Există un semn pentru deschiderea parantezelor. Paranteze de deschidere: reguli și exemple (clasa 7)

În secolul al V-lea î.Hr filosof grec antic Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Cu toții au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ...discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor... au fost implicate în studiul problemei; analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Pentru următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va mai alerga o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct momente diferite timp, dar distanța nu poate fi determinată de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă posibilități diferite pentru cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.

După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Aplicabil teorie matematică seturi către matematicienii înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: pe diferite monede există cantități diferite murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...

Și acum am cel mai mult intrebare interesanta: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Tăiați o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. CU un număr mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, să ne uităm la numărul 26 din articolul despre . Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.

Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleaşi acţiuni cu unităţi de măsură diferite ale aceleiaşi mărimi conduc la rezultate diferite după ce le comparăm, înseamnă că nu are nicio legătură cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă El deschide ușa și spune:

Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
-Tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.

Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.

dezvoltarea capacității de a deschide paranteze, ținând cont de semnul din fața parantezelor;

dezvoltarea:

dezvolta gândire logică, atenție, vorbire matematică, capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii;

ridicare:

formarea responsabilitatii, interes cognitiv pentru subiect

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

Verifică-l prietene
Ești gata de curs?
Este totul la locul lui? Totul e bine?
Pix, carte și caiet.
Toată lumea sta corect?
Toată lumea urmărește cu atenție?

Vreau să încep lecția cu o întrebare pentru tine:

Care crezi că este cel mai valoros lucru de pe Pământ? (Răspunsurile copiilor.)

Această întrebare a îngrijorat omenirea de mii de ani. Acesta este răspunsul dat de celebrul om de știință Al-Biruni: „Cunoașterea este cea mai excelentă dintre posesiuni. Toată lumea se străduiește pentru asta, dar nu vine de la sine.”

Lăsați aceste cuvinte să devină motto-ul lecției noastre.

II. Actualizarea cunoștințelor, abilităților și abilităților anterioare:

Număr oral:

1.1. Ce data este azi?

2. Spune-mi ce știi despre numărul 20?

3. Unde se află acest număr pe linia de coordonate?

4. Dați numărul opus.

5. Numiți numărul opus.

6. Cum se numește numărul 20?

7. Ce numere se numesc opuse?

8. Ce numere se numesc negative?

9. Care este modulul numărului 20? – 20?

10. Care este suma numerelor opuse?

2. Explicați următoarele intrări:

a) Strălucitul matematician antic Arhimede s-a născut în 0287.

b) Genialul matematician rus N.I Lobaciovski s-a născut în 1792.

c) În primul rând jocuri olimpice a avut loc în Grecia în 776.

d) Primele Jocuri Olimpice Internaționale au avut loc în 1896.

e) În anul 2014 s-au desfășurat XXII-a Jocurile Olimpice de iarnă.

3. Aflați ce numere se învârt pe „caruselul matematic” (toate acțiunile sunt efectuate oral).

II. Formarea de noi cunoștințe, abilități și abilități.

Ai învățat cum să performați acțiuni diferite cu numere întregi. Ce vom face mai departe? Cum vom rezolva exemple și ecuații?

Să găsim sensul acestor expresii

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Care este procedura din exemplul 1? Cât este între paranteze? Care este procedura din al doilea exemplu? Rezultatul primei acțiuni? Ce poți spune despre aceste expresii?

Desigur, rezultatele primei și celei de-a doua expresii sunt aceleași, ceea ce înseamnă că puteți pune un semn egal între ele: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Ce am făcut cu parantezele? (L-au coborât.)

Ce crezi că vom face astăzi în clasă? (Copiii formulează subiectul lecției.) În exemplul nostru, ce semn se află înaintea parantezelor. (Plus.)

Și așa ajungem la următoarea regulă:

Dacă în fața parantezei există un semn +, atunci puteți omite parantezele și acest semn +, păstrând semnele termenilor din paranteze. Dacă primul termen dintre paranteze este scris fără semn, atunci trebuie scris cu semnul +.

Dar dacă există un semn minus înaintea parantezelor?

În acest caz, trebuie să raționați în același mod ca atunci când scădeți: trebuie să adăugați numărul opus celui care se scade:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– Așadar, am deschis parantezele când în fața lor era un semn minus.

Regula pentru deschiderea parantezelor este atunci când parantezele sunt precedate de semnul „-“.

Pentru a deschide parantezele precedate de semnul -, trebuie să înlocuiți acest semn cu +, schimbând semnele tuturor termenilor din paranteze la opus, apoi deschideți parantezele.

