วิธีการคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม วิธีคำนวณความแปรปรวนใน Excel โดยใช้ฟังก์ชัน disp.v
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เรียกว่าตัวเลข m =M[X]=∑x i p i หากอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์
วัตถุประสงค์ของการบริการ- การใช้บริการใน โหมดออนไลน์ คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ดูตัวอย่าง) นอกจากนี้ กราฟของฟังก์ชันการกระจาย F(X) จะถูกลงจุดด้วย
คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับตัวมันเอง: M[C]=C, C – ค่าคงที่;
- ม=ค ม[X]
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M=M[X]+M[Y]
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M=M[X] M[Y] ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากกัน
คุณสมบัติการกระจายตัว
- ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์: D(c)=0
- ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง: D(k*X)= k 2 D(X)
- ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: D(X+Y)=D(X)+D(Y)
- ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y ขึ้นอยู่กับ: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- สูตรคำนวณต่อไปนี้ใช้ได้กับการกระจายตัว:
ง(X)=ม(X 2)-(ม(X)) 2
ตัวอย่าง. ทราบค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6 ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Z=9X-8Y+7
สารละลาย. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการกระจายตัว: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ค่าทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้ ตัวเลขธรรมชาติ- แต่ละค่าสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์- เราคูณคู่ทีละคู่: x i โดย p i .
- บวกผลคูณของแต่ละคู่ x i p i
ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
ตัวอย่างหมายเลข 1
| x ฉัน | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| พี ฉัน | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตร m = ∑x i p i
ความคาดหวัง M[X].
ม[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
เราค้นหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร d = ∑x 2 i p i - M[x] 2
ความแปรปรวน D[X].
ด[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
ตัวอย่างหมายเลข 2 ตัวแปรสุ่มแบบแยกมีอนุกรมการแจกแจงต่อไปนี้:
| เอ็กซ์ | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| ร | ก | 0,32 | 2ก | 0,41 | 0,03 |
สารละลาย. ค่าของ a พบได้จากความสัมพันธ์: Σp i = 1
Σp i = ก + 0.32 + 2 ก + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 ก = 1
0.76 + 3 a = 1 หรือ 0.24=3 a จากที่ a = 0.08
ตัวอย่างหมายเลข 3 จงหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหากทราบความแปรปรวน และ x 1
หน้า 1 =0.3; หน้า 2 =0.3; หน้า 3 =0.1; หน้า 4 =0.3
ง(x)=12.96
สารละลาย.
ที่นี่คุณต้องสร้างสูตรสำหรับค้นหาความแปรปรวน d(x):
ง(x) = x 1 2 หน้า 1 +x 2 2 หน้า 2 +x 3 2 หน้า 3 +x 4 2 หน้า 4 -ม.(x) 2
โดยที่ความคาดหวัง m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
สำหรับข้อมูลของเรา
ม.(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
หรือ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องค้นหารากของสมการ และจะมีรากอยู่สองอัน
x 3 = 8, x 3 = 12
เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข x 1
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 = 15
หน้า 1 =0.3; หน้า 2 =0.3; หน้า 3 =0.1; หน้า 4 =0.3
ความคาดหวังและความแปรปรวนเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่ใช้บ่อยที่สุดของตัวแปรสุ่ม มีลักษณะเป็นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการกระจาย: ตำแหน่งและระดับการกระเจิง ในปัญหาเชิงปฏิบัติหลายๆ ปัญหา ลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์และละเอียดถี่ถ้วนของตัวแปรสุ่ม - กฎการกระจาย - ไม่สามารถรับได้เลยหรือไม่จำเป็นเลย ในกรณีเหล่านี้ จะมีการจำกัดคำอธิบายโดยประมาณของตัวแปรสุ่มโดยใช้คุณลักษณะเชิงตัวเลข
