Cum se rezolvă ecuații cu fracții. Ecuații raționale

Să continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol vom intra în detaliu despre ecuații raționaleşi principiile rezolvării ecuaţiilor raţionale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce tip de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și fracționale și să dăm exemple. În continuare, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluții la exemple tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor menționate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, este clar că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi cu o variabilă, sau cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor în două variabile si ei un număr mare merită o atenție specială.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în numere întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiţie.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiţie.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă, dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– acestea sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest punct, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile patratice cunoscute până în acest punct sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea acestora la unele echivalente ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• În primul rând, se transferă expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero pe partea dreaptă;
• după aceasta, în partea stângă a ecuației rezultă vedere standard.

Rezultatul este ecuație algebrică, care este echivalent cu ecuația întreagă originală. Deci în cele mai multe cazuri simple rezolvarea de ecuații întregi se reduce la rezolvarea ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în cazul general la rezolvarea unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să ne uităm la soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Soluţie.

Să reducem soluția acestei întregi ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom de formă standard completând necesarul: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, rezolvarea ecuației întregi originale se reduce la rezolvarea ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0.

Îi calculăm discriminantul D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să o facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. Mai întâi verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, care este același, 63=63. Aceasta este o ecuație numerică validă, prin urmare x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1, avem 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Când x=−1, ecuația originală se transformă, de asemenea, într-o egalitate numerică corectă, prin urmare, x=−1 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat, de asemenea, că termenul „gradul întregii ecuații” este asociat cu reprezentarea unei întregi ecuații sub forma unei ecuații algebrice. Să dăm definiția corespunzătoare:

Definiţie.

Puterea întregii ecuații se numește gradul unei ecuații algebrice echivalente.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Acesta ar fi putut fi sfârșitul rezolvării unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru un singur lucru... După cum se știe, rezolvarea ecuațiilor algebrice de grad peste a doua este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad peste a patra nu există deloc formule generale de rădăcină. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi ale a treia, a patra și mai mult grade înalte Adesea trebuie să apelezi la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, o abordare a rezolvării întregii ecuații raționale pe baza metoda factorizării. În acest caz, se respectă următorul algoritm:

• În primul rând, se asigură că există un zero în partea dreaptă a ecuației, pentru a face acest lucru, ei transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce ne permite să trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul dat pentru rezolvarea unei întregi ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Soluţie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aici este destul de evident că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că în partea stângă a ecuației rezultate putem x 2 −10 x+13 , prezentându-l astfel ca un produs. Avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0. Găsirea rădăcinilor lor folosind formule de rădăcină cunoscute printr-un discriminant nu este dificilă, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, vă permite să treceți la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul întregii ecuații originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Soluţie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, nu o idee foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Aici este ușor de observat că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3·x cu ea. Această înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , care, după mutarea expresiei −2·(y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formată acolo, se reduce la o ecuație pătratică y 2 +4·y+3=0. Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi selectate pe baza teoremei inverse teoremei lui Vieta.

Acum trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei înlocuiri inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3, care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Iar al doilea ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul său este negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna pregătiți să căutăm o metodă non-standard sau o tehnică artificială pentru rezolvarea lor.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvați ecuații raționale fracționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii raționale întregi. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția altor ecuații raționale fracționale la soluția ecuațiilor de tipul indicat.

O abordare pentru rezolvarea ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u/v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care este nedefinit), este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul său este egal cu zero, atunci este, dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, rezolvarea ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0.

Această concluzie corespunde următoarelor algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma , aveți nevoie

• rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
• și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
• dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu este satisfăcută, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a algoritmului anunțat atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Aceasta este o ecuație rațională fracțională și de forma , unde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest tip, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3 x−2=0. Acest ecuație liniară, a cărui rădăcină este x=2/3.

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5 x 2 −2≠0. Înlocuim numărul 2/3 în expresia 5 x 2 −2 în loc de x și obținem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Puteți aborda rezolvarea unei ecuații raționale fracționale dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu ecuația întreagă p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți să te ții de asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
• găsiți ODZ a variabilei x;
• iau rădăcini aparținând regiunii valorilor acceptabile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Mai întâi, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0. Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru cel de-al doilea coeficient chiar, pe care îl avem D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3·x≠0, care este la fel cu x·(x+3)≠0, de unde x≠0, x≠−3.

