Sinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă în trigonometrie: definiții, exemple

Raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza se numeste sinus unghi ascuțit triunghi dreptunghic.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză se numește cosinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre latura opusă și latura adiacentă se numește tangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangenta unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre latura adiacentă și latura opusă se numește cotangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinusul unui unghi arbitrar

Se numește ordonata unui punct de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha sinusul unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

\sin \alpha=y

Cosinusul unui unghi arbitrar

Se numește abscisa unui punct de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha cosinus al unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre sinusul unui unghi arbitrar de rotație \alpha și cosinusul său se numește tangenta unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre cosinusul unui unghi arbitrar de rotație \alpha și sinusul său se numește cotangenta unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un exemplu de găsire a unui unghi arbitrar

Dacă \alpha este un unghi AOM, unde M este un punct pe cercul unității, atunci

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

De exemplu, dacă \angle AOM = -\frac(\pi)(4), atunci: ordonata punctului M este egală cu -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa este egală \frac(\sqrt(2))(2)şi prin urmare

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabelul valorilor sinusurilor cosinusurilor tangentelor cotangentelor

Valorile principalelor unghiuri care apar frecvent sunt date în tabel:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\dreapta)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\dreapta)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\dreapta)	180^(\circ)\stanga(\pi\dreapta)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\stanga(2\pi\dreapta)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la de la început și înțelegeți conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Se numește un unghi de (un grad). unghiul centralîntr-un cerc, bazat pe un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de dimensiunea circumferinței.

Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.

Deci, figura prezintă un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iată-l:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:

Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului

Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghi drept(în exemplul nostru aceasta este partea); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghiului drept), iar dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (distant) față de ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru.

Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinu → atinge → atinge → adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Cu ce ​​este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

Cu ce ​​este egal triunghiul? Ei bine desigur! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în nici un caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.

Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, deci:

Nu există;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu există

Nu există

Nu există

Nu există

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.

De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru coordonata punctului.

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Astfel,

Deci, în vedere generală coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului,

Unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!

1.

Puteți observa asta. Dar știm ce corespunde unei revoluții complete a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

2. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Știm ce corespunde cu două viteza maxima punct de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

Sinus și cosinus sunt valori din tabel. Ne amintim semnificațiile lor și obținem:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

3. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Să reprezentăm exemplul în cauză în figură:

Raza formează unghiuri egale cu și cu axa. Știind că valorile de tabel ale cosinusului și sinusului sunt egale și s-a stabilit că cosinusul de aici ia valoare negativă, iar sinusul este pozitiv, avem:

Astfel de exemple sunt discutate mai detaliat atunci când se studiază formulele de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul dorit are coordonate.

4.

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție)

Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc și un unghi unitar:

După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție)

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție).

Înlocuiți toate valorile în formulă și obțineți:

și - valorile tabelului. Să ne amintim și să le înlocuim în formula:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (în apropiere) și latura opusă (depărtată).

Profesorii cred că fiecare elev ar trebui să poată efectua calcule și să cunoască formule trigonometrice, dar nu fiecare profesor explică ce sunt sinusul și cosinusul. Care este semnificația lor, unde sunt folosite? De ce vorbim despre triunghiuri, dar manualul arată un cerc? Să încercăm să conectăm toate faptele împreună.

Materia școlară

Studiul trigonometriei începe de obicei în clasele 7-8 liceu. În acest moment, elevilor li se explică ce sunt sinusul și cosinusul și li se cere să rezolve probleme geometrice folosind aceste funcții. Mai târziu, apar formule și expresii mai complexe care trebuie transformate algebric (formule cu dublu și jumătate de unghi, funcții de putere), se lucrează cu un cerc trigonometric.

Cu toate acestea, profesorii nu sunt întotdeauna capabili să explice clar sensul conceptelor utilizate și aplicabilitatea formulelor. Prin urmare, elevul adesea nu vede rostul acestui subiect, iar informațiile memorate sunt repede uitate. Totuși, odată ce îi explici unui elev de liceu, de exemplu, legătura dintre o funcție și mișcarea oscilativă, conexiunea logică va fi amintită mulți ani, iar glumele despre inutilitatea subiectului vor deveni un lucru din trecut.