ค่าคาดหวังมักเรียกง่ายๆ ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มเป็นลักษณะของการกระจายตัว ซึ่งเป็นการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มไปรอบๆ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์
ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ให้เราเข้าใกล้แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรกขึ้นอยู่กับการตีความทางกลของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ปล่อยให้มวลหน่วยกระจายไประหว่างจุดต่างๆ ของแกน x x1 , x 2 , ..., x nและจุดวัสดุแต่ละจุดจะมีมวลเท่ากัน พี1 , พี 2 , ..., พี n- จำเป็นต้องเลือกจุดหนึ่งบนแกน abscissa โดยระบุตำแหน่งของจุดวัสดุทั้งระบบโดยคำนึงถึงมวลของพวกมัน เป็นเรื่องธรรมดาที่จะเอาจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัตถุเป็นจุดดังกล่าว นี่คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ซึ่งจุดอับซิสซาของแต่ละจุด xฉันเข้ามาด้วย “น้ำหนัก” เท่ากับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่ได้รับในลักษณะนี้ เอ็กซ์เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้:
ตัวอย่างที่ 1มีการจัดลอตเตอรีแบบ win-win มีการชนะ 1,000 ครั้งโดย 400 ครั้งคือ 10 รูเบิล ตัวละ 300 - 20 รูเบิล ตัวละ 200 - 100 รูเบิล และอันละ 100 - 200 รูเบิล เงินรางวัลเฉลี่ยสำหรับผู้ที่ซื้อตั๋วหนึ่งใบคือเท่าใด
สารละลาย. เราจะหาเงินรางวัลโดยเฉลี่ยหากเราหารจำนวนเงินรางวัลทั้งหมดซึ่งก็คือ 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 รูเบิล ด้วย 1,000 (จำนวนเงินรางวัลทั้งหมด) จากนั้นเราจะได้ 50,000/1,000 = 50 รูเบิล แต่นิพจน์สำหรับการคำนวณการชนะโดยเฉลี่ยสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
ในทางกลับกัน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ขนาดที่ชนะจะเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งสามารถรับค่าได้ 10, 20, 100 และ 200 รูเบิล โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.4 ตามลำดับ 0.3; 0.2; 0.1. ดังนั้นการชนะโดยเฉลี่ยที่คาดหวังจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ตามขนาดของการชนะและความน่าจะเป็นที่จะได้รับ
ตัวอย่างที่ 2สำนักพิมพ์ตัดสินใจจัดพิมพ์หนังสือเล่มใหม่ เขาวางแผนที่จะขายหนังสือเล่มนี้ในราคา 280 รูเบิล ซึ่งตัวเขาเองจะได้รับ 200, 50 - ร้านหนังสือและ 30 - ผู้เขียน ตารางนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับค่าใช้จ่ายในการจัดพิมพ์หนังสือและความน่าจะเป็นในการขายหนังสือตามจำนวนที่กำหนด
ค้นหาผลกำไรที่คาดหวังของผู้จัดพิมพ์
สารละลาย. ตัวแปรสุ่ม “กำไร” เท่ากับความแตกต่างระหว่างรายได้จากการขายและต้นทุนต้นทุน ตัวอย่างเช่น หากขายหนังสือได้ 500 เล่ม รายได้จากการขายจะเท่ากับ 200 * 500 = 100,000 และค่าใช้จ่ายในการตีพิมพ์คือ 225,000 รูเบิล ดังนั้นผู้จัดพิมพ์จึงขาดทุน 125,000 รูเบิล ตารางต่อไปนี้สรุปค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม - กำไร:
| ตัวเลข | กำไร xฉัน | ความน่าจะเป็น พีฉัน | xฉัน พีฉัน |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| ทั้งหมด: | 1,00 | 25000 |
ดังนั้นเราจึงได้รับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับกำไรของผู้จัดพิมพ์:
.
ตัวอย่างที่ 3ความน่าจะเป็นที่จะยิงนัดเดียว พี= 0.2 กำหนดปริมาณการใช้กระสุนที่ให้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการโจมตีเท่ากับ 5
สารละลาย. จากสูตรคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับที่เราเคยใช้มา เราแสดงออกมา x- ปริมาณการใช้เปลือก:
.
ตัวอย่างที่ 4กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xจำนวนครั้งที่โดนด้วยการยิงสามนัด ถ้าความน่าจะเป็นของการยิงแต่ละครั้ง พี = 0,4 .
คำแนะนำ: ค้นหาความน่าจะเป็นของค่าตัวแปรสุ่มโดย สูตรของเบอร์นูลลี .
คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
พิจารณาคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติ 1.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นี้:
คุณสมบัติ 2.ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้:
คุณสมบัติ 3.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม (ผลต่าง) ของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
คุณสมบัติ 4.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
คุณสมบัติ 5.หากค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเดียวกัน กับจากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเดียวกัน:
เมื่อคุณไม่สามารถจำกัดตัวเองอยู่เพียงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่านั้น
ในกรณีส่วนใหญ่ เฉพาะความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่ไม่สามารถระบุคุณลักษณะของตัวแปรสุ่มได้อย่างเพียงพอ
ปล่อยให้ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ยได้รับจากกฎหมายการจำหน่ายดังต่อไปนี้:
| ความหมาย เอ็กซ์ | ความน่าจะเป็น |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| ความหมาย ย | ความน่าจะเป็น |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณเหล่านี้จะเท่ากัน - เท่ากับศูนย์:
อย่างไรก็ตามรูปแบบการกระจายสินค้าจะแตกต่างกัน ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถรับได้เพียงค่าที่แตกต่างเพียงเล็กน้อยจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และตัวแปรสุ่ม ยสามารถรับค่าที่เบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างที่คล้ายกัน: ค่าจ้างเฉลี่ยไม่สามารถตัดสินส่วนแบ่งของคนงานที่ได้รับค่าจ้างสูงและต่ำได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีใครสามารถตัดสินจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ว่าสิ่งใดที่เบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังนั้น อย่างน้อยก็โดยเฉลี่ยที่เป็นไปได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ความแปรปรวนตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของการเบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ค่าเลขคณิตของรากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่า:
.
ตัวอย่างที่ 5คำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ยกฎการกระจายซึ่งระบุไว้ในตารางด้านบน
สารละลาย. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ยตามที่พบข้างต้น มีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรการกระจายตัวที่ อี(เอ็กซ์)=อี(ย)=0 เราได้รับ:
แล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ยแต่งหน้า
.
ดังนั้น ด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์น้อยมาก แต่เป็นตัวแปรสุ่ม ย- สำคัญ. นี่เป็นผลมาจากความแตกต่างในการกระจายตัว
ตัวอย่างที่ 6ผู้ลงทุนมีโครงการลงทุนทางเลือก 4 โครงการ ตารางสรุปผลกำไรที่คาดหวังในโครงการเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน
| โครงการที่ 1 | โครงการ 2 | โครงการที่ 3 | โครงการที่ 4 |
| 500, ป=1 | 1000, ป=0,5 | 500, ป=0,5 | 500, ป=0,5 |
| 0, ป=0,5 | 1000, ป=0,25 | 10500, ป=0,25 | |
| 0, ป=0,25 | 9500, ป=0,25 |
ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับแต่ละทางเลือก
สารละลาย. ให้เราแสดงวิธีการคำนวณค่าเหล่านี้สำหรับทางเลือกที่ 3:
ตารางสรุปค่าที่พบสำหรับทางเลือกทั้งหมด
ทางเลือกทั้งหมดมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าในระยะยาวทุกคนมีรายได้เท่ากัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถตีความได้ว่าเป็นการวัดความเสี่ยง - ยิ่งมีค่าสูงเท่าใด ความเสี่ยงในการลงทุนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น นักลงทุนที่ไม่ต้องการความเสี่ยงมากนักจะเลือกโครงการที่ 1 เนื่องจากมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยที่สุด (0) หากนักลงทุนชอบความเสี่ยงและผลตอบแทนสูงในช่วงเวลาสั้นๆ เขาจะเลือกโครงการที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากที่สุด - โครงการ 4
คุณสมบัติการกระจายตัว
ให้เรานำเสนอคุณสมบัติของการกระจายตัว
คุณสมบัติ 1.ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์:
คุณสมบัติ 2.ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง:
.