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite în primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este mai ales benefică dacă rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt iraționale, de exemplu, sau raționale, dar cu un numărător destul de mare și /sau numitorul, de exemplu, 127/1101 și −31/59. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita un efort de calcul semnificativ și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine folosind ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt numere întregi, este mai profitabil să se folosească primul algoritm dat. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele, mai degrabă decât să găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei mai ușor să verificați decât să găsiți DZ.

Să luăm în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele specificate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compusă folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una este pătratică; le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să verificați dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale dispare, dar determinarea ODZ, dimpotrivă, nu este atât de ușoară, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvați un ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom abandona găsirea ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim unul câte unul în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și −2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și −1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Găsiți rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile ecuației (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu un set de două ecuații: pătrat 5 x 2 −7 x−1=0 și liniar x−2=0. Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul ajunge la zero la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și determinarea intervalului de valori permise ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplă. Prin urmare, vom acționa prin ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale constă din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care tragem o concluzie despre ODZ: este format din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin intervalului de valori acceptabile. Rădăcinile aparțin, prin urmare, sunt rădăcini ale ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor când într-o ecuație rațională fracțională de formă există un număr la numărător, adică când p(x) este reprezentat de un număr. În același timp

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Soluţie.

Deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero, atunci pentru orice x valoarea acestei fracții nu poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale conține zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din ODZ a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate valorile lui x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 =0 sunt 0 și −5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x+5)=0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 =0 și x +5=0, de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de formă arbitrară. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x), unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în viitor, să spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, prin urmare ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s(x). )=0.

De asemenea, știm că orice , identic cu această expresie, este posibil. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuație, iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0.

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că atunci când înlocuiți r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0, intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

În consecință, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0 la care am ajuns se pot dovedi a fi inegale, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Puteți identifica și nu include rădăcini străine în răspuns fie efectuând o verificare, fie verificând dacă acestea aparțin ODZ a ecuației originale.

Să rezumam aceste informații în algoritm pentru rezolvarea ecuației raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , aveți nevoie

• Obțineți zero în partea dreaptă mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați operații cu fracții și polinoame în partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p(x)=0.
• Identificați și eliminați rădăcinile străine, ceea ce se face prin înlocuirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să ne uităm la soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a procesului de soluționare pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Soluţie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației la stânga, ca rezultat trecem la ecuație.

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, reducem fracțiile raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0. Găsim x=−1/2.

Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 nu este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi VA variabilei x din ecuația originală. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu verificarea. Înlocuim numărul −1/2 în ecuația originală în loc de variabila x și obținem același lucru, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, deci x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul punct al algoritmului prin ODZ. Gama de valori acceptabile ale ecuației inițiale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (la x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită în pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație rațională fracțională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, mutăm termenul din partea dreaptă la stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0.

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită este străină ecuației raționale fracționale inițiale. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens pentru că conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7, ceea ce duce la Ec. De aici putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu cea a laturii drepte, adică . Acum scadem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcini ale ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Prezentare și lecție pe tema: "Ecuații raționale. Algoritm și exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Un manual pentru manual de Makarychev Yu.N. Un manual pentru manual de Mordkovich A.G.

Introducere în ecuațiile iraționale

Băieți, am învățat cum să rezolvăm ecuații patratice. Dar matematica nu se limitează doar la ei. Astăzi vom învăța cum să rezolvăm ecuații raționale. Conceptul de ecuații raționale este în multe privințe similar cu conceptul numere raționale. Doar pe lângă numere, acum am introdus o variabilă $x$. Și astfel obținem o expresie în care sunt prezente operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă.

Fie $r(x)$ expresie rațională. O astfel de expresie poate fi un polinom simplu în variabila $x$ sau un raport de polinoame (se introduce o operație de împărțire, ca la numerele raționale).
Se numește ecuația $r(x)=0$ ecuație rațională.
Orice ecuație de forma $p(x)=q(x)$, unde $p(x)$ și $q(x)$ sunt expresii raționale, va fi de asemenea ecuație rațională.

Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale.

Exemplul 1.
Rezolvați ecuația: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Soluţie.
Să mutăm toate expresiile în partea stângă: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Dacă partea stângă a ecuației ar fi reprezentată prin numere obișnuite, atunci am reduce cele două fracții la un numitor comun.
Să facem asta: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Obținem ecuația: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

O fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul fracției este zero și numitorul este diferit de zero. Apoi egalăm separat numărătorul cu zero și găsim rădăcinile numărătorului.
$3(x^2+2x-3)=0$ sau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Acum să verificăm numitorul fracției: $(x-3)*x≠0$.
Produsul a două numere este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre aceste numere este egal cu zero. Apoi: $x≠0$ sau $x-3≠0$.
$x≠0$ sau $x≠3$.
Rădăcinile obținute în numărător și numitor nu coincid. Deci notăm ambele rădăcini ale numărătorului în răspuns.
Răspuns: $x=1$ sau $x=-3$.

