Stereometria este o secțiune a geometriei care studiază proprietățile figurilor spațiale, adică figurile care nu aparțin aceluiași plan. În stereometrie sunt luate în considerare diferite cazuri poziție relativă drepte și plane în spațiu, astfel de figuri spațiale ca prismă, piramidă, corpuri de rotație, poliedre regulate etc. Când se studiază stereometria, se generalizează unele concepte planimetrice: vector, transformare geometrică, sistem de coordonate dreptunghiulare etc. Probleme importante în stereometrie sunt probleme de măsurare a suprafețelor și volumelor figurilor spațiale luate în considerare.

Majoritatea figurilor spațiale sunt abstracții diverse articole. Studiul stereometriei include nu numai asimilarea unor fapte și concepte, ci și posesia metode matematice, care sunt folosite pentru a fundamenta aceste fapte. Să acordăm atenție structurii stereometriei ca curs de formare. Stereometria este construită după cum urmează:

• sunt enumerate conceptele inițiale care sunt acceptate fără definiție;
• este dată o listă de axiome;
• cu ajutorul conceptelor inițiale se dau definiții altor concepte geometrice;
• Teoremele sunt dovedite pe baza axiomelor și definițiilor.

Conceptele inițiale ale stereometriei sunt următoarele trei concepte: „punct”, „distanță între puncte”, „plan”. Cu ajutorul lor, sunt definite și alte concepte de stereometrie. A defini un concept (a-i da o definiție) înseamnă a-i indica esențialul, trăsături caracteristice, indicați semnele. Unele dintre aceste semne sunt semne de asemănare și stabilesc o legătură acest concept cu alte concepte deja cunoscute; altele sunt semne de diferență care indică proprietățile speciale ale acestor concepte.

Conceptul geometric initial nu este definit direct. Ele nu pot fi reduse la alte concepte din sistemul de prezentare acceptat. Dar asta nu înseamnă că rămân complet nedefinite. Ele sunt indicate indirect, prin enumerarea unor semne și proprietăți în axiome. Cu ajutorul axiomelor, alte proprietăți ale conceptelor geometrice sunt derivate logic. Afirmațiile de acest fel se numesc teoreme, iar raționamentul în timpul căruia sunt stabilite se numește dovezi.

Iată câteva notații folosite în stereometrie:

α, β, γ, … – denumirile planurilor α, β, γ…;

A, B, C,... – puncte;

a, b, c,... – linii drepte;

A = B, a = b, α = β – punctele A și B coincid, liniile drepte a și b coincid, planele α și β coincid;

A ≠ B, a ≠ b, α ≠ β – punctele A și B nu coincid, dreptele a și b nu coincid, planele α și β nu coincid;

A Є a, A Є α – punctul A aparține dreptei a, punctul A aparține planului α;

A Ȼ a, A Ȼ α – punctul A nu aparține dreptei a, punctul A nu aparține planului α.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

AXIOME DE STEREOMETRIE

Stereometria este o ramură a geometriei care studiază proprietățile figurilor din spațiu.

Cuvântul „stereometrie” provine din cuvintele grecești „stereos” – volumetric, spațial și „metreo” – măsură.

Ideea corpurilor geometrice studiate în stereometrie este dată de obiectele din jurul nostru. Spre deosebire de obiectele reale, corpurile geometrice sunt obiecte imaginare. Studiind proprietățile corpurilor geometrice, ne facem o idee despre proprietăți geometrice obiecte reale și putem folosi aceste proprietăți în activități practice. Geometria, în special stereometria, este utilizată pe scară largă în construcții, arhitectură, inginerie mecanică, geodezie și în multe alte domenii ale științei și tehnologiei.

Schema de construcție a geometriei

Sunt enumerate principalele concepte nedefinite.

Sunt formulate proprietățile conceptelor de bază - axiome.

Sunt definite și alte concepte geometrice.

Proprietățile conceptelor geometrice - teoreme - sunt formulate și dovedite.

AXIOME DE STEREOMETRIE. CONSECINTE DIN AXIOME

Concepte de bază ale stereometriei: punct, linie, plan, distanță.

Definiţie: O axiomă este o propoziție care nu necesită demonstrație .

Proprietățile de bază ale punctelor, dreptelor și planelor cu privire la pozițiile lor relative sunt exprimate în axiome. Întregul sistem de axiome de stereometrie constă dintr-un număr de axiome cunoscute nouă de la cursul de planimetrie și axiome despre pozițiile relative ale punctelor, liniilor și planelor în spațiu.

AXIOME DE STEREOMETRIE

eu. Axiomele apartenenței

eu 1. Există cel puțin o linie dreaptă și cel puțin un plan. Fiecare linie dreaptă și fiecare plan este un set nevid de puncte care nu coincide cu spațiul.

Desemnare:

A, B, C, D - puncte;

a, b, c - Drept;

a, b, g - avioane;

A Î O– punctul A aparține dreptei a, linia a trece prin punctul A;

E Ï O –punctul E nu aparține dreptei a;

S Î o– punctul C aparține planului a, planul a trece prin punctul C;

E Ï o –punctul E nu aparține planului a.

Concluzie: Sunt puncte care aparțin unei linii și cele care nu aparțin unei linii sunt puncte care aparțin unui plan și care nu aparțin unui plan.

eu 2. In doi diverse puncte există o singură linie dreaptă.

Desemnare:

și М o –planul a trece prin linia a;

b Ë o–planul a nu trece prin linia b.

eu 4. Prin trei puncte care nu aparțin aceleiași drepte, trece unul și un singur plan.

Desemnare: a = ABC

Concluzie: Avioanele care au trei puncte comune diferite coincid.

eu 5. Dacă doi avioane diferite au un punct comun, atunci intersecția lor este o linie dreaptă.

Desemnare: M Î a, MÎ b, a ¹ b, aìü b = l.

II. Axiomele distanței

II 1. Pentru oricare două puncte OŞi ÎN există o mărime nenegativă numită distanța de la O la ÎN. Distanţă AB este egal cu zero dacă și numai dacă punctele OŞi ÎN meci.

Desemnare: AB³ 0.

II 2. Distanța de la O la ÎN egală cu distanța de la ÎN la O.

Desemnare: AB = BA.

II 3. Pentru orice trei puncte O, ÎN, CU distanta de la O la CU nu mai mult decât suma distanțelor de la O la ÎN iar din ÎN la CU.

Desemnare: AC £ AB + BC.

III. Axiomele ordinii

III 1. Orice punct DESPRE direct rîmparte ansamblul tuturor lucrurilor distincte dintr-un punct DESPRE puncte ale unei linii drepte rîn două seturi nevide, astfel încât pentru oricare două puncte OŞi ÎN, aparținând unor mulțimi diferite, punct DESPRE se află între puncte OŞi ÎN; dacă puncte OŞi ÎN aparțin aceluiași set, atunci unul dintre ele se află între celălalt și punct DESPRE.

Subiectul și axiomele stereometriei. STEREOMETRIA este o ramură a geometriei în care sunt studiate proprietățile figurilor din spațiu. Cuvântul „stereometrie” provine din cuvintele grecești „stereo” - volumetric, spațial și „metrou” - pentru a măsura. Primul manual care a ajuns la noi este un manual de matematică numit „Elemente”, creat de omul de știință grec antic Euclid în secolul al III-lea. î.Hr e. Multă vreme, geometria a fost studiată folosind această carte.

Imagini convenționale și denumiri ale dreptelor, punctelor și planurilor Punctul A aparține planului Punctul B nu aparține planului Linia c nu se află în plan Linia k se află în plan Linia m intersectează planul în punctul A Plane și se intersectează de-a lungul linia a

Ce este o axiomă? AXIOM este o afirmație al cărei adevăr este acceptat fără dovezi (axioma este un cuvânt grecesc care înseamnă „propoziție incontestabilă”). Axiomele au fost formulate de Euclid (secolul al III-lea î.Hr.) în celebra sa lucrare „Elemente”.

Să ne amintim axiomele planimetriei pe care le cunoașteți: Fiecare dreaptă conține cel puțin două puncte. Dintre cele trei puncte de pe o linie dreaptă, unul și doar unul se află între celelalte două. Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Dacă două cifre se suprapun, se spune că sunt egale.

A1: Prin orice trei puncte care nu se află pe aceeași linie trece un avion și doar unul. ÎNTREBĂRI: -Trei puncte se află întotdeauna în același plan? -Patru puncte se află întotdeauna în același plan? -Un avion trece întotdeauna prin trei puncte, și doar unul? -Câte avioane pot fi desenate prin două puncte?

A2: Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate punctele acestei linii se află în plan. ÎNTREBĂRI: Este adevărată afirmația: -dacă două puncte ale unui cerc se află într-un plan, atunci întregul cerc se află în acest plan? -dacă trei puncte ale cercului se află în acest plan? -dacă o dreaptă intersectează două laturi ale unui triunghi, se află ea în planul triunghiului dat?

A3: Dacă două plane au un punct comun, atunci au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri ÎNTREBĂRI: pot avea două plane: - un singur punct comun? -doar două puncte comune? -doar o linie comună? -Două plane care se intersectează pot avea un punct comun care nu aparține dreptei de intersecție a acestor plane?

