กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคืออะไร ฟังก์ชันกำลังสอง

บทที่ 15
ผลกระทบของอัตราต่อรองก, ข และกับ ไปยังสถานที่
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เป้าหมาย:พัฒนาความสามารถในการสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองและแสดงรายการคุณสมบัติของมันต่อไป ระบุอิทธิพลของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับบนตำแหน่งของกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง งานช่องปาก.

พิจารณาว่ากราฟฟังก์ชันใดที่แสดงในรูป:

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์ – 1;

ที่ = –2เอ็กซ์ 2 – 8เอ็กซ์;

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 4เอ็กซ์ – 1;

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ + 7;

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 – 1.

ข)

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์ + 1;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 – 4เอ็กซ์ + 1;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์ – 1;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ – 1.

III. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

แบบฝึกหัด:

1. หมายเลข 127 (ก)

สารละลาย

ตรง ที่ = 6เอ็กซ์ + ขแตะพาราโบลา ที่ = เอ็กซ์ 2 + 8 นั่นคือมันมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวในกรณีที่สมการ 6 เอ็กซ์ + ข = เอ็กซ์ 2 + 8 จะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

สมการนี้เป็นกำลังสอง ลองหาค่าจำแนกของมันดู:

เอ็กซ์ 2 – 6เอ็กซ์ + 8 + ข = 0;

ดี 1 = 9 – (8 – ข) = 1 + ข;

ดี 1 = 0 ถ้า 1 + ข= 0 นั่นคือ ข= –1.

คำตอบ: ข= –1.

3. ระบุอิทธิพลของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับบนตำแหน่งของกราฟฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับ.

นักเรียนมีความรู้เพียงพอที่จะทำงานนี้ให้สำเร็จโดยอิสระ พวกเขาควรได้รับเชิญให้เขียนสิ่งที่ค้นพบทั้งหมดลงในสมุดบันทึกโดยเน้นบทบาท "หลัก" ของแต่ละค่าสัมประสิทธิ์

1) ค่าสัมประสิทธิ์ กมีอิทธิพลต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา: เมื่อใด ก> 0 – กิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบนด้วย ก < 0 – вниз.

2) ค่าสัมประสิทธิ์ ขส่งผลต่อตำแหน่งของจุดยอดของพาราโบลา ที่ ข= 0 จุดยอดอยู่บนแกน โอ้.

3) ค่าสัมประสิทธิ์ กับแสดงจุดตัดของพาราโบลากับแกน ออปแอมป์.

หลังจากนี้ สามารถยกตัวอย่างเพื่อแสดงสิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับตามกราฟของฟังก์ชัน

ความหมาย กับสามารถเรียกได้อย่างแม่นยำ: เนื่องจากกราฟตัดกับแกน ออปแอมป์ณ จุด (0; 1) แล้ว กับ = 1.

ค่าสัมประสิทธิ์ กสามารถเปรียบเทียบกับศูนย์ได้ เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลงแล้ว ก < 0.

เครื่องหมายสัมประสิทธิ์ ขสามารถพบได้จากสูตรที่กำหนดจุดตัดของพาราโบลา: ต= ตั้งแต่ ก < 0 и ต= 1 แล้ว ข> 0.

4. พิจารณาว่ากราฟฟังก์ชันใดที่แสดงในรูป โดยพิจารณาจากค่าของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ.

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์;

ที่ = เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + 2;

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์ – 2;

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2.

สารละลาย

ก, ขและ กับ:

ก> 0 เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น

ข ออปแอมป์;

กับ= –2 เนื่องจากพาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด (0; –2)

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์ – 2.

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์;

ที่ = –2เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 3;

ที่ = –3เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์ – 1;

ที่ = –2,7เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์.

สารละลาย

จากกราฟที่แสดง เราได้ข้อสรุปเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์ดังต่อไปนี้ ก, ขและ กับ:

ก < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

ข≠ 0 เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาไม่ได้อยู่บนแกน ออปแอมป์;

กับ= 0 เนื่องจากพาราโบลาตัดแกน ออปแอมป์ณ จุด (0; 0)

เงื่อนไขทั้งหมดนี้เป็นไปตามฟังก์ชันเท่านั้น ที่ = –2,7เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์.

5. ตามกราฟของฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับ ก, ขและ กับ:

ก) ข)

สารละลาย

ก) ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงหงายขึ้น ก > 0.

