O linie dreaptă se numește perpendiculară pe plan dacă desenul. Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan

Articolul dezvăluie conceptul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan, oferă o definiție a unei drepte și a unui plan, ilustrează grafic și arată desemnarea unei drepte perpendiculare și a unui plan. Să formulăm un semn că o dreaptă este perpendiculară pe un plan. Să luăm în considerare condițiile în care linia dreaptă și planul vor fi perpendiculare pe ecuațiile date în spațiul plan și tridimensional. Totul va fi prezentat cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

O linie dreaptă este perpendiculară pe plan când este perpendiculară pe orice dreptă situată în acest plan.

Este adevărat că un plan este perpendicular pe o dreaptă, la fel cum o dreaptă este perpendiculară pe un plan.

Perpendicularitatea este indicată prin „⊥”. Dacă condiția specifică că dreapta c este perpendiculară pe planul γ, atunci intrarea are forma c ⊥ γ.

De exemplu, dacă o linie este perpendiculară pe un plan, atunci este posibil să se deseneze o singură linie, datorită căreia două ziduri adiacente camerele se vor intersecta. Linia dreaptă este considerată perpendiculară pe planul tavanului. O frânghie situată într-o sală de sport este considerată ca un segment drept care este perpendicular pe plan, în în acest caz, semi.

Dacă există o linie perpendiculară pe plan, unghiul dintre linie și plan este considerat drept, adică egal cu 90 de grade.

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan - semn și condiții de perpendicularitate

Pentru a găsi detectarea perpendicularității, este necesar să se folosească o condiție suficientă de perpendicularitate a dreptei și a planului. Garantează perpendicularitatea dreptei și a planului. Această condiție este considerată suficientă și se numește semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Teorema 1

Pentru ca o dreaptă și un plan dat să fie perpendiculare, este suficient ca linia să fie perpendiculară pe două drepte care se intersectează care se află în acest plan.

O dovadă detaliată este dată în manualul de geometrie pentru clasele 10-11. Teorema este folosită pentru a rezolva probleme în care este necesar să se stabilească perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Teorema 2

Cu condiția ca cel puțin una dintre drepte să fie paralelă cu planul, se consideră că a doua dreaptă este și ea perpendiculară pe acest plan.

Semnul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan a fost luat în considerare încă de la școală, când este necesar să se rezolve probleme de geometrie. Să luăm în considerare mai detaliat o altă condiție necesară și suficientă în care linia dreaptă și planul vor fi perpendiculare.

Teorema 3

Pentru ca dreapta a să fie perpendiculară pe planul γ, o condiție necesară și suficientă este coliniaritatea vectorului de direcție al dreptei a și a vectorului normal al planului γ.

Dovada

Pentru a → = (a x , a y , a z) fiind un vector al unei drepte a , pentru n → = (n x , n y , n z) fiind un vector normal al planului γ, pentru a îndeplini perpendicularitatea este necesar ca dreapta a și planul γ aparține condiției de coliniaritate a vectorilor a → = (a x , a y , a z) și n → = (n x , n y , n z) . De aici obținem că a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z, t este un număr real.

Această demonstrație se bazează pe condiția necesară și suficientă de perpendicularitate a dreptei și a planului, vectorul direcție al dreptei și vectorul normal al planului.

Această condiție este aplicabilă pentru a demonstra perpendicularitatea unei linii și a unui plan, deoarece este suficient să găsiți coordonatele vectorului de direcție al dreptei și coordonatele vectorului normal în spațiul tridimensional și apoi să efectuați calcule. Este folosit pentru cazurile în care o linie este definită de ecuația unei linii în spațiu, iar un plan de o ecuație a unui plan de un anumit tip.

Exemplul 1

Demonstrați că dreapta dată x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 este perpendiculară pe planul x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z.

Soluţie

Numitori ecuații canonice sunt coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte. De aici avem că a → = (2 - 1, 2, 2 - 7) este vectorul de direcție al dreptei x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7.

ÎN ecuație generală plan, coeficienții din fața variabilelor x, y, z sunt coordonatele vectorului normal al unui plan dat. Rezultă că n → = (1, 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) este vectorul normal al planului x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Este necesar să se verifice dacă condiția este îndeplinită. Înțelegem asta

2 - 1 = t 1 2 = t 2 (2 + 1) 2 = t (- (5 + 6 2)) ⇔ t = 2 - 1, atunci vectorii a → și n → sunt legați prin expresia a → = ( 2 - 1) · n → .

Aceasta este coliniaritatea vectorilor. rezultă că linia dreaptă x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 este perpendiculară pe planul x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 = 0.

Răspuns: o linie dreaptă și un plan sunt perpendiculare.

Exemplul 2

Determinați dacă dreapta y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 și planul x 1 2 + z - 1 2 = 1 sunt perpendiculare.

Soluţie

Pentru a răspunde la întrebarea perpendicularității, este necesar ca o condiție necesară și suficientă să fie îndeplinită, adică mai întâi trebuie să găsiți vectorul unei drepte date și vectorul normal al planului.

Din dreapta y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 este clar că vectorul direcție a → este produsul vectorilor normali ai planului y - 1 = 0 și x + 4 z - 2 = 0 .

De aici obținem că a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → - k → .

Coordonatele vectoriale a → = (4 , 0 , - 1) .

Ecuația planului din segmentele x 1 2 + z - 1 2 = 1 este echivalentă cu ecuația planului 2 x - 2 z - 1 = 0, al cărui vector normal este n → = (2, 0, - 2).