Se consideră cubul ABCDA1B1C1D1 d) numiți dreptele de-a lungul cărora se intersectează planele ABC și DD 1 C 1, BB 1 C 1 și AA 1 B 1, AA 1 D 1 și A 1 B 1 C 1; a) numiți punctele care se află în planul DCC 1, ABC, ADD 1; b) numiți planurile cărora le aparțin punctele M, K, P 1, R, S, N; c) numiţi planurile în care se află liniile drepte KP, C 1 D 1, RP, MK; ÎNTREBĂRI:

Luați în considerare cubul ABCDA1B1C1D1 e) numiți liniile de-a lungul cărora se intersectează planele ABC și KPN, RPK și DСС 1, BDC 1; f) denumește punctele de intersecție ale dreptelor DS și CC 1, AD și PC, MR și AD, KP și AD, DC1 și RP1; g) denumiți punctele comune ale planurilor CDD 1 și BCC 1, ABC și AA1D1, BDC și ABB1.BDС1 și RSP; ÎNTREBĂRI:

S T E R E O M E T R I

Introducere.(6 lecții)

Lecția #1. Subiect: „Subiect al stereometriei. Axiomele stereometriei”.

Scopul lecției: a lua în considerare proprietățile de bază ale punctelor, liniilor și

avioane în spațiu.

1.Subiect al stereometriei. Corpuri geometrice. Exemple de corpuri diferite din jurul nostru.

STEREOMETRIA – Aceasta este o ramură a geometriei în care sunt studiate proprietățile figurilor din spațiu. Cuvântul „stereometrie” provine din cuvintele grecești „stereos” - volumetric, spațial și „metrio” - pentru a măsura.

2. Concepte de bază nedefinite ale stereometriei: puncte, drepte, plane. În Elementele lui Euclid sunt date următoarele formulări:

Un punct este ceva care nu are părți.

O linie este lungimea fără lățime.

Limitele unei linii sunt puncte.

O suprafață este ceva care are doar lungime și lățime.

Limitele unei suprafețe sunt linii.

Aceste definiții ale lui Euclid sunt doar descrieri ale imaginilor geometrice. Aceste definiții nu au fost folosite pentru a demonstra teoremele din Principia.

Prezentarea modernă strict deductivă a geometriei, reflectată, de exemplu, în sistemul lui Hilbert, nu definește în mod direct obiectele de bază ale geometriei: punct, linie dreaptă, plan, precum și relațiile: aparține, între, congruent (compatibil când este suprapus).

Aceste obiecte nu sunt asociate cu nicio idee despre obiecte specifice. Ceea ce trebuie să știți despre ele este menționat în axiome, care sunt astfel definițiile lor indirecte.

3. Notația modernă a fost introdusă și de Hilbert în „Foundations of Geometry”. Hilbert denotă puncteîn majuscule cu litere latine(A, B, C, ...), Drept - litere latine mici (a, b, c, ...), avioane - litere mici sau grecești (, , , , …).

Diverse cazuri de combinare între ele linii drepte, puncte și plane, imaginile lor convenționale și denumirile lor sunt prezentate în figuri.

Punctele A și B, planul  și punctul A se află în planul și punctul B nu

se află în planul .

Dreptele c, k, m sunt situate în raport cu planul  după cum urmează:

Linia c nu se află în planul 

Linia dreaptă k se află în planul ;

Dreapta m intersectează planul  în punctul A.

Planurile și se intersectează de-a lungul dreptei a.

Concluzie. Prin stereometrie se studiază diverse cazuri de aranjare reciprocă a dreptelor, dreptelor și planelor, planurilor în spațiu.

5. Alături de aceste cifre, avem în vedere corpuri geometrice și suprafețele lor. Exemple ale celor mai simple corpuri geometrice: cub, bilă, cilindru, prismă, con, piramidă.

Studiind proprietățile figurilor geometrice - obiecte imaginare, ne facem o idee despre proprietățile geometrice ale obiectelor reale și le putem folosi în activități practice, în special: în construcții, arhitectură, inginerie mecanică și altele.

6. Axiomele stereometriei.

AXIOM este o afirmație al cărei adevăr este acceptat fără dovezi ( axioma - Cuvânt grecesc care înseamnă „poziție incontestabilă”).

A1: Prin orice trei puncte care nu se află pe aceeași linie trece un avion și doar unul.

Planul trece prin punctele A, B și C. Putem spune că aceste trei puncte definesc planul ABC.

Trei puncte se află întotdeauna în același plan? (DA)

Patru puncte se află întotdeauna în același plan? (Nu)

Un avion trece întotdeauna prin trei puncte și doar unul? (Nu)

Câte avioane pot fi desenate prin două puncte? (set)

A2: Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate punctele acestei linii se află în plan.

Punctele A și B se află în planul , ceea ce înseamnă că și punctul C se află în planul  deoarece se află pe dreapta AB.

ÎNTREBĂRI: Este adevărată afirmația:

Dacă două puncte ale unui cerc se află într-un plan, atunci întregul cerc se află în acest plan? (Nu)

Dacă trei puncte ale unui cerc se află într-un plan, atunci întregul cerc se află în acest plan? (Da)

Dacă o dreaptă intersectează două laturi ale unui triunghi, se află ea în planul triunghiului? (Da)

Dacă o dreaptă trece prin unul dintre vârfurile unui triunghi, se află ea în planul acestui triunghi? (Nu)

Dacă două vârfuri adiacente și punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram se află într-un plan, atunci celelalte două vârfuri se află și ele în acest plan? (Da)

Dacă două vârfuri opuse și punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram se află într-un plan, atunci celelalte două vârfuri se află și ele în acest plan? (Nu)

A3: Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care se află toate punctele comune ale acestor plane. Ei spun asta planurile se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin acest punct.

două avioane pot avea:

Doar un punct comun? (Nu)

Doar două puncte comune? (Nu)

O singură linie comună? (Da)

Două plane care se intersectează pot avea un punct comun care nu aparține dreptei de intersecție a acestor plane?

Să luăm în considerare modelul de cub ABCDA1B1C1D1.

a) numiți punctele care se află în planul DCC1, ABC, ADD1;

b) numiți planurile cărora le aparțin punctele M, K, P1, R, S, N;

c) numiți planurile în care sunt situate dreptele KP, C1D1, RP, MK;

d) numiți liniile de-a lungul cărora se intersectează planele ABC și DD1C1, BB1C1 și AA1B1, AA1D1 și A1B1C1;

e) numiți liniile de-a lungul cărora planele ABC și KPN, RPK se intersectează

DCC1, BDC1 și RSP;

f) denumește punctele de intersecție ale dreptelor DS și CC1, AD și PC, MR și AD, KP și AD, DC1 și RP1;

g) numiți punctele comune ale planurilor CDD1 și BCC1, ABC și AA1D1, BDC și ABB1.

Scrieți răspunsurile în caiet folosind simboluri. Verifică. Verificați exercițiul.

a)   DCC, P  DCC1,S  DCC1,

LA  ABC, K1  ABC, P  ABC, P1  ABC,

M  ADD1, R  ADD1, K1  ADD1, P1  ADD1;

b) M  ABB1,M  ADD1, K  ABC, K  ABB1, P1  ABC, P1  DCC1, R  ADD1, R  DCC1,S  DCC1,N  A1B1C1, N  BCC1;

c) KP  ABC, C1D1  CDD1, C1D1  A1B1C1, RP  CDD1, MK AA1B1;

d) ABC ∩ DD 1 C 1 =DC, BB 1 C 1 ∩ AA 1 B 1 =BB 1, AA 1 D 1 ∩ A 1 B 1 C 1 =A 1 D 1;

e) ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC 1 = RP, BDC 1 ∩ RSP = DC 1 ;

f) DS ∩ CC 1 =C 1, AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P 1, KP ∩ AD=K 1, DC 1 ∩ RP 1 =;

g) C,C 1  (CDD 1 ∩BCC 1), A 1 ,D 1 ,K 1 , P 1  (ABC∩AA 1 D 1), A,K,B (BDC) ∩ABB 1).

TEMA: oral p. 1-2, în scris Nr. 1 (desenați desenul și scrieți răspunsul folosind simboluri), Nr.11.

Referinte:

Geometrie 10-11. L. S. Atanasyan, S. B. Kadomtsev și alții M. „Iluminarea” 1992

Geometrie 7-11. A. V. Pogorelov. M. „Iluminismul” 1982

Stereometrie. Probleme orale 10-11. B. G. Ziv. Sankt Petersburg „CheRO-on-Neva” 2002

Istoria matematicii la scoala. Clasele IX-X. G. I. Glazer. M. „Iluminismul” 1983.

Enciclopedie pentru copii. Volumul 3. Academia de Științe Pedagogice. M. 1959.

Enciclopedie pentru copii. Volumul 11.Matematică. „Avanta+” M. 1998.