พาราโบลาตัดแกนพิกัดในระนาบครึ่งล่าง ดังนั้น กับ < 0. Чтобы узнать знак коэффициента ขลองใช้สูตรหาค่าแอบซิสซาของจุดยอดของพาราโบลา: ต- จากกราฟจะเห็นได้ว่า ต < 0, и мы определим, что ก> 0 ดังนั้น ข> 0.

b) ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ:

ก < 0, กับ > 0, ข< 0.

นักเรียนที่มีผลการเรียนดีสามารถได้รับทางเลือกเพิ่มเติมในการกรอกข้อ 247

สารละลาย

ที่ = เอ็กซ์ 2 + พิกเซล + ถาม

ก) ตามทฤษฎีบทของเวียตต้า เป็นที่ทราบกันว่าถ้า เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 – รากของสมการ เอ็กซ์ 2 +
+ พิกเซล + ถาม= 0 (นั่นคือศูนย์ของฟังก์ชันนี้) จากนั้น เอ็กซ์ 1 · เอ็กซ์ 2 = ถามและ เอ็กซ์ 1 + เอ็กซ์ 2 = –ร- เราเข้าใจแล้ว ถาม= 3 4 = 12 และ ร = –(3 + 4) = –7.

b) จุดตัดของพาราโบลากับแกน ออปแอมป์จะให้ค่าพารามิเตอร์ ถามนั่นคือ ถาม= 6 ถ้ากราฟของฟังก์ชันตัดกับแกน โอ้ณ จุด (2; 0) แล้วเลข 2 คือรากของสมการ เอ็กซ์ 2 + พิกเซล + ถาม= 0 การแทนค่า เอ็กซ์= 2 ในสมการนี้ เราได้สิ่งนั้น ร = –5.

c) ฟังก์ชันกำลังสองนี้ถึงค่าต่ำสุดที่จุดยอดของพาราโบลา ดังนั้น ที่ไหน ร= –12. ตามเงื่อนไขค่าของฟังก์ชัน ที่ = เอ็กซ์ 2 – 12เอ็กซ์ + ถามตรงจุด x= 6 เท่ากับ 24 การทดแทน x= 6 และ ที่= 24 โวลต์ ฟังก์ชั่นนี้เราพบว่า ถาม= 60.

IV. ทดสอบงาน.

ตัวเลือกที่ 1

1. สร้างกราฟฟังก์ชัน ที่ = 2เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์– 6 และค้นหาโดยใช้กราฟ:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

b) ช่วงเวลาที่ ที่> 0 และ ย < 0;

ช) ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชั่น;

e) ช่วงของฟังก์ชัน

2. โดยไม่ต้องสร้างกราฟฟังก์ชัน ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์, หา:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

c) ช่วงของฟังก์ชัน

3. ตามกราฟของฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับกำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ:

ตัวเลือกที่ 2

1. สร้างกราฟฟังก์ชัน ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์+ 3 และค้นหาโดยใช้กราฟ:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

b) ช่วงเวลาที่ ที่> 0 และ ย < 0;

c) ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

ช) มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น;

e) ช่วงของฟังก์ชัน

2. โดยไม่ต้องสร้างกราฟฟังก์ชัน ที่ = 2เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์, หา:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

b) ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

c) ช่วงของฟังก์ชัน

3. ตามกราฟของฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับกำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ:

V. สรุปบทเรียน

คำถามที่พบบ่อย:

– อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการสร้างฟังก์ชันกำลังสอง

– แสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับที่ ก> 0 และที่ ก < 0.

– อัตราต่อรองมีผลกระทบอย่างไร ก, ขและ กับบนตำแหน่งของกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง?