Dacă dintr-o dată una dintre rădăcinile numărătorului coincide cu rădăcina numitorului, atunci ar trebui exclusă. Astfel de rădăcini se numesc străine!

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toate expresiile conținute în ecuație în partea stângă a semnului egal.
2. Convertiți această parte a ecuației în fracție algebrică: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Echivalează numărătorul rezultat cu zero, adică rezolvă ecuația $p(x)=0$.
4. Echivalează numitorul cu zero și rezolvă ecuația rezultată. Dacă rădăcinile numitorului coincid cu rădăcinile numărătorului, atunci acestea ar trebui excluse din răspuns.

Exemplul 2.
Rezolvați ecuația: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Soluţie.
Să rezolvăm în funcție de punctele algoritmului.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Echivalează numărătorul cu zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Echivalează numitorul cu zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ și $x=-1$.
Una dintre rădăcinile $x=1$ coincide cu rădăcina numărătorului, atunci nu o scriem în răspuns.
Răspuns: $x=-1$.

Este convenabil să se rezolve ecuații raționale folosind metoda schimbării variabilelor. Să demonstrăm asta.

Exemplul 3.
Rezolvați ecuația: $x^4+12x^2-64=0$.

Soluţie.
Să introducem înlocuirea: $t=x^2$.
Atunci ecuația noastră va lua forma:
$t^2+12t-64=0$ - ecuație pătratică obișnuită.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolari.
Să introducem substituția inversă: $x^2=4$ sau $x^2=-16$.
Rădăcinile primei ecuații sunt o pereche de numere $x=±2$. Al doilea lucru este că nu are rădăcini.
Răspuns: $x=±2$.

Exemplul 4.
Rezolvați ecuația: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Soluţie.
Să introducem o nouă variabilă: $t=x^2+x+1$.
Atunci ecuația va lua forma: $t=\frac(15)(t+2)$.
În continuare vom proceda conform algoritmului.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolari.
4. $t≠-2$ - rădăcinile nu coincid.
Să introducem o înlocuire inversă.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Să rezolvăm fiecare ecuație separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nu rădăcini.
Și a doua ecuație: $x^2+x-2=0$.
Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele $x=-2$ și $x=1$.
Răspuns: $x=-2$ și $x=1$.

Exemplul 5.
Rezolvați ecuația: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Soluţie.
Să introducem înlocuirea: $t=x+\frac(1)(x)$.
Apoi:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ sau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Obținem ecuația: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rădăcinile acestei ecuații sunt perechea:
$t=-3$ și $t=2$.
Să introducem înlocuirea inversă:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vom decide separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Să rezolvăm a doua ecuație:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Rădăcina acestei ecuații este numărul $x=1$.
Răspuns: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Probleme de rezolvat independent

Rezolvarea ecuațiilor:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

O expresie întreagă este o expresie matematică formată din numere și variabile literale folosind operațiile de adunare, scădere și înmulțire. Numerele întregi includ, de asemenea, expresii care implică împărțirea cu orice număr, altul decât zero.

Conceptul de expresie rațională fracțională

O expresie fracționară este o expresie matematică care, pe lângă operațiile de adunare, scădere și înmulțire efectuate cu numere și variabile cu litere, precum și împărțirea cu un număr diferit de zero, conține și împărțirea în expresii cu variabile cu litere.

Expresiile raționale sunt toate expresii întregi și fracționale. Ecuațiile raționale sunt ecuații în care părțile din stânga și din dreapta sunt expresii raționale. Dacă într-o ecuație rațională părțile stânga și dreaptă sunt expresii întregi, atunci o astfel de ecuație rațională se numește întreg.

Dacă într-o ecuație rațională părțile din stânga sau din dreapta sunt expresii fracționale, atunci o astfel de ecuație rațională se numește fracțional.

Exemple de expresii raționale fracționale

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Schema de rezolvare a unei ecuații raționale fracționale

1. Aflați numitorul comun al tuturor fracțiilor care sunt incluse în ecuație.

2. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun.