Câteva definiții:

1. Poliedru este un corp geometric limitat de un număr finit de poligoane plate, dintre care oricare doi având o latură comună nu se află în același plan. În acest caz, poligoanele în sine sunt numite fețe, laturile lor sunt numite muchii ale poliedrului, iar vârfurile lor sunt numite vârfuri ale poliedrului.
2. Figura formată din toate fețele unui poliedru se numește suprafața sa ( suprafata intreaga), iar suma ariilor tuturor fețelor sale este (total) suprafață.
3. este un poliedru cu șase fețe care sunt pătrate egale. Laturile pătratelor se numesc muchiile cubului, iar vârfurile se numesc vârfuri ale cubului.
4. este un poliedru cu șase fețe și fiecare dintre ele este un paralelogram. Laturile paralelogramelor se numesc marginile paralelipipedului, iar vârfurile lor se numesc vârfuri ale paralelipipedului. Cele două fețe ale unui paralelipiped se numesc opus, dacă nu au o margine comună, iar cele care au o margine comună se numesc adiacent. Uneori sunt evidențiate și numite două fețe opuse ale unui paralelipiped motive, atunci fețele rămase sunt fetele laterale, iar laturile lor care leagă vârfurile bazelor paralelipipedului sunt ale acestuia coaste laterale.
5. Paralepipedul drept- acesta este un paralelipiped ale cărui fețe laterale sunt dreptunghiuri.
6. opus este un paralelipiped ale cărui fețe sunt dreptunghiuri. Rețineți că fiecare paralelipiped dreptunghiular este un paralelipiped drept, dar nu orice paralelipiped drept este unul dreptunghiular. . Segmentul care leagă vârfurile opuse ale unui paralelipiped se numește diagonal
7. paralelipiped. Un paralelipiped are doar patru diagonale. prisma ( n-cărbune) prisma ( este un poliedru cu două fețe egale prisma (-goni, și restul prisma ( fețele sunt paralelograme. Egal motive- se numesc gonurile și paralelograme - feţele laterale ale prismei - Aceasta este o prismă ale cărei fețe laterale sunt dreptunghiuri. prisma ( Corecta-prismă de carbon prisma ( este o prismă în care toate fețele laterale sunt dreptunghiuri, iar bazele sale sunt regulate
8. -goni. Se numește suma ariilor fețelor laterale ale prismei suprafața sa laterală (notat S lateral). Se numește suma ariilor tuturor fețelor unei prisme suprafața sa laterală (notat suprafata prismei
9. deplin). prisma ( n piramida ( prisma (- acesta este un poliedru, care are o singură față - unele prisma (-gon și restul prisma ( fețe – triunghiuri cu un vârf comun; -se numeste patrat bază fetele laterale; triunghiurile care au un vârf comun se numesc , iar vârful lor comun se numește vârful piramidei . Laturile fețelor unei piramide se numesc ei coaste , iar muchiile care converg la un vârf se numesc.
10. lateral Se numește suma suprafețelor fețelor laterale ale piramidei suprafața sa laterală (notat suprafața laterală a piramidei lateral). Se numește suma ariilor tuturor fețelor piramidei suprafața piramidei (notat suprafata prismei
11. (suprafața este indicatăprisma ( Corecta-piramida cărbunelui prisma (- aceasta este o piramidă a cărei bază este corectă
12. -gon, iar toate marginile laterale sunt egale între ele. O piramidă obișnuită are fețe laterale care sunt egale între ele triunghiuri isoscele. Piramida triunghiulara se numeste, dacă toate fețele sale sunt triunghiuri regulate egale. Un tetraedru este un caz special al unei piramide triunghiulare regulate (adică nu orice piramidă triunghiulară regulată va fi un tetraedru).

Axiomele stereometriei:

1. Prin oricare trei puncte care nu se află pe aceeași linie, există un singur plan.
2. Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan.
3. Dacă două planuri au un punct comun, atunci ele au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri.

Corolare din axiomele stereometriei:

• Teorema 1. Un singur plan trece printr-o linie dreaptă și un punct care nu se află pe ea.
• Teorema 2. Un singur plan trece prin două drepte care se intersectează.
• Teorema 3. Un singur plan trece prin două drepte paralele.

Construcția secțiunilor în stereometrie

Pentru a rezolva probleme de stereometrie, este urgent necesar să se poată construi secțiuni de poliedre (de exemplu, piramide, paralelipipedi, cuburi, prisme) într-un desen folosind un anumit plan. Să dăm câteva definiții pentru a explica ce este o secțiune:

• Plan de tăiere piramida (prismă, paralelipiped, cub) este un astfel de plan, pe ambele părți ale căruia există puncte ale unei piramide date (prismă, paralelipiped, cub).
• Secțiune transversală a unei piramide(prismă, paralelipiped, cub) este o figură formată din toate punctele care sunt comune piramidei (prismă, paralelipiped, cub) și planului de tăiere.
• Planul de tăiere intersectează fețele piramidei (paralelepiped, prismă, cub) de-a lungul segmentelor, prin urmare secțiune există un poligon situat în planul de tăiere, ale cărui laturi sunt segmentele indicate.

Pentru a construi o secțiune a unei piramide (prismă, paralelipiped, cub), puteți și trebuie să construiți punctele de intersecție ale planului de tăiere cu marginile piramidei (prismă, paralelipiped, cub) și să conectați fiecare două dintre ele situate pe același faţă.

1. Rețineți că succesiunea de construire a vârfurilor și a laturilor secțiunii nu este semnificativă. Construcția secțiunilor de poliedre se bazează pe două sarcini de construcție:

Drepte de intersecție a două plane. α Şi β Pentru a construi o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează două plane α Şi β .

1. (de exemplu, un plan de tăiere și un plan de față poliedru), trebuie să construiți două dintre punctele lor comune, apoi linia dreaptă care trece prin aceste puncte este linia de intersecție a planurilor

Punctele de intersecție ale unei drepte și ale unui plan. Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte l α si avioane Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte trebuie să construiți punctul de intersecție al dreptei Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte si drept α 1 de-a lungul căruia planul se intersectează Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte.

Poziția relativă a liniilor drepte și a planelor în stereometrie

Definiţie: Când se rezolvă probleme de stereometrie, se numesc două linii drepte în spațiu paralel, dacă se află în același plan și nu se intersectează. Dacă drept OŞi b, sau ABŞi CD sunt paralele, apoi scriu:

Câteva teoreme:

• Teorema 1. Prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu linia dată.
• Teorema 2. Dacă una dintre cele două drepte paralele intersectează un plan dat, atunci și cealaltă dreaptă intersectează acest plan.
• Teorema 3(semnul dreptelor paralele). Dacă două linii sunt paralele cu o a treia linie, atunci sunt paralele între ele.
• Teorema 4(despre punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelipiped). Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

Există trei cazuri posibile de poziție relativă a unei linii drepte și a unui plan în stereometrie:

• Linia dreaptă se află în plan (fiecare punct al dreptei se află în plan).
• O dreaptă și un plan se intersectează (au un singur punct comun).
• O linie dreaptă și un plan nu au un singur punct în comun.

Definiţie: Se numesc o linie dreaptă și un plan paralel, dacă nu au puncte comune. Dacă drept O paralel cu planul β , apoi scriu:

Teoreme:

• Teorema 1(un semn de paralelism între o dreaptă și un plan). Dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan, atunci este paralelă cu planul dat.
• Teorema 2. Dacă avionul (în figură – α ) trece printr-o linie dreaptă (în figură – Cu), paralel cu un alt plan (în figură – β ), și intersectează acest plan, apoi linia de intersecție a planurilor (în figură - d) este paralelă cu această dreaptă:

Dacă două drepte diferite se află în același plan, atunci ele fie se intersectează, fie sunt paralele. Totuși, în spațiu (adică în stereometrie), este posibil și un al treilea caz, când nu există un plan în care să se afle două drepte (și nici nu se intersectează și nici nu sunt paralele).

Definiţie: Se numesc două linii drepte încrucișarea, dacă nu există nici un plan în care zace amândoi.

Teoreme:

• Teorema 1(semnul de trecere a liniilor). Dacă una dintre cele două linii se află într-un anumit plan, iar cealaltă linie intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei linii, atunci aceste linii se intersectează.
• Teorema 2. Prin fiecare dintre cele două drepte care se intersectează trece un singur plan paralel cu cealaltă dreaptă.

Acum să introducem conceptul de unghi între liniile oblice. Lasă oŞi b Oîn spațiu și trage linii drepte prin el o 1 și b 1, paralel cu liniile drepte oŞi b respectiv. Unghiul dintre liniile care se intersectează oŞi b numit unghiul dintre liniile de intersectare construite o 1 și b 1 .

Cu toate acestea, în practică punctul O mai des aleg astfel încât să aparțină uneia dintre linii. Acest lucru este de obicei nu numai mai convenabil, ci și mai rațional și corect din punctul de vedere al construirii unui desen și al rezolvării unei probleme. Prin urmare, pentru unghiul dintre liniile de încrucișare dăm următoarea definiție:

Definiţie: Lasă oŞi b- două linii drepte care se intersectează. Să luăm un punct arbitrar O pe una dintre ele (în cazul nostru, pe linie dreaptă b) și trageți prin ea o linie dreaptă paralelă cu cealaltă dintre ele (în cazul nostru o 1 paralelă o). Unghiul dintre liniile care se intersectează oŞi b este unghiul dintre linia construită și linia care conține punctul O(în cazul nostru acesta este unghiul β între linii drepte o 1 și b).

Definiţie: Se numesc două linii drepte reciproc perpendiculare(perpendiculară) dacă unghiul dintre ele este de 90°. Atât liniile drepte care se intersectează, cât și liniile drepte situate și care se intersectează în același plan pot fi perpendiculare. Dacă drept o perpendicular pe o linie dreaptă b, apoi scriu:

Definiţie: Cele două avioane sunt numite paralel, dacă nu se intersectează, i.e. nu au puncte comune. Dacă două avioane α Şi β sunt paralele, apoi, ca de obicei, scriu:

Teoreme:

• Teorema 1(un semn de planuri paralele). Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele.
• Teorema 2(despre proprietatea fețelor opuse ale unui paralelipiped). Fețele opuse ale unui paralelipiped se află în planuri paralele.
• Teorema 3(despre liniile drepte de intersecție a două plane paralele cu un al treilea plan). Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea, atunci liniile lor de intersecție sunt paralele între ele.
• Teorema 4. Segmentele de drepte paralele situate între plane paralele sunt egale.
• Teorema 5(despre existența unui plan unic paralel cu un plan dat și care trece printr-un punct în afara acestuia). Printr-un punct care nu se află într-un plan dat trece un singur plan paralel cu cel dat.