คุณสมบัติ 3.ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่ากำลังสองของค่านี้ ซึ่งค่ากำลังสองของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวมันเองจะถูกลบออก:
,
ที่ไหน 
.
คุณสมบัติ 4.ความแปรปรวนของผลรวม (ผลต่าง) ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของผลต่าง:
ตัวอย่างที่ 7เรียกได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์รับเพียงสองค่า: −3 และ 7 นอกจากนี้ ทราบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วย: อี(เอ็กซ์) = 4 . ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
สารละลาย. ให้เราแสดงโดย พีความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มรับค่า x1 = −3 - แล้วความน่าจะเป็นของค่า x2 = 7 จะเป็น 1 − พี- ขอให้เราได้สมการสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
อี(เอ็กซ์) = x 1 พี + x 2 (1 − พี) = −3พี + 7(1 − พี) = 4 ,
โดยที่เราได้รับความน่าจะเป็น: พี= 0.3 และ 1 - พี = 0,7 .
กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม:
| เอ็กซ์ | −3 | 7 |
| พี | 0,3 | 0,7 |
เราคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้โดยใช้สูตรจากคุณสมบัติ 3 ของการกระจายตัว:
ดี(เอ็กซ์) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มด้วยตัวเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 8ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ใช้เวลาเพียงสองค่าเท่านั้น ยอมรับค่าที่มากกว่าของ 3 ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 นอกจากนี้ยังทราบความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มด้วย ดี(เอ็กซ์) = 6 . ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
ตัวอย่างที่ 9ในโกศมีลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก ดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ จำนวนลูกบอลสีขาวในลูกบอลที่สุ่มออกมานั้นเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์- ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้
สารละลาย. ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถรับค่า 0, 1, 2, 3 ได้ ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้จาก กฎการคูณความน่าจะเป็น- กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม:
| เอ็กซ์ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| พี | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้:
ม(เอ็กซ์) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่กำหนดคือ:
ดี(เอ็กซ์) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
ความคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง การตีความเชิงกลของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะยังคงมีความหมายเดิม นั่นคือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับหน่วยมวลที่กระจายอย่างต่อเนื่องบนแกน x โดยมีความหนาแน่น ฉ(x- ต่างจากตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน xฉันเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง อาร์กิวเมนต์จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง แต่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องก็สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยของมันเช่นกัน
ในการหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง คุณจะต้องค้นหาอินทิกรัลจำกัดจำนวน - หากกำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง มันจะเข้าสู่ปริพันธ์โดยตรง หากให้ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น คุณจะต้องหาฟังก์ชันความหนาแน่นโดยการหาอนุพันธ์