Să ascultăm regulile de deschidere a parantezelor în poezie:

Există un plus înainte de paranteză.
Despre asta vorbeste
De ce omiteți parantezele?
Lasă toate semnele!
Înainte de paranteză, semnul minus este strict
Ne va bloca drumul
Pentru a elimina parantezele
Trebuie să schimbăm semnele!

Da, băieți, semnul minus este foarte insidios, este un „paznic” la poartă (paranteze), eliberează numere și variabile doar atunci când își schimbă „pașapoartele”, adică semnele.

De ce trebuie să deschideți parantezele? (Când există paranteze, există un moment al unui element de incompletitudine, un fel de mister. Este ca și cum usa inchisa, în spatele căruia se află ceva interesant.) Azi am aflat acest secret.

O scurtă excursie în istorie:

Bretele apar în scrierile lui Vieta (1593). Parantezele au devenit utilizate pe scară largă abia în prima jumătate a secolului al XVIII-lea, datorită lui Leibniz și cu atât mai mult lui Euler.

Minut de educație fizică.

III. Consolidarea noilor cunoștințe, abilități și abilități.

Lucrați conform manualului:

Nr. 1234 (deschideți parantezele) – oral.

Nr. 1236 (deschideți parantezele) – oral.

Nr 1235 (aflați sensul expresiei) - în scris.

Nr 1238 (simplificați expresiile) – lucrați în perechi.

IV. Rezumând lecția.

1. Se anunță notele.

2. Acasă. exercita. paragraful 39 nr. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. Ce am învățat astăzi?

Ce nou ai invatat?

Și vreau să închei lecția cu urări pentru fiecare dintre voi:

„Arată-ți abilitățile pentru matematică,
Nu fi leneș, ci dezvoltă-te în fiecare zi.
Înmulțiți, împărțiți, lucrați, gândiți,
Nu uita să fii prieten cu matematica.”

În această lecție veți învăța cum să transformați o expresie care conține paranteze într-o expresie fără paranteze. Veți învăța cum să deschideți parantezele precedate de un semn plus și un semn minus. Ne vom aminti cum să deschidem paranteze folosind legea distributivă a înmulțirii. Exemplele luate în considerare vă vor permite să conectați materialul nou și studiat anterior într-un singur întreg.

Subiect: Rezolvarea ecuațiilor

Lecția: Extinderea parantezelor

Cum să extindeți parantezele precedate de semnul „+”. Folosind legea asociativă a adunării.

Dacă trebuie să adăugați suma a două numere la un număr, puteți adăuga mai întâi primul termen la acest număr și apoi al doilea.

În stânga semnului egal este o expresie cu paranteze, iar în dreapta este o expresie fără paranteze. Aceasta înseamnă că la deplasarea din partea stângă a egalității la dreapta, a avut loc deschiderea parantezelor.

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1.

Deschizând parantezele, am schimbat ordinea acțiunilor. A devenit mai convenabil să numărați.

Exemplul 2.

Exemplul 3.

Rețineți că în toate cele trei exemple am eliminat pur și simplu parantezele. Să formulăm o regulă:

Comentariu.

Dacă primul termen dintre paranteze este nesemnat, atunci trebuie scris cu semnul plus.

Puteți urma exemplul pas cu pas. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune poate fi efectuată mental, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că procedura schimbată va simplifica semnificativ calculele.

Dacă urmați procedura indicată, trebuie mai întâi să scădeți 345 din 512, apoi să adăugați 1345 la rezultat. Deschizând paranteze, vom schimba procedura și vom simplifica semnificativ calculele.

Exemplu ilustrativ și regulă.

Să ne uităm la un exemplu: . Puteți găsi valoarea unei expresii adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Primim -7.

Pe de altă parte, același rezultat poate fi obținut prin adăugarea numerelor opuse celor inițiale.

Să formulăm o regulă:

Exemplul 1.

Exemplul 2.

Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze.

Exemplul 3.

Comentariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor.

Pentru a deschide parantezele, în acest caz, trebuie să ne amintim proprietatea distributivă.

În primul rând, înmulțiți prima paranteză cu 2 și a doua cu 3.

Prima paranteză este precedată de semnul „+”, ceea ce înseamnă că semnele trebuie lăsate neschimbate. Al doilea semn este precedat de un semn „-”, prin urmare, toate semnele trebuie schimbate la opus

Referințe

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul de matematică clasele 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii de clasa a VI-a la școala de corespondență MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.

