Sistem de ecuații cu înmulțire. Sisteme de ecuații liniare

1. Metoda de înlocuire: din orice ecuație a sistemului exprimăm o necunoscută prin alta și o înlocuim în a doua ecuație a sistemului.

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie. Din prima ecuație a sistemului exprimăm la prin Xși înlocuiți-o în a doua ecuație a sistemului. Să luăm sistemul echivalent cu cel original.

După aducerea unor termeni similari, sistemul va lua forma:

Din a doua ecuație găsim: . Înlocuind această valoare în ecuație la = 2 - 2X, primim la= 3. Prin urmare, soluția acestui sistem este o pereche de numere.

2. Metoda adunării algebrice: Prin adăugarea a două ecuații, obțineți o ecuație cu o variabilă.

Sarcină. Rezolvați ecuația sistemului:

Soluţie.Înmulțind ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu 2, obținem sistemul echivalent cu cel original. Adunând cele două ecuații ale acestui sistem, ajungem la sistem

După aducerea unor termeni similari, acest sistem va lua forma: Din a doua ecuație găsim . Înlocuind această valoare în ecuația 3 X + 4la= 5, obținem , unde . Prin urmare, soluția acestui sistem este o pereche de numere.

3. Metoda de introducere a noilor variabile: căutăm câteva expresii repetate în sistem, pe care le vom denota prin variabile noi, simplificând astfel aspectul sistemului.

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie. Să-l notăm acest sistem altfel:

Lasă x + y = u, xy = v. Apoi obținem sistemul

Să o rezolvăm folosind metoda substituției. Din prima ecuație a sistemului exprimăm u prin vși înlocuiți-o în a doua ecuație a sistemului. Să luăm sistemul aceste.

Din a doua ecuație a sistemului găsim v 1 = 2, v 2 = 3.

Înlocuind aceste valori în ecuație u = 5 - v, primim u 1 = 3,
u 2 = 2. Atunci avem două sisteme

Rezolvând primul sistem, obținem două perechi de numere (1; 2), (2; 1). Al doilea sistem nu are soluții.

Exerciții pentru munca independentă

1. Rezolvați sisteme de ecuații folosind metoda substituției.

Mai fiabilă decât metoda grafică discutată în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am folosit această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme ecuații liniare. Algoritmul care a fost dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor de oricare două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi desemnate cu alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în paragraful anterior, când problema de număr cu două cifre a condus la model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat mai sus acest sistem de ecuații folosind metoda substituției (vezi exemplul 1 din § 4).

Un algoritm pentru utilizarea metodei substituției la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite în a treia etapă în loc de x în expresia de la y la x obținută în prima etapă.
5. Scrieți răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y), care au fost găsite în pasul al treilea, respectiv al patrulea.

4) Înlocuiți una câte una fiecare dintre valorile găsite ale lui y în formula x = 5 - 3. Dacă atunci
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem dat de ecuații.

Răspuns: (2; 1);

Metoda adunării algebrice

Această metodă, ca și metoda substituției, vă este familiară de la cursul de algebră de clasa a VII-a, unde a fost folosită pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Să ne amintim esența metodei folosind următorul exemplu.

Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații

Să înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și să lăsăm a doua ecuație neschimbată:
Scădeți a doua ecuație a sistemului din prima sa ecuație:

Ca rezultat al adunării algebrice a două ecuații ale sistemului original, s-a obținut o ecuație care a fost mai simplă decât prima și a doua ecuație a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă avem dreptul de a înlocui orice ecuație a unui sistem dat, de exemplu pe a doua. Apoi sistemul dat de ecuații va fi înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat folosind metoda substituției. Din a doua ecuație găsim înlocuind această expresie în loc de y în prima ecuație a sistemului

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale lui x în formulă

Dacă x = 2 atunci

Astfel, am găsit două soluții la sistem:

Metoda de introducere a noilor variabile

Ai fost introdus în metoda introducerii unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Esența acestei metode de rezolvare a sistemelor de ecuații este aceeași, dar din punct de vedere tehnic există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații

Să introducem o nouă variabilă Apoi prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă într-o formă mai simplă: Să rezolvăm această ecuație în raport cu variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații raționale cu variabila t. Dar asta înseamnă fie unde găsim că x = 2y, fie
Astfel, folosind metoda introducerii unei noi variabile, am reușit să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care era destul de complexă în aparență, în două ecuații mai simple:

x = 2 y; y - 2x.