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าค่าของมัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์, แสดงโดย หรือ .
.
ในทางกลับกัน ถ้า เป็น a ที่ไม่เป็นลบ ทำหน้าที่อย่างนั้น 
จากนั้นจะมีการวัดความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอนในเรื่องความหนาแน่นของมัน
การแทนที่หน่วยวัดในอินทิกรัล Lebesgue:
,
โดยที่ ฟังก์ชันบอเรลใดๆ ที่สามารถอินทิเกรตกับการวัดความน่าจะเป็นได้
การกระจายตัว ชนิดและคุณสมบัติของการกระจายตัว แนวคิดของการกระจายตัว
การกระจายตัวในสถิติพบเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของแต่ละค่าของคุณลักษณะยกกำลังสองจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น จะถูกกำหนดโดยใช้สูตรผลต่างแบบง่ายและถ่วงน้ำหนัก:
1. ความแปรปรวนอย่างง่าย(สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม) คำนวณโดยใช้สูตร:
2. ความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก (สำหรับซีรี่ส์รูปแบบ):
โดยที่ n คือความถี่ (ความสามารถในการทำซ้ำของแฟกเตอร์ X)
ตัวอย่างการหาความแปรปรวน
หน้านี้อธิบายตัวอย่างมาตรฐานของการค้นหาความแปรปรวน คุณยังสามารถดูปัญหาอื่นๆ ในการค้นหาได้อีกด้วย
ตัวอย่างที่ 1 การกำหนดกลุ่ม ค่าเฉลี่ยกลุ่ม กลุ่มระหว่างกัน และความแปรปรวนรวม
ตัวอย่างที่ 2 การค้นหาความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์ของการแปรผันในตารางการจัดกลุ่ม
ตัวอย่างที่ 3 การค้นหาความแปรปรวนในชุดข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้มีให้สำหรับกลุ่มนักเรียนทางจดหมายจำนวน 20 คน จำเป็นต้องสร้างชุดช่วงเวลาของการแจกแจงคุณลักษณะ คำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และศึกษาการกระจายตัวของคุณลักษณะ
มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า กำหนดช่วงของช่วงเวลาโดยใช้สูตร:
โดยที่ X max คือค่าสูงสุดของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม X min – ค่าต่ำสุดของลักษณะการจัดกลุ่ม n – จำนวนช่วงเวลา:
เรายอมรับ n=5 ขั้นตอนคือ: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6
มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า
สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราจะสร้างตารางเสริม:
X"i – จุดกึ่งกลางของช่วง (เช่น ช่วงกลางของช่วง 159 – 165.6 = 162.3)
เรากำหนดส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:
พิจารณาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:
สามารถเปลี่ยนสูตรได้ดังนี้:
จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามนั้น ความแปรปรวนก็เท่ากับ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของตัวเลือกกับกำลังสองและค่าเฉลี่ย
การกระจายตัวในชุดรูปแบบต่างๆด้วยช่วงเวลาที่เท่ากันโดยใช้วิธีโมเมนต์ สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติการกระจายตัวที่สอง (หารตัวเลือกทั้งหมดด้วยค่าของช่วงเวลา) การกำหนดความแปรปรวนคำนวณโดยใช้วิธีโมเมนต์โดยใช้สูตรต่อไปนี้ใช้ความลำบากน้อยกว่า:
โดยที่ i คือค่าของช่วงเวลา A เป็นศูนย์ธรรมดาซึ่งสะดวกในการใช้ช่วงกลางของช่วงที่มีความถี่สูงสุด m1 คือกำลังสองของโมเมนต์ลำดับแรก m2 - โมเมนต์ของลำดับที่สอง
ความแปรปรวนลักษณะทางเลือก (หากในประชากรทางสถิติ ลักษณะการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่มีเพียงสองตัวเลือกที่ไม่เกิดร่วมกัน ความแปรปรวนดังกล่าวเรียกว่าทางเลือก) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
เมื่อแทน q = 1- p ลงในสูตรการกระจายตัว เราจะได้:
ประเภทของความแปรปรวน