Definiţie: O dreaptă care intersectează un plan se numește perpendiculară pe plan dacă este perpendiculară pe fiecare dreptă situată în acest plan. Dacă drept o perpendicular pe plan β , apoi scriu, ca de obicei:

Teoreme:

• Teorema 1. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă.
• Teorema 2. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acest plan.
• Teorema 3(despre paralelismul dreptelor perpendiculare pe un plan). Dacă două drepte sunt perpendiculare pe același plan, atunci sunt paralele.
• Teorema 4(un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan). Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.
• Teorema 5(despre un plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe o dreaptă dată). Prin orice punct din spațiu trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată.
• Teorema 6(despre o dreaptă care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe un plan dat). Prin orice punct din spațiu trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat.
• Teorema 7(despre proprietatea diagonalei unui paralelipiped dreptunghiular). Pătrat al lungimii diagonale a unui cuboid egal cu suma pătrate ale lungimii celor trei muchii ale sale având un vârf comun:

Consecinţă: Toate cele patru diagonale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele.

Teorema trei perpendiculare

Lasă punctul O nu stă întins într-un avion α . Să tragem prin punct O Drept, perpendicular pe plan α , și notează prin literă DESPRE punctul de intersecție al acestei drepte cu planul α . O perpendiculară desenată dintr-un punct O spre avion α , numit segment SA, punct DESPRE numită baza perpendicularei. Dacă SA– perpendicular pe plan α , A M– un punct arbitrar al acestui plan, diferit de punct DESPRE, apoi segmentul A.M numit oblic tras dintr-un punct O spre avion α , și punct M– bază înclinată. Segment OM– proiecție ortogonală (sau, pe scurt, proiecție) oblică A.M spre avion α . Acum prezentăm o teoremă care joacă rol important la rezolvarea multor probleme.

Teorema 1 (aproximativ trei perpendiculare): O dreaptă trasată într-un plan și perpendiculară pe proiecția uneia înclinate pe acest plan este și ea perpendiculară pe cea înclinată. Este adevărat și invers:

Teorema 2 (aproximativ trei perpendiculare): O dreaptă trasată într-un plan și perpendiculară pe una înclinată este, de asemenea, perpendiculară pe proiecția sa pe acest plan. Aceste teoreme, pentru notația din desenul de mai sus, pot fi formulate pe scurt după cum urmează:

Teorema: Dacă dintr-un punct luat în afara planului, pe acest plan sunt trase o perpendiculară și două înclinate, atunci:

• două oblice având proiecții egale sunt egale;
• Dintre cele două înclinate, cea a cărei proiecție este mai mare este mai mare.

Determinarea distanțelor de către obiecte în spațiu:

• Distanța de la un punct la un plan este lungimea unei perpendiculare trasate din acest punct la un plan dat.
• Distanța dintre planele paralele este distanța de la un punct arbitrar al unuia dintre planele paralele la celălalt plan.
• Distanța dintre o linie dreaptă și un plan paralel cu aceasta este distanța de la un punct arbitrar de pe linie dreaptă la plan.
• Distanța dintre liniile care se intersectează este distanța de la una dintre liniile care se intersectează la un plan care trece printr-o altă linie și paralel cu prima linie.

Definiţie:În stereometrie, o proiecție ortogonală a unei linii drepte o spre avion α proiectia acestei drepte pe plan se numeste α dacă linia dreaptă care defineşte direcţia de proiectare este perpendiculară pe plan α .

Comentariu: După cum se poate observa din definiția anterioară, există multe proiecții. Alte proiecții (cu excepția ortogonale) ale unei linii pe un plan pot fi construite dacă linia care definește direcția de proiecție nu este perpendiculară pe plan. Cu toate acestea, proiecția ortogonală a unei linii pe un plan este cea pe care o vom întâlni în problemele viitoare. Și vom numi pur și simplu proiecția ortogonală proiecție (ca în desen).

Definiţie: Unghiul dintre o linie dreaptă, nu perpendicular pe un plan, iar acest plan este unghiul dintre o dreaptă și proiecția ei ortogonală pe un plan dat (unghi AOA’ în desenul de mai sus).

Teorema: Unghiul dintre o dreaptă și un plan este cel mai mic dintre toate unghiurile pe care le formează o dreaptă dată cu drepte situate într-un plan dat și care trec prin punctul de intersecție al dreptei și al planului.

Definitii:

• Unghiul diedric este o figură formată din două semiplane cu o linie de frontieră comună și o parte de spațiu pentru care aceste semiplane servesc drept graniță.
• Unghi diedru liniar este un unghi ale cărui laturi sunt raze cu origine comună pe marginea unui unghi diedru, care sunt desenate în fețele sale perpendiculare pe margine.

Astfel, unghiul liniar al unui unghi diedru este unghiul format prin intersecția unui unghi diedru cu un plan perpendicular pe marginea acestuia. Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele. Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului său liniar.

Un unghi diedru se numește drept (acut, obtuz) dacă gradul său este de 90° (mai mic de 90°, mai mare de 90°). Pe viitor, atunci când rezolvăm probleme de stereometrie, printr-un unghi diedru vom înțelege întotdeauna acel unghi liniar a cărui măsură a gradului satisface condiția:

Definitii:

• Un unghi diedru la o muchie a unui poliedr este un unghi diedru a cărui muchie conține o muchie a poliedrului, iar fețele unui unghi diedru conțin fețe ale poliedrului care se intersectează de-a lungul unei muchii date a poliedrului.
• Unghiul dintre planele care se intersectează este unghiul dintre drepte trasate respectiv în aceste plane perpendicular pe linia lor de intersecție printr-un anumit punct.
• Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90°.

Teoreme:

• Teorema 1(un semn de perpendicularitate a planurilor). Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o linie perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
• Teorema 2. O linie situată într-unul dintre cele două plane perpendiculare și perpendiculară pe dreapta de-a lungul căreia se intersectează este perpendiculară pe celălalt plan.

Simetria figurilor

Definitii:

1. Puncte MŞi M 1 sunt numite simetric fata de punct O , Dacă O este punctul de mijloc al segmentului MM 1 .
2. Puncte MŞi M 1 sunt numite simetric față de o linie dreaptă Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte , dacă drept Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte MM 1 și perpendicular pe acesta.
3. Puncte MŞi M 1 sunt numite simetric fata de plan α , dacă avionul α trece prin mijlocul segmentului MM 1 și perpendicular pe acest segment.
4. Punct O(Drept Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte, avion α ) se numește centrul (axa, planul) de simetrie figura, dacă fiecare punct al figurii este simetric față de punct O(direct Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte, avion α ) la un moment dat al aceleiași figuri.
5. Un poliedru convex se numește corecta, dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate egale și același număr de muchii converg la fiecare vârf.

Prismă

Definitii:

1. Prismă– un poliedru, dintre ale cărui două fețe sunt poligoane egale situate în planuri paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme având laturile comune cu aceste poligoane.
2. Terenuri – acestea sunt două fețe care sunt poligoane egale situate în planuri paralele. În desen este: ABCDEŞi KLMNP.
3. Fețe laterale – toate marginile cu excepția bazelor. Fiecare față laterală este în mod necesar un paralelogram. În desen este: ABLK, BCML, CDNM, DEPNŞi EAKP.
4. Suprafata laterala– unirea fețelor laterale.
5. Suprafata intreaga– combinație de baze și suprafață laterală.
6. Coaste laterale– laturile comune ale fețelor laterale. În desen este: A.K., B.L., CM., DNŞi E.P..
7. Înălţime– un segment care leagă bazele prismei și perpendicular pe acestea. În desen, acesta este, de exemplu, KR.
8. Diagonală– un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe. În desen, acesta este, de exemplu, B.P..
9. Planul diagonal– un plan care trece prin marginea laterală a prismei și diagonala bazei. O alta definitie: planul diagonal– un plan care trece prin două margini laterale ale prismei care nu aparțin aceleiași fețe.
10. Secțiune diagonală– intersecția unei prisme și a unui plan diagonal. În secțiune se formează un paralelogram, incluzând, uneori, cazurile sale speciale - romb, dreptunghi, pătrat. În desen, acesta este, de exemplu, EBLP.
11. Secțiune perpendiculară (ortogonală).– intersecția unei prisme și a unui plan perpendicular pe marginea ei laterală.

Proprietăți și formule pentru o prismă:

• Bazele prismei sunt poligoane egale.
• Fețele laterale ale prismei sunt paralelograme.
• Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.
• Volumul prismei egal cu produsul dintre înălțimea și suprafața bazei sale:

Unde: (notat bază – zona de bază (în desen aceasta este, de exemplu, ABCDE), h– înălțime (în desen aceasta este MN).

• Pătrat suprafata intreaga prisme egală cu suma suprafeței suprafeței sale laterale și de două ori a ariei bazei:

• Secțiunea perpendiculară este perpendiculară pe toate marginile laterale ale prismei (în desenul de mai jos, secțiunea perpendiculară este O 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Unghiurile secțiunii perpendiculare sunt unghiurile liniare ale unghiurilor diedrice cu marginile laterale corespunzătoare.
• O secțiune perpendiculară (ortogonală) este perpendiculară pe toate fețele laterale.
• Volumul unei prisme înclinate egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale perpendiculare și lungimea marginii laterale:

Unde: (notat sec – aria secțiunii perpendiculare, Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte– lungimea nervurii laterale (în desenul de mai jos este, de exemplu, A.A. 1 sau BB 1 și așa mai departe).

• Suprafata laterala a unei prisme arbitrare este egal cu produsul dintre perimetrul secțiunii perpendiculare și lungimea muchiei laterale:

Unde: P sec – perimetrul unei secțiuni perpendiculare, Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte– lungimea coastei laterale.

