Graficul funcției y arcsin x. Ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arctangent, arccotangent

Este prezentată o metodă de derivare a formulelor pentru funcțiile trigonometrice inverse. Se obțin formule pentru argumente negative și expresii care raportează arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Este indicată o metodă pentru derivarea formulelor pentru suma arcsinusurilor, arccosinusului, arctangentelor și arccotangentelor.

Formule de bază

Derivarea formulelor pentru funcțiile trigonometrice inverse este simplă, dar necesită control asupra valorilor argumentelor funcțiilor directe. Acest lucru se datorează faptului că funcțiile trigonometrice sunt periodice și, prin urmare, funcțiile lor inverse sunt multivalorice. Dacă nu se specifică altfel, funcțiile trigonometrice inverse înseamnă valorile lor principale. Pentru a determina valoarea principală, domeniul de definire al funcției trigonometrice este restrâns la intervalul peste care este monotonă și continuă. Derivarea formulelor pentru funcțiile trigonometrice inverse se bazează pe formulele funcțiilor trigonometrice și pe proprietățile funcțiilor inverse ca atare. Proprietățile funcțiilor inverse pot fi împărțite în două grupe.

Primul grup include formule care sunt valabile în întregul domeniu de definire a funcțiilor inverse:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arcctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Al doilea grup include formule care sunt valabile numai pe setul de valori ale funcțiilor inverse.
arcsin(sin x) = x la
arccos(cos x) = x la
arctan(tg x) = x la
arcctg(ctg x) = x la

Dacă variabila x nu se încadrează în intervalul de mai sus, atunci ar trebui redusă la el folosind formulele funcțiilor trigonometrice (în continuare n este un număr întreg):
sin x = sin(- x-π); sin x = sin(π-x); sin x = sin(x+2 πn);
cos x = cos(-x); cos x = cos(2 π-x); cos x = cos(x+2 πn);
tan x = tan(x+πn); cot x = cot(x+πn)

De exemplu, dacă se știe că
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Este ușor de verificat că atunci când π - x se încadrează în intervalul dorit. Pentru a face acest lucru, înmulțiți cu -1: și adăugați π: sau Totul este corect.

Funcții inverse ale argumentului negativ

Aplicând formulele de mai sus și proprietățile funcțiilor trigonometrice, obținem formule pentru funcțiile inverse ale unui argument negativ.

arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Deoarece înmulțind cu -1, avem: sau
Argumentul sinus se încadrează în intervalul permis al intervalului arcsinus. Prin urmare formula este corectă.

Același lucru pentru alte funcții.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Exprimarea arcsinus prin arccosinus și arctangente prin arccotangent

Să exprimăm arcsinus în termeni de arccosinus.

Formula este valabilă atunci când Aceste inegalităţi sunt satisfăcute deoarece

Pentru a verifica acest lucru, înmulțiți inegalitățile cu -1: și adăugați π/2: sau Totul este corect.

În mod similar, exprimăm arctangentei prin arccotangente.

Exprimarea arcsinus prin arctangent, arccosinus prin arccotangent și invers

Procedăm într-un mod similar.

Formule de sumă și diferență

În mod similar, obținem formula pentru suma arcsinusurilor.

Să stabilim limitele de aplicabilitate ale formulei. Pentru a nu ne ocupa de expresii greoaie, introducem următoarea notație: X = arcsin x, Y = arcsin y.
Formula este aplicabilă atunci când . Mai remarcăm că, din moment ce arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, apoi cu diferite semne ale lui x și y, X și Y de asemenea

semn diferit > 0 şi prin urmare inegalităţile sunt satisfăcute. Condiția pentru diferite semne ale lui x și y poate fi scrisă ca o singură inegalitate: . > 0 Adică atunci când formula este valabilă. > 0 Acum luați în considerare cazul x > 0 și y 0 , sau X
;
;
;
.
și Y
;
.
. Atunci condiția de aplicabilitate a formulei este satisfacerea inegalității: .:
;
;
;
.

Deci, formula rezultată este valabilă pentru sau .

Acum luați în considerare cazul x > 0, y > 0 și x 2 + y 2 > 1 .