ผลต่างรวมวัดความแปรผันของลักษณะเฉพาะของประชากรทั้งหมดโดยรวมภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ มันเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะ x จากค่าเฉลี่ยโดยรวมของ x และสามารถกำหนดได้ว่าเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก
ความแปรปรวนภายในกลุ่ม ระบุลักษณะการแปรผันแบบสุ่ม เช่น ส่วนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่สามารถนับได้ และไม่ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของปัจจัยที่เป็นพื้นฐานของกลุ่ม การกระจายดังกล่าวเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะภายในกลุ่ม X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มและสามารถคำนวณได้เป็นการกระจายตัวแบบง่ายหรือการกระจายแบบถ่วงน้ำหนัก
ดังนั้น, มาตรการวัดความแปรปรวนภายในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงลักษณะภายในกลุ่มและถูกกำหนดโดยสูตร:
โดยที่ xi คือค่าเฉลี่ยของกลุ่ม ni คือจำนวนหน่วยในกลุ่ม
ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนภายในกลุ่มที่ต้องพิจารณาในงานศึกษาอิทธิพลของคุณสมบัติของคนงานที่มีต่อระดับผลิตภาพแรงงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการแสดงการเปลี่ยนแปลงของผลลัพธ์ในแต่ละกลุ่มที่เกิดจากปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด (สภาพทางเทคนิคของอุปกรณ์ ความพร้อมใช้งานของ เครื่องมือและวัสดุ อายุของคนงาน ความเข้มข้นของแรงงาน ฯลฯ ) ยกเว้นความแตกต่างในประเภทคุณสมบัติ (ภายในกลุ่ม พนักงานทุกคนมีคุณสมบัติเหมือนกัน)
ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มสะท้อนถึงความแปรผันแบบสุ่ม นั่นคือส่วนหนึ่งของความแปรผันที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยการจัดกลุ่ม คำนวณโดยใช้สูตร:
ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มกำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงอย่างเป็นระบบของลักษณะผลลัพธ์ซึ่งเกิดจากอิทธิพลของเครื่องหมายปัจจัยซึ่งเป็นพื้นฐานของกลุ่ม จะเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของกลุ่มค่าเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยโดยรวม ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มคำนวณโดยใช้สูตร:
หน้านี้อธิบายตัวอย่างมาตรฐานของการค้นหาความแปรปรวน คุณยังสามารถดูปัญหาอื่นๆ ในการค้นหาได้อีกด้วย
ตัวอย่างที่ 1 การกำหนดกลุ่ม ค่าเฉลี่ยกลุ่ม กลุ่มระหว่างกัน และความแปรปรวนรวม
ตัวอย่างที่ 2 การค้นหาความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์ของการแปรผันในตารางการจัดกลุ่ม
ตัวอย่างที่ 3 การค้นหาความแปรปรวนในชุดข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้มีให้สำหรับกลุ่มนักเรียนทางจดหมายจำนวน 20 คน จำเป็นต้องสร้างชุดช่วงเวลาของการแจกแจงคุณลักษณะ คำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และศึกษาการกระจายตัวของคุณลักษณะ
มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า กำหนดช่วงของช่วงเวลาโดยใช้สูตร:
โดยที่ X max คือค่าสูงสุดของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม
X min – ค่าต่ำสุดของลักษณะการจัดกลุ่ม
n – จำนวนช่วงเวลา:
เรายอมรับ n=5 ขั้นตอนคือ: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6
มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า
สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราจะสร้างตารางเสริม:
X"i – จุดกึ่งกลางของช่วง (เช่น ช่วงกลางของช่วง 159 – 165.6 = 162.3)
เรากำหนดส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:
พิจารณาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:
สามารถเปลี่ยนสูตรได้ดังนี้:
จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามนั้น ความแปรปรวนก็เท่ากับ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของตัวเลือกกับกำลังสองและค่าเฉลี่ย
การกระจายตัวในชุดรูปแบบต่างๆด้วยช่วงเวลาที่เท่ากันโดยใช้วิธีโมเมนต์ สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติการกระจายตัวที่สอง (หารตัวเลือกทั้งหมดด้วยค่าของช่วงเวลา) การกำหนดความแปรปรวนคำนวณโดยใช้วิธีโมเมนต์โดยใช้สูตรต่อไปนี้ใช้ความลำบากน้อยกว่า:
โดยที่ i คือค่าของช่วงเวลา
A เป็นศูนย์ธรรมดาซึ่งสะดวกในการใช้ช่วงกลางของช่วงที่มีความถี่สูงสุด
m1 คือกำลังสองของโมเมนต์ลำดับแรก
m2 - โมเมนต์ของลำดับที่สอง
ความแปรปรวนลักษณะทางเลือก (หากในประชากรทางสถิติ ลักษณะการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่มีเพียงสองตัวเลือกที่ไม่เกิดร่วมกัน ความแปรปรวนดังกล่าวเรียกว่าทางเลือก) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
เมื่อแทน q = 1- p ลงในสูตรการกระจายตัว เราจะได้:
ประเภทของความแปรปรวน
ผลต่างรวมวัดความแปรผันของลักษณะเฉพาะของประชากรทั้งหมดโดยรวมภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ มันเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะ x จากค่าเฉลี่ยโดยรวมของ x และสามารถกำหนดได้ว่าเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก
ความแปรปรวนภายในกลุ่ม ระบุลักษณะการแปรผันแบบสุ่ม เช่น ส่วนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่สามารถนับได้ และไม่ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของปัจจัยที่เป็นพื้นฐานของกลุ่ม การกระจายดังกล่าวเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะภายในกลุ่ม X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มและสามารถคำนวณได้เป็นการกระจายตัวแบบง่ายหรือการกระจายแบบถ่วงน้ำหนัก
ดังนั้น, มาตรการวัดความแปรปรวนภายในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงลักษณะภายในกลุ่มและถูกกำหนดโดยสูตร:
โดยที่ xi คือค่าเฉลี่ยของกลุ่ม
ni คือจำนวนหน่วยในกลุ่ม
ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนภายในกลุ่มที่ต้องพิจารณาในงานศึกษาอิทธิพลของคุณสมบัติของคนงานที่มีต่อระดับผลิตภาพแรงงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการแสดงการเปลี่ยนแปลงของผลลัพธ์ในแต่ละกลุ่มที่เกิดจากปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด (สภาพทางเทคนิคของอุปกรณ์ ความพร้อมใช้งานของ เครื่องมือและวัสดุ อายุของคนงาน ความเข้มข้นของแรงงาน ฯลฯ ) ยกเว้นความแตกต่างในประเภทคุณสมบัติ (ภายในกลุ่ม พนักงานทุกคนมีคุณสมบัติเหมือนกัน)
การกระจายตัวคือการวัดการกระจายตัวที่อธิบายค่าเบี่ยงเบนเปรียบเทียบระหว่างค่าข้อมูลและค่าเฉลี่ย เป็นการวัดการกระจายตัวที่ใช้มากที่สุดในสถิติ โดยคำนวณโดยการรวมและยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบนของค่าข้อมูลแต่ละค่าจากค่าเฉลี่ย สูตรการคำนวณความแปรปรวนแสดงไว้ด้านล่าง:
s 2 – ความแปรปรวนตัวอย่าง;
x av—ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง;
n — ขนาดตัวอย่าง (จำนวนค่าข้อมูล)
(x i – x avg) คือค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าของชุดข้อมูล
เพื่อให้เข้าใจสูตรได้ดีขึ้น มาดูตัวอย่างกัน ฉันไม่ค่อยชอบทำอาหาร เลยไม่ค่อยได้ทำ อย่างไรก็ตามเพื่อไม่ให้อดอาหารฉันต้องไปที่เตาเป็นครั้งคราวเพื่อทำตามแผนทำให้ร่างกายอิ่มด้วยโปรตีนไขมันและคาร์โบไฮเดรต ชุดข้อมูลด้านล่างแสดงจำนวนครั้งที่ Renat ปรุงอาหารทุกเดือน:
ขั้นตอนแรกในการคำนวณความแปรปรวนคือการหาค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ซึ่งในตัวอย่างของเราคือ 7.8 ครั้งต่อเดือน การคำนวณที่เหลือสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยใช้ตารางต่อไปนี้
ขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณความแปรปรวนมีลักษณะดังนี้:
สำหรับผู้ที่ชอบคำนวณทั้งหมดในคราวเดียว สมการจะเป็นดังนี้:
การใช้วิธีนับวัตถุดิบ (ตัวอย่างการทำอาหาร)
มีวิธีคำนวณผลต่างที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งเรียกว่าวิธีการนับแบบดิบ แม้ว่าสมการอาจดูค่อนข้างยุ่งยากเมื่อมองแวบแรก แต่จริงๆ แล้วไม่ได้น่ากลัวขนาดนั้น คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ จากนั้นจึงตัดสินใจเลือกวิธีที่คุณชอบที่สุด
คือผลรวมของค่าข้อมูลแต่ละค่าหลังยกกำลังสอง
คือกำลังสองของผลรวมของค่าข้อมูลทั้งหมด
อย่าเพิ่งเสียสติไปตอนนี้ ลองใส่ทั้งหมดนี้ลงในตารางแล้วคุณจะเห็นว่ามีการคำนวณน้อยกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้
อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ก็เหมือนกับเมื่อใช้วิธีการก่อนหน้านี้ ข้อดีของวิธีนี้จะเห็นได้ชัดเมื่อขนาดตัวอย่าง (n) เพิ่มขึ้น
การคำนวณผลต่างใน Excel
ดังที่คุณคงเดาได้แล้วว่า Excel มีสูตรที่ให้คุณคำนวณความแปรปรวนได้ นอกจากนี้ เริ่มต้นด้วย Excel 2010 คุณจะพบสูตรผลต่างได้ 4 ประเภท:
1) VARIANCE.V – ส่งกลับค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง ค่าบูลีนและข้อความจะถูกละเว้น
2) DISP.G - ส่งกลับค่าความแปรปรวนของประชากร ค่าบูลีนและข้อความจะถูกละเว้น
3) VARIANCE - ส่งกลับค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง โดยคำนึงถึงค่าบูลีนและข้อความ
4) VARIANCE - ส่งกลับค่าความแปรปรวนของประชากร โดยคำนึงถึงค่าตรรกะและข้อความ
ขั้นแรก มาทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างกลุ่มตัวอย่างและประชากรกันก่อน วัตถุประสงค์ของสถิติเชิงพรรณนาคือการสรุปหรือแสดงข้อมูลเพื่อให้คุณเห็นภาพรวมได้อย่างรวดเร็ว การอนุมานทางสถิติทำให้คุณสามารถอนุมานเกี่ยวกับประชากรโดยอิงตามตัวอย่างข้อมูลจากประชากรนั้น ประชากรแสดงถึงผลลัพธ์หรือการวัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เราสนใจ กลุ่มตัวอย่างเป็นส่วนหนึ่งของประชากร
ตัวอย่างเช่น เราสนใจกลุ่มนักศึกษาจากมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งในรัสเซีย และเราต้องกำหนดคะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม เราสามารถคำนวณผลงานโดยเฉลี่ยของนักเรียนได้ จากนั้นตัวเลขที่ได้จะเป็นพารามิเตอร์ เนื่องจากประชากรทั้งหมดจะมีส่วนร่วมในการคำนวณของเรา อย่างไรก็ตามหากเราต้องการคำนวณ GPA ของนักเรียนทุกคนในประเทศของเรา กลุ่มนี้ก็จะเป็นกลุ่มตัวอย่างของเรา
ความแตกต่างในสูตรในการคำนวณความแปรปรวนระหว่างตัวอย่างและประชากรคือตัวส่วน โดยที่สำหรับกลุ่มตัวอย่างจะเท่ากับ (n-1) และสำหรับประชากรทั่วไปเท่านั้น n
ทีนี้มาดูฟังก์ชันสำหรับคำนวณความแปรปรวนด้วยการลงท้ายกัน เอ,คำอธิบายที่ระบุว่าข้อความและค่าตรรกะถูกนำมาพิจารณาในการคำนวณ ในกรณีนี้ เมื่อคำนวณความแปรปรวนของชุดข้อมูลเฉพาะที่มีค่าที่ไม่ใช่ตัวเลข Excel จะตีความข้อความและค่าบูลีนเท็จเท่ากับ 0 และค่าบูลีนจริงเท่ากับ 1
ดังนั้น หากคุณมีอาร์เรย์ข้อมูล การคำนวณความแปรปรวนจะไม่ใช่เรื่องยากโดยใช้ฟังก์ชัน Excel รายการใดรายการหนึ่งข้างต้น
สิ่งตีพิมพ์ในหัวข้อ
-
เจ้าชาย Askold ในประวัติศาสตร์ของ Kievan Rus
อัสโคลด์และดิร์เป็นเจ้าชายในตำนานที่ปกครองเมืองเคียฟเมื่อปลายศตวรรษที่ 9 เปลี่ยนมานับถือศาสนาคริสต์ และวางรากฐานของรัสเซียโบราณ...
-
“คำโกหกสีขาว”: ทำไมชาวกรีกคาทอลิกไม่ยอมรับว่าพวกเขาไม่ใช่ออร์โธดอกซ์?
อาสนวิหารปรมาจารย์ Kyiv แห่งการฟื้นคืนชีพของพระคริสต์ มหาวิหารเซนต์จอร์จในลวิฟ