การบ้าน:หมายเลข 127 (b), หมายเลข 128, หมายเลข 248

นอกจากนี้: หมายเลข 130

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

จะสร้างพาราโบลาได้อย่างไร? มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง แต่ละคนมีข้อดีและข้อเสีย ลองพิจารณาสองวิธี

เริ่มต้นด้วยการพลอตฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y=x²+bx+c และ y= -x²+bx+c

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y=x²+2x-3

สารละลาย:

y=x²+2x-3 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากจุดยอด (-1;-4) เราสร้างกราฟของพาราโบลา y=x² (จากจุดกำเนิดของพิกัด แทนที่จะเป็น (0;0) - จุดยอด (-1;-4) จาก (-1; -4) ไปทางขวา 1 หน่วยขึ้นไป 1 หน่วยจากนั้นไปทางซ้าย 1 และขึ้น 1; จากนั้น: 2 - ขวา, 4 - ขึ้น, 2 - ซ้าย, 3 - ขึ้น, 3 - ซ้าย 9 แต้ม ถ้า 7 แต้มนี้ไม่พอ ให้ 4 แต้มทางขวา 16 แต้มบน เป็นต้น)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y= -x²+bx+c คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง ในการสร้างกราฟ เราจะมองหาพิกัดของจุดยอด จากนั้นสร้างพาราโบลา y= -x²

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²+2x+8

สารละลาย:

y= -x²+2x+8 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากด้านบนเราสร้างพาราโบลา y= -x² (1 - ไปทางขวา, 1- ลง; 1 - ซ้าย, 1 - ลง; 2 - ขวา, 4 - ลง; 2 - ซ้าย, 4 - ลง ฯลฯ ):

วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างพาราโบลาได้อย่างรวดเร็วและไม่ยากหากคุณรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชัน y=x² และ y= -x² ข้อเสีย: ถ้าพิกัดจุดยอดอยู่ ตัวเลขเศษส่วนการสร้างกราฟไม่สะดวกมากนัก หากจำเป็นต้องรู้ ค่าที่แน่นอนจุดตัดกันของกราฟกับแกน Ox คุณจะต้องแก้สมการ x²+bx+c=0 เพิ่มเติม (หรือ -x²+bx+c=0) แม้ว่าจุดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยตรงจากภาพวาดก็ตาม

อีกวิธีในการสร้างพาราโบลาคือการใช้จุด กล่าวคือ คุณสามารถหาจุดต่างๆ บนกราฟแล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านั้นได้ (โดยคำนึงว่าเส้นตรง x=xₒ คือแกนสมมาตร) โดยปกติแล้วจะใช้จุดยอดของพาราโบลาซึ่งเป็นจุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัดและจุดเพิ่มเติมอีก 1-2 จุด

วาดกราฟของฟังก์ชัน y=x²+5x+4

สารละลาย:

y=x²+5x+4 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

นั่นคือจุดยอดของพาราโบลาคือจุด (-2.5; -2.25)

เรากำลังมองหา. ณ จุดตัดกับแกน Ox y=0: x²+5x+4=0 ราก สมการกำลังสอง x1=-1, x2=-4 นั่นคือเราได้สองจุดบนกราฟ (-1; 0) และ (-4; 0)

ที่จุดตัดของกราฟด้วยแกน Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4 เราได้ประเด็นแล้ว (0; 4)

หากต้องการชี้แจงกราฟ คุณสามารถค้นหาจุดเพิ่มเติมได้ สมมติว่า x=1 จากนั้น y=1²+5∙1+4=10 นั่นคืออีกจุดบนกราฟคือ (1; 10) เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้ ประสานงานเครื่องบิน- เมื่อคำนึงถึงความสมมาตรของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดของมัน เราจึงทำเครื่องหมายอีกสองจุด: (-5; 6) และ (-6; 10) และวาดพาราโบลาผ่านพวกมัน:

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²-3x

สารละลาย:

y= -x²-3x เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จุดยอด (-1.5; 2.25) คือจุดแรกของพาราโบลา

ที่จุดตัดของกราฟกับแกน x y=0 นั่นคือ เราจะแก้สมการ -x²-3x=0 รากของมันคือ x=0 และ x=-3 นั่นคือ (0;0) และ (-3;0) - อีกสองจุดบนกราฟ จุด (o; 0) ยังเป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดอีกด้วย

ที่ x=1 y=-1²-3∙1=-4 นั่นคือ (1; -4) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการวางแผน

การสร้างพาราโบลาจากจุดต่างๆ เป็นวิธีการที่ต้องใช้แรงงานมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธีแรก หากพาราโบลาไม่ตัดกับแกน Ox จะต้องมีจุดเพิ่มเติม

ก่อนที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y=ax²+bx+c ต่อไป ให้เราพิจารณาการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตก่อน วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y=x²+c โดยใช้การแปลงแบบใดแบบหนึ่งคือการแปลแบบขนาน