Aici argumentul sinus ia următoarele valori: .

Trebuie adus la intervalul regiunii valorii arcsinus:

Aşa,

la i.
Înlocuind x și y cu - x și - y, avem

Trebuie adus la intervalul regiunii valorii arcsinus:
la i.

Trebuie adus la intervalul regiunii valorii arcsinus:

Efectuăm transformările:

Sau

Deci, am obținut următoarele expresii pentru suma arcsinurilor:

la sau ;

la și ;

la și .

Funcțiile sin, cos, tg și ctg sunt întotdeauna însoțite de arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Una este o consecință a celeilalte, iar perechile de funcții sunt la fel de importante pentru lucrul cu expresii trigonometrice.

Luați în considerare un desen al unui cerc unitar, care afișează grafic valorile funcțiilor trigonometrice. Dacă calculăm arcele OA, arcos OC, arctg DE și arcctg MK, atunci toate vor fi egale cu valoarea unghiului α. Formulele de mai jos reflectă relația dintre funcțiile trigonometrice de bază și arcele lor corespunzătoare.

Pentru a înțelege mai multe despre proprietățile arcsinusului, este necesar să luăm în considerare funcția acestuia. Programa

are forma unei curbe asimetrice care trece prin centrul de coordonate. Proprietățile arcsinusului: Dacă comparăm graficele păcatŞi

arcsin

, două funcții trigonometrice pot avea modele comune.

arc cosinus Arccos al unui număr este valoarea unghiului α, al cărui cosinus este egal cu a. Curba

y = arcos x

1. oglindește graficul arcsin x, singura diferență fiind că trece prin punctul π/2 de pe axa OY.
2. Să ne uităm la funcția arc cosinus mai detaliat:
3. Funcția este definită pe intervalul [-1; 1].
4. ODZ pentru arccos - .
5. Graficul este situat în întregime în primul și al doilea trimestru, iar funcția în sine nu este nici pară, nici impară.

Y = 0 la x = 1.

Curba scade pe toată lungimea sa. Unele proprietăți ale arcului cosinus coincid cu funcția cosinus. Unele proprietăți ale arcului cosinus coincid cu funcția cosinus. Poate că școlarii vor considera inutil un astfel de studiu „detaliat” al „arcadelor”. Cu toate acestea, în rest, unele tipice de bază

Teme de examen de stat unificat poate duce elevii în confuzie.

Sarcina 1. Indicați funcțiile prezentate în figură.

Răspuns:

orez. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

În acest exemplu, accentul este pus pe lucrurile mărunte. De obicei, elevii sunt foarte neatenți la construcția graficelor și la aspectul funcțiilor. Într-adevăr, de ce să ne amintim tipul de curbă dacă poate fi întotdeauna trasată folosind puncte calculate. Nu uitați că, în condiții de testare, timpul alocat desenului pentru o sarcină simplă va fi necesar pentru a rezolva sarcini mai complexe. Arctangent

Dacă luăm în considerare graficul arctangent, putem evidenția următoarele proprietăți:

1. Graficul este infinit și definit pe intervalul (- ∞; + ∞).
2. Arctangent funcţie ciudată, prin urmare, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 la x = 0.
4. Curba crește pe întregul interval de definire.

Iată un scurt analiză comparativă tg x și arctg x sub formă de tabel.

Arccotangent

Arcctg al unui număr - ia o valoare α din intervalul (0; π) astfel încât cotangenta sa este egală cu a.

Proprietățile funcției arc cotangente:

1. Intervalul de definire a funcției este infinit.
2. Gama de valori acceptabile este intervalul (0; π).
3. F(x) nu este nici par, nici impar.
4. Pe toată lungimea sa, graficul funcției scade.

Este foarte simplu să compari ctg x și arctg x trebuie doar să faci două desene și să descrii comportamentul curbelor.

Sarcina 2. Potriviți graficul și forma de notație a funcției.

Dacă gândim logic, din grafice este clar că ambele funcții sunt în creștere. Prin urmare, ambele figuri afișează o anumită funcție arctan. Din proprietățile arctangentei se știe că y=0 la x = 0,

Sarcina 1. orez. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Identități trigonometrice arcsin, arcos, arctg și arcctg

Anterior, am identificat deja relația dintre arcade și funcțiile de bază ale trigonometriei. Această dependență poate fi exprimat printr-un număr de formule care vă permit să exprimați, de exemplu, sinusul unui argument prin arcsinus, arccosinus sau invers. Cunoașterea unor astfel de identități poate fi utilă atunci când rezolvați exemple specifice.

Există, de asemenea, relații pentru arctg și arcctg:

O altă pereche utilă de formule stabilește valoarea pentru suma arcsin și arcos, precum și arcctg și arcctg ale aceluiași unghi.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcinile de trigonometrie pot fi împărțite în patru grupe: calculați valoarea numerică a unei anumite expresii, construiți un grafic al unei anumite funcții, găsiți domeniul său de definiție sau ODZ și efectuați transformări analitice pentru a rezolva exemplul.

Când rezolvați primul tip de problemă, trebuie să respectați următorul plan de acțiune:

Când lucrați cu grafice de funcții, principalul lucru este cunoașterea proprietăților lor și aspect strâmb. Pentru a rezolva ecuații trigonometriceși inegalități, sunt necesare tabele de identitate. Cu cât un student își amintește mai multe formule, cu atât este mai ușor să găsești răspunsul la sarcină.

Să presupunem că în examenul de stat unificat trebuie să găsiți răspunsul pentru o ecuație precum:

Dacă transformăm corect expresia și ducem la tipul potrivit, apoi rezolvarea este foarte simplă și rapidă. Mai întâi, să mutăm arcsin x la partea dreaptă egalitate.

Dacă vă amintiți formula arcsin (sin α) = α, atunci putem reduce căutarea de răspunsuri la rezolvarea unui sistem de două ecuații:

Restricția modelului x a apărut, din nou, din proprietățile arcsinului: ODZ pentru x [-1; 1]. Când a ≠0, o parte a sistemului este ecuație pătratică cu rădăcinile x1 = 1 și x2 = - 1/a. Când a = 0, x va fi egal cu 1.

Sunt date definiții ale funcțiilor trigonometrice inverse și graficele acestora. Precum și formule care conectează funcții trigonometrice inverse, formule pentru sume și diferențe.

Definiția funcțiilor trigonometrice inverse

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse nu sunt unice. Deci, ecuația y = sin x, pentru un dat, are infinit de rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci așa este x + 2πn(unde n este un număr întreg) va fi, de asemenea, rădăcina ecuației. Astfel, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorice. Pentru a facilita lucrul cu ei, este introdus conceptul semnificațiilor lor principale. Luați în considerare, de exemplu, sinusul: y = sin x. sin x Dacă limităm argumentul x la intervalul , atunci pe el funcția y = crește monoton. Prin urmare, are un aspect lipsit de ambiguitate functie inversa arcsin y.

, care se numește arcsinus: x =

Dacă nu se specifică altfel, prin funcții trigonometrice inverse înțelegem valorile lor principale, care sunt determinate de următoarele definiții. Arcsin ( arcsin x) y = este funcția inversă a sinusului ( x =

siny Arcsin ( Arccosinus () arccos x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a cosinusului ( ca si

), având un domeniu de definiție și un set de valori. Arcsin ( Arctangent () arctan x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a tangentei ( ca si

tg y Arcsin ( arccotangent () arcctg x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a cotangentei ( ca si

ctg y

Grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse

Arcsin ( arcsin x

Arcsin ( Arccosinus (

Arcsin ( Arctangent (

Arcsin ( arccotangent (

Formule de bază

Graficele funcțiilor trigonometrice inverse se obțin din graficele funcțiilor trigonometrice prin reflexie în oglindă față de dreapta y = x.

arcsin(sin x) = x la
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x la
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x la
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x la
ctg(arcctg x) = x

Vezi secțiunile Sinus, cosinus, Tangent, cotangent.

Formule de sumă și diferență

Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

la sau

Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

la sau

la şi

la şi

la şi

la şi

la

la
Ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arctangent, arccotangent?
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.

Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...” Și pentru cei care „foarte mult...”) La concepte arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent Populația studențească este precaută. Nu înțelege acești termeni și, prin urmare, nu are încredere în această familie drăguță.) Dar degeaba. Acestea sunt concepte foarte simple. Care, apropo, ușurează enorm viața.

Îndoieli cu privire la simplitate? Degeaba.) Chiar aici și acum vei vedea asta.

Desigur, pentru înțelegere, ar fi bine să știm ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Da, valorile lor tabelare pentru unele unghiuri... Cel puțin în termenii cei mai generali. Atunci nici aici nu vor fi probleme.

Deci, suntem surprinși, dar amintiți-vă: arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent sunt doar câteva unghiuri. Nici mai mult, nici mai puțin. Există un unghi, să zicem 30°. Și există un colț arcsin0.4. Sau arctg(-1,3). Există tot felul de unghiuri.) Puteți scrie pur și simplu unghiurile în moduri diferite. Puteți scrie unghiul în grade sau radiani. Sau poți - prin sinus, cosinus, tangentă și cotangentă...

Ce înseamnă expresia

arcsin 0,4 ?

Acesta este unghiul al cărui sinus este 0,4! Da, da. Acesta este sensul arcsinusului. Voi repeta în mod specific: arcsin 0,4 este un unghi al cărui sinus este egal cu 0,4.

Asta e tot.

Pentru a păstra acest gând simplu în capul tău pentru o lungă perioadă de timp, voi oferi chiar o defalcare a acestui termen teribil - arcsinus:

arc Proprietățile arcsinusului: 0,4
colţ, sinusul căruia egal cu 0,4

Aşa cum este scris, aşa se aude.) Aproape. Prefix arc mijloace arc(cuvânt arcștii?), pentru că oamenii antici foloseau arcuri în loc de unghiuri, dar acest lucru nu schimbă esența problemei. Amintiți-vă de această decodare elementară a unui termen matematic! Mai mult, pentru arccosin, arctangent și arccotangent, decodificarea diferă doar prin numele funcției.

Ce este arccos 0.8?
Acesta este un unghi al cărui cosinus este 0,8.

Ce este arctg(-1,3)?
Acesta este un unghi a cărui tangentă este -1,3.

Ce este arcctg 12?
Acesta este un unghi a cărui cotangentă este 12.

O astfel de decodare elementară permite, de altfel, evitarea gafelor epice.) De exemplu, expresia arccos1,8 pare destul de respectabilă. Să începem decodarea: arccos1.8 este un unghi al cărui cosinus este egal cu 1.8... Salt-sări!? 1,8!? Cosinusul nu poate fi mai mare de unu!!!

Corect. Expresia arccos1,8 nu are sens. Și scrierea unei astfel de expresii într-un răspuns îl va amuza foarte mult pe inspector.)

Elementar, după cum puteți vedea.) Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus personal. Și aproape fiecare are propria sa tangentă și cotangentă. Prin urmare, cunoscând funcția trigonometrică, putem scrie unghiul în sine. Pentru asta sunt destinate arcsinus, arccosinus, arctangente și arccotangente. De acum înainte voi numi toată această familie printr-un nume diminutiv - arcade. Pentru a tasta mai puțin.)

Atenţie! verbale elementare și conştient descifrarea arcadelor vă permite să rezolvați cu calm și încredere o varietate de sarcini. Și în neobişnuit Ea este singura care salvează misiunile.

Este posibil să treceți de la arce la grade obișnuite sau radiani?- Aud o întrebare precaută.)

De ce nu!? Uşor. Puteți merge acolo și înapoi. Mai mult, uneori acest lucru trebuie făcut. Arcurile sunt un lucru simplu, dar este cumva mai calm fără ele, nu?)

De exemplu: ce este arcsin 0,5?

Să ne amintim decodarea: arcsin 0,5 este unghiul al cărui sinus este 0,5. Acum porniți-vă capul (sau Google)) și amintiți-vă ce unghi are sinusul de 0,5? Sinus este egal cu 0,5 y Unghi de 30 de grade. Asta este: arcsin 0,5 este un unghi de 30°. Puteți scrie în siguranță:

arcsin 0,5 = 30°

Sau, mai formal, în termeni de radiani:

Gata, puteți uita de arcsinus și continuați să lucrați cu grade sau radiani obișnuiți.