Este necesar să se verifice coliniaritatea vectorilor a → = (4, 0, - 1) și n → = (2, 0, - 2).

Pentru a face acest lucru, să scriem:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Din aceasta concluzionăm că vectorul de direcție al dreptei nu este coliniar cu vectorul normal al planului. Aceasta înseamnă că y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 este o linie dreaptă, nu perpendiculară pe planul x 1 2 + z - 1 2.

Răspuns: o linie dreaptă și un plan nu sunt perpendiculare.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În planimetrie, construcția unei perpendiculare se bazează pe faptul că aceasta leagă un punct dat și un punct simetric cu acesta în raport cu dreapta luată în considerare. Dacă vrem să formulăm conceptul de perpendiculară pe un plan, atunci putem lua orice punct situat în afara acestui plan, reflectăm acest punct într-un plan dat, ca într-o oglindă, și putem conecta acest punct cu reflexia sa; apoi obținem o perpendiculară pe plan. Trebuie remarcat, totuși, că în cazul reflexiei în raport cu o linie dreaptă, întreaga materie s-a redus la îndoirea planului de-a lungul unei linii drepte date, adică la mișcare, deși produsă în spațiu. Reflecția într-un plan nu se mai reduce la mișcare. Prin urmare, prezentarea întrebării unei perpendiculare pe un plan este mai complicată decât prezentarea corespunzătoare a întrebării unei perpendiculare pe o dreaptă în planimetrie se bazează pe următoarele cunoscute cititorului;

Definiţie. O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan.

Deoarece unghiul dintre două drepte care se intersectează este egal, prin definiție, cu unghiul dintre drepte care se intersectează paralele cu datele, atunci linia a (Fig. 337), perpendiculară pe toate liniile drepte ale planului K care trec prin punctul de intersecție a dreptei a cu planul K, va fi de asemenea perpendiculară pe planul K. Într-adevăr, formează un unghi drept cu orice dreaptă din plan deoarece este perpendiculară pe dreapta b trasată în acest plan printr-un punct paralel cu b.

În realitate, există un test mult mai simplu pentru perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. O dreaptă perpendiculară pe două drepte care se intersectează ale unui plan este perpendiculară pe acel plan.

Dovada. Lasă în fig. 338 linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în planul X În virtutea observației de mai sus, putem presupune, fără pierderi de generalitate, că dreapta a trece prin punctul de intersecție al tipului de linii. Este necesar să se demonstreze că dreapta a este perpendiculară și pe orice plan drept, datorită aceleiași observații, putem presupune că dreapta trece prin punctul . Să facem următoarele construcții auxiliare: pe dreapta a luăm un punct arbitrar M și un punct M pe continuarea de cealaltă parte a planului H la distanță de punctul Trei drepte în planul X intersectăm orice dreaptă c care nu trece prin punctele de intersecție notăm respectiv P, Q, R Să conectăm punctele M și M cu punctele P, Q, R. Triunghiurile sunt egale, deoarece sunt dreptunghiulare, catetele sunt egale în construcție, și piciorul este comun; asta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale: (puteți observa și mai simplu că MR - MR, ca și oblice cu proiecții egale). Segmentele MQ, MQ sunt de asemenea egale. Aceasta înseamnă că triunghiurile MPQ și MPQ sunt egale (pe trei laturi). De aici concluzionăm că triunghiurile MQR sunt congruente și au unghiuri egale între laturile egale MQ și MQ și latura comună QR: (unghiurile corespunzătoare din triunghiuri egale). Acum putem vedea că triunghiurile sunt egale cu trei laturi). Astfel, unghiurile MMUR sunt egale și, deoarece sunt adiacente, fiecare dintre ele este drept. Afirmația a fost dovedită.

Un plan perpendicular poate fi trasat pe orice linie dreaptă.

De fapt, să luăm o linie dreaptă arbitrară și să desenăm în orice punct două perpendiculare pe ea (care se află în oricare două plane trasate prin această linie dreaptă). Un avion trece prin ele, ca prin două linii care se intersectează. Conform celei precedente, această dreaptă servește ca perpendiculară pe acest plan.

Din raționamentul de mai sus rezultă și concluzia: toate dreptele perpendiculare pe o dreaptă dată în unul dintre punctele ei se află în același plan perpendicular pe această dreaptă.

În orice punct al planului, puteți restabili și o perpendiculară pe acesta.

Pentru a face acest lucru, este suficient să desenați două linii drepte situate în acest plan printr-un punct dat dintr-un plan și apoi să construiți în același punct două plane perpendiculare pe liniile desenate. Având un punct comun, aceste două plane se vor intersecta de-a lungul unei drepte, care va fi simultan perpendiculară pe cele două drepte care se intersectează în plan și, prin urmare, perpendiculară pe planul însuși.

În această lecție vom repeta teoria și vom demonstra teorema care indică perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.
La începutul lecției, să ne amintim definiția unei linii perpendiculare pe un plan. În continuare, vom lua în considerare și vom demonstra teorema care indică perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. Pentru a demonstra această teoremă, reamintim proprietatea bisectoarei perpendiculare.
În continuare, vom rezolva mai multe probleme privind perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Subiect: Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan

Lecția: Semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan

În această lecție vom repeta teoria și vom demonstra teorema-test de perpendicularitate a unei drepte si a unui plan.

Definiţie. Drept O se numește perpendicular pe planul α dacă este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Dovada.

Să ni se dea un plan α. Există două linii care se intersectează în acest plan pŞi q. Drept O perpendicular pe o linie dreaptă p si drept q. Trebuie să dovedim că linia O este perpendiculară pe planul α, adică