Tipuri de prisme în stereometrie:

• Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe bază, atunci se numește o astfel de prismă înclinat(foto sus). Bazele unei astfel de prisme, ca de obicei, sunt situate în planuri paralele, nervurile laterale nu sunt perpendiculare pe aceste planuri, ci paralele între ele. Fețele laterale sunt paralelograme.
• - o prismă în care toate marginile laterale sunt perpendiculare pe bază. Într-o prismă dreaptă, marginile laterale sunt înălțimile. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Și aria și perimetrul bazei sunt egale, respectiv, cu aria și perimetrul secțiunii perpendiculare (într-o prismă dreaptă, în general, secțiunea perpendiculară este în întregime aceeași cifră cu baza). Prin urmare, aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și lungimea marginii laterale (sau, în în acest caz,, înălțimea prismei):

Unde: P baza – perimetrul bazei unei prisme drepte, Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte– lungimea marginii laterale, egală cu înălțimea într-o prismă dreaptă ( h). Volumul unei prisme drepte se găsește prin formula generală: V = (notat principal ∙ h = (notat principal ∙ Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte.

• Prisma corectă– o prismă la baza căreia se află un poligon regulat (adică unul în care toate laturile și toate unghiurile sunt egale între ele), iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Exemple prisme corecte:

Proprietățile unei prisme regulate:

1. Bazele unei prisme regulate sunt poligoane regulate.
2. Fețele laterale ale unei prisme regulate sunt dreptunghiuri egale.
3. Marginile laterale ale unei prisme regulate sunt egale între ele.
4. O prismă corectă este dreaptă.

Definiție: Paralelepiped – Aceasta este o prismă ale cărei baze sunt paralelograme. În această definiție, cuvântul cheie este „prismă”. Astfel, un paralelipiped este caz special o prismă, care diferă de cazul general doar prin aceea că baza sa nu este un poligon arbitrar, ci un paralelogram. Prin urmare, toate proprietățile, formulele și definițiile de mai sus cu privire la o prismă rămân relevante pentru un paralelipiped. Cu toate acestea, pot fi identificate câteva proprietăți suplimentare caracteristice unui paralelipiped.

Alte proprietăți și definiții:

• Se numesc două fețe ale unui paralelipiped care nu au o muchie comună opusși având o margine comună - adiacent.
• Se numesc două vârfuri ale unui paralelipiped care nu aparțin aceleiași fețe opus.
• Se numește un segment de linie care leagă vârfuri opuse . Segmentul care leagă vârfurile opuse ale unui paralelipiped se numește paralelipiped.
• Un paralelipiped are șase fețe și toate sunt paralelograme.
• Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt egale și paralele în perechi.
• Un paralelipiped are patru diagonale; toate se intersectează într-un punct și fiecare dintre ele este împărțit în jumătate de acest punct.
• Dacă cele patru fețe laterale ale unui paralelipiped sunt dreptunghiuri (și bazele sunt paralelograme arbitrare), atunci se numește direct(în acest caz, ca o prismă dreaptă, toate marginile laterale sunt perpendiculare pe baze). Toate proprietățile și formulele pentru o prismă dreaptă sunt relevante pentru un paralelipiped drept.
• Paralepipedul se numește înclinat, dacă nu toate fețele sale laterale sunt dreptunghiuri.
• Volumul unui paralelipiped drept sau înclinat se calculează folosind formula generală pentru volumul prismei, adică egal cu produsul dintre suprafața bazei paralelipipedului și înălțimea acestuia ( V = (notat principal ∙ h).
• Un paralelipiped drept în care toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri (adică, pe lângă fețele laterale, bazele sunt și dreptunghiuri) se numește dreptunghiular. Pentru un paralelipiped dreptunghiular, toate proprietățile unui paralelipiped drept sunt relevante, precum și:
  • dși coastele lui o, b, c sunt legate prin relația:

d 2 = o 2 + b 2 + c 2 .

• • Din formula generală pentru volumul unei prisme, putem obține următoarea formulă pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic:

• Se numește un paralelipiped dreptunghic, ale cărui fețe sunt pătrate egale cub. Printre altele, cubul este o prismă patruunghiulară regulată și, în general, un poliedru regulat. Pentru un cub, sunt valabile toate proprietățile unui paralelipiped dreptunghiular și proprietățile prismelor regulate, precum și:
  • Absolut toate marginile cubului sunt egale între ele.
  • Diagonala unui cub dși lungimea marginii sale o sunt legate prin relația:

• Din formula pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic, putem obține următoarea formulă pentru volumul cubului:

Piramidă

Definitii:

• Piramidă– un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun. Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patruunghiulare și așa mai departe. În figura sunt prezentate exemple: piramide patrulatere și hexagonale.

• Baza– un poligon care nu aparține vârfului piramidei. În desen baza este BCDE.
• Se numesc fețe altele decât baza , iar muchiile care converg la un vârf se numesc. În desen este: ABC, ACD, ADEŞi AEB.
• Vârful comun al fețelor laterale se numește , iar vârful lor comun se numește(tocmai vârful întregii piramide, și nu doar vârful, ca toate celelalte vârfuri). În desen este O.
• Se numesc muchiile care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei , iar muchiile care converg la un vârf se numesc. În desen este: AB, A.C., ADŞi A.E..
• Când desemnați o piramidă, numiți mai întâi vârful acesteia și apoi vârfurile bazei. Pentru piramida din desen, desemnarea va fi după cum urmează: ABCDE.

• Înălţimepiramide se numește perpendiculară trasată de la vârful piramidei până la baza acesteia. Lungimea acestei perpendiculare este indicată de literă H. În desen înălțimea este A.G.. Vă rugăm să rețineți: numai dacă piramida este corectă piramida patruunghiulara(ca în desen) înălțimea piramidei cade pe diagonala bazei. În alte cazuri, nu este cazul. În general, pentru o piramidă arbitrară, punctul de intersecție al înălțimii și bazei poate fi oriunde.
• Apotema -înălțimea marginii laterale corecta piramidă trasă din vârful ei. În desen, acesta este, de exemplu, A.F..
• Secțiunea diagonală a unei piramide- o secțiune a unei piramide care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei. În desen, acesta este, de exemplu, AS.

Un alt desen stereometric cu simboluri pentru o mai bună memorare(imaginea arată o piramidă triunghiulară obișnuită):

Dacă toate marginile laterale ( S.A., S.B., S.C., SDîn desenul de mai jos) piramidele sunt egale, atunci:

• Un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei, cu vârful piramidei proiectat în centru (punctul O). Cu alte cuvinte, înălțime (segment AŞA), coborât de la vârful unei astfel de piramide până la bază ( ABCD), cade în centrul cercului descris în jurul bazei, i.e. în punctul de intersecţie a perpendicularelor bisectoriale ale bazei.
• Nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei (în desenul de mai jos acestea sunt unghiurile SAO, SBO, SCO, S.D.O.).

Important: Opusul este de asemenea adevărat, adică dacă marginile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei, cu vârful piramidei proiectat în centru, atunci toate marginile laterale ale piramidei sunt egale.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi (unghiuri DMN, DKN, DLNîn desenul de mai jos sunt egale), atunci:

• Un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia (punctul N). Cu alte cuvinte, înălțime (segment DN), coborât din vârful unei astfel de piramide până la bază, cade în centrul cercului înscris în bază, adică. în punctul de intersecție al bisectoarelor bazei.
• Înălțimile fețelor laterale (apotema) sunt egale. În desenul de mai jos DK, D.L., DM– apoteme egale.
• Suprafața laterală a unei astfel de piramide egal cu jumătate din produsul perimetrului bazei și înălțimea feței laterale (apotema).

Unde: P- perimetrul bazei, o– lungimea apotemului.

Important: Opusul este de asemenea adevărat, adică dacă un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia, atunci toate fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același nivel. unghiul și înălțimile fețelor laterale (apotema) sunt egale.

Piramida corectă

Definiţie: Piramida se numește corecta, dacă baza sa este un poligon regulat, iar vârful său este proiectat în centrul bazei. Apoi are următoarele proprietăți:

• Toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale.
• Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.

Notă importantă: După cum puteți vedea, piramidele obișnuite sunt una dintre acele piramide care includ proprietățile prezentate chiar mai sus. Într-adevăr, dacă baza unei piramide regulate este un poligon regulat, atunci centrul cercurilor sale înscrise și circumscrise coincid, iar vârful unei piramide regulate este proiectat tocmai în acest centru (prin definiție). Cu toate acestea, este important să înțelegeți asta nu numai corect piramidele pot avea proprietățile discutate mai sus.

• Într-o piramidă obișnuită, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.
• Pentru orice piramida corecta Puteți fie să înscrieți o sferă, fie să descrieți o sferă în jurul ei.
• Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

Formule pentru volumul și aria unei piramide

Teorema(despre volumul piramidelor având înălțimi egale și arii de bază egale). Două piramide care au înălțimi egale și arii de bază egale au volume egale (Desigur, probabil că știți deja formula pentru volumul unei piramide, sau o vedeți câteva rânduri mai jos, iar această afirmație vi se pare evidentă, dar de fapt , dacă judeci ochiul”, atunci această teoremă nu este atât de evidentă (vezi figura de mai jos. Acest lucru este valabil și pentru alte poliedre, de altfel). forme geometrice: lor aspect este înșelător, prin urmare, într-adevăr - în matematică trebuie să ai încredere doar în formule și calcule corecte).

• Volumul piramidei poate fi calculat folosind formula:

Unde: (notat baza - zona bazei piramidei, h– înălțimea piramidei.

