Unghiul dintre două linii drepte în spațiu. Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Şi , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numeste un vector paralel cu o dreapta ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă l trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, yŞi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem oficial ecuații canonice drept în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

Similar cu ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouŞi Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale liniei cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Şi . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul vectorial al vectorilor normali:

.

Exemplu. Dați ecuații generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepte

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Instrucţiuni

Vă rugăm să rețineți

Perioadă functie trigonometrica Tangenta este egala cu 180 de grade, ceea ce inseamna ca unghiurile de panta ale dreptelor nu pot depasi, in valoare absoluta, aceasta valoare.

Sfaturi utile

Dacă coeficienții unghiulari sunt egali între ei, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina valoarea unghiului dintre liniile care se intersectează, este necesar să mutați ambele linii (sau una dintre ele) într-o nouă poziție folosind metoda translației paralele până când se intersectează. După aceasta, ar trebui să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează rezultate.

vei avea nevoie

• Riglă, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instrucţiuni

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α dintre vectorii V și N este egal cu: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Pentru a calcula unghiul în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă față de cosinus din expresia rezultată, i.e. arccosin:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți colţîntre vector(5, -3, 8) și avion, dat ecuație generală 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiți toate valorile cunoscute în formula dată: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video pe tema

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. colţ. Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la un cerc AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Determinarea unghiului dintre tangente ( colţ ABC) se realizează folosind teorema lui Pitagora.

Instrucţiuni

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de pornire al tangentei de la centrul cercului - O. Deci, unghiurile ABO și ASO sunt egale, raza OB este, de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei folosind formula în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = rădăcină pătrată din AO2 – OB2 sau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Să fie date linii drepte în spațiu lŞi m. Prin un punct A al spațiului tragem linii drepte l 1 || lŞi m 1 || m(Fig. 138).

Rețineți că punctul A poate fi ales în mod arbitrar, poate fi situat pe una dintre aceste linii; Dacă drept lŞi m intersectează, atunci A poate fi luat drept punct de intersecție al acestor drepte ( l 1 = lŞi m 1 = m).

Unghiul dintre liniile neparalele lŞi m este valoarea celui mai mic dintre unghiurile adiacente formate din linii care se intersectează l 1 Şi m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Unghiul dintre liniile paralele este considerat egal cu zero.

Unghiul dintre liniile drepte lŞi m notat cu \(\widehat((l;m))\). Din definiție rezultă că dacă se măsoară în grade, atunci 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, iar dacă este în radiani, atunci 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Sarcină. Dat un cub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Aflați unghiul dintre liniile drepte AB și DC 1.

Încrucișarea liniilor drepte AB și DC 1. Deoarece linia dreaptă DC este paralelă cu dreapta AB, unghiul dintre liniile drepte AB și DC 1, conform definiției, este egal cu \(\widehat(C_(1)DC)\).

Prin urmare, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direct lŞi m sunt numite perpendicular, dacă \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. De exemplu, într-un cub

Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și în plan. Să notăm cu φ mărimea unghiului dintre drepte l 1 Şi l 2, iar prin ψ - mărimea unghiului dintre vectorii de direcție O Şi b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Evident, în ambele cazuri este adevărată egalitatea cos φ = |cos ψ|. Conform formulei (cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli a și b este egal cu produsul scalar al acestor vectori împărțit la produsul lungimilor lor) avem

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

prin urmare,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Și \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

Sarcina 1. Calculați unghiul dintre linii

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;şi\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vectorii de direcție ai liniilor drepte au coordonate:

a = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Folosind formula (1) găsim

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 60°.

Sarcina 2. Calculați unghiul dintre linii

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) și \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cazuri) $$

În spatele vectorului ghid O Pe prima linie luăm produsul vectorial al vectorilor normali n 1 = (3; 0; -12) și n 2 = (1; 1; -3) planuri care definesc această dreaptă. Folosind formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) obținem

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

În mod similar, găsim vectorul direcție al celei de-a doua drepte:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Dar folosind formula (1) calculăm cosinusul unghiului dorit:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 90°.

Sarcina 3.ÎN piramidă triunghiulară Marginile MABC MA, MB și MS sunt reciproc perpendiculare (Fig. 207);

lungimile lor sunt respectiv 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [MA]. Aflați unghiul φ dintre liniile CA și DB.

Fie CA și DB vectorii de direcție ai dreptelor CA și DB.

Să luăm punctul M ca origine a coordonatelor. Prin condiția ecuației avem A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prin urmare \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Să folosim formula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Folosind tabelul cosinus, aflăm că unghiul dintre liniile drepte CA și DB este de aproximativ 72°.

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte paralel dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e. l 1 paralelă l 2 dacă și numai dacă sunt paralele .

Două drepte perpendicular dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: .

U obiectiv între linie și plan

Să fie drept d- nu perpendicular pe planul θ;
d′− proiecția unei linii d la planul θ;
Cel mai mic unghi dintre liniile drepte dŞi d„vom suna unghiul dintre o linie dreaptă și un plan.
Să o notăm ca φ=( d,θ)
Dacă d⊥θ, atunci ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem de coordonate dreptunghiular.
Ecuația plană:

θ: Topor+De+Cz+D=0

Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: d[M 0,p→]
Vector n→(O,B,C)⊥θ
Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori n→ și p→, să-l notăm ca γ=( n→,p→).