Utilizare

De dragul curiozității, să ne uităm la diferite ramuri ale fizicii. Doriți să determinați raza de acțiune a unui proiectil? Sau calculezi forța de frecare dintre un obiect și o anumită suprafață? Balanțând pendulul, urmărind razele care trec prin sticlă, calculând inducția? Conceptele trigonometrice apar în aproape orice formulă. Deci, ce sunt sinus și cosinus?

Definiții

Sinusul unui unghi este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, cosinusul este raportul dintre latura adiacentă și aceeași ipotenuză. Nu este absolut nimic complicat aici. Poate că studenții sunt de obicei confuzi de valorile pe care le văd pe tabelul de trigonometrie, deoarece implică rădăcini pătrate. Da, a obține zecimale de la ei nu este foarte convenabil, dar cine a spus că toate numerele din matematică trebuie să fie egale?

De fapt, puteți găsi un indiciu amuzant în cărțile cu probleme de trigonometrie: majoritatea răspunsurilor de aici sunt egale și, în cel mai rău caz, conțin rădăcina a doi sau trei. Concluzia este simplă: dacă răspunsul dvs. se dovedește a fi o fracțiune „cu mai multe etaje”, verificați soluția pentru erori în calcule sau raționament. Și cel mai probabil le vei găsi.

Ce să-ți amintești

Ca orice știință, trigonometria are date care trebuie învățate.

În primul rând, ar trebui să memorați valorile numerice pentru sinusurile triunghiului dreptunghic, cosinusurile 0 și 90, precum și 30, 45 și 60 de grade. Acești indicatori se regăsesc în nouă din zece probleme școlare. Privind aceste valori într-un manual, veți pierde mult timp și nu va fi unde să le priviți în timpul unui test sau examen.

Trebuie reținut că valoarea ambelor funcții nu poate depăși una. Dacă oriunde în calculele dvs. obțineți o valoare în afara intervalului 0-1, opriți-vă și încercați din nou problema.

Suma pătratelor sinusului și cosinusului este egală cu unu. Dacă ați găsit deja una dintre valori, utilizați această formulă pentru a găsi cea rămasă.

Teoreme

Există două teoreme de bază în trigonometrie de bază: sinusuri și cosinusuri.

Prima afirmă că raportul dintre fiecare latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este același. Al doilea este că pătratul oricărei laturi poate fi obținut adunând pătratele celor două laturi rămase și scăzând produsul lor dublu înmulțit cu cosinusul unghiului aflat între ele.

Astfel, dacă înlocuim valoarea unui unghi de 90 de grade în teorema cosinusului, obținem... teorema lui Pitagora. Acum, dacă trebuie să calculați aria unei figuri care nu este un triunghi dreptunghic, nu trebuie să vă mai faceți griji - cele două teoreme discutate vor simplifica semnificativ soluția problemei.

Scopuri și obiective

Învățarea trigonometriei va deveni mult mai ușoară când îți dai seama de un fapt simplu: toate acțiunile pe care le faci au ca scop atingerea unui singur obiectiv. Orice parametri ai unui triunghi pot fi găsiți dacă cunoașteți minimumul de informații despre acesta - aceasta ar putea fi valoarea unui unghi și lungimea a două laturi sau, de exemplu, trei laturi.

Pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta oricărui unghi, aceste date sunt suficiente și, cu ajutorul lor, puteți calcula cu ușurință aria figurii. Aproape întotdeauna, răspunsul necesită una dintre valorile menționate și pot fi găsite folosind aceleași formule.

Incoerențe în învățarea trigonometriei

Una dintre întrebările confuze pe care elevii preferă să le evite este descoperirea legăturilor dintre diferitele concepte din trigonometrie. S-ar părea că triunghiurile sunt folosite pentru a studia sinusurile și cosinusurile unghiurilor, dar din anumite motive simbolurile se găsesc adesea în figura cu un cerc. În plus, există un grafic sub formă de undă complet de neînțeles numit undă sinusoidală, care nu are nicio asemănare externă nici cu un cerc, nici cu triunghiuri.