Daca ti-ai da seama ce este arcsinus, arccosinus... Ce este arctangent, arccotangent... Puteți face față cu ușurință, de exemplu, unui astfel de monstru.)

O persoană ignorantă va da înapoi îngrozită, da...) Dar o persoană informată amintiți-vă decodarea: arcsinus este unghiul al cărui sinus... Și așa mai departe. Dacă o persoană informată știe și tabelul sinusurilor... Tabelul cosinusurilor. Tabel de tangente și cotangente, atunci nu sunt deloc probleme!

Este suficient să realizezi că:

Îl voi descifra, adică Permiteți-mi să traduc formula în cuvinte: unghi a cărui tangentă este 1 (arctg1)- acesta este un unghi de 45°. Sau, ceea ce este același, Pi/4. De asemenea:

și gata... Înlocuim toate arcadele cu valori în radiani, totul se reduce, tot ce rămâne este să calculăm cât este 1+1. Va fi 2.) Care este răspunsul corect.

Acesta este modul în care puteți (și ar trebui) să treceți de la arcsinus, arccosinus, arctangente și arccotangente la grade și radiani obișnuiți. Acest lucru simplifică foarte mult exemplele înfricoșătoare!

Adesea, în astfel de exemple, în interiorul arcadelor există negativ sensuri. Ca, arctg(-1.3), sau, de exemplu, arccos(-0.8)... Aceasta nu este o problemă. Poftim formule simple trecerea de la valori negative la pozitive:

Trebuie, să zicem, să determinați valoarea expresiei:

Acest lucru poate fi rezolvat folosind cercul trigonometric, dar nu doriți să-l desenați. Oh bine. Ne mutam de la negativ valorile în interiorul arcului cosinus al lui k pozitiv conform celei de-a doua formule:

În interiorul arcului cosinus din dreapta este deja pozitiv sens. Ce

pur și simplu trebuie să știi. Tot ce rămâne este să înlocuiți radianii în loc de arc cosinus și să calculați răspunsul:

Asta este.

Restricții privind arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent.

Există o problemă cu exemplele 7 - 9? Ei bine, da, există un truc acolo.)

Toate aceste exemple, de la 1 la 9, sunt analizate cu atenție în Secțiunea 555. Ce, cum și de ce. Cu toate capcanele și trucurile secrete. Plus modalități de a simplifica dramatic soluția. Apropo, în această secțiune sunt multe informatii utile Dacă comparăm graficele sfaturi practice despre trigonometrie în general. Și nu numai în trigonometrie. Ajută foarte mult.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Lecție și prezentare pe tema: "Arcsinus. Tabelul arcsinusului. Formula y=arcsin(x)"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu

Ce vom studia:
1. Ce este arcsinus?
2. Notație arcsinuală.
3. Puțină istorie.
4. Definiție.

6. Exemple.

Ce este arcsinus?

Băieți, am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pentru cosinus, acum să învățăm cum să rezolvăm ecuații similare pentru sinus. Se consideră sin(x)= √3/2. Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să construiți o dreaptă y= √3/2 și să vedeți în ce puncte intersectează cercul numeric. Se poate observa că linia dreaptă intersectează cercul în două puncte F și G. Aceste puncte vor fi soluția ecuației noastre. Să redesemnăm F ca x1 și G ca x2. Am găsit deja soluția acestei ecuații și am obținut: x1= π/3 + 2πk,
și x2= 2π/3 + 2πk.

Rezolvarea acestei ecuații este destul de simplă, dar cum se rezolvă, de exemplu, ecuația
sin(x)= 5/6. Evident, această ecuație va avea și două rădăcini, dar ce valori vor corespunde soluției pe cercul numeric? Să aruncăm o privire mai atentă la ecuația noastră sin(x)= 5/6.
Soluția ecuației noastre va fi două puncte: F= x1 + 2πk și G= x2 ​​​​+ 2πk,
unde x1 este lungimea arcului AF, x2 este lungimea arcului AG.
Notă: x2= π - x1, deoarece AF= AC - FC, dar FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Dar care sunt aceste puncte?