• Suprafața laterală a piramidei egală cu suma ariilor feţelor laterale. Pentru aria suprafeței laterale a unei piramide, putem scrie oficial următoarea formulă stereometrică:

Unde: (notat suprafata laterala - laterala, (notat 1 , (notat 2 , (notat 3 – zone ale fețelor laterale.

• Suprafața completă a piramidei egal cu suma suprafeței laterale și a ariei bazei:

Definitii:

• - cel mai simplu poliedru, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri, cu alte cuvinte, o piramidă triunghiulară. Pentru un tetraedru, oricare dintre fețele sale poate servi drept bază. În total, un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii.
• Tetraedrul se numește corecta, dacă toate fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. Pentru un tetraedru obișnuit:
  1. Toate marginile unui tetraedru obișnuit sunt egale între ele.
  2. Toate fețele unui tetraedru obișnuit sunt egale între ele.
  3. Perimetrele, zonele, înălțimile și toate celelalte elemente ale tuturor fețelor sunt, respectiv, egale între ele.

Desenul prezintă un tetraedru regulat, cu triunghiuri ABC, ADC, CBD, RĂU- egal. Din formulele generale pentru volumul și aria unei piramide, precum și cunoștințele din planimetrie, nu este dificil să se obțină formule pentru volumul și aria unui tetraedru regulat(O- lungimea coastei):

Definiţie: Când se rezolvă probleme de stereometrie, se numește o piramidă dreptunghiular, dacă una dintre marginile laterale ale piramidei este perpendiculară pe bază. În acest caz, această margine este înălțimea piramidei. Mai jos sunt exemple de piramide dreptunghiulare triunghiulare și pentagonale. În poza din stânga S.A.– o margine care este și o înălțime.

Piramida trunchiată

Definiții și proprietăți:

• Piramida trunchiată se numește poliedru închis între baza piramidei și un plan de tăiere paralel cu baza acesteia.
• Se mai numește și figura obținută la intersecția planului de tăiere cu piramida originală -se numeste patrat trunchi de piramidă. Deci, piramida trunchiată din desen are două baze: ABCŞi O 1 B 1 C 1 .
• Fețe laterale trunchi de piramidă sunt trapeze. În desen, acesta este, de exemplu, A.A. 1 B 1B.
• Nervurile laterale ale unei piramide trunchiate sunt părțile nervurilor piramidei originale, închise între baze. În desen, acesta este, de exemplu, A.A. 1 .
• Înălțimea unei trunchi de piramidă este o perpendiculară (sau lungimea acestei perpendiculare) trasată dintr-un punct din planul unei baze până la planul altei baze.
• O piramidă trunchiată se numește corecta, dacă este un poliedru care este tăiat de un plan paralel cu baza corecta piramide.
• Bazele unei piramide trunchiate regulate sunt poligoane regulate.
• Fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele.
• Apotemă a unei piramide trunchiate obișnuite este înălțimea feței sale laterale.
• Suprafața laterală a unei piramide trunchiate este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale.

Formule pentru o piramidă trunchiată

Volumul unei piramide trunchiate este egal cu:

Unde: (notat 1 și (notat 2 – zona de bază, h– înălțimea trunchiului piramidei. Cu toate acestea, în practică, este mai convenabil să cauți volumul unei piramide trunchiate în acest fel: poți construi o piramidă trunchiată într-o piramidă extinzând nervurile laterale până când se intersectează. Apoi volumul piramidei trunchiate poate fi găsit ca diferență între volumele întregii piramide și ale părții finalizate. Suprafața laterală poate fi căutată și ca diferență între suprafețele laterale ale întregii piramide și piesa finalizată. Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este egal cu jumătatea produsului dintre suma perimetrelor bazelor sale și apotema:

Unde: P 1 și P 2 – perimetrele bazelor corecta piramida trunchiata, O– lungimea apotemului. Suprafața totală a oricărei piramide trunchiate se găsește în mod evident ca suma suprafețelor bazelor și a suprafeței laterale:

Piramidă și bilă (sferă)

Teorema: Lângă piramidă poți descrie zona când la baza piramidei se află un poligon înscris (adică un poligon în jurul căruia poate fi descrisă o sferă). Această condiție este necesar si suficient. Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale marginilor piramidei perpendicular pe acestea.

Notă: Din această teoremă rezultă că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate. Cu toate acestea, lista de piramide în jurul cărora poate fi descrisă sfera nu se limitează la aceste tipuri de piramide. În desenul din dreapta, la înălțime SH DESPRE trebuie să alegeți un punct AŞA = , echidistant de toate vârfurile piramidei: = OB = OS = O.D. O.A. DESPRE. Apoi punct

Teorema:– centrul sferei circumscrise. Puteți intra în piramidă când planele bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Comentariu: Evident că nu ai înțeles ce ai citit în rândul de mai sus. Cu toate acestea, principalul lucru de reținut este că orice piramidă obișnuită este una în care poate fi înscrisă o sferă. Mai mult, lista de piramide în care poate fi introdusă sfera nu se limitează la cele corecte.

Definiție: plan bisectorialîmparte un unghi diedru în jumătate, iar fiecare punct al planului bisectoar este echidistant de fețele care formează unghiul diedru. În figura din dreapta avionul γ este planul bisectoare al unghiului diedric format de plane α Şi β .

Desenul stereometric de mai jos prezintă o minge înscrisă într-o piramidă (sau o piramidă descrisă în jurul unei mingi), în timp ce punctul DESPRE– centrul sferei înscrise. Acest punct DESPRE echidistante de toate fețele mingii, de exemplu:

OM = OO 1

Piramidă și con

În stereometrie se spune că un con este înscris într-o piramidă, dacă vârfurile lor coincid și baza ei este înscrisă în baza piramidei. Mai mult, este posibil să se potrivească un con într-o piramidă numai atunci când apotemele piramidei sunt egale între ele (o condiție necesară și suficientă).

Conul se numește circumscris piramidei, când vârfurile lor coincid, iar baza sa este descrisă lângă baza piramidei. Mai mult, este posibil să descrii un con în apropierea unei piramide numai atunci când toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele (o condiție necesară și suficientă).

Proprietate importantă:

Piramidă și cilindru

Se spune că un cilindru este înscris într-o piramidă, dacă una dintre bazele sale coincide cu cercul înscris în secțiunea piramidei printr-un plan paralel cu baza, iar cealaltă bază aparține bazei piramidei.

Cilindrul se numește circumscris piramidei, dacă vârful piramidei aparține uneia dintre bazele sale, iar cealaltă bază a acesteia este descrisă lângă baza piramidei. Mai mult, este posibil să descrii un cilindru lângă o piramidă numai dacă există un poligon înscris la baza piramidei (o condiție necesară și suficientă).

Sferă și minge

Definitii:

1. Sferă– o suprafață închisă, locul geometric al punctelor din spațiu echidistant de un punct dat, numit centrul sferei. O sferă este, de asemenea, un corp de revoluție, format prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului său. Raza sferei numit segment care leagă centrul sferei cu orice punct al sferei.
2. Chordoy sfera este un segment care leagă două puncte de pe sferă.
3. Diametru a unei sfere se numește coardă care trece prin centrul ei. Centrul sferei împarte oricare dintre diametrele sale în două segmente egale. Orice diametru al unei sfere cu rază R este egal cu 2 R.
4. minge– corp geometric; colecția tuturor punctelor din spațiu care sunt situate la o distanță nu mai mare decât una dată de un anumit centru. Aceasta distanta se numeste raza mingii. Bila este formată prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului său fix. Vă rugăm să rețineți: suprafața (sau limita) unei mingi se numește sferă. De asemenea, putem da următoarea definiție a unei mingi: o minge este un corp geometric format dintr-o sferă și o parte din spațiul limitat de această sferă.
5. Rază, coardăŞi diametru ale unei bile se numesc raza, coarda și diametrul sferei, care este limita bilei date.
6. Diferența dintre o minge și o sferă este similară cu diferența dintre un cerc și un cerc. Un cerc este o linie, iar un cerc sunt, de asemenea, toate punctele din interiorul acestei linii. O sferă este o cochilie, iar o minge sunt, de asemenea, toate punctele din interiorul acestei cochilie.
7. Planul care trece prin centrul sferei (bilei) se numește planul central.
8. Secțiunea unei sfere (bile) după planul diametral se numește cerc mare (cerc mare).

Teoreme:

• Teorema 1(despre secțiunea unei sfere de către un plan). Secțiunea unei sfere după un plan este un cerc. Rețineți că teorema rămâne adevărată chiar dacă planul trece prin centrul sferei.
• Teorema 2(despre secțiunea unei mingi de către un avion). O secțiune a unei mingi de către un plan este un cerc, iar baza unei perpendiculare trase din centrul mingii la planul secțiunii este centrul cercului obținut în secțiune.

Cel mai mare cerc care poate fi obținut într-o secțiune a unei bile date de un plan se află într-o secțiune care trece prin centrul bilei DESPRE. Acesta este ceea ce se numește cercul cel mare. Raza sa este egală cu raza mingii. Oricare două cercuri mari se intersectează de-a lungul diametrului mingii AB. Acest diametru este, de asemenea, diametrul cercurilor mari care se intersectează. Prin două puncte ale suprafeței sferice situate la capetele aceluiași diametru (în Fig. OŞi B), puteți desena nenumărate cercuri mari. De exemplu, un număr infinit de meridiane pot fi trase prin polii Pământului.

Definitii:

1. Plan tangent la sferă este un plan care are un singur punct comun cu o sferă, iar punctul lor comun se numește punct de tangență dintre plan și sferă.
2. Plan tangent la minge se numește plan tangent la sferă, care este limita acestei bile.
3. Orice linie dreaptă situată în planul tangent al unei sfere (bile) și care trece prin punctul de contact se numește linie tangentă la sferă (bilă). Prin definiție, un plan tangent are un singur punct comun cu o sferă, prin urmare, o linie tangentă are și un singur punct comun cu o sferă - punctul de tangență.