Mai mult, unghiurile se măsoară fie în grade, fie în radiani, iar numărul Pi, scris simplu ca 3,14 (fără unități), din anumite motive apare în formule, corespunzător la 180 de grade. Cum sunt toate acestea legate?

Unități de măsură

De ce Pi este exact 3.14? Îți amintești care este acest sens? Acesta este numărul de raze care se potrivesc într-un arc pe jumătate de cerc. Dacă diametrul cercului este de 2 centimetri, circumferința va fi 3,14 * 2 sau 6,28.

Al doilea punct: este posibil să fi observat asemănarea dintre cuvintele „radian” și „rază”. Faptul este că un radian este numeric egal cu unghiul luat de la centrul cercului la un arc lung de o rază.

Acum vom combina cunoștințele dobândite și vom înțelege de ce „Pi în jumătate” este scris în partea de sus a axei de coordonate în trigonometrie, iar „Pi” este scris în stânga. Aceasta este o valoare unghiulară măsurată în radiani, deoarece un semicerc are 180 de grade sau 3,14 radiani. Și acolo unde sunt grade, sunt sinusuri și cosinusuri. Este ușor să desenați un triunghi din punctul dorit, lăsând deoparte segmente spre centru și către axa de coordonate.

Să privim în viitor

Trigonometria, studiată la școală, se ocupă de un sistem de coordonate rectiliniu, unde, oricât de ciudat ar suna, o linie dreaptă este o linie dreaptă.

Dar există mai mult moduri complexe lucrul cu spațiul: suma unghiurilor triunghiului de aici va fi mai mare de 180 de grade, iar linia dreaptă din punctul nostru de vedere va arăta ca un arc real.

Să trecem de la cuvinte la fapte! Luați un măr. Faceți trei tăieturi cu un cuțit, astfel încât, privit de sus, să obțineți un triunghi. Scoateți bucata de măr rezultată și priviți „coastele” unde se termină coaja. Nu sunt drepte deloc. Fructul din mâinile tale poate fi numit în mod convențional rotund, dar acum imaginează-ți cât de complexe trebuie să fie formulele cu care poți găsi zona piesei tăiate. Dar unii specialiști rezolvă astfel de probleme în fiecare zi.

Funcții trigonometrice în viață

Ați observat că cea mai scurtă rută pentru un avion de la punctul A la punctul B de pe suprafața planetei noastre are o formă de arc pronunțată? Motivul este simplu: Pământul este sferic, ceea ce înseamnă că nu poți calcula prea mult folosind triunghiuri - trebuie să folosești formule mai complexe.

Nu te poți lipsi de sinusul/cosinusul unui unghi ascuțit în orice întrebare legată de spațiu. Este interesant că aici se reunesc o mulțime de factori: funcțiile trigonometrice sunt necesare atunci când se calculează mișcarea planetelor de-a lungul cercurilor, elipselor și diferitelor traiectorii de forme mai complexe; procesul de lansare de rachete, sateliți, navete, dezaocare vehicule de cercetare; observând stelele îndepărtate și studiind galaxii la care oamenii nu le vor putea ajunge în viitorul apropiat.

În general, domeniul de activitate pentru o persoană care cunoaște trigonometria este foarte larg și, aparent, se va extinde doar în timp.

Concluzie

Astăzi am aflat, sau măcar am repetat, ce sunt sinusul și cosinusul. Acestea sunt concepte de care nu trebuie să vă fie frică - doriți doar să le doriți și le veți înțelege semnificația. Amintiți-vă că trigonometria nu este un scop, ci doar un instrument care poate fi folosit pentru a satisface nevoile umane reale: construiți case, asigurați siguranța traficului, chiar explorați vastitatea universului.

Într-adevăr, știința în sine poate părea plictisitoare, dar de îndată ce găsești în ea o modalitate de a-ți atinge propriile obiective și de autorealizare, procesul de învățare va deveni interesant, iar motivația ta personală va crește.

Pentru teme, încercați să găsiți modalități de a aplica funcții trigonometrice într-o zonă de interes care vă interesează personal. Imaginează-ți, folosește-ți imaginația și atunci probabil vei descoperi că noile cunoștințe îți vor fi utile în viitor. Și în plus, matematica este utilă pentru dezvoltare generală gândire.

