Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment. Cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un segment

Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de probleme presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi, calculul valorilor la punctele maxime (sau minime) găsite și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare este în stare.

Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? Am scris despre asta.

Îmi propun să rezolv astfel de probleme după cum urmează:

1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin acestui interval.
4. Calculăm valorile funcției la limitele intervalului și punctelor pasului 3.
5. Tragem o concluzie (raspunde la intrebarea pusa).

În timp ce rezolvați exemplele prezentate, rezolvarea ecuațiilor pătratice nu este discutată în detaliu, ar trebui să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.

Să ne uităm la exemple:

77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele –2, –1 și 0:

Cea mai mare valoare a funcției este 6.

Raspuns: 6

77425. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 3x 2 + 2 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Intervalul specificat în condiție conține punctul x = 2.

Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:

Cea mai mică valoare a funcției este –2.

Răspuns: -2

77426. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 – 6x 2 pe segmentul [–3;3].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = 0 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:

Cea mai mică valoare a funcției este 0.

Raspuns: 0

77429. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 2x 2 + x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Obținem rădăcinile: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Intervalul specificat în condiție conține doar x = 1.

Să găsim valorile funcției la punctele 1 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77430. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [– 4; –1].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei, să rezolvăm ecuație pătratică:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Să luăm rădăcinile:

Rădăcina x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.

Găsim valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:

Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77433. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – x 2 – 40x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = 4.

Găsiți valorile funcției la punctele 0 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este –109.

Răspuns: –109

Să luăm în considerare o modalitate de a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor fără o derivată. Această abordare poate fi folosită dacă aveți mari probleme. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).

77437. Aflați cea mai mică valoare a funcției y=7+12x–x 3 pe segmentul [–2;2].

Înlocuiți puncte de la –2 la 2: Vizualizați soluția

77434. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pe segmentul [–2;0].

Asta e tot. Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

În acest articol voi vorbi despre algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori funcții, puncte minime și maxime.

Din teorie, cu siguranță ne va fi de folos tabel de derivateŞi reguli de diferențiere. Totul este pe acest platou:

Algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori.

Este mai convenabil pentru mine să explic cu un exemplu concret. Luați în considerare:

Exemplu: Găsiți cea mai mare valoare a funcției y=x^5+20x^3–65x pe segmentul [–4;0].

Pasul 1. Luăm derivata.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Pasul 2. Găsirea punctelor extreme.

Punct extrem numim acele puncte la care functia atinge valoarea sa cea mai mare sau minima.

Pentru a găsi punctele extreme, trebuie să echivalați derivata funcției cu zero (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Acum rezolvăm această ecuație biquadratică și rădăcinile găsite sunt punctele noastre extreme.

Rezolv astfel de ecuații prin înlocuirea t = x^2, apoi 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Să reducem ecuația cu 5, obținem: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Facem schimbarea inversă x^2 = t:

X_(1 și 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 și 4) = ±sqrt(-13) (excludem, nu poate exista numere negative, cu excepția cazului în care, desigur, vorbim despre numere complexe)

Total: x_(1) = 1 și x_(2) = -1 - acestea sunt punctele noastre extreme.

Pasul 3. Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare.

Metoda de înlocuire.

În condiție, ni s-a dat segmentul [b][–4;0]. Punctul x=1 nu este inclus în acest segment. Deci nu luăm în considerare. Dar, pe lângă punctul x=-1, trebuie să luăm în considerare și limitele din stânga și din dreapta ale segmentului nostru, adică punctele -4 și 0. Pentru a face acest lucru, înlocuim toate aceste trei puncte în funcția originală. Rețineți că originalul este cel dat în condiția (y=x^5+20x^3–65x), unii oameni încep să îl înlocuiască în derivată...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Aceasta înseamnă că cea mai mare valoare a funcției este [b]44 și se realizează în punctul [b]-1, care se numește punctul maxim al funcției pe segmentul [-4; 0].

Ne-am hotărât și am primit un răspuns, suntem grozavi, te poți relaxa. Dar oprește-te! Nu crezi că calcularea y(-4) este oarecum prea dificilă? În condiții de timp limitat, este mai bine să folosiți o altă metodă, o numesc astfel:

Prin intervale de constanță a semnelor.

Aceste intervale se găsesc pentru derivata funcției, adică pentru ecuația noastră biquadratică.

O fac așa. Desenez un segment regizat. Pun punctele: -4, -1, 0, 1. În ciuda faptului că 1 nu este inclus în segmentul dat, ar trebui totuși remarcat pentru a determina corect intervalele de constanță a semnului. Să luăm un număr de multe ori mai mare decât 1, să spunem 100, și să îl înlocuim mental în ecuația noastră biquadratică 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Chiar și fără a număra nimic, devine evident că la punctul 100, funcția are semnul plus. Aceasta înseamnă că pentru intervalele de la 1 la 100 are un semn plus. Când trecem prin 1 (mergem de la dreapta la stânga), funcția va schimba semnul în minus. Când trece prin punctul 0, funcția își va păstra semnul, deoarece aceasta este doar granița segmentului și nu rădăcina ecuației. Când trece prin -1, funcția va schimba din nou semnul în plus.

Din teorie știm că unde este derivata funcției (și am desenat asta tocmai pentru aceasta) schimbă semnul de la plus la minus (punctul -1 în cazul nostru) funcția ajunge maximul său local (y(-1)=44, așa cum a fost calculat mai devreme) pe acest segment (asta logic este foarte de inteles, functia a incetat sa creasca pentru ca a ajuns la maxim si a inceput sa scada).

În consecință, unde derivata funcției schimbă semnul din minus în plus, se realizează minim local al unei funcții. Da, da, am găsit, de asemenea, că punctul minim local este 1, iar y(1) este valoarea minimă a funcției de pe segment, să spunem de la -1 la +∞. Vă rugăm să rețineți că acesta este doar un MINIM LOCAL, adică un minim pe un anumit segment. Deoarece minimul real (global) al funcției va ajunge undeva acolo, la -∞.

După părerea mea, prima metodă este mai simplă teoretic, iar a doua este mai simplă din punct de vedere al operațiilor aritmetice, dar mult mai complexă din punct de vedere al teoriei. La urma urmei, uneori există cazuri în care funcția nu își schimbă semnul la trecerea prin rădăcina ecuației și, în general, te poți confunda cu aceste maxime și minime locale, globale, deși oricum va trebui să stăpânești bine acest lucru dacă intenționați să intrați într-o universitate tehnică (și pentru ce altceva ar trebui să o iau? profil Examen de stat unificatși rezolvați această problemă). Dar practica și numai practica te va învăța să rezolvi astfel de probleme odată pentru totdeauna. Și vă puteți antrena pe site-ul nostru. Aici .

Dacă aveți întrebări sau ceva neclar, asigurați-vă că întrebați. Voi fi bucuros să vă răspund și să fac modificări și completări articolului. Amintiți-vă că facem acest site împreună!

Să vedem cum să examinăm o funcție folosind un grafic. Rezultă că uitându-ne la grafic, putem afla tot ce ne interesează, și anume:

• domeniul unei funcții
• intervalul de funcții
• zerouri ale funcției
• intervale de creştere şi scădere
• puncte maxime și minime
• cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
Axa absciselor - axa orizontală, numită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument- o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, alegem , înlocuim funcții în formulă și obținem .

Domeniul definiției funcții - setul acelor (și numai acelea) valori de argument pentru care există funcția.
Indicat prin: sau .

În figura noastră, domeniul de definire al funcției este segmentul. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici această funcție există.

Gama de funcții este setul de valori pe care le ia o variabilă. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este zero, adică. În figura noastră, acestea sunt puncte și .

Valorile funcției sunt pozitive unde . În figura noastră acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative unde . Pentru noi, acesta este intervalul (sau intervalul) de la până la .

Cele mai importante concepte - funcţia crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie crește

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie scade pe o mulțime dacă pentru oricare și aparținând mulțimii, inegalitatea implică inegalitatea .

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, un punct maxim este un punct în care valoarea funcției Mai mult decât în ​​cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.

În figura noastră există un punct maxim.

Punct minim- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din ea este mai mică decât în ​​vecinii săi. Aceasta este o „gaură” locală pe grafic.

În figura noastră există un punct minim.

Punctul este granița. Nu este un punct intern al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. La fel, pe graficul nostru nu poate exista un punct minim.

Punctele maxime și minime împreună sunt numite punctele extreme ale funcției. În cazul nostru aceasta este și .

Ce trebuie să faceți dacă trebuie să găsiți, de exemplu, functie minima pe segment? ÎN în acest caz, raspuns: . Deoarece functie minima este valoarea sa la punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .

Uneori problemele necesită găsirea cel mai mare și cea mai mică valoare funcții pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extremele.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe segment este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori funcție continuă pe un segment sunt realizate fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cel mai mic și cea mai mare valoare funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?

Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Și pentru a o rezolva veți avea nevoie de cunoștințe minime ale subiectului. Următorul se termină an universitar, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a aduce acest moment mai aproape, voi ajunge imediat la subiect:

Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte dintr-un plan. De exemplu, mulțimea de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv TOTUL triunghi (dacă de la frontiere„scoate” cel puțin un punct, apoi regiunea nu va mai fi închisă). În practică, există și zone de forme dreptunghiulare, rotunde și ceva mai complexe. Trebuie remarcat faptul că în teorie analiză matematică sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv, iar acum nu mai este nevoie de nimic.

O regiune plată este desemnată în mod standard cu litera , și, de regulă, este specificată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. Verbiaj tipic: „zonă închisă, delimitate de linii ».

O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția unei zone în desen. Cum să faci asta? Trebuie să desenați toate liniile enumerate (în acest caz 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona căutată este de obicei ușor umbrită, iar marginea sa este marcată cu o linie groasă:


Aceeași zonă poate fi, de asemenea, setată inegalități liniare: , care din anumite motive sunt adesea scrise ca o listă enumerată mai degrabă decât sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, lax.

Și acum esența sarcinii. Imaginează-ți că axa iese direct spre tine de la origine. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct de zonă. Graficul acestei funcții reprezintă unele suprafaţă, iar mica fericire este că pentru a rezolva problema de astăzi nu trebuie să știm cum arată această suprafață. Poate fi situat mai sus, mai jos, să intersecteze planul - toate acestea nu contează. Și următorul lucru este important: conform teoremele lui Weierstrass, continuu V limitat închis zona în care funcția atinge cea mai mare valoare (cel mai înalt)și cel mai puțin (cel mai jos) valorile care trebuie găsite. Astfel de valori sunt atinse sau V punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei zone. Acest lucru duce la un algoritm de soluție simplu și transparent:

Exemplul 1

Într-o zonă închisă limitată

Soluţie: În primul rând, trebuie să descrii zona din desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi prezenta imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul cercetării. Ele sunt de obicei enumerate unul după altul pe măsură ce sunt descoperite:

Pe baza preambulului, este convenabil să împărțim decizia în două puncte:

I) Găsiți puncte staționare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în clasă. despre extrema mai multor variabile:

Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:

- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Este convenabil să le urmăriți într-un caiet cu un creion.

Fiți atenți la a doua noastră fericire - nu are rost să verificați condiție suficientă pentru un extremum. De ce? Chiar dacă la un moment dat funcția ajunge, de exemplu, minim local, atunci acest lucru NU ÎNSEMNĂ că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .

Ce să faci dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la următorul punct.

II) Explorăm granița regiunii.

Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 subsecțiuni. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, este mai avantajos să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, pe cele situate pe axele în sine. Pentru a înțelege întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură respirație”:

1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuiți direct în funcție:

Ca alternativă, puteți proceda astfel:

Geometric asta înseamnă că plan de coordonate (care este dat și de ecuație)„ciopulează” din suprafete o parabolă „spațială”, al cărei vârf intră imediat sub bănuială. Să aflăm unde se află ea:

– valoarea rezultată „a căzut” în zonă și s-ar putea dovedi că la punctul respectiv (marcat pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga regiune. Într-un fel sau altul, hai să facem calculele:

Ceilalți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Să calculăm valorile funcției în puncte (marcat pe desen):

Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală utilizând o versiune „decăzută”:

2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, înlocuiți-o în funcție și „puneți lucrurile în ordine”:

Aici vom efectua imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, Grozav.

Situația geometrică este legată de punctul anterior:

– valoarea rezultată „a intrat, de asemenea, în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce funcția în punctul apărut este egală cu:

Să examinăm al doilea capăt al segmentului:

Folosind funcția , să efectuăm o verificare de control:

3) Probabil că toată lumea poate ghici cum să exploreze partea rămasă. O substituim în funcție și efectuăm simplificări:

Capetele segmentului au fost deja cercetate, dar în proiect mai verificăm dacă am găsit corect funcția :
– a coincis cu rezultatul de la primul paragraf;
– a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.

Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:

- Există! Înlocuind linia dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:

Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:

Să verificăm calculele folosind versiunea „buget”. :
, comanda.