Teoreme:

• Teorema 1(semnul unui plan tangent la o sferă). Un plan perpendicular pe raza sferei și care trece prin capătul său situat pe sferă atinge sfera.
• Teorema 2(despre proprietatea unui plan tangent la o sferă). Planul tangent la sferă este perpendicular pe raza trasată la punctul de tangență.

Poliedre și sferă

Definiţie:În stereometrie, se numește un poliedru (de exemplu, o piramidă sau o prismă). incluse în sferă, dacă toate vârfurile sale se află pe sferă. În acest caz, se spune că sfera este circumscrisă unui poliedru (piramidă, prismă). În mod similar: un poliedru se numește înscris într-o minge, dacă toate vârfurile sale se află la limita acestei mingi. În acest caz, se spune că bila este circumscrisă poliedrului.

Proprietate importantă: centrul unei sfere circumscris unui poliedru este situat la o distanță egală cu raza R sfere, din fiecare vârf al poliedrului. Iată exemple de poliedre înscrise într-o sferă:

Definiţie: Poliedrul se numește descris în jurul unei sfere (mingi), dacă sfera (mingea) atinge toată lumea fețe poliedrice. În acest caz, se spune că sfera și bila sunt înscrise în poliedru.

Important: Centrul unei sfere înscris într-un poliedru este situat la o distanță egală cu raza r sfere, din fiecare dintre planurile care conțin fețele poliedrului. Iată exemple de poliedre descrise lângă o sferă:

Volumul și suprafața unei sfere

Teoreme:

• Teorema 1(despre aria unei sfere). Aria sferei este:

Unde: R– raza sferei.

• Teorema 2(despre volumul mingii). Volumul unei sfere cu raza R calculat prin formula:

Segment de bilă, strat, sector

În stereometrie segment de minge Se numește partea de minge tăiată de planul de tăiere. În acest caz, relația dintre înălțime, raza bazei segmentului și raza mingii:

Unde: h− înălțimea segmentului, r− raza bazei segmentului, R− raza mingii. Zona de bază a segmentului de minge:

Suprafața exterioară a segmentului bilei:

Suprafața totală a segmentului bilei:

Volumul segmentului mingii:

În stereometrie strat sferic este partea unei sfere închisă între două plane paralele. Suprafața exterioară a stratului sferic:

Unde: h− înălțimea stratului sferic, R− raza mingii. Suprafața totală a stratului sferic:

Unde: h− înălțimea stratului sferic, R− raza mingii, r 1 , r 2 – razele bazelor stratului sferic, (notat 1 , (notat 2 – zone ale acestor baze. Cel mai simplu mod de a găsi volumul unui strat sferic este diferența dintre volumele a două segmente sferice.

În stereometrie sector sferic numită parte a unei bile constând dintr-un segment sferic și un con cu vârful în centrul bilei și baza coincide cu baza segmentului sferic. Aceasta înseamnă că segmentul sferic este mai mic de jumătate de minge. Suprafața totală a sectorului sferic:

Unde: h− înălțimea segmentului sferic corespunzător, r− raza bazei segmentului sferic (sau conului), R− raza mingii. Volumul sectorului sferic se calculează prin formula:

Definitii:

1. Într-un anumit plan, luați în considerare un cerc cu centru O si raza R. Prin fiecare punct al cercului trasăm o dreaptă perpendiculară pe planul cercului. Suprafata cilindrica figura formată din aceste linii se numește, iar liniile în sine sunt numite formând o suprafață cilindrică. Toate generatoarele unei suprafețe cilindrice sunt paralele între ele, deoarece sunt perpendiculare pe planul cercului.

1. Cilindru circular drept sau doar cilindru este un corp geometric delimitat de o suprafață cilindrică și două plane paralele care sunt perpendiculare pe generatricele suprafeței cilindrice. În mod informal, vă puteți gândi la un cilindru ca la o prismă dreaptă cu un cerc la bază. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți cu ușurință și, dacă este necesar, să obțineți formule pentru volumul și suprafața laterală a cilindrului.
2. Suprafața laterală a cilindrului se numește o parte a unei suprafețe cilindrice situată între planurile de tăiere care sunt perpendiculare pe generatoarele sale, iar părțile (cercuri) tăiate de o suprafață cilindrica pe planuri paralele se numesc bazele cilindrilor. Bazele cilindrului sunt două cercuri egale.
3. Generator al cilindrului numit segment (sau lungimea acestui segment) al generatricei unei suprafeţe cilindrice situate între planurile paralele în care se află bazele cilindrului. Toate generatricele cilindrului sunt paralele și egale între ele și, de asemenea, perpendiculare pe baze.
4. Axa cilindrului numit segment care leagă centrele cercurilor care sunt bazele cilindrului.
5. Înălțimea cilindrului se numește perpendiculară (sau lungimea acestei perpendiculare) trasată dintr-un punct din planul unei baze a cilindrului până în planul altei baze. Într-un cilindru, înălțimea este egală cu generatorul.
6. Raza cilindrului se numește raza bazelor sale.
7. Cilindrul se numește echilateral, dacă înălțimea sa este egală cu diametrul bazei.
8. Un cilindru poate fi obținut prin rotirea unui dreptunghi la 360° în jurul uneia dintre laturile sale.
9. Dacă planul secant este paralel cu axa cilindrului, atunci secțiunea cilindrului este un dreptunghi, dintre care două laturi sunt generatrice, iar celelalte două sunt coarde ale bazelor cilindrului.
10. Secțiune axială O secțiune a unui cilindru se numește secțiune a cilindrului printr-un plan care trece prin axa acestuia. Secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi, dintre care două laturi sunt generatoarele cilindrului, iar celelalte două sunt diametrele bazelor sale.
11. Dacă planul de tăiere este perpendicular pe axa cilindrului, atunci se formează un cerc în secțiune egal cu baza. În desenul de mai jos: în stânga - secțiune axială; în centru - o secțiune paralelă cu axa cilindrului; în dreapta este o secțiune paralelă cu baza cilindrului.

Cilindru și prismă

Se spune că o prismă este înscrisă într-un cilindru, dacă bazele sale sunt înscrise în bazele cilindrului. În acest caz, se spune că cilindrul este circumscris prismei. Înălțimea prismei și înălțimea cilindrului în acest caz vor fi egale. Toate marginile laterale ale prismei vor aparține suprafeței laterale a cilindrului și vor coincide cu generatricele sale. Deoarece prin cilindru înțelegem doar un cilindru drept, atunci doar o prismă dreaptă poate fi înscrisă într-un astfel de cilindru. Exemple:

Prisma se numește circumscrisă în jurul cilindrului, dacă bazele sale sunt descrise lângă bazele cilindrului. În acest caz, se spune că cilindrul este înscris într-o prismă. Înălțimea prismei și înălțimea cilindrului în acest caz vor fi, de asemenea, egale. Toate marginile laterale ale prismei vor fi paralele cu generatoarele cilindrului. Deoarece prin cilindru înțelegem doar un cilindru drept, atunci un astfel de cilindru poate fi înscris doar într-o prismă dreaptă. Exemple:

Cilindru și sferă

Se spune că o sferă (bilă) este înscrisă într-un cilindru, dacă atinge bazele cilindrului și fiecare dintre generatoarele sale. În acest caz, se spune că cilindrul este circumscris unei sfere (minge). O sferă poate fi înscrisă într-un cilindru numai dacă este un cilindru echilateral, adică. diametrul bazei și înălțimea acesteia sunt egale între ele. Centrul sferei înscrise va fi mijlocul axei cilindrului, iar raza acestei sfere va coincide cu raza cilindrului. Exemplu:

Se spune că un cilindru este înscris într-o sferă, dacă cercurile bazelor cilindrului sunt secțiuni ale unei sfere. Se spune că un cilindru este înscris într-o sferă dacă bazele cilindrului sunt secțiuni ale sferei. În acest caz, bila (sfera) se numește circumscrisă în jurul cilindrului. O sferă poate fi descrisă în jurul oricărui cilindru. Centrul sferei descrise va fi, de asemenea, mijlocul axei cilindrului. Exemplu:

Pe baza teoremei lui Pitagora, este ușor de demonstrat următoarea formulă care raportează raza sferei circumscrise ( R), înălțimea cilindrului ( h) și raza cilindrului ( r):

Volumul și aria suprafețelor laterale și complete ale cilindrului

Teorema 1(despre aria suprafeței laterale a unui cilindru): aria suprafeței laterale a unui cilindru este egală cu produsul dintre circumferința bazei sale și înălțimea sa:

Unde: R– raza bazei cilindrului, h– înălțimea acestuia. Această formulă este ușor derivată (sau dovedită) pe baza formulei pentru suprafața laterală a unei prisme drepte.

Suprafața totală a cilindrului, ca de obicei în stereometrie, este suma ariilor suprafeței laterale și a celor două baze. Aria fiecărei baze a cilindrului (adică pur și simplu aria cercului) se calculează folosind formula:

Prin urmare, suprafața totală a cilindrului este (notat deplin cilindrul se calculează cu formula:

Teorema 2(despre volumul unui cilindru): Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea:

Unde: RŞi h sunt raza și, respectiv, înălțimea cilindrului. Această formulă este, de asemenea, ușor derivată (demonstrată) pe baza formulei pentru volumul unei prisme.