หมวดหมู่: |

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

เพื่อทำความเข้าใจสิ่งที่จะเขียนที่นี่ คุณจำเป็นต้องรู้ดีว่าฟังก์ชันกำลังสองคืออะไรและใช้กับอะไร หากคุณคิดว่าตัวเองเป็นมืออาชีพในเรื่องฟังก์ชันกำลังสอง ยินดีต้อนรับ แต่ถ้าไม่ใช่คุณควรอ่านกระทู้

เริ่มจากสิ่งเล็กๆ กันก่อน เช็ค:

1. ฟังก์ชันกำลังสองมีลักษณะอย่างไร มุมมองทั่วไป(สูตร)?
2. กราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าอะไร?
3. ค่าสัมประสิทธิ์นำส่งผลต่อกราฟของฟังก์ชันกำลังสองอย่างไร

หากคุณสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้ทันที โปรดอ่านต่อ หากอย่างน้อยหนึ่งคำถามทำให้เกิดปัญหา ให้ไปที่

คุณรู้วิธีจัดการฟังก์ชันกำลังสอง วิเคราะห์กราฟ และสร้างกราฟตามจุดแล้ว

เอาล่ะนี่คือ: .

มาจำกันสั้น ๆ ว่าพวกเขาทำอะไร อัตราต่อรอง.

1. ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้ารับผิดชอบต่อ "ความชัน" ของพาราโบลา หรืออีกนัยหนึ่งคือความกว้างของพาราโบลา ยิ่งมาก พาราโบลาก็จะแคบลง (ชันมากขึ้น) และยิ่งเล็กลง พาราโบลาก็จะกว้างขึ้น (แบนขึ้น)
2. พจน์อิสระคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัด
3. และค่าสัมประสิทธิ์มีส่วนรับผิดชอบต่อการกระจัดของพาราโบลาจากศูนย์กลางพิกัด มาพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดกันดีกว่า

เราจะเริ่มสร้างพาราโบลาจากที่ใด? จุดเด่นของมันคืออะไร?

นี้ จุดยอด- คุณจำวิธีหาพิกัดของจุดยอดได้ไหม

ค้นหา Abscissa โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

แบบนี้: กว่า มากกว่า, เหล่านั้น ไปทางซ้ายจุดยอดของพาราโบลาเคลื่อนที่

พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยการแทนที่ลงในฟังก์ชัน:

แทนที่มันเองและทำคณิตศาสตร์ เกิดอะไรขึ้น

หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องและลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ให้มากที่สุด คุณจะได้รับ:

ปรากฎว่ามากขึ้น โมดูโล่, เหล่านั้น สูงกว่าจะ จุดยอดพาราโบลา

เรามาต่อกันที่การวางแผนกราฟกันดีกว่า
วิธีที่ง่ายที่สุดคือสร้างพาราโบลาโดยเริ่มจากด้านบน

ตัวอย่าง:

สร้างกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย:

ขั้นแรก เรามากำหนดค่าสัมประสิทธิ์กันก่อน:

ตอนนี้เรามาคำนวณพิกัดของจุดยอด:

โปรดจำไว้ว่า: พาราโบลาทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเหมือนกันจะมีลักษณะเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าหากเราสร้างพาราโบลาและย้ายจุดยอดของมันไปยังจุดหนึ่ง เราจะได้กราฟที่เราต้องการ:

ง่ายใช่มั้ย?

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะวาดพาราโบลาอย่างรวดเร็วได้อย่างไร? แม้ว่าเราจะวาดพาราโบลาโดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดเริ่มต้น เรายังต้องสร้างมันทีละจุด ซึ่งยาวและไม่สะดวก แต่พาราโบลาทั้งหมดก็ดูเหมือนกัน บางทีอาจมีวิธีทำให้การวาดเร็วขึ้นได้?