1. Teste online la matematică ().
2. Puteți descărca cele specificate în clauza 1.2. cărți ().

Teme pentru acasă

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vezi 1.2)
2. Tema pentru acasă: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
3. Alte sarcini: nr. 1258(c), nr. 1248

A+(b + c) se poate scrie fără paranteze: a+(b + c)=a + b + c. Această operație se numește paranteze de deschidere.

Exemplul 1. Să deschidem parantezele din expresia a + (- b + c).

Soluţie. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Dacă există un semn „+” în fața parantezelor, atunci puteți omite parantezele și acest semn „+”, păstrând semnele termenilor din paranteze. Dacă primul termen dintre paranteze este scris fără semn, atunci trebuie scris cu semnul „+”.

Exemplul 2. Să găsim valoarea expresiei -2,87+ (2,87-7,639).

Soluţie. Deschizând parantezele, obținem - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Pentru a găsi valoarea expresiei - (- 9 + 5), trebuie să adăugați numere-9 și 5 și găsiți numărul opus sumei rezultate: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Aceeași valoare poate fi obținută într-un alt mod: mai întâi scrieți numerele opuse acestor termeni (adică schimbați-le semnele), apoi adăugați: 9 + (- 5) = 4. Astfel, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Pentru a scrie o sumă opusă sumei mai multor termeni, trebuie să schimbați semnele acestor termeni.

Aceasta înseamnă - (a + b) = - a - b.

Exemplul 3. Să găsim valoarea expresiei 16 - (10 -18 + 12).

Soluţie. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, trebuie să înlocuiți acest semn cu „+”, schimbând semnele tuturor termenilor din paranteze la opus, apoi deschideți parantezele.

Exemplul 4. Să găsim valoarea expresiei 9,36-(9,36 - 5,48).

Soluţie. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Extinderea parantezelor și aplicarea proprietăților comutative și asociative plus vă permit să simplificați calculele.

Exemplul 5. Să aflăm valoarea expresiei (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Soluţie. Mai întâi, să deschidem parantezele și apoi să găsim separat suma tuturor pozitive și separat suma tuturor numere negativeși, în final, adună rezultatele:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Exemplul 6. Să găsim valoarea expresiei

Soluţie.În primul rând, să ne imaginăm fiecare termen ca suma dintre părțile lor întregi și fracționale, apoi deschidem parantezele, apoi adăugăm numerele întregi și separat fracționat părți și, în final, adună rezultatele:

Cum deschizi parantezele precedate de semnul „+”? Cum poți găsi valoarea unei expresii care este opusă sumei mai multor numere? Cum se extind parantezele precedate de semnul „-”?

1218. Deschideți paranteze:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Găsiți sensul expresiei:

1220. Deschideți paranteze:

a) 85+ (7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Deschideți parantezele și găsiți sensul expresiei:

1222. Simplificați expresia:

1223. Scrie cantitate două expresii și simplificați-l:

a) - 4 - m și m + 6,4; d) a+b și p - b
b) 1,1+a şi -26-a; e) - m + n și -k - n;
c) a + 13 şi -13 + b; e)m - n și n - m.

1224. Scrieți diferența dintre două expresii și simplificați-o:

1226. Folosiți ecuația pentru a rezolva problema:

a) Pe un raft sunt 42 de cărți, iar pe celălalt 34. Mai multe cărți au fost scoase de pe al doilea raft și au fost luate de pe primul raft câte au rămas pe al doilea. După aceea, pe primul raft au rămas 12 cărți. Câte cărți au fost scoase de pe al doilea raft?

b) Sunt 42 de elevi în clasa I, cu 3 elevi mai puțin în a doua decât în ​​a treia. Câți elevi sunt în clasa a treia dacă sunt 125 de elevi în aceste trei clase?

1227. Găsiți sensul expresiei:

1228. Calculați oral:

1229. Găsiţi cea mai mare valoare expresii:

1230. Specificați 4 numere întregi consecutive dacă:

a) cel mai mic dintre ele este -12; c) cel mai mic dintre ele este n;
b) cel mai mare dintre ele este -18; d) cea mai mare dintre ele este egală cu k.

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul recomandări metodologice programe de discuții Lecții integrate

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii vedere standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pentru gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților gradului acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.

Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:

Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

De obicei se folosește următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate

Cu unele expresii în transformări algebrice trebuie să se ocupe mai des decât cu alții. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des, de regulă, în locul literelor a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe;

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină la înmulțirea polinoamelor; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei egal cu suma pătrate și dublează produsul.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublat.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.