Teorema 3(Arhimede): Volumul unei sfere este de o ori și jumătate mai mic decât volumul cilindrului circumscris în jurul acesteia, iar suprafața unei astfel de sfere este de o dată și jumătate. zonă mai mică suprafața totală a aceluiași cilindru:

Con

Definitii:

1. Un con (mai precis, un con circular) numit corp care este format dintr-un cerc (numit baza conului), punct care nu se află în planul acestui cerc (numit vârful conului) și toate segmentele posibile care leagă vârful conului cu punctele bazei. În mod informal, vă puteți gândi la un con ca la o piramidă obișnuită cu un cerc la bază. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți cu ușurință și, dacă este necesar, să obțineți formule pentru volumul și suprafața laterală a unui con.

1. Se numesc segmentele (sau lungimile lor) care leagă vârful conului cu punctele cercului de bază formând un con. Toți generatorii unui con circular drept sunt egali între ei.
2. Suprafața conului este formată din baza conului (cercul) și suprafața laterală (compusă din toate generatricele posibile).
3. Unirea generatoarelor unui con se numește suprafața generatoare (sau laterală) a conului. Suprafața de formare a conului este o suprafață conică.
4. Conul este numit direct, dacă linia dreaptă care leagă vârful conului de centrul bazei este perpendiculară pe planul bazei. În cele ce urmează, vom lua în considerare doar conul drept, numindu-l pur și simplu un con pentru concizie.
5. Un con circular drept poate fi imaginat vizual ca un corp obținut prin rotație triunghi dreptunghicîn jurul piciorului său ca o axă. În același timp suprafata laterala conul este format prin rotația ipotenuzei, iar baza este formată prin rotația piciorului, care nu este o axă.
6. Raza conului se numește raza bazei sale.
7. Înălțimea conului numită perpendiculară (sau lungimea ei) coborâtă de la vârful său până în planul bazei. Pentru un con drept, baza înălțimii coincide cu centrul bazei. Axa unui con circular drept este o linie dreaptă care conține înălțimea acestuia, adică o linie dreaptă care trece prin centrul bazei și vârful.
8. Dacă planul secant trece prin axa conului, atunci secțiunea este un triunghi isoscel, a cărui bază este diametrul bazei conului, iar laturile sunt generatricele conului. Această secțiune se numește axial.

1. Dacă planul secant trece prin punctul intern al înălțimii conului și este perpendicular pe acesta, atunci secțiunea conului este un cerc, al cărui centru este punctul de intersecție al înălțimii și al acestui plan.
2. Înălțime ( h), raza ( R) și lungimea generatricei ( Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte) a unui con circular drept satisfacă relația evidentă:

Volumul și aria suprafețelor laterale și complete ale conului

Teorema 1(despre zona suprafeței laterale a conului). Aria suprafeței laterale a conului este egală cu produsul dintre jumătate din circumferința bazei și generatrice:

Unde: R– raza bazei conului, Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte– lungimea generatricei conului. Această formulă este ușor derivată (sau dovedită) pe baza formulei pentru suprafața laterală a unei piramide obișnuite.

Suprafața totală a conului se numește suma suprafeței laterale și a ariei bazei. Aria bazei conului (adică pur și simplu aria cercului) este egală cu: (notat de bază = πR 2. Prin urmare, suprafața totală a conului este (notat deplin conul se calculează cu formula:

Teorema 2(despre volumul unui con). Volumul unui con este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea:

Unde: R– raza bazei conului, h– înălțimea acestuia. Această formulă este, de asemenea, ușor derivată (demonstrată) pe baza formulei pentru volumul piramidei.

Definitii:

1. Un plan paralel cu baza conului și care intersectează conul decupează un con mai mic din acesta. Partea rămasă se numește trunchi de con.

1. Se numesc baza conului inițial și cercul rezultat din secțiunea acestui con cu un plan motive, iar segmentul care leagă centrele este înălțimea trunchiului de con.
2. O linie dreaptă care trece prin înălțimea unui trunchi de con (adică prin centrele bazelor sale) este axă.
3. Porțiunea suprafeței laterale a conului care limitează trunchiul de con se numește aceasta suprafata laterala, iar segmentele generatoarelor conului situate între bazele trunchiului de con se numesc ei formare.
4. Toți generatorii unui trunchi de con sunt egali între ei.
5. Un trunchi de con poate fi obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular la 360° în jurul laturii sale perpendicular pe baze.

Formule pentru un trunchi de con:

Volumul unui trunchi de con este egal cu diferența dintre volumele conului plin și ale conului tăiat de un plan paralel cu baza conului. Volumul unui trunchi de con se calculează prin formula:

Unde: (notat 1 = π r 1 2 și (notat 2 = π r 2 2 – zona bazelor, h– înălțimea trunchiului de con, r 1 și r 2 – razele bazelor superioare și inferioare ale trunchiului de con. Cu toate acestea, în practică, este încă mai convenabil să cauți volumul unui trunchi de con ca diferență între volumele conului original și partea tăiată. Suprafața laterală a unui trunchi de con poate fi căutată și ca diferență între suprafețele laterale ale conului original și partea tăiată.

Într-adevăr, aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu diferența dintre suprafețele laterale ale conului complet și conul tăiat de un plan paralel cu baza conului. Suprafața laterală a unui trunchi de con calculat prin formula:

Unde: P 1 = 2π r 1 și P 2 = 2π r 2 – perimetrele bazelor unui trunchi de con, Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte– lungimea generatricei. Suprafața totală a unui trunchi de con, evident, se găsește ca suma ariilor bazelor și a suprafeței laterale:

Vă rugăm să rețineți că formulele pentru volumul și suprafața laterală a unui trunchi de con sunt derivate din formule pentru caracteristici similare ale unei piramide trunchiate obișnuite.

Con și sferă

Se spune că un con este înscris într-o sferă(mingea), dacă vârful său aparține sferei (limita bilei), iar circumferința bazei (baza însăși) este o secțiune a sferei (mingea). În acest caz, se spune că sfera (bila) este circumscrisă în jurul conului. O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul unui con circular drept. Centrul sferei circumscrise va fi situat pe linia dreaptă care conține înălțimea conului, iar raza acestei sfere va fi egală cu raza cercului circumscris secțiunii axiale a conului (această secțiune este triunghi isoscel). Exemple:

Se spune că o sferă (bilă) este înscrisă într-un con, dacă sfera (bila) atinge baza conului și fiecare dintre generatoarele sale. În acest caz, se spune că conul este circumscris unei sfere (minge). Puteți încadra oricând o sferă într-un con circular drept. Centrul său se va afla la înălțimea conului, iar raza sferei înscrise va fi egală cu raza cercului înscris în secțiunea axială a conului (această secțiune este un triunghi isoscel). Exemple:

Con și piramidă

• Se spune că un con este înscris într-o piramidă (o piramidă este descrisă în jurul unui con) dacă baza conului este înscrisă în baza piramidei, iar vârfurile conului și ale piramidei coincid.
• O piramidă se numește înscrisă într-un con (un con este descris în jurul unei piramide) dacă baza ei este înscrisă în baza conului, iar marginile laterale formează conul.
• Înălțimile unor astfel de conuri și piramide sunt egale între ele.

Nota: Mai multe detalii despre modul în care în stereometrie un con se potrivește într-o piramidă sau este descris în jurul unei piramide au fost deja discutate în

Cum să te pregătești cu succes pentru CT în fizică și matematică?

Pentru a vă pregăti cu succes pentru CT în fizică și matematică, printre altele, este necesar să îndepliniți trei condiții cele mai importante:

1. Studiați toate subiectele și finalizați toate testele și sarcinile oferite în materialele educaționale de pe acest site. Pentru a face acest lucru, nu aveți nevoie de nimic, și anume: dedicați trei până la patru ore în fiecare zi pregătirii pentru CT la fizică și matematică, studierii teoriei și rezolvării problemelor. Cert este că CT este un examen în care nu este suficient doar să cunoști fizică sau matematică, trebuie și să poți rezolva rapid și fără eșecuri. număr mare sarcini pentru subiecte diferiteși de complexitate variabilă. Acesta din urmă poate fi învățat doar prin rezolvarea a mii de probleme.
2. Învață toate formulele și legile din fizică și formulele și metodele din matematică. De fapt, acest lucru este și foarte simplu de făcut, există doar aproximativ 200 de formule necesare în fizică și chiar puțin mai puțin în matematică. Fiecare dintre aceste subiecte are aproximativ o duzină de metode standard de rezolvare a problemelor nivel de bază dificultăți care pot fi și învățate, și astfel rezolvate complet automat și fără dificultate momentul potrivit majoritatea DH. După aceasta, va trebui să te gândești doar la cele mai dificile sarcini.
3. Participați la toate cele trei etape ale testării repetiții la fizică și matematică. Fiecare RT poate fi vizitat de două ori pentru a decide asupra ambelor opțiuni. Din nou, pe CT, pe lângă capacitatea de a rezolva rapid și eficient probleme și cunoașterea formulelor și metodelor, trebuie să fiți capabil să planificați corect timpul, să distribuiți forțele și, cel mai important, să completați corect formularul de răspuns, fără confuzând numărul de răspunsuri și probleme sau propriul nume de familie. De asemenea, în timpul RT, este important să te obișnuiești cu stilul de a pune întrebări în probleme, care poate părea foarte neobișnuit pentru o persoană nepregătită de la DT.

Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.

Ați găsit o greșeală?

Dacă credeți că ați găsit o eroare în materiale educaționale, atunci vă rugăm să scrieți despre asta prin e-mail. De asemenea, puteți raporta o eroare către retea sociala(). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul subiectului sau testului, numărul problemei sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este eroarea suspectată. Scrisoarea dvs. nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie vi se va explica de ce nu este o eroare.