Și pasul final: Privim cu ATENȚIE toate numerele „îndrăznețe”, recomand ca începătorilor să facă chiar și o singură listă:

din care selectăm cele mai mari și cele mai mici valori. Răspuns Să scriem în stilul problemei de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment:

Pentru orice eventualitate, voi comenta încă o dată semnificația geometrică a rezultatului:
– aici se află cel mai înalt punct al suprafeței din regiune;
– aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.

În sarcina analizată, am identificat 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, "setul de cercetare" minim constă în trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când funcția, de exemplu, specifică avion– este complet clar că nu există puncte staționare, iar funcția își poate atinge valorile maxime/mai mici doar la vârfurile triunghiului. Dar există doar unul sau două exemple similare - de obicei, trebuie să vă ocupați de un fel de suprafata de ordinul 2.

Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și de aceea am pregătit exemple neobișnuite ca să-l faci pătrat :))

Exemplul 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitată de linii

Exemplul 3

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă limitată.

Acordați o atenție deosebită ordinii raționale și tehnicii de studiu a graniței regiunii, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, poți rezolva cum vrei, dar în unele probleme, de exemplu, în Exemplul 2, există toate șansele de a-ți face viața mult mai dificilă. Probă aproximativă finalizarea sarcinilor la sfârșitul lecției.

Să sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva în firul lung de comentarii al primului exemplu:

– La primul pas, construim o zonă, este indicat să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie îndrăzneață. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie marcate pe desen.

– Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea dintre ele care aparțin regiunii. Evidențiem valorile rezultate în text (de exemplu, încercuiți-le cu un creion). Dacă un punct staționar NU aparține regiunii, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest punct nu poate fi omis!

– Explorăm granița regiunii. În primul rând, este benefic să înțelegeți liniile drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (dacă există). De asemenea, evidențiem valorile funcției calculate în puncte „suspecte”. S-au spus multe mai sus despre tehnica soluției și altceva se va spune mai jos - citiți, recitiți, aprofundați în ea!

- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați răspunsul. Uneori se întâmplă ca o funcție să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, și s-a dovedit că aceasta este cea mai mică valoare. Apoi scriem asta

Exemplele finale sunt dedicate altora idei utile care va fi util în practică:

Exemplul 4

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă .

Am reținut formularea autorului, în care aria este dată sub forma unei duble inegalități. Această condiție poate fi scrisă printr-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă:

Vă reamintesc că cu neliniar am întâlnit inegalități și dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a notației, atunci vă rugăm să nu întârziați și să clarificați situația chiar acum;-)

Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construirea unei zone care reprezintă un fel de „talpă”:

Hmm, uneori trebuie să mesteci nu numai granitul științei...

I) Găsiți puncte staționare:

Sistemul este visul unui idiot :)

Un punct staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.

Și așa, este în regulă... lecția a mers bine - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)

II) Explorăm granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:

1) Dacă , atunci

Să aflăm unde este vârful parabolei:
– apreciază astfel de momente – ai „lovit” chiar în punctul din care totul este deja clar. Dar încă nu uităm să verificăm:

Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

2) Să ne ocupăm de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție și ne va interesa doar segmentul:

Controla:

Acest lucru aduce deja ceva entuziasm condusului monoton de-a lungul pistei moletate. Să găsim punctele critice:

Să decidem ecuație pătratică, mai ții minte ceva despre asta? ...Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați citi aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele din zecimale(ceea ce, de altfel, este rar), atunci ne așteaptă aici cele obișnuite fracții comune. Găsim rădăcinile „X” și folosim ecuația pentru a determina coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”:


Să calculăm valorile funcției în punctele găsite:

Verificați singur funcția.

Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm răspuns:

Aceștia sunt „candidați”, aceștia sunt „candidați”!

Pentru a o rezolva singur:

Exemplul 5

Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții într-o zonă închisă

O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte astfel încât”.

Uneori, în astfel de exemple ei folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar este puțin probabil să existe o nevoie reală de a-l folosi. Deci, de exemplu, dacă este dată o funcție cu aceeași zonă „de”, atunci după substituție în ea – cu derivata fără dificultăți; În plus, totul este întocmit pe „o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există și cazuri mai complexe, în care fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, este aceeași ecuație a unui cerc) Este greu să te descurci – la fel cum este greu să te descurci fără o odihnă bună!

Distractie placuta tuturor si ne vedem in curand sezonul viitor!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: Să reprezentăm zona din desen: