Rezolvarea sistemelor de inegalități logaritmice și exponențiale cu un tutore.

Crezi că mai este timp până la Examenul Unificat de Stat și vei avea timp să te pregătești? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât un student începe mai devreme pregătirea, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține credit suplimentar.

Știți deja ce este un logaritm? Chiar sperăm că da. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Înțelegerea a ceea ce este un logaritm este foarte simplă.

De ce 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la această putere pentru a obține 81. Odată ce înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.

Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci le-ai întâlnit constant la matematică. Dacă aveți probleme în rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum că ne-am familiarizat cu conceptele în mod individual, să trecem la luarea în considerare a acestora în general.

Cea mai simplă inegalitate logaritmică.

Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu, există încă trei, doar cu semne diferite. De ce este necesar acest lucru? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitățile cu logaritmi. Acum să dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu, vom lăsa inegalitățile logaritmice complexe pentru mai târziu.

Cum să rezolvi asta? Totul începe cu ODZ. Merită să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.

Ce este ODZ? ODZ pentru inegalitățile logaritmice

Abrevierea reprezintă intervalul de valori acceptabile. Această formulare apare adesea în sarcinile pentru examenul de stat unificat. ODZ vă va fi de folos nu numai în cazul inegalităților logaritmice.

Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar rezolvarea inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția unui logaritm rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.

Acest număr, prin definiție, trebuie să fie pozitiv. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la cea mai simplă soluție inegalitatea logaritmică.

Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Cu ce ​​ne rămâne ca rezultat? Inegalitate simplă.

Nu este greu de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute într-un sistem. Astfel,

Acesta va fi intervalul de valori acceptabile pentru inegalitatea logaritmică luată în considerare.

De ce avem nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită amintit mult timp, deoarece în examenul de stat unificat este adesea nevoie de căutarea ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice

Soluția constă din mai multe etape. În primul rând, trebuie să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două semnificații în ODZ, despre care am discutat mai sus. În continuare trebuie să rezolvăm inegalitatea în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:

• metoda de înlocuire a multiplicatorului;
• descompunere;
• metoda de raționalizare.

În funcție de situație, merită să utilizați una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Să dezvăluim cea mai populară metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor de examinare unificată de stat în aproape toate cazurile. În continuare ne vom uita la metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de complicată. Deci, un algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice.

Exemple de soluții :

Nu degeaba am luat exact această inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același atunci când găsiți intervalul de valori acceptabile; în caz contrar, trebuie să schimbați semnul inegalității.

Ca rezultat, obținem inegalitatea:

Acum vă prezentăm partea stângă la forma ecuației egală cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât” punem „egal” și rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că cu o soluție la asta ecuație simplă nu vei avea probleme. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe grafic, plasând „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.

Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.

Am găsit intervalul de valori acceptabile doar pentru partea stângă; acum trebuie să găsim intervalul de valori acceptabile pentru partea dreaptă. Acest lucru este mult mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone rezultate.

Și abia acum începem să abordăm inegalitatea în sine.

Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de rezolvat.

Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule; totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.

Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.

Soluţie ecuații logaritmiceşi inegalităţile cu din diferite motive presupune o reducere iniţială la o bază. Apoi, utilizați metoda descrisă mai sus. Dar există un caz mai complicat. Să luăm în considerare unul dintre cele mai complexe tipuri de inegalități logaritmice.

Inegalități logaritmice cu bază variabilă

Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și astfel de persoane pot fi găsite în examenul de stat unificat. Rezolvarea inegalităților în felul următor vă va aduce, de asemenea, beneficii proces educațional. Să ne uităm la problema în detaliu. Să renunțăm la teoria și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.

Pentru a rezolva inegalitatea logaritmică a formei prezentate, este necesar să se dea partea dreaptă la un logaritm cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.

De fapt, tot ce rămâne este să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmăriți modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.

Când utilizați metoda raționalizării la rezolvarea inegalităților, trebuie să vă amintiți următoarele: unul trebuie să fie scăzut din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta de la stânga), două expresii sunt înmulțite și pus sub semnul original în raport cu zero.

Soluția ulterioară se realizează folosind metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.

Există multe nuanțe în inegalitățile logaritmice. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum le poți rezolva pe fiecare fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați în mod constant rezolvarea unei varietăți de probleme în cadrul examenului și veți putea obține cel mai mare scor. Mult succes în sarcina ta grea!

O inegalitate se numește logaritmică dacă conține o funcție logaritmică.

Metodele de rezolvare a inegalităților logaritmice nu sunt diferite de, cu excepția a două lucruri.

În primul rând, când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, ar trebui urmați semnul inegalității rezultate. Se supune următoarei reguli.

Dacă baza funcției logaritmice este mai mare de $1$, atunci când treceți de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, semnul inegalității se păstrează, dar dacă este mai mic de $1$, atunci se schimbă la opus .

În al doilea rând, soluția oricărei inegalități este un interval și, prin urmare, la sfârșitul rezolvării inegalității funcțiilor sublogaritmice este necesar să se creeze un sistem de două inegalități: prima inegalitate a acestui sistem va fi inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, iar al doilea va fi intervalul domeniului de definire a funcţiilor logaritmice incluse în inegalitatea logaritmică.

Practica.

Să rezolvăm inegalitățile:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritmului este $2>1$, deci semnul nu se schimbă. Folosind definiția logaritmului, obținem:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )