Definiţie. Prismă este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane se află două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile paralele corespunzătoare, iar toate muchiile care nu se află în aceste plane sunt paralele.

Două fețe egale sunt numite baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Toate fețele laterale se formează suprafata laterala a prismei .

Toate fețele laterale ale prismei sunt paralelograme .

Marginile care nu se află la baze se numesc marginile laterale ale prismei ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prismei este un segment ale cărui capete sunt două vârfuri ale unei prisme care nu se află pe aceeași față (AD 1).

Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .

Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea parcurgerii, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile alteia; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, doar vârfurile aflate într-o singură bază. sunt desemnate prin litere fără index, iar în celălalt - cu index)

Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1 există un pentagon la bază, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar pentru că o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe - bazele prismei, 5 fețe - paralelograme, - fețele sale laterale)

Dintre prismele drepte se remarcă vedere privată: prisme corecte.

Se numește prismă dreaptă corecta, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

Paralelipiped

Paralepiped dreptunghiular- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.

Proprietăți și teoreme:

,

unde d este diagonala pătratului;
a este latura pătratului.

O idee a unei prisme este dată de:

• diverse structuri arhitecturale;
• jucării pentru copii;
• cutii de ambalare;
• articole de designer etc.

Aria suprafeței totale și laterale a prismei

S plin = S lateral + 2S principal,

Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S baza- suprafata de baza

Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

partea S= P de bază * h,

Unde partea S-aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,

P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,

h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.

Volumul prismei

Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Definiţie.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale

Coastă laterală- este latura comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei- acesta este un segment perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt indicate prin literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețe laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare fiind dreptunghi
• Suprafața laterală - suma ariilor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Nerve laterale AA 1, BB 1, CC 1 și DD 1.
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secțiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2.

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Fețele laterale sunt dreptunghiuri
• Marginile laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• Unghiuri de secțiune perpendiculară - drepte
• Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află un poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică, o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patrulatere regulate) Nota. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (secțiunea stereometrie - prismă). Iată probleme care sunt greu de rezolvat. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. Pentru a indica acțiunea de recuperare rădăcină pătrată simbolul este folosit în rezolvarea problemelor√ .

Sarcină.

Diagonala unei prisme regulate se formează cu diagonala bazei și înălțimea prismei triunghi dreptunghic. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătrangulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Soluţie.
Deoarece baza unei prisme pătraunghiulare obișnuite este un pătrat, găsim latura bazei (notată cu a) folosind teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Prismă. Paralelipiped

Prismă este un poliedru ale cărui două fețe sunt n-goni egale (baze) , situate în planuri paralele, iar cele n fețe rămase sunt paralelograme (fețele laterale) . Coastă laterală a unei prisme este latura feței laterale care nu aparține bazei.

O prismă ale cărei margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor se numește direct prismă (fig. 1). Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe planurile bazelor, atunci se numește prisma înclinat . Corecta O prismă este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt poligoane regulate.

Înălţime prisma este distanța dintre planele bazelor. Diagonală O prismă este un segment care leagă două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe. Secțiune diagonală se numește secțiune a unei prisme printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe. Secțiune perpendiculară se numește secțiune a unei prisme de un plan perpendicular pe marginea laterală a prismei.

Suprafata laterala a unei prisme este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor prismei (adică suma ariilor fețelor laterale și a ariilor bazelor).

Pentru o prismă arbitrară următoarele formule sunt adevărate::

Unde l– lungimea coastei laterale;

H- inaltimea;

P

Q

partea S

S plin

S baza– zona bazelor;

V– volumul prismei.

Pentru o prismă dreaptă următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

l– lungimea coastei laterale;

H- înălțime.

paralelipiped numită prismă a cărei bază este un paralelogram. Se numește paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe baze direct (Fig. 2). Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește paralelipiped înclinat . Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește dreptunghiular. Se numește paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale cub

Se numesc fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune opus . Lungimile muchiilor care emană de la un vârf se numesc măsurători paralelipiped. Deoarece un paralelipiped este o prismă, elementele sale principale sunt definite în același mod în care sunt definite pentru prisme.

Teoreme.

1. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și îl bisectează.

2. Într-un paralelipiped dreptunghic, pătratul lungimii diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale:

3. Toate cele patru diagonale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele.

Pentru un paralelipiped arbitrar sunt valabile următoarele formule:

Unde l– lungimea coastei laterale;

H- inaltimea;

P– perimetrul secțiunii perpendiculare;

Q– Aria secțiunii transversale perpendiculare;

partea S– suprafata laterala;

S plin– suprafata totala;

S baza– zona bazelor;

V– volumul prismei.

Pentru un paralelipiped drept următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

l– lungimea coastei laterale;

H– înălțimea unui paralelipiped drept.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular sunt corecte următoarele formule:

(3)

Unde p– perimetrul de bază;

H- inaltimea;

d– diagonala;

a,b,c– măsurători ale unui paralelipiped.

Următoarele formule sunt corecte pentru un cub:

Unde o– lungimea coastei;

d- diagonala cubului.

Exemplul 1. Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular este de 33 dm, iar dimensiunile lui sunt în raportul 2: 6: 9. Aflați dimensiunile paralelipipedului.

Soluţie. Pentru a afla dimensiunile paralelipipedului, folosim formula (3), i.e. prin faptul că pătratul ipotenuzei unui cuboid este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia. Să notăm prin k factor de proporționalitate. Atunci dimensiunile paralelipipedului vor fi egale cu 2 k, 6kși 9 k. Să scriem formula (3) pentru datele problemei:

Rezolvarea acestei ecuații pentru k, obținem:

Aceasta înseamnă că dimensiunile paralelipipedului sunt de 6 dm, 18 dm și 27 dm.

Răspuns: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Exemplul 2. Aflați volumul unei prisme triunghiulare înclinate, a cărei bază este un triunghi echilateral cu latura de 8 cm, dacă marginea laterală este egală cu latura bazei și înclinată la un unghi de 60º față de bază.

Soluţie . Să facem un desen (Fig. 3).

Pentru a găsi volumul prismă înclinată este necesar să cunoașteți zona bazei și înălțimea acesteia. Aria bazei acestei prisme este aria unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm Să o calculăm:

Înălțimea unei prisme este distanța dintre bazele sale. De sus O 1 al bazei superioare, coborâți perpendiculara pe planul bazei inferioare O 1 D. Lungimea sa va fi înălțimea prismei. Luați în considerare D O 1 AD: deoarece acesta este unghiul de înclinare al marginii laterale O 1 O la planul de bază, O 1 O= 8 cm Din acest triunghi găsim O 1 D:

Acum calculăm volumul folosind formula (1):

Răspuns: 192 cm 3.

Exemplul 3. Marginea laterală a unei prisme hexagonale obișnuite este de 14 cm Aria celei mai mari secțiuni diagonale este de 168 cm 2. Aflați aria suprafeței totale a prismei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 4)

Cea mai mare secțiune diagonală este un dreptunghi A.A. 1 DD 1 din diagonală AD hexagon obișnuit ABCDEF este cel mai mare. Pentru a calcula suprafața laterală a prismei, este necesar să cunoașteți latura bazei și lungimea marginii laterale.

Cunoscând aria secțiunii diagonale (dreptunghi), găsim diagonala bazei.

De atunci

De atunci AB= 6 cm.

Atunci perimetrul bazei este:

Să găsim aria suprafeței laterale a prismei:

Aria unui hexagon regulat cu latura de 6 cm este:

Aflați aria suprafeței totale a prismei:

Răspuns:

Exemplul 4. Baza paralelipipedului drept este un romb. Aria secțiunii transversale diagonale sunt de 300 cm2 și 875 cm2. Aflați aria suprafeței laterale a paralelipipedului.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 5).

Să notăm latura rombului cu O, diagonalele unui romb d 1 și d 2, înălțimea paralelipipedului h. Pentru a găsi aria suprafeței laterale a unui paralelipiped drept, este necesar să înmulțiți perimetrul bazei cu înălțimea: (formula (2)). Perimetrul de bază p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, pentru că ABCD- romb H = AA 1 = h. Că. Trebuie să găsești OŞi h.

Să luăm în considerare secțiunile diagonale. AA 1 SS 1 – un dreptunghi, a cărui latură este diagonala unui romb AC = d 1, a doua – marginea laterală AA 1 = h, Atunci

La fel și pentru secțiune BB 1 DD 1 obținem:

Folosind proprietatea unui paralelogram astfel încât suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor sale, obținem egalitatea Obținem următoarele.