Dacă unghiul γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Dacă unghiul este γ>π/2, atunci unghiul dorit este φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Apoi, unghiul dintre linie dreaptă și plan poate fi calculat folosind formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √O 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Întrebarea 29. Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnelor formelor pătratice.

Forma pătratică j (x 1, x 2, …, x n) n variabile reale x 1, x 2, …, x n se numește o sumă a formei
, (1)

Unde a ij – unele numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că a ij = a ji.

Forma pătratică se numește valabil, Dacă a ij Î GR. Matrice de formă pătratică se numește matrice formată din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde singurei matrice simetrice
Adică A T = A. În consecință, forma pătratică (1) poate fi scrisă în forma matriceală j ( X) = x T Ah, Unde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Și, invers, fiecărei matrice simetrice (2) îi corespunde o formă pătratică unică până la notarea variabilelor.

Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește nedegenerat, dacă matricea sa este nesingulară O. (amintim că matricea O se numeşte nedegenerat dacă determinantul său nu este egal cu zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.

definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă

j ( X) > 0 , pentru oricine X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu excepţia X = (0, 0, …, 0).

Matrice O forma patratică definită pozitivă j ( X) se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.

Forma pătratică (1) se numește definit negativ(sau strict negativ) dacă

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu excepția X = (0, 0, …, 0).

În mod similar ca mai sus, o matrice de formă pătratică definită negativă se mai numește și definită negativă.

În consecință, forma pătratică definită pozitivă (negativă) j ( X) atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 la X* = (0, 0, …, 0).

Rețineți că majoritatea formelor pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice dispar nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.

Când n> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica semnul unei forme pătratice. Să ne uităm la ele.

Minori majori forma pătratică se numesc minore:

adică sunt minori de ordinul 1, 2, ..., n matrici O, situat în colțul din stânga sus, ultimul dintre ele coincide cu determinantul matricei O.

Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)

X) = x T Ah a fost pozitiv definit, este necesar și suficient ca toți minorii majori ai matricei O au fost pozitive, adică: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( X) = x T Ah a fost negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi și de ordin impar - negativi, adică: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Dacă pe o dreaptă în spațiu notăm două puncte arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), atunci coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația dreptei. obtinut mai sus:

În plus, pentru punctul M 1 putem scrie:

.

Rezolvând împreună aceste ecuații, obținem:

.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte din spațiu.

Ecuații generale ale unei drepte în spațiu.

Ecuația unei drepte poate fi considerată drept ecuația dreptei de intersecție a două plane.

Ecuații generale ale unei linii drepte sub formă de coordonate:

Sarcina practică este adesea de a reduce ecuațiile liniilor drepte la vedere generală la forma canonică.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct arbitrar pe linie și numerele m, n, p.

În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi găsit ca produs vectorial al vectorilor normali față de planurile date.

Exemplu. Găsiți ecuația canonică dacă linia este dată sub forma:

Pentru a găsi un punct arbitrar pe o dreaptă, luăm coordonatele sale x = 0 și apoi înlocuim această valoare în sistemul de ecuații dat.

Aceste. A(0, 2, 1).

Aflați componentele vectorului de direcție al dreptei.

Apoi ecuațiile canonice ale dreptei:

Exemplu. Aduceți în formă canonică ecuația unei drepte dată sub forma:

Pentru a găsi un punct arbitrar pe o dreaptă, care este linia de intersecție a planurilor de mai sus, luăm z = 0. Atunci:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Se obține: A(-1; 3; 0).

Vector direct: .

Unghiul dintre planuri.

Unghiul dintre două plane din spațiu  este legat de unghiul dintre normalele acestor plane  1 prin relația:  =  1 sau  = 180 0 -  1, adică.

cos = cos 1 .

Să determinăm unghiul  1. Se știe că planurile pot fi specificate prin relațiile:

, Unde

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Găsim unghiul dintre vectorii normali din produsul lor scalar:

.

Astfel, unghiul dintre plane se află prin formula:

Alegerea semnului cosinusului depinde de ce unghi între planuri ar trebui găsit - acut sau adiacent acestuia obtuz.

Condiții de paralelism și perpendicularitate a planurilor.

Pe baza formulei obținute mai sus pentru găsirea unghiului dintre plane, se pot găsi condițiile de paralelism și perpendicularitate a planurilor.

Pentru ca planele să fie perpendiculare, este necesar și suficient ca cosinusul unghiului dintre plane să fie egal cu zero. Această condiție este îndeplinită dacă:

Planele sunt paralele, vectorii normali sunt coliniari:  .Această condiție este îndeplinită dacă: .

Unghiul dintre liniile drepte în spațiu.

Să fie date două linii în spațiu. Ecuațiile lor parametrice sunt:

Unghiul dintre drepte  și unghiul dintre vectorii de direcție  ai acestor drepte sunt legate prin relația:  =  1 sau  = 180 0 -  1. Unghiul dintre vectorii de direcție se găsește din produsul scalar. Astfel:

.

Condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor în spațiu.

Pentru ca două drepte să fie paralele este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari, adică. coordonatele lor corespunzătoare erau proporţionale.