Conceptele de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt principalele categorii ale trigonometriei, o ramură a matematicii și sunt indisolubil legate de definiția unghiului. Stăpânirea acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. Acesta este motivul pentru care calculele trigonometrice provoacă adesea dificultăți pentru școlari și elevi. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați mai mult cu funcțiile și formulele trigonometrice.

Concepte în trigonometrie

A intelege concepte de bază trigonometrie, trebuie mai întâi să decideți ce sunt un triunghi dreptunghic și un unghi dintr-un cerc și de ce toate calculele trigonometrice de bază sunt asociate acestora. Un triunghi în care unul dintre unghiuri măsoară 90 de grade este dreptunghiular. Din punct de vedere istoric, această cifră a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă și astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei figuri, oamenii au ajuns să calculeze rapoartele corespunzătoare ale parametrilor ei.

Principalele categorii asociate triunghiurilor dreptunghic sunt ipotenuza și catetele. Ipotenuza este latura unui triunghi opusă unghiului drept. Picioarele, respectiv, sunt celelalte două laturi. Suma unghiurilor oricăror triunghiuri este întotdeauna de 180 de grade.

Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care nu este studiată în școală, dar în științe aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. Particularitatea unui triunghi în trigonometria sferică este că are întotdeauna o sumă de unghiuri mai mare de 180 de grade.

Unghiurile unui triunghi

Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus unghiului dorit și ipotenuza triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza. Ambele valori au întotdeauna o magnitudine mai mică decât unu, deoarece ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetul.

Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă a unghiului dorit, sau sinus la cosinus. Cotangenta, la rândul său, este raportul dintre latura adiacentă unghiului dorit și latura opusă. Cotangenta unui unghi se poate obține și prin împărțirea unuia la valoarea tangentei.

Cercul unitar

Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Un astfel de cerc este construit într-un sistem de coordonate carteziene, cu centrul cercului coincizând cu punctul de origine, iar poziția inițială a vectorului rază este determinată de-a lungul direcției pozitive a axei X (axa absciselor). Fiecare punct de pe cerc are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele abscisei și ordonatei. Selectând orice punct al cercului în planul XX și scăzând o perpendiculară din acesta pe axa absciselor, obținem un triunghi dreptunghic format din raza către punctul selectat (notat cu litera C), perpendiculara trasată pe axa X. (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar segmentul axa absciselor se află între originea coordonatelor (punctul este desemnat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul rezultat ACG este un triunghi dreptunghic înscris în un cerc, unde AG este ipotenuza, iar AC și GC sunt catetele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei absciselor cu denumirea AG este definit ca α (alfa). Deci, cos α = AG/AC. Având în vedere că AC este raza cercului unitar și este egală cu unu, rezultă că cos α=AG. La fel, sin α=CG.

În plus, cunoscând aceste date, puteți determina coordonatele punctului C pe cerc, deoarece cos α=AG și sin α=CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonatele date (cos α;sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tan α = y/x, iar cot α = x/y. Luând în considerare unghiurile într-un sistem de coordonate negativ, puteți calcula că valorile sinusului și cosinusului unor unghiuri pot fi negative.

Calcule și formule de bază

Valorile funcției trigonometrice

Având în vedere esența funcțiilor trigonometrice prin cercul unitar, putem deriva valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt enumerate în tabelul de mai jos.

Cele mai simple identități trigonometrice

Ecuațiile în care există o valoare necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numesc trigonometrice. Identități cu valoarea sin x = α, k - orice număr întreg:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identități cu valoarea cos x = a, unde k este orice număr întreg:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identități cu valoarea tg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identități cu valoarea ctg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formule de reducere

Această categorie de formule constante denotă metode prin care puteți trece de la funcții trigonometrice de formă la funcții de argument, adică reduceți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentele unui unghi de orice valoare la indicatorii corespunzători ai unghiului interval de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare ușurință de calcul.