Ce urmează? Și apoi fiecare dintre cei doi a primit ecuații simple trebuie luate în considerare unul câte unul într-un sistem cu ecuația x 2 - y 2 = 3, pe care nu ne-am amintit încă. Cu alte cuvinte, problema se rezumă la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Trebuie să găsim soluții pentru primul sistem, al doilea sistem și să includem toate perechile de valori rezultate în răspuns. Să rezolvăm primul sistem de ecuații:

Să folosim metoda substituției, mai ales că totul este gata pentru asta aici: să substituim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. Primim

Deoarece x = 2y, găsim, respectiv, x 1 = 2, x 2 = 2. Astfel, se obțin două soluții ale sistemului dat: (2; 1) și (-2; -1). Să rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Să folosim din nou metoda substituției: înlocuiți expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. Primim

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, doar soluțiile primului sistem trebuie incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2;-1).

Metoda introducerii de noi variabile la rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată într-o singură ecuație a sistemului. Este exact ceea ce sa întâmplat în exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în exemplul 4.

Exemplul 4. Rezolvarea sistemului de ecuații

Să introducem două variabile noi:

Să luăm în calcul atunci

Acest lucru vă va permite să rescrieți sistemul dat într-o formă mult mai simplă, dar cu privire la noile variabile a și b:

Deoarece a = 1, atunci din ecuația a + 6 = 2 găsim: 1 + 6 = 2; 6=1. Astfel, în ceea ce privește variabilele a și b, avem o soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem un sistem de ecuații

Să aplicăm metoda adunării algebrice pentru a rezolva acest sistem:

De atunci din ecuația 2x + y = 3 găsim:
Astfel, în ceea ce privește variabilele x și y, avem o soluție:

Să încheiem acest paragraf cu o discuție teoretică scurtă, dar destul de serioasă. Ai acumulat deja ceva experiență în rezolvare diferite ecuații: liniar, pătrat, rațional, irațional. Știți că ideea principală a rezolvării unei ecuații este trecerea treptat de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În paragraful anterior am introdus conceptul de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Acest concept este folosit și pentru sistemele de ecuații.

Definiţie.

Două sisteme de ecuații cu variabile x și y se numesc echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituția, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile) pe care le-am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul original.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Am învățat deja cum să rezolvăm sisteme de ecuații în moduri atât de comune și de încredere, cum ar fi metoda de substituție, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile. Acum să ne amintim metoda pe care ați studiat-o deja în lecția anterioară. Adică să repetăm ​​ceea ce știi despre metoda soluției grafice.

Metoda de rezolvare grafică a sistemelor de ecuații este construirea unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse într-un sistem dat și sunt într-un singur plan de coordonate, precum și acolo unde este necesar să se găsească intersecțiile punctelor acestor grafice. Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că este obișnuit ca un sistem grafic de ecuații să aibă fie o singură soluție corectă, fie un număr infinit de soluții, fie să nu aibă deloc soluții.

Acum să ne uităm la fiecare dintre aceste soluții mai detaliat. Și astfel, un sistem de ecuații poate avea o soluție unică dacă liniile care sunt graficele ecuațiilor sistemului se intersectează. Dacă aceste drepte sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. Dacă graficele directe ale ecuațiilor sistemului coincid, atunci un astfel de sistem permite găsirea mai multor soluții.

Ei bine, acum să ne uităm la algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute folosind o metodă grafică:

În primul rând, construim mai întâi un grafic al primei ecuații;
Al doilea pas va fi construirea unui grafic care se referă la a doua ecuație;
În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
Și, ca rezultat, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția sistemului de ecuații.