ตอนที่ฉันอยู่ที่โรงเรียน ครูคณิตศาสตร์บอกให้ทุกคนตัดกระดาษลายฉลุรูปพาราโบลาออกมาเพื่อจะได้วาดได้อย่างรวดเร็ว แต่คุณจะไม่สามารถเดินไปพร้อมกับลายฉลุได้ทุกที่ และคุณจะไม่ได้รับอนุญาตให้นำไปสอบ ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่ใช้วัตถุแปลกปลอม แต่จะมองหารูปแบบ

ลองพิจารณาพาราโบลาที่ง่ายที่สุด มาสร้างมันทีละจุด:

นี่คือรูปแบบที่นี่ หากจากจุดยอดเราเลื่อนไปทางขวา (ตามแกน) และขึ้นไป (ตามแกน) เราจะไปถึงจุดพาราโบลา เพิ่มเติม: หากเราเคลื่อนไปทางขวาและขึ้นไปจากจุดนี้ เราจะไปถึงจุดพาราโบลาอีกครั้ง ถัดไป: ขวาและบน อะไรต่อไป? ขวาและบน และอื่นๆ: เลื่อนอันหนึ่งไปทางขวา และเลขคี่ตัวถัดไปขึ้น จากนั้นเราก็ทำแบบเดียวกันกับกิ่งด้านซ้าย (เพราะว่าพาราโบลามีความสมมาตร นั่นคือกิ่งก้านของมันจะดูเหมือนกัน):

เยี่ยมเลย มันจะช่วยคุณสร้างพาราโบลาใดๆ จากจุดยอดที่มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ ตัวอย่างเช่น เราเรียนรู้ว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดหนึ่ง สร้างพาราโบลานี้ (ด้วยตัวเองบนกระดาษ)

สร้าง?

มันควรมีลักษณะเช่นนี้:

ตอนนี้เราเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์:

นั่นคือทั้งหมดที่

โอเค ทีนี้ เราสร้างได้แต่พาราโบลาด้วยเหรอ?

ไม่แน่นอน ทีนี้เรามาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับพวกมันถ้า

ลองดูกรณีทั่วไปบางกรณี

เยี่ยมมาก คุณได้เรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาแล้ว ตอนนี้มาฝึกใช้ฟังก์ชันจริงกันดีกว่า

ดังนั้น จงวาดกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้:

คำตอบ:

3. ด้านบน: .

คุณจำได้ไหมว่าจะทำอย่างไรถ้าค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสน้อยกว่า?

เราดูที่ตัวส่วนของเศษส่วน: มันเท่ากัน ดังนั้นเราจะเคลื่อนไหวดังนี้:

• ขวา - ขึ้น
• ขวา - ขึ้น
• ขวา - ขึ้น

และทางซ้ายด้วย:

4. ด้านบน: .

โอ้ เราจะทำอะไรกับเรื่องนี้ได้บ้าง? จะวัดเซลล์ได้อย่างไรถ้าจุดยอดอยู่ระหว่างเส้น?..

และเราจะโกง ขั้นแรกให้วาดพาราโบลาก่อน แล้วจึงย้ายจุดยอดไปยังจุดหนึ่ง ไม่ มาทำอะไรที่ฉลาดกว่านี้กันดีกว่า: มาวาดพาราโบลากันดีกว่า ย้ายแกน:- บน ลง, เอ-ออน ขวา:

เทคนิคนี้สะดวกมากในกรณีของพาราโบลาใดๆ จำไว้

ฉันขอเตือนคุณว่าเราสามารถแสดงฟังก์ชันในรูปแบบนี้ได้:

ตัวอย่างเช่น: .

สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง?

ความจริงก็คือ จำนวนที่ถูกลบออกจากวงเล็บ () คือค่าที่หักของจุดยอดของพาราโบลา และค่าที่อยู่นอกวงเล็บ () คือเลขลำดับของจุดยอด

ซึ่งหมายความว่าเมื่อสร้างพาราโบลาแล้ว คุณจะต้องการ เลื่อนแกนไปทางซ้ายและแกนลง

ตัวอย่าง: มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

หมายเลขอะไร หักแล้วจากในวงเล็บเหรอ? สิ่งนี้ (และไม่ใช่วิธีที่คุณสามารถตัดสินใจได้โดยไม่ต้องคิด)

เรามาสร้างพาราโบลากันดีกว่า:

ตอนนี้เราเลื่อนแกนลงนั่นคือขึ้น:

และตอนนี้ - ไปทางซ้ายนั่นคือไปทางขวา:

นั่นคือทั้งหมดที่ ซึ่งก็เหมือนกับการเคลื่อนพาราโบลาที่มีจุดยอดจากจุดกำเนิดไปยังจุดหนึ่ง มีเพียงแกนตรงเท่านั้นที่จะเคลื่อนได้ง่ายกว่าพาราโบลาโค้งมาก

ตามปกติแล้วตัวฉันเอง:

และอย่าลืมลบเพลาเก่าด้วยยางลบ!