Confruntați cu o situație similară, matematicienii au venit cu simbol nou– arcsin(x). Citiți ca arcsinus.

Apoi soluția ecuației noastre se va scrie după cum urmează: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Și soluția este vedere generală: x= arcsin(5/6) + 2πk și x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinus este unghiul (lungimea arcului AF, AG) sinus, care este egal cu 5/6.

O mică istorie a arcsinusului

Istoria originii simbolului nostru este exact aceeași cu cea a arccos. Simbolul arcsin apare pentru prima dată în lucrările matematicianului Scherfer și ale celebrului om de știință francez J.L. Lagrange. Ceva mai devreme, conceptul de arcsinus a fost considerat de D. Bernouli, deși l-a scris cu simboluri diferite.

Aceste simboluri au devenit general acceptate abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea. Prefixul „arc” provine din latinescul „arcus” (arc, arc). Acest lucru este destul de consistent cu sensul conceptului: arcsin x este un unghi (sau s-ar putea spune un arc) al cărui sinus este egal cu x.

Definiţia arcsine

Dacă |a|≤ 1, atunci arcsin(a) este un număr din segmentul [- π/2; π/2], al cărui sinus este egal cu a.

Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x)= a are o soluție: x= arcsin(a) + 2πk și
x= π - arcsin(a) + 2πk

Să rescriem:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Băieți, uitați-vă cu atenție la cele două soluții ale noastre. Ce părere aveți: pot fi notate folosind o formulă generală? Rețineți că dacă există un semn plus în fața arcsinusului, atunci π este înmulțit cu număr par 2πk, iar dacă semnul este minus, atunci multiplicatorul este impar 2k+1.
Ținând cont de acest lucru, notăm formula generală de rezolvare a ecuației sin(x)=a:

Există trei cazuri în care este de preferat să scrieți soluțiile într-un mod mai simplu:

sin(x)=0, atunci x= πk,

sin(x)=1, atunci x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, atunci x= -π/2 + 2πk.

Pentru orice -1 ≤ a ≤ 1 egalitatea este valabilă: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Să scriem tabelul cu valorile cosinusului în sens invers și să obținem un tabel pentru arcsinus.

Exemple

1. Calculați: arcsin(√3/2).
Rezolvare: Fie arcsin(√3/2)= x, apoi sin(x)= √3/2. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: x= π/3, deoarece sin(π/3)= √3/2 și –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Răspuns: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Calculați: arcsin(-1/2).
Rezolvare: Fie arcsin(-1/2)= x, apoi sin(x)= -1/2. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: x= -π/6, deoarece sin(-π/6)= -1/2 și -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Răspuns: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Calculați: arcsin(0).
Rezolvare: Fie arcsin(0)= x, apoi sin(x)= 0. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: înseamnă x= 0, deoarece sin(0)= 0 și - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Răspuns: arcsin(0)=0.

4. Rezolvați ecuația: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk și x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Să ne uităm la valoarea din tabel: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Răspuns: x= -π/4 + 2πk și x= 5π/4 + 2πk.

5. Rezolvați ecuația: sin(x) = 0.
Soluție: Să folosim definiția, apoi soluția va fi scrisă sub forma:
x= arcsin(0) + 2πk și x= π - arcsin(0) + 2πk. Să ne uităm la valoarea din tabel: arcsin(0)= 0.
Răspuns: x= 2πk și x= π + 2πk

6. Rezolvați ecuația: sin(x) = 3/5.
Soluție: Să folosim definiția, apoi soluția va fi scrisă sub forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk și x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Răspuns: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Rezolvați inegalitatea sin(x) Soluție: Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul numeric. Aceasta înseamnă: trebuie să găsim puncte a căror ordonată este mai mică de 0,7. Să desenăm o linie dreaptă y=0,7. Intersectează cercul numeric în două puncte. Inegalitatea y Atunci soluția inegalității va fi: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Probleme arcsinoase pentru rezolvare independentă

1) Calculați: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Rezolvați ecuația: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Rezolvați inegalitatea: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.