Exemple de grafice cu funcția parabolă. Graficul unei funcții pătratice

Multe probleme necesită calcularea valorii maxime sau minime a unei funcții pătratice. Maximul sau minimul poate fi găsit dacă funcția originală este scrisă forma standard: sau prin coordonatele vârfului parabolei: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Mai mult, maximul sau minimul oricărei funcții pătratice poate fi calculat folosind operații matematice.

Pași

Funcția pătratică este scrisă în formă standard

Scrieți funcția în formă standard. Funcția pătratică este o funcție a cărei ecuație include o variabilă x 2 (\displaystyle x^(2)). Ecuația poate include sau nu o variabilă x (\displaystyle x). Dacă o ecuație include o variabilă cu un exponent mai mare de 2, ea nu descrie o funcție pătratică. Dacă este necesar, furnizați termeni similari și rearanjați-i pentru a scrie funcția în formă standard.

• De exemplu, având în vedere funcția f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Adăugați termeni cu variabilă x 2 (\displaystyle x^(2)) si membri cu variabila x (\displaystyle x) pentru a scrie ecuația în formă standard:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus sau în jos. Dacă coeficientul a (\displaystyle a) cu variabila x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Aici a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Aici, deci, parabola este îndreptată în jos.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Aici a = 1 (\displaystyle a=1), deci parabola este îndreptată în sus.
   • Dacă parabola este îndreptată în sus, trebuie să-i căutați minimul. Dacă parabola este îndreptată în jos, căutați maximul său.

2. Calculați -b/2a. Sens − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) este coordonata x (\displaystyle x) vârfurile parabolei. Dacă o funcție pătratică este scrisă în formă standard a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilizați coeficienții pentru x (\displaystyle x)Şi x 2 (\displaystyle x^(2)) după cum urmează:

   • În coeficienții de funcție a = 1 (\displaystyle a=1)Şi b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Ca un al doilea exemplu, luați în considerare funcția. Aici a = − 3 (\displaystyle a=-3)Şi b = 6 (\displaystyle b=6). Prin urmare, calculați coordonata „x” a vârfului parabolei după cum urmează:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Găsiți valoarea corespunzătoare a lui f(x). Introduceți valoarea găsită a lui „x” în funcția originală pentru a găsi valoarea corespunzătoare a lui f(x). În acest fel veți găsi minimul sau maximul funcției.

   • În primul exemplu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) ați calculat că coordonata x a vârfului parabolei este x = − 5 (\displaystyle x=-5). În funcția originală, în loc de x (\displaystyle x) substitui − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • În al doilea exemplu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) ați descoperit că coordonata x a vârfului parabolei este x = 1 (\displaystyle x=1). În funcția originală, în loc de x (\displaystyle x) substitui 1 (\displaystyle 1) să o găsesc valoarea maxima:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Notează-ți răspunsul. Recitiți enunțul problemei. Dacă trebuie să găsiți coordonatele vârfului unei parabole, notați ambele valori în răspunsul dvs x (\displaystyle x)Şi y (\displaystyle y)(sau f (x) (\displaystyle f(x))). Dacă trebuie să calculați maximul sau minimul unei funcții, notați doar valoarea din răspunsul dvs y (\displaystyle y)(sau f (x) (\displaystyle f(x))). Privește din nou semnul coeficientului a (\displaystyle a) pentru a verifica dacă ați calculat maxim sau minim.

   • În primul exemplu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) sens a (\displaystyle a) pozitiv, deci ai calculat minimul. Vârful parabolei se află în punctul cu coordonatele (− 5 , - 26) (\displaystyle (-5,-26)), iar valoarea minimă a funcției este − 26 (\displaystyle -26).
   • În al doilea exemplu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) sens a (\displaystyle a) negativ, deci ai găsit maximul. Vârful parabolei se află în punctul cu coordonatele (1 , - 1) (\displaystyle (1,-1)), iar valoarea maximă a funcției este − 1 (\displaystyle -1).

5. Determinați direcția parabolei. Pentru a face acest lucru, uitați-vă la semnul coeficientului a (\displaystyle a). Dacă coeficientul a (\displaystyle a) pozitiv, parabola este îndreptată în sus. Dacă coeficientul a (\displaystyle a) negativ, parabola este îndreptată în jos. De exemplu:

   • . Aici a = 2 (\displaystyle a=2), adică coeficientul este pozitiv, deci parabola este îndreptată în sus.
   • . Aici a = − 3 (\displaystyle a=-3), adică coeficientul este negativ, deci parabola este îndreptată în jos.
   • Dacă parabola este îndreptată în sus, trebuie să calculați valoarea minimă a funcției. Dacă parabola este îndreptată în jos, trebuie să găsiți valoarea maximă a funcției.

6. Găsiți valoarea minimă sau maximă a funcției. Dacă funcția este scrisă prin coordonatele vârfului parabolei, minimul sau maximul este egal cu valoarea coeficientului k (\displaystyle k). În exemplele de mai sus:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aici k = - 4 (\displaystyle k=-4). Aceasta este valoarea minimă a funcției deoarece parabola este îndreptată în sus.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aici k = 2 (\displaystyle k=2). Aceasta este valoarea maximă a funcției deoarece parabola este îndreptată în jos.

7. Aflați coordonatele vârfului parabolei. Dacă problema necesită găsirea vârfului unei parabole, coordonatele acesteia sunt (h, k) (\displaystyle (h,k)). Vă rugăm să rețineți că atunci când o funcție pătratică este scrisă prin coordonatele vârfului unei parabole, operația de scădere trebuie să fie inclusă în paranteze. (x - h) (\displaystyle (x-h)), deci valoarea h (\displaystyle h) este luată cu semnul opus.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aici operația de adunare (x+1) este inclusă în paranteze, care poate fi rescrisă după cum urmează: (x-(-1)). Astfel, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Prin urmare, coordonatele vârfului parabolei acestei funcții sunt egale cu (− 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aici, între paranteze, este expresia (x-2). Prin urmare, h = 2 (\displaystyle h=2). Coordonatele vârfului sunt (2,2).

Cum se calculează minimum sau maxim folosind operații matematice

1. Mai întâi, să ne uităm la forma standard a ecuației. Scrieți funcția pătratică în formă standard: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Dacă este necesar, adăugați termeni similari și rearanjați-i pentru a obține o ecuație standard.

   • De exemplu: .

2. Găsiți prima derivată. Prima derivată a unei funcții pătratice, care este scrisă în formă standard, este egală cu f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Prima derivată a acestei funcții se calculează după cum urmează:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Echivalează derivata cu zero. Reamintim că derivata unei funcții este egală cu panta funcției la un anumit punct. La minim sau maxim, panta este zero. Prin urmare, pentru a găsi valoarea minimă sau maximă a unei funcții, derivata trebuie setată la zero. În exemplul nostru.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.