Formulele pentru funcțiile de reducere pentru sinusul unui unghi arată astfel:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pentru cosinusul unghiului:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π/2 ± a) sau (3π/2 ± a), valoarea funcției se modifică:

• de la sin la cos;
• de la cos la sin;
• de la tg la ctg;
• de la ctg la tg.

Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).

În al doilea rând, semnul funcției reduse nu se schimbă: dacă a fost inițial pozitiv, așa rămâne. La fel și cu funcțiile negative.

Formule de adunare

Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sumei și diferenței a două unghiuri de rotație prin funcțiile lor trigonometrice. De obicei, unghiurile sunt notate ca α și β.

Formulele arată astfel:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β.

Formule cu unghi dublu și triplu

Formulele trigonometrice cu unghi dublu și triplu sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α la funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formule de adunare:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Trecerea de la sumă la produs

Considerând că 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. În mod similar sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Trecerea de la produs la sumă

Aceste formule decurg din identitățile tranziției unei sume la un produs:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule de reducere a gradului

În aceste identități, puterile pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinusului primei puteri a unui unghi multiplu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substituție universală

Formulele pentru substituția trigonometrică universală exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), cu x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), unde x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), unde x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), cu x = π + 2πn.

Cazuri speciale

Cazuri speciale de protozoare ecuații trigonometrice sunt date mai jos (k este orice număr întreg).

Coeficiente pentru sinus:

Valoarea sin x	valoarea x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk sau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk sau -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk sau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk sau -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk sau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk sau -2π/3 + 2πk

Coeficienti pentru cosinus:

valoarea cos x	valoarea x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Coeficienti pentru tangenta:

valoarea tg x	valoarea x
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Coeficienti pentru cotangente:

valoarea ctg x	valoarea x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoreme

Teorema sinusurilor

Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. Teorema sinusului simplu: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. În acest caz, a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, α, β, γ sunt unghiurile opuse.

Teorema sinusului extins pentru un triunghi arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. În această identitate, R denotă raza cercului în care este înscris triunghiul dat.

Teorema cosinusului

Identitatea este afișată astfel: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. În formula, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul opus laturii a.

Teorema tangentei

Formula exprimă relația dintre tangentele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse acestora. Laturile sunt etichetate a, b, c, iar unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangentei: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema cotangentei

Leagă raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor sale. Dacă a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, A, B, C sunt unghiurile opuse acestora, r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul triunghiului, următoarele identitățile sunt valabile:

• cot A/2 = (p-a)/r;
• cot B/2 = (p-b)/r;
• cot C/2 = (p-c)/r.

Aplicație

Trigonometria nu este doar o știință teoretică asociată cu formulele matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt utilizate în practică de diverse industrii. activitatea umană— astronomie, navigație aeriană și maritimă, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucrări de măsurare; grafica pe computer, cartografie, oceanografie și multe altele.

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora se pot exprima matematic relațiile dintre unghiurile și lungimile laturilor dintr-un triunghi și se pot găsi mărimile necesare prin identități, teoreme și reguli.

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD|
- lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.

α este unghiul exprimat în radiani. Tangenta () tan α - Asta functie trigonometrica

, în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB|

la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă Unde n

- întreg.
.
;
;
.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:

Graficul funcției tangente, y = tan x

Tangentă Unde n

Cotangentă
.
În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:
;
;
.

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate Funcțiile y = tg x și y = ctg x

sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Unde Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel (

	- întreg). Funcțiile y =	- întreg). și y =
y =
Domeniul de aplicare și continuitatea	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Gama de valori		-
În creștere	-
Descendent	-	-
Extreme 0
Zerouri, y = 0	- întreg). 0	-

Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x =

Formule

; ;
; ;
;

Expresii folosind sinus și cosinus

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

;
;

Expresii prin funcții hiperbolice

; .

.
Derivate
.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:

Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >> >>

Integrale

Extinderi de serie Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii în serie de putere pentru funcțiiŞi sin x cos x

și împărțiți aceste polinoame între ele, .

Aceasta produce următoarele formule.
La . la . Unde
;
;
Bn
- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:

Unde .

Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente. Unde n

Arctangent, arctg

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente. Unde n

, Unde
Arccotangent, arcctg
Literatura folosita: