำนึงถึงทุกสิ่งอย่างแน่นอน ปัญหาที่เป็นไปได้: ถ้าตัวเลขใต้โมดูลัสเป็นบวก แสดงว่าวิธีนี้ได้ผล หากเป็นลบก็ยังใช้งานได้ และถึงแม้จะมีฟังก์ชันที่ไม่เพียงพอที่สุดแทนที่ $f$ หรือ $g$ วิธีการก็ยังใช้งานได้

โดยธรรมชาติแล้วคำถามก็เกิดขึ้น: ง่ายกว่านี้ไม่ได้เหรอ? น่าเสียดายที่มันเป็นไปไม่ได้ นี่คือจุดรวมของโมดูล

แต่พอมีปรัชญาแล้ว มาแก้ไขปัญหาสองสามข้อกัน:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| 2x+3 \ขวา| \lt x+7\]

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิกของรูปแบบ "โมดูลัสน้อยกว่า" - ไม่มีอะไรจะแปลงด้วยซ้ำ เราทำงานตามอัลกอริทึม:

\[\begin(align) & \left| ฉ\ขวา| \lt g\ลูกศรขวา -g \lt f \lt g; \\ & \ซ้าย| 2x+3 \ขวา| \lt x+7\ลูกศรขวา -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

อย่ารีบเปิดวงเล็บที่มีเครื่องหมาย "ลบ" นำหน้า: ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคุณจะทำผิดพลาดที่น่ารังเกียจเนื่องจากความเร่งรีบของคุณ

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

ปัญหาลดลงเหลือความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นสองประการ ให้เราสังเกตคำตอบของพวกเขาบนเส้นจำนวนคู่ขนาน:

จุดตัดของชุด

จุดตัดของเซตเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

สารละลาย. งานนี้ยากขึ้นเล็กน้อย ขั้นแรก เรามาแยกโมดูลโดยเลื่อนเทอมที่สองไปทางขวา:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

เห็นได้ชัดว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลมีขนาดเล็กกว่า" อีกครั้งดังนั้นเราจึงกำจัดโมดูลโดยใช้อัลกอริธึมที่ทราบอยู่แล้ว:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

ตอนนี้ให้ความสนใจ: บางคนจะบอกว่าฉันเป็นคนนิสัยไม่ดีกับวงเล็บทั้งหมดนี้ แต่ให้ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่าเป้าหมายหลักของเราคือ แก้ความไม่เท่าเทียมกันให้ถูกต้องแล้วได้คำตอบ- ต่อมาเมื่อคุณเชี่ยวชาญทุกสิ่งที่อธิบายไว้ในบทเรียนนี้อย่างสมบูรณ์แล้ว คุณสามารถบิดเบือนมันได้เองตามที่คุณต้องการ: เปิดวงเล็บเหลี่ยม เพิ่มเครื่องหมายลบ ฯลฯ

ขั้นแรกเราจะกำจัดเครื่องหมายลบสองเท่าทางด้านซ้าย:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ซ้าย(x+1 \ขวา)\]

ทีนี้มาเปิดวงเล็บทั้งหมดในอสมการสองเท่ากัน:

เรามาดูอสมการสองเท่ากันดีกว่า. คราวนี้การคำนวณจะจริงจังกว่านี้:

\[\left\( \begin(จัดแนว) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( จัดตำแหน่ง)\right.\]

อสมการทั้งสองเป็นแบบกำลังสองและสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา (นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณไม่รู้ว่าสิ่งนี้คืออะไร จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่เข้าร่วมโมดูล) เรามาดูสมการในอสมการแรกกันดีกว่า:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ซ้าย(x+5 \ขวา)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(จัดแนว)\]

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น ทีนี้มาดูอสมการที่สองของระบบกัน คุณจะต้องใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ที่นั่น:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายตัวเลขผลลัพธ์บนเส้นคู่ขนานสองเส้น (แยกสำหรับความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกและแยกจากที่สอง):

อีกครั้ง เนื่องจากเรากำลังแก้ระบบอสมการ เราจึงสนใจจุดตัดของเซตสีเทา: $x\in \left(-5;-2 \right)$ นี่คือคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

ฉันคิดว่าหลังจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปแบบการแก้ปัญหามีความชัดเจนมาก:

1. แยกโมดูลโดยการย้ายพจน์อื่นๆ ทั้งหมดไปไว้ฝั่งตรงข้ามของอสมการ ดังนั้นเราจึงได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\left| ฉ\ขวา| \ltg$.
2. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยการกำจัดโมดูลตามโครงร่างที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อถึงจุดหนึ่ง จำเป็นต้องย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าไปเป็นระบบสองนิพจน์ที่เป็นอิสระ ซึ่งแต่ละนิพจน์สามารถแก้ไขได้แยกกันอยู่แล้ว
3. สุดท้าย สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือตัดผลเฉลยของนิพจน์อิสระทั้งสองนี้ - เท่านี้ก็เรียบร้อย เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย

อัลกอริธึมที่คล้ายกันมีอยู่สำหรับอสมการประเภทต่อไปนี้ เมื่อโมดูลัสมากกว่าฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม มี "แต่" ที่ร้ายแรงอยู่สองสามประการ เราจะพูดถึง "แต่" เหล่านี้ตอนนี้

2. อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสมีค่ามากกว่าฟังก์ชัน”

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gtg\]

คล้ายกับครั้งก่อน? ดูเหมือนว่า. แต่ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง อย่างเป็นทางการโครงการมีดังนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt g\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะพิจารณาสองกรณี:

1. อันดับแรก เราเพียงเพิกเฉยต่อโมดูลและแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตามปกติ
2. โดยพื้นฐานแล้ว เราจะขยายโมดูลด้วยเครื่องหมายลบ จากนั้นคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย −1 ขณะที่ฉันมีเครื่องหมายอยู่

ในกรณีนี้ ตัวเลือกจะรวมกับวงเล็บเหลี่ยม เช่น เรามีข้อกำหนดสองประการรวมกันอยู่ตรงหน้าเรา

โปรดทราบอีกครั้ง: นี่ไม่ใช่ระบบ แต่เป็นระบบทั้งหมด ในคำตอบ ชุดต่างๆ จะรวมกันแทนที่จะตัดกัน- นี้ ความแตกต่างพื้นฐานจากข้อที่แล้ว!

โดยทั่วไปแล้ว นักเรียนหลายคนสับสนอย่างสิ้นเชิงกับสหภาพแรงงานและทางแยก ดังนั้นเรามาแก้ไขปัญหานี้กัน:

• "∪" คือสัญลักษณ์สหภาพ โดยพื้นฐานแล้วนี่คือตัวอักษร "U" ที่เก๋ไก๋ซึ่งส่งถึงเรา ภาษาอังกฤษและเป็นคำย่อของคำว่า “ยูเนี่ยน” คือ "สมาคม".
• "∩" คือป้ายสี่แยก เรื่องไร้สาระนี้ไม่ได้มาจากที่ไหนเลย แต่ดูเหมือนเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ “∪”

เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้น เพียงวาดขาไปที่ป้ายเหล่านี้เพื่อทำแว่นตา (อย่ากล่าวหาว่าฉันส่งเสริมการติดยาและโรคพิษสุราเรื้อรัง: หากคุณศึกษาบทเรียนนี้อย่างจริงจัง แสดงว่าคุณติดยาแล้ว):

ความแตกต่างระหว่างจุดตัดและการรวมกันของเซต

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซียหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: สหภาพ (ผลรวม) รวมถึงองค์ประกอบจากทั้งสองชุดดังนั้นจึงไม่น้อยไปกว่าแต่ละชุด แต่จุดตัด (ระบบ) จะรวมเฉพาะองค์ประกอบที่พร้อมกันทั้งชุดแรกและชุดที่สอง ดังนั้นจุดตัดกันของเซตจึงไม่ใหญ่กว่าเซตต้นทาง

มันเลยชัดเจนขึ้น? นั่นเยี่ยมมาก เรามาฝึกกันต่อ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| 3x+1 \ขวา| \gt 5-4x\]

สารละลาย. เราดำเนินการตามโครงการ:

\[\ซ้าย| 3x+1 \ขวา| \gt 5-4x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ขวา.\]

เราแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในประชากรแต่ละอย่าง:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

เราทำเครื่องหมายแต่ละชุดผลลัพธ์บนเส้นจำนวน จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน:

ยูเนี่ยนของชุด

เห็นได้ชัดว่าคำตอบจะเป็น $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

คำตอบ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

สารละลาย. ดี? ไม่มีอะไร - ทุกอย่างเหมือนกัน เราย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันด้วยมอดุลัสไปสู่ชุดของอสมการสองประการ:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

เราแก้ไขทุกความไม่เท่าเทียมกัน น่าเสียดายที่รากที่นั่นจะไม่ดีนัก:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2) \\\end(จัดแนว)\]

ความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองนั้นค่อนข้างจะรุนแรง:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2) \\\end(จัดแนว)\]

ตอนนี้คุณต้องทำเครื่องหมายตัวเลขเหล่านี้บนสองแกน - หนึ่งแกนสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอัน อย่างไรก็ตาม จะต้องทำเครื่องหมายคะแนนไว้ ในลำดับที่ถูกต้อง: ยังไง จำนวนที่มากขึ้นยิ่งเราเลื่อนจุดไปทางขวามากเท่าไร

และนี่คือการตั้งค่ารอเราอยู่ ถ้าทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (เงื่อนไขในตัวเศษของตัวแรก เศษส่วนน้อยกว่าพจน์ในตัวเศษของวินาที ดังนั้นผลรวมจึงน้อยกว่าด้วย) โดยมีตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ก็จะไม่มีปัญหาเช่นกัน (จำนวนบวกเป็นลบมากกว่าอย่างเห็นได้ชัด) จากนั้นสองสามอย่างสุดท้ายทุกอย่างก็ไม่ชัดเจน อันไหนมากกว่า: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ หรือ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? การวางจุดบนเส้นจำนวนและที่จริงแล้วคำตอบจะขึ้นอยู่กับคำตอบของคำถามนี้

ลองเปรียบเทียบกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ วี -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(เมทริกซ์)\]

เราแยกรากได้จำนวนที่ไม่เป็นลบทั้งสองข้างของอสมการ ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(เมทริกซ์)\]

ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่ $4\sqrt(13) \gt 3$ ดังนั้น $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ จุดสุดท้ายบนแกนจะถูกวางดังนี้:

กรณีของรากที่น่าเกลียด

ฉันขอเตือนคุณว่าเรากำลังแก้ไขคอลเลคชัน ดังนั้นคำตอบจะเป็นการรวม ไม่ใช่จุดตัดของเซตที่แรเงา

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

อย่างที่คุณเห็น โครงการของเราใช้ได้ผลดีกับทั้งคู่ งานง่ายๆและสำหรับอันที่ยากมาก “จุดอ่อน” เพียงอย่างเดียวในแนวทางนี้คือคุณต้องเปรียบเทียบให้ถูกต้อง ตัวเลขอตรรกยะ(และเชื่อฉันเถอะ: มันไม่ใช่แค่รากเท่านั้น) แต่บทเรียนแยกต่างหาก (และจริงจังมาก) จะเน้นไปที่ประเด็นการเปรียบเทียบ และเราก็เดินหน้าต่อไป

3. ความไม่เท่าเทียมกันกับ "ก้อย" ที่ไม่เป็นลบ

ตอนนี้เรามาถึงส่วนที่น่าสนใจที่สุดแล้ว นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt \ซ้าย| ก\ขวา|\]

โดยทั่วไปแล้ว อัลกอริธึมที่เราจะพูดถึงตอนนี้นั้นถูกต้องสำหรับโมดูลเท่านั้น มันใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด โดยรับประกันว่านิพจน์ที่ไม่เป็นลบทางซ้ายและขวา:

จะทำอย่างไรกับงานเหล่านี้? เพียงจำไว้ว่า:

ในความไม่เท่าเทียมกับ "หาง" ที่ไม่เป็นลบ ทั้งสองฝ่ายสามารถยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติใดก็ได้ จะไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม

ก่อนอื่นเราจะสนใจเรื่องการยกกำลังสอง - มันเผาโมดูลและรูท:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f \\\end(จัดแนว)\]

อย่าสับสนกับการหารากของกำลังสอง:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| ฉ \right|\ne ฉ\]

เกิดข้อผิดพลาดนับไม่ถ้วนเมื่อนักเรียนลืมติดตั้งโมดูล! แต่นั่นเป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง (มันประมาณว่า สมการไม่ลงตัว) ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้ มาแก้ไขปัญหาสองสามข้อกันดีกว่า:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \ขวา|\]

สารละลาย. ลองสังเกตสองสิ่งทันที:

1. นี่ไม่ใช่ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด จุดบนเส้นจำนวนจะถูกแทง
2. เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านไม่เป็นลบ (นี่คือคุณสมบัติของโมดูล: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)

ดังนั้นเราจึงสามารถยกกำลังสองของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านเพื่อกำจัดโมดูลัสและแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีช่วงเวลาปกติ:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]

บน ขั้นตอนสุดท้ายฉันโกงนิดหน่อย: ฉันเปลี่ยนลำดับของคำศัพท์ โดยใช้ประโยชน์จากความสมดุลของโมดูล (อันที่จริง ฉันคูณนิพจน์ $1-2x$ ด้วย −1)

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ขวา)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

เราแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา เรามาเปลี่ยนจากอสมการไปสู่สมการกัน:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3) \\\end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวน อีกครั้ง: ทุกจุดถูกแรเงาเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมไม่เข้มงวด!

กำจัดเครื่องหมายมอดุลัส

ฉันขอเตือนคุณสำหรับผู้ที่ดื้อรั้นเป็นพิเศษ: เรานำสัญญาณจากความไม่เท่าเทียมกันครั้งล่าสุดซึ่งเขียนไว้ก่อนที่จะไปสู่สมการ และเราทาสีทับพื้นที่ที่ต้องการในความไม่เท่าเทียมกันเดียวกัน ในกรณีของเราคือ $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

สารละลาย. เราทำทุกอย่างเหมือนกัน ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น - แค่ดูลำดับของการกระทำ

ยกกำลังสอง:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right|. \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \ขวา))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ขวา))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\เลอ 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

วิธีช่วงเวลา:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ลูกศรขวา x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

มีเพียงรากเดียวบนเส้นจำนวน:

คำตอบคือช่วงเวลาทั้งหมด

คำตอบ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

บันทึกเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับงานสุดท้าย ตามที่นักเรียนคนหนึ่งของฉันระบุไว้อย่างถูกต้อง นิพจน์ย่อยทั้งสองในความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นเชิงบวกอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นจึงสามารถละเครื่องหมายโมดูลัสได้โดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพ

แต่นี่เป็นระดับการคิดที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงและเป็นแนวทางที่แตกต่าง - มันสามารถเรียกได้ว่าเป็นวิธีการของผลที่ตามมาอย่างมีเงื่อนไข เกี่ยวกับเรื่องนี้ - ในบทเรียนแยกต่างหาก ตอนนี้เรามาดูส่วนสุดท้ายของบทเรียนของวันนี้แล้วดูอัลกอริธึมสากลที่ใช้งานได้เสมอ แม้ว่าวิธีการก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไร้พลังก็ตาม :)

4. วิธีการแจกแจงตัวเลือก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเทคนิคทั้งหมดนี้ไม่ได้ช่วยอะไร? หากไม่สามารถลดความไม่เท่าเทียมกันเป็นหางที่ไม่เป็นลบได้หากไม่สามารถแยกโมดูลได้หากโดยทั่วไปมีความเจ็บปวดความโศกเศร้าความเศร้าโศก?

จากนั้น “ปืนใหญ่” ของคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็มาถึงที่เกิดเหตุ ซึ่งเป็นวิธีแบบเดรัจฉาน สัมพันธ์กับอสมการกับโมดูลัส มีลักษณะดังนี้:

1. เขียนนิพจน์ย่อยทั้งหมดและตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์
2. แก้สมการผลลัพธ์และทำเครื่องหมายรากที่พบในเส้นจำนวนหนึ่งเส้น
3. เส้นตรงจะแบ่งออกเป็นหลายส่วนโดยแต่ละโมดูลจะมี ป้ายคงที่จึงถูกเปิดเผยอย่างไม่คลุมเครือ
4. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในแต่ละส่วนดังกล่าว (คุณสามารถพิจารณาขอบเขตรากที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 แยกกันเพื่อความน่าเชื่อถือ) รวมผลลัพธ์ - นี่จะเป็นคำตอบ :)

แล้วยังไงล่ะ? อ่อนแอ? อย่างง่ายดาย! เป็นเวลานานเท่านั้น มาดูในทางปฏิบัติ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| x+2 \ขวา| \lt \ซ้าย| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

สารละลาย. เรื่องไร้สาระนี้ไม่ได้เดือดลงไปถึงความไม่เท่าเทียมเช่น $\left| ฉ\ขวา| \lt g$, $\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt g$ หรือ $\left| ฉ\ขวา| \lt \ซ้าย| g \right|$ ดังนั้นเราจึงดำเนินการล่วงหน้า

เราเขียนนิพจน์ submodular จัดให้เป็นศูนย์และค้นหาราก:

\[\begin(align) & x+2=0\ลูกศรขวา x=-2; \\ & x-1=0\ลูกศรขวา x=1 \\\end(จัดแนว)\]

โดยรวมแล้ว เรามีรากสองอันที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามส่วน ซึ่งภายในแต่ละโมดูลจะถูกเปิดเผยโดยไม่ซ้ำกัน:

การแบ่งเส้นจำนวนด้วยศูนย์ของฟังก์ชันย่อย

มาดูแต่ละส่วนแยกกัน

1. ให้ $x \lt -2$. จากนั้นนิพจน์ย่อยทั้งสองจะเป็นค่าลบ และความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end (จัดแนว)\]

เรามีข้อจำกัดที่ค่อนข้างง่าย ลองตัดมันด้วยสมมติฐานเบื้องต้นว่า $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

แน่นอนว่าตัวแปร $x$ ต้องไม่น้อยกว่า −2 และมากกว่า 1.5 ในเวลาเดียวกัน ไม่มีวิธีแก้ปัญหาในพื้นที่นี้

1.1. ให้เราพิจารณากรณีเส้นเขตแดนแยกกัน: $x=-2$ ลองแทนจำนวนนี้ลงในอสมการเดิมแล้วตรวจดู: จริงไหม?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \ซ้าย| -3\ขวา|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

เห็นได้ชัดว่าห่วงโซ่การคำนวณทำให้เราเกิดความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเป็นเท็จเช่นกัน และ $x=-2$ จะไม่รวมอยู่ในคำตอบ

2. ให้ $-2 \lt x \lt 1$ โมดูลด้านซ้ายจะเปิดด้วยเครื่องหมาย "บวก" อยู่แล้ว แต่โมดูลด้านขวาจะยังคงเปิดด้วย "เครื่องหมายลบ" เรามี:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราตัดกับข้อกำหนดเดิมอีกครั้ง:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

และขอย้ำอีกครั้งว่าชุดของคำตอบนั้นว่างเปล่า เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่ทั้งน้อยกว่า −2.5 และมากกว่า −2