ฉันเป็น คำตอบเพื่อตรวจสอบ ฉันจะเขียนพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาเหล่านี้ให้คุณ:

ทุกอย่างมารวมกันเหรอ?

ถ้าใช่ แสดงว่าคุณเยี่ยมมาก! การรู้วิธีจัดการกับพาราโบลามีความสำคัญและมีประโยชน์มาก และที่นี่เราพบว่ามันไม่ยากเลย

การสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ฟังก์ชันกำลังสอง - ฟังก์ชันของแบบฟอร์ม โดยที่ และ เป็นตัวเลขใดๆ (สัมประสิทธิ์) - คำศัพท์อิสระ

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

จุดยอดของพาราโบลา:
, เช่น. ยิ่ง \displaystyle b มีขนาดใหญ่ จุดยอดของพาราโบลาก็จะยิ่งเคลื่อนไปทางซ้ายมากขึ้น
เราแทนที่มันลงในฟังก์ชัน และเราได้รับ:
, เช่น. \displaystyle b จะมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ส่วนด้านบนของพาราโบลาก็จะยิ่งสูงขึ้น

พจน์อิสระคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัด

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสอีกมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าและชีวิตก็สดใสขึ้นใช่ไหม? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง นี่ค่อนข้างแปลกเพราะพวกเขาศึกษาฟังก์ชันกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จากนั้นตลอดไตรมาสแรกของชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 พวกเขา "ทรมาน" คุณสมบัติของพาราโบลาและสร้างกราฟสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมื่อบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาไม่ได้อุทิศเวลาในการ "อ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากรูปภาพ เห็นได้ชัดว่า สันนิษฐานว่าหลังจากสร้างกราฟได้หลายสิบกราฟ นักเรียนที่ฉลาดเองก็จะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรกับ รูปร่างกราฟิก ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ไม่ได้ผล สำหรับภาพรวมดังกล่าวจำเป็นต้องมีประสบการณ์ที่จริงจังในการวิจัยขนาดเล็กทางคณิตศาสตร์ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนเกรดเก้าส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันผู้ตรวจการของรัฐเสนอให้กำหนดสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตาราง

เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและจะเสนออัลกอริธึมหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าว

ดังนั้นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = ขวาน 2 + bx + cเรียกว่าสมการกำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อหมายถึงคำหลักคือ ขวาน 2- นั่นก็คือ กไม่ควรเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถเท่ากับศูนย์ได้

เรามาดูกันว่าสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร

การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด ก- เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ:“ ถ้า ก> 0 แล้วกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และถ้า ก < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ก > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

ใน ในกรณีนี้ ก = 0,5

และตอนนี้สำหรับ ก < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = - 0,5

ผลกระทบของสัมประสิทธิ์ กับนอกจากนี้ยังง่ายต่อการติดตาม สมมติว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์= 0 แทนศูนย์ลงในสูตร:

ย = ก 0 2 + ข 0 + ค = ค- ปรากฎว่า ย = ค- นั่นก็คือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y โดยปกติแล้ว จุดนี้จะหาได้ง่ายบนกราฟ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นก็คือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.

กับ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

กับ < 0

y = x 2 + 4x - 3

ตามนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:

y = x 2 + 4x

ยากขึ้นด้วยพารามิเตอร์ ข- จุดที่เราจะพบนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเท่านั้น ขแต่ยังมาจาก ก- นี่คือยอดพาราโบลา Abscissa ของมัน (พิกัดแกน เอ็กซ์) พบได้จากสูตร x ใน = - b/(2a)- ดังนั้น, b = - 2ax นิ้ว- นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: เราค้นหาจุดยอดของพาราโบลาบนกราฟ กำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x เข้า> 0) หรือไปทางซ้าย ( x เข้า < 0) она лежит.

อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ด้วย ก- นั่นคือ ดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางไหน และหลังจากนั้นตามสูตรเท่านั้น b = - 2ax นิ้วกำหนดสัญญาณ ข.

ลองดูตัวอย่าง:

กิ่งก้านชี้ขึ้นซึ่งหมายความว่า ก> 0 พาราโบลาตัดแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์นั่นคือ กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x เข้า> 0. ดังนั้น b = - 2ax นิ้ว = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: ก > 0, ข < 0, กับ < 0.