Să ne uităm la această metodă mai detaliat folosind un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații care trebuie rezolvat:

Rezolvarea ecuațiilor

1. Mai întâi, vom construi un grafic al acestei ecuații: x2+y2=9.

Dar trebuie remarcat faptul că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc cu un centru la origine, iar raza lui va fi egală cu trei.

2. Următorul nostru pas va fi reprezentarea grafică a unei ecuații precum: y = x – 3.

În acest caz, trebuie să construim o dreaptă și să găsim punctele (0;−3) și (3;0).

3. Să vedem ce avem. Vedem că linia dreaptă intersectează cercul în două dintre punctele sale A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3;0) corespund punctului A, iar coordonatele (0;−3) corespund punctului B.

Și ce obținem ca rezultat?

Numerele (3;0) și (0;−3) obținute atunci când linia intersectează cercul sunt tocmai soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții ale acestui sistem de ecuații.

Adică, răspunsul la această soluție este numerele: (3;0) și (0;−3).

Rezolvați sistemul cu două necunoscute - aceasta înseamnă găsirea tuturor perechilor de valori variabile care satisfac fiecare dintre ecuațiile date. Fiecare astfel de pereche este numită soluție de sistem.

Exemplu:
Perechea de valori \(x=3\);\(y=-1\) este o soluție pentru primul sistem, deoarece atunci când înlocuiți aceste trei și minus în sistem în loc de \(x\) și \ (y\), ambele ecuații vor deveni egalitățile corecte \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( cazuri)\)

Dar \(x=1\); \(y=-2\) - nu este o soluție pentru primul sistem, deoarece după înlocuire a doua ecuație „nu converge” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Rețineți că astfel de perechi sunt adesea scrise mai scurt: în loc de „\(x=3\); \(y=-1\)” se scriu astfel: \((3;-1)\).

Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?

Există trei moduri principale de a rezolva sisteme de ecuații liniare:

1. Metoda de înlocuire.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cazuri)\)\(\Săgeată la stânga\)

Înlocuiți expresia rezultată în locul acestei variabile într-o altă ecuație a sistemului.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   În a doua ecuație, fiecare termen este par, așa că simplificăm ecuația împărțind-o la \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Acest sistem poate fi rezolvat în oricare dintre următoarele moduri, dar mi se pare că metoda de substituție este cea mai convenabilă aici. Să exprimăm y din a doua ecuație.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Să substituim \(6x-13\) în loc de \(y\) în prima ecuație.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Prima ecuație s-a transformat într-una obișnuită. Să rezolvăm.

   Mai întâi, să deschidem parantezele.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Să ne deplasăm \(117\) la dreapta și să prezentăm termeni similari.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Să împărțim ambele părți ale primei ecuații la \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ura, am găsit \(x\)! Să substituim valoarea acesteia în a doua ecuație și să găsim \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   Să scriem răspunsul.

Lecție și prezentare pe tema: "Sisteme de ecuații. Metoda substituției, metoda adunării, metoda introducerii unei noi variabile"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Simulator pentru manuale de Atanasyan L.S. Simulator pentru manuale Pogorelova A.V.

Metode de rezolvare a sistemelor de inegalități

Băieți, am studiat sisteme de ecuații și am învățat cum să le rezolvăm folosind grafice. Acum să vedem ce alte modalități de rezolvare a sistemelor există?
Aproape toate metodele de rezolvare a acestora nu sunt diferite de cele pe care le-am studiat în clasa a VII-a. Acum trebuie să facem câteva ajustări în funcție de ecuațiile pe care am învățat să le rezolvăm.
Esența tuturor metodelor descrise în această lecție, aceasta este înlocuirea unui sistem cu un sistem echivalent cu mai mult vedere simplă si metoda de rezolvare. Băieți, amintiți-vă ce este un sistem echivalent.

Metoda de înlocuire

Prima modalitate de a rezolva sisteme de ecuații cu două variabile ne este bine cunoscută - aceasta este metoda substituției. Am folosit această metodă pentru a rezolva ecuații liniare. Acum să vedem cum să rezolvăm ecuațiile în cazul general?