2.1. และอีกครั้ง กรณีพิเศษ: $x=1$. เราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ซ้าย| 3\ขวา| \lt \ซ้าย| 0 \ขวา|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

เช่นเดียวกับ “กรณีพิเศษ” ก่อนหน้านี้ ตัวเลข $x=1$ ไม่ได้รวมอยู่ในคำตอบอย่างชัดเจน

3. ส่วนสุดท้ายของบรรทัด: $x \gt 1$ ที่นี่โมดูลทั้งหมดจะเปิดขึ้นโดยมีเครื่องหมายบวก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

และอีกครั้งที่เราตัดกันเซตที่พบด้วยข้อจำกัดเดิม:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

ในที่สุด! เราได้พบช่วงเวลาที่จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

สุดท้ายนี้ มีหมายเหตุหนึ่งที่อาจช่วยคุณจากความผิดพลาดโง่ๆ เมื่อแก้ไขปัญหาจริง:

คำตอบของอสมการด้วยโมดูลัสมักจะแสดงถึงเซตต่อเนื่องบนเส้นจำนวน - ช่วงเวลาและเซ็กเมนต์ จุดที่แยกออกมานั้นพบได้น้อยกว่ามาก และบ่อยครั้งที่ขอบเขตของการแก้ปัญหา (จุดสิ้นสุดของส่วน) เกิดขึ้นพร้อมกับขอบเขตของช่วงที่พิจารณา

ดังนั้น หากไม่รวมขอบเขต ("กรณีพิเศษ" เดียวกันในคำตอบ พื้นที่ทางซ้ายและขวาของขอบเขตเหล่านี้แทบจะไม่รวมอยู่ในคำตอบเลย และในทางกลับกัน: เส้นขอบเข้าสู่คำตอบ ซึ่งหมายความว่าบางพื้นที่รอบ ๆ จะเป็นคำตอบด้วย

โปรดคำนึงถึงสิ่งนี้เมื่อตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณ

โมดูลัสของตัวเลขหมายเลขนี้จะถูกเรียกเองหากไม่เป็นลบ หรือเรียกหมายเลขเดียวกันที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามหากเป็นลบ

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของตัวเลข 6 คือ 6 และโมดูลัสของตัวเลข -6 ก็คือ 6 เช่นกัน

นั่นคือโมดูลัสของตัวเลขเข้าใจว่าเป็นค่าสัมบูรณ์ซึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขนี้โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของมัน

โดยมีการกำหนดดังนี้: |6|, | เอ็กซ์|, |ก- ฯลฯ

(รายละเอียดเพิ่มเติมในส่วน "โมดูลตัวเลข")

สมการกับโมดูลัส

ตัวอย่างที่ 1 - แก้สมการ|10 เอ็กซ์ - 5| = 15.

สารละลาย.

ตามกฎแล้วสมการจะเทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ:

10เอ็กซ์ - 5 = 15
10เอ็กซ์ - 5 = -15

เราตัดสินใจ:

10เอ็กซ์ = 15 + 5 = 20
10เอ็กซ์ = -15 + 5 = -10

เอ็กซ์ = 20: 10
เอ็กซ์ = -10: 10

เอ็กซ์ = 2
เอ็กซ์ = -1

คำตอบ: เอ็กซ์ 1 = 2, เอ็กซ์ 2 = -1.

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ|2 เอ็กซ์ + 1| = เอ็กซ์ + 2.

สารละลาย.

เนื่องจากโมดูลัสเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ เอ็กซ์+ 2 ≥ 0 ดังนั้น:

เอ็กซ์ ≥ -2.

เรามาสร้างสมการสองสมการกัน:

2เอ็กซ์ + 1 = เอ็กซ์ + 2
2เอ็กซ์ + 1 = -(เอ็กซ์ + 2)

เราตัดสินใจ:

2เอ็กซ์ + 1 = เอ็กซ์ + 2
2เอ็กซ์ + 1 = -เอ็กซ์ - 2

2เอ็กซ์ - เอ็กซ์ = 2 - 1
2เอ็กซ์ + เอ็กซ์ = -2 - 1

เอ็กซ์ = 1
เอ็กซ์ = -1

ตัวเลขทั้งสองมีค่ามากกว่า -2 ทั้งคู่จึงเป็นรากของสมการ

คำตอบ: เอ็กซ์ 1 = -1, เอ็กซ์ 2 = 1.

ตัวอย่างที่ 3 - แก้สมการ

|เอ็กซ์ + 3| - 1
————— = 4
เอ็กซ์ - 1

สารละลาย.

สมการนี้สมเหตุสมผลถ้าตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ - นั่นหมายความว่าถ้า เอ็กซ์≠ 1. พิจารณาเงื่อนไขนี้ด้วย การกระทำแรกของเรานั้นง่าย - เราไม่เพียงแค่กำจัดเศษส่วนเท่านั้น แต่ยังแปลงมันเพื่อให้ได้โมดูลในรูปแบบที่บริสุทธิ์:

|เอ็กซ์+ 3| - 1 = 4 · ( เอ็กซ์ - 1),

|เอ็กซ์ + 3| - 1 = 4เอ็กซ์ - 4,

|เอ็กซ์ + 3| = 4เอ็กซ์ - 4 + 1,

|เอ็กซ์ + 3| = 4เอ็กซ์ - 3.

ตอนนี้เรามีเพียงนิพจน์ใต้โมดูลัสทางด้านซ้ายของสมการ เดินหน้าต่อไป
โมดูลัสของตัวเลขเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ กล่าวคือ ต้องมากกว่าศูนย์หรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน:

4เอ็กซ์ - 3 ≥ 0

4เอ็กซ์ ≥ 3

เอ็กซ์ ≥ 3/4

ดังนั้นเราจึงมีเงื่อนไขที่สอง: รากของสมการต้องมีอย่างน้อย 3/4

ตามกฎเราจะเขียนชุดสมการสองชุดแล้วแก้สมการเหล่านี้:

เอ็กซ์ + 3 = 4เอ็กซ์ - 3
เอ็กซ์ + 3 = -(4เอ็กซ์ - 3)

เอ็กซ์ + 3 = 4เอ็กซ์ - 3
เอ็กซ์ + 3 = -4เอ็กซ์ + 3

เอ็กซ์ - 4เอ็กซ์ = -3 - 3
เอ็กซ์ + 4เอ็กซ์ = 3 - 3

เอ็กซ์ = 2
เอ็กซ์ = 0

เราได้รับสองคำตอบ ลองตรวจสอบว่ามันเป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

เรามีเงื่อนไขสองประการ: รากของสมการไม่สามารถเท่ากับ 1 และต้องมีอย่างน้อย 3/4 นั่นก็คือ เอ็กซ์ ≠ 1, เอ็กซ์≥ 3/4 มีเพียงหนึ่งในสองคำตอบที่ได้รับเท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองนี้ - หมายเลข 2 ซึ่งหมายความว่ามีเพียงเท่านี้เท่านั้นที่เป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ: เอ็กซ์ = 2.

อสมการกับโมดูลัส

ตัวอย่างที่ 1 - แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน| เอ็กซ์ - 3| < 4

สารละลาย.

กฎของโมดูลระบุว่า:

|ก| = ก, ถ้า ก ≥ 0.

|ก| = -ก, ถ้า ก < 0.

โมดูลสามารถมีทั้งตัวเลขที่ไม่เป็นลบและลบ ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาทั้งสองกรณี: เอ็กซ์- 3 ≥ 0 และ เอ็กซ์ - 3 < 0.

1) เมื่อใด เอ็กซ์- 3 ≥ 0 อสมการเดิมของเรายังคงอยู่เหมือนเดิม โดยไม่มีเครื่องหมายมอดุลัสเท่านั้น:
เอ็กซ์ - 3 < 4.

2) เมื่อใด เอ็กซ์ - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(เอ็กซ์ - 3) < 4.

เมื่อเปิดวงเล็บเราจะได้:

-เอ็กซ์ + 3 < 4.

ดังนั้น จากเงื่อนไขทั้งสองนี้ เราจึงได้รวมระบบความไม่เท่าเทียมกันของทั้งสองระบบเข้าด้วยกัน:

เอ็กซ์ - 3 ≥ 0
เอ็กซ์ - 3 < 4

เอ็กซ์ - 3 < 0
-เอ็กซ์ + 3 < 4

มาแก้กัน:

เอ็กซ์ ≥ 3
เอ็กซ์ < 7

เอ็กซ์ < 3
เอ็กซ์ > -1

ดังนั้น คำตอบของเราคือการรวมกันของสองชุด:

3 ≤ เอ็กซ์ < 7 U -1 < เอ็กซ์ < 3.

กำหนดที่เล็กที่สุดและ มูลค่าสูงสุด- เหล่านี้คือ -1 และ 7 ยิ่งไปกว่านั้น เอ็กซ์มากกว่า -1 แต่น้อยกว่า 7
นอกจาก, เอ็กซ์≥ 3 ซึ่งหมายความว่าคำตอบของอสมการคือชุดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -1 ถึง 7 โดยไม่รวมจำนวนสุดขั้วเหล่านี้

คำตอบ: -1 < เอ็กซ์ < 7.

หรือ: เอ็กซ์ ∈ (-1; 7).

ส่วนเสริม.

1) มีวิธีที่ง่ายกว่าและสั้นกว่าในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของเรา - แบบกราฟิก ในการทำเช่นนี้คุณต้องวาด แกนนอน(รูปที่ 1)

นิพจน์ | เอ็กซ์ - 3| < 4 означает, что расстояние от точки เอ็กซ์ถึงจุดที่ 3 น้อยกว่าสี่หน่วย เราทำเครื่องหมายหมายเลข 3 บนแกนและนับ 4 ส่วนทางซ้ายและขวาของมัน ทางด้านซ้ายเราจะมาถึงจุด -1 ทางด้านขวา - ไปยังจุดที่ 7 ดังนั้นจุดต่างๆ เอ็กซ์เราเพิ่งเห็นพวกมันโดยไม่ได้คำนวณพวกมัน

ยิ่งไปกว่านั้น ตามเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกัน -1 และ 7 เองจะไม่รวมอยู่ในชุดวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ:

1 < เอ็กซ์ < 7.