3. Rezolvați întreaga ecuație rezultată.

4. Verificați rădăcinile și excludeți-le pe cele care fac să dispară numitorul comun.

Deoarece rezolvăm ecuații raționale fracționale, vor exista variabile în numitorii fracțiilor. Aceasta înseamnă că vor fi un numitor comun. Și în al doilea punct al algoritmului înmulțim cu un numitor comun, atunci pot apărea rădăcini străine. La care numitorul comun va fi egal cu zero, ceea ce înseamnă că înmulțirea cu acesta va fi lipsită de sens. Prin urmare, la final este necesar să se verifice rădăcinile obținute.

Să ne uităm la un exemplu:

Rezolvați ecuația rațională fracțională: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Ne vom ține de schema generala: Să găsim mai întâi numitorul comun al tuturor fracțiilor. Obținem x*(x-5).

Înmulțiți fiecare fracție cu un numitor comun și scrieți întreaga ecuație rezultată.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Să simplificăm ecuația rezultată. Primim:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Obținem o ecuație pătratică simplă redusă. O rezolvăm prin oricare dintre metodele cunoscute, obținem rădăcinile x=-2 și x=5.

Acum verificăm soluțiile obținute:

Înlocuiți numerele -2 și 5 în numitorul comun. La x=-2 numitorul comun x*(x-5) nu dispare, -2*(-2-5)=14. Aceasta înseamnă că numărul -2 va fi rădăcina ecuației raționale fracționale originale.

La x=5 numitorul comun x*(x-5) devine zero. Prin urmare, acest număr nu este rădăcina ecuației raționale fracționale inițiale, deoarece va exista o împărțire la zero.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, vei putea înțelege în cel mai înțeles mod.
De exemplu, trebuie să rezolvați ecuația simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece Numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se anulează.

De exemplu, cum se rezolvă ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25

Un alt exemplu când necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc fracțional-rațional sau pur și simplu fracțional.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-o ecuație liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie doar să luați în considerare următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• Nu puteți împărți sau înmulți o ecuație cu expresia =0.

Aici intră în vigoare conceptul de regiune a valorilor permise (ADV) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.

Astfel, atunci când rezolvați ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Sunt excluse din răspuns acele rădăcini care nu corespund ODZ-ului nostru.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în în acest caz,: x – orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvăm ecuația obișnuită

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Răspuns: x = 1/3

Să rezolvăm o ecuație mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Când rezolvăm această ecuație, nu vom muta totul într-o parte și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Vom înmulți imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va anula toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x+2 și partea dreaptă cu 2. Aceasta înseamnă că ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2(x+2):

Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.

Să scriem aceeași ecuație, dar ușor diferit

Partea stângă se reduce cu (x+2), iar cea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x = 4 – 2 = 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol am arătat acest lucru cu exemple. Dacă aveți dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.

Mai simplu spus, acestea sunt ecuații în care există cel puțin o variabilă în numitor.

De exemplu:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplu Nu ecuații raționale fracționale:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Cum se rezolvă ecuațiile raționale fracționale?

Principalul lucru de reținut despre ecuațiile raționale fracționale este că trebuie să scrieți în ele. Și după ce găsiți rădăcinile, asigurați-vă că le verificați pentru admisibilitate. În caz contrar, pot apărea rădăcini străine, iar întreaga decizie va fi considerată incorectă.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale:

Scrieți și „rezolvați” ODZ.

Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu numitorul comun și anulați fracțiile rezultate. Numitorii vor dispărea.

Scrieți ecuația fără a deschide parantezele.

Rezolvați ecuația rezultată.

Verificați rădăcinile găsite cu ODZ.

Scrieți în răspunsul dvs. rădăcinile care au trecut testul de la pasul 7.

Nu memorați algoritmul, 3-5 ecuații rezolvate și va fi reținut de la sine.

Exemplu . Rezolvați ecuația rațională fracțională \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Soluţie:

Răspuns: \(3\).

Exemplu . Găsiți rădăcinile ecuației raționale fracționale \(=0\)

Soluţie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Scriem și „rezolvăm” ODZ. Expandăm \(x^2+7x+10\) în conform formulei: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Din fericire, am găsit deja \(x_1\) și \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Evident, numitorul comun al fracțiilor este \((x+2)(x+5)\). Înmulțim întreaga ecuație cu ea.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Fracții reducătoare
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Deschiderea parantezelor
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Prezentăm termeni similari
\(2x^2+9x-5=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una dintre rădăcini nu se potrivește cu ODZ, așa că scriem doar a doua rădăcină în răspuns.

Răspuns: \(\frac(1)(2)\).