Cum ar trebui să procedezi atunci când iei o decizie?
1. Exprimați una dintre variabile în termenii alteia. Variabilele cel mai des folosite în ecuații sunt x și y. Într-una dintre ecuații exprimăm o variabilă în termenii alteia. Sfat: Priviți cu atenție ambele ecuații înainte de a începe rezolvarea și alegeți-o pe cea în care este mai ușor să exprimați variabila.
2. Înlocuiți expresia rezultată în a doua ecuație, în locul variabilei care a fost exprimată.
3. Rezolvați ecuația pe care am obținut-o.
4. Înlocuiți soluția rezultată în a doua ecuație. Dacă există mai multe soluții, atunci trebuie să înlocuiți secvențial pentru a nu pierde câteva soluții.
5. Ca urmare, veți primi o pereche de numere $(x;y)$, care trebuie notate ca răspuns.

Exemplu.
Rezolvați un sistem cu două variabile folosind metoda substituției: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Soluţie.
Să aruncăm o privire atentă la ecuațiile noastre. Evident, exprimarea lui y în termeni de x în prima ecuație este mult mai simplă.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Să substituim prima expresie în a doua ecuație $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Să rezolvăm a doua ecuație separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Am obținut două soluții la a doua ecuație $x_1=2$ și $x_2=3$.
Înlocuiți succesiv în a doua ecuație.
Dacă $x=2$, atunci $y=3$. Dacă $x=3$, atunci $y=2$.
Răspunsul vor fi două perechi de numere.
Răspuns: $(2;3)$ și $(3;2)$.

Metoda adunării algebrice

Această metodă am studiat-o și în clasa a VII-a.
Se stie ca ecuație rațională din două variabile putem înmulți cu orice număr, fără a uita să înmulțim ambele părți ale ecuației. Am înmulțit una dintre ecuații cu un anumit număr, astfel încât atunci când adunăm ecuația rezultată la a doua ecuație a sistemului, una dintre variabile a fost distrusă. Apoi ecuația a fost rezolvată pentru variabila rămasă.
Această metodă încă funcționează, deși nu este întotdeauna posibilă distrugerea uneia dintre variabile. Dar vă permite să simplificați semnificativ forma uneia dintre ecuații.

Exemplu.
Rezolvați sistemul: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Soluţie.
Să înmulțim prima ecuație cu 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Să scădem pe a doua din prima ecuație.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
După cum puteți vedea, forma ecuației rezultate este mult mai simplă decât cea originală. Acum putem folosi metoda substituției.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Să exprimăm x în termenii lui y în ecuația rezultată.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Avem $y=-1$ și $y=-3$.
Să înlocuim aceste valori succesiv în prima ecuație. Obținem două perechi de numere: $(1;-1)$ și $(-1;-3)$.
Răspuns: $(1;-1)$ și $(-1;-3)$.

Metoda de introducere a unei noi variabile

Am studiat și această metodă, dar să ne uităm din nou la ea.

Exemplu.
Rezolvați sistemul: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Soluţie.
Să introducem înlocuirea $t=\frac(x)(y)$.
Să rescriem prima ecuație cu o nouă variabilă: $t+\frac(2)(t)=3$.
Să rezolvăm ecuația rezultată:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Avem $t=2$ sau $t=1$. Să introducem schimbarea inversă $t=\frac(x)(y)$.
Avem: $x=2y$ și $x=y$.

Pentru fiecare dintre expresii, sistemul original trebuie rezolvat separat:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$.      
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     

Exemplu.
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.

Soluţie.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.    
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Am primit patru perechi de soluții.
Răspuns: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Rezolvați sistemul: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.
Să introducem înlocuirea: $z=\frac(2)(x-3y)$ și $t=\frac(3)(2x+y)$.
Să rescriem ecuațiile originale cu variabile noi:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Să folosim metoda adunării algebrice:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Să introducem înlocuirea inversă:
$\begin(cazuri)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cazuri)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Să folosim metoda de înlocuire:

$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.

$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ sfârşitul (cazurile)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.