2) แต่มีวิธีแก้ไขปัญหาอื่นที่ง่ายกว่าวิธีกราฟิกด้วยซ้ำ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะต้องแสดงความไม่เท่าเทียมกันของเราในรูปแบบต่อไปนี้:

4 < เอ็กซ์ - 3 < 4.

ท้ายที่สุดแล้ว มันเป็นเช่นนี้ตามกฎโมดูลัส จำนวนที่ไม่เป็นลบ 4 และจำนวนลบที่คล้ายกัน -4 เป็นขอบเขตในการแก้อสมการ

4 + 3 < เอ็กซ์ < 4 + 3

1 < เอ็กซ์ < 7.

ตัวอย่างที่ 2 - แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน| เอ็กซ์ - 2| ≥ 5

สารละลาย.

ตัวอย่างนี้แตกต่างอย่างมากจากตัวอย่างก่อนหน้า ด้านซ้ายมากกว่า 5 หรือเท่ากับ 5. C จุดเรขาคณิตจากมุมมอง การแก้อสมการคือตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดที่ 2 ตั้งแต่ 5 หน่วยขึ้นไป (รูปที่ 2) จากกราฟแสดงว่าเป็นตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ -3 และมากกว่าหรือเท่ากับ 7 แสดงว่าเราได้รับคำตอบแล้ว

คำตอบ: -3 ≥ เอ็กซ์ ≥ 7.

ระหว่างทาง เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยการจัดเรียงพจน์อิสระไปทางซ้ายและทางขวาด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม:

5 ≥ เอ็กซ์ - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ เอ็กซ์ ≥ 5 + 2

คำตอบก็เหมือนกัน: -3 ≥ เอ็กซ์ ≥ 7.

หรือ: เอ็กซ์ ∈ [-3; 7]

ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 3 - แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 6 เอ็กซ์ 2 - | เอ็กซ์| - 2 ≤ 0

สารละลาย.

ตัวเลข เอ็กซ์อาจจะ จำนวนบวกทั้งลบและศูนย์ ดังนั้นเราจึงต้องคำนึงถึงทั้งสามสถานการณ์ด้วย ดังที่คุณทราบ สิ่งเหล่านี้ถูกนำมาพิจารณาในความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: เอ็กซ์≥ 0 และ เอ็กซ์ < 0. При เอ็กซ์≥ 0 เราเพียงแค่เขียนอสมการเดิมของเราใหม่ดังที่เป็นอยู่ โดยไม่มีเครื่องหมายมอดุลัสเท่านั้น:

6x 2 - เอ็กซ์ - 2 ≤ 0.

ตอนนี้เกี่ยวกับกรณีที่สอง: ถ้า เอ็กซ์ < 0. Модулем จำนวนลบเป็นตัวเลขเดียวกันกับเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือเราเขียนตัวเลขไว้ใต้โมดูลัสด้วยเครื่องหมายตรงข้ามและปลดปล่อยตัวเองจากเครื่องหมายโมดูลัสอีกครั้ง:

6เอ็กซ์ 2 - (-เอ็กซ์) - 2 ≤ 0.

การขยายวงเล็บ:

6เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ - 2 ≤ 0.

ดังนั้นเราจึงได้รับสมการสองระบบ:

6เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ - 2 ≤ 0
เอ็กซ์ ≥ 0

6เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ - 2 ≤ 0
เอ็กซ์ < 0

เราจำเป็นต้องแก้อสมการในระบบ - และนั่นหมายความว่าเราจำเป็นต้องค้นหารากของสมการกำลังสองสองอัน เพื่อทำสิ่งนี้ เราถือด้านซ้ายมือของอสมการให้เป็นศูนย์

เริ่มจากอันแรกกันก่อน:

6เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ - 2 = 0.

วิธีแก้สมการกำลังสอง - ดูหัวข้อ " สมการกำลังสอง- เราจะตั้งชื่อคำตอบทันที:

เอ็กซ์ 1 = -1/2, x 2 = 2/3

จากระบบอสมการระบบแรก เราได้มาว่าคำตอบของอสมการเดิมคือชุดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -1/2 ถึง 2/3 เราเขียนการรวมกันของโซลูชั่นที่ เอ็กซ์ ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ตอนนี้เรามาแก้สมการกำลังสองที่สองกัน:

6เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ - 2 = 0.

รากของมัน:

เอ็กซ์ 1 = -2/3, เอ็กซ์ 2 = 1/2.

สรุป: เมื่อ เอ็กซ์ < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

ลองรวมสองคำตอบเข้าด้วยกันแล้วได้คำตอบสุดท้าย: คำตอบคือชุดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -2/3 ถึง 2/3 รวมถึงจำนวนสุดขั้วเหล่านี้ด้วย

คำตอบ: -2/3 ≤ เอ็กซ์ ≤ 2/3.

หรือ: เอ็กซ์ ∈ [-2/3; 2/3].

มีหลายวิธีในการแก้ไขอสมการที่มีโมดูลัส ลองดูบางส่วนของพวกเขา

1) การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของโมดูล

ฉันขอเตือนคุณว่ามันคืออะไร คุณสมบัติทางเรขาคณิตโมดูลัส: โมดูลัสของตัวเลข x คือระยะห่างจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัด x

เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีนี้ อาจเกิดขึ้นได้สองกรณี:

1. |x| ≤ข

และความไม่เท่าเทียมกันกับมอดุลัสก็ลดลงจนกลายเป็นระบบความไม่เท่าเทียมกันสองอย่างอย่างเห็นได้ชัด ป้ายนี้อาจเข้มงวดได้ ในกรณีนี้จุดในภาพจะถูก "เจาะ"

2. |x| ≥ขจากนั้นรูปภาพโซลูชันจะมีลักษณะดังนี้:

และความไม่เท่าเทียมกันกับมอดุลัสจะลดลงเหลือชุดของอสมการสองชุดอย่างเห็นได้ชัด ป้ายนี้อาจเข้มงวดได้ ในกรณีนี้จุดในภาพจะถูก "เจาะ"

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการ |4 – |x|| ≥ 3.

สารละลาย.

อสมการนี้เทียบเท่ากับชุดต่อไปนี้:

คุณ [-1;1] คุณ

ตัวอย่างที่ 2

แก้อสมการ ||x+2| – 3| ≤ 2.

สารละลาย.

อสมการนี้เทียบเท่ากับระบบต่อไปนี้

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

ให้เราแก้อสมการแรกของระบบแยกกัน มันเทียบเท่ากับชุดต่อไปนี้:

คุณ[-1; 3].

2) การแก้อสมการโดยใช้นิยามของมอดุลัส

ให้ฉันเตือนคุณก่อน คำจำกัดความของโมดูล

|a| = ก ถ้า ก ≥ 0 และ |ก| = -a ถ้าก< 0.

ตัวอย่างเช่น |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการ 3|x – 1| ≤ x+3.

สารละลาย.

การใช้คำจำกัดความของโมดูลทำให้เราได้สองระบบ:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

การแก้ปัญหาระบบที่หนึ่งและสองแยกกันเราได้รับ:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0

วิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิมคือคำตอบทั้งหมดของระบบที่ 1 และคำตอบทั้งหมดของระบบที่ 2

คำตอบ: x € .

3) การแก้ไขอสมการโดยการยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการ |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

สารละลาย.

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการกัน ขอสังเกตว่าเป็นไปได้ที่จะยกกำลังสองของอสมการทั้งสองข้างได้ก็ต่อเมื่อทั้งคู่เป็นบวกเท่านั้น ใน ในกรณีนี้เรามีโมดูลทั้งซ้ายและขวา ดังนั้นเราจึงสามารถทำได้

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

ตอนนี้ลองใช้คุณสมบัติของโมดูลดังต่อไปนี้: (|x|) 2 = x 2

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

เราแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา

คำตอบ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) การแก้ไขอสมการโดยการเปลี่ยนตัวแปร

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

สารละลาย.

โปรดทราบว่า (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 แล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30

มาทำการเปลี่ยนแปลง y = |2x + 3| กันดีกว่า

มาเขียนอสมการของเราใหม่โดยคำนึงถึงการแทนที่กัน

y 2 – y ≤ 30,

ปี 2 – ปี – 30 ≤ 0

ลองแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองทางด้านซ้ายกัน.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0

ลองแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลาและรับ:

กลับไปที่การเปลี่ยน:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6

อสมการสองเท่านี้เทียบเท่ากับระบบอสมการ:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

ให้เราแก้อสมการแต่ละอย่างแยกกัน

อันแรกเทียบเท่ากับระบบ

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

มาแก้กันเถอะ

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

อสมการที่สองถือเป็นค่า x ทั้งหมดอย่างชัดเจน เนื่องจากตามนิยามแล้วโมดูลัสนั้นเป็นจำนวนบวก เนื่องจากคำตอบของระบบคือ x ทั้งหมดซึ่งตอบสนองทั้งอสมการที่หนึ่งและที่สองของระบบไปพร้อมๆ กัน ดังนั้นคำตอบของระบบเดิมจะเป็นคำตอบของอสมการสองเท่าตัวแรก (ท้ายที่สุดแล้ว ค่าที่สองจะเป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมด) .

คำตอบ: x € [-4.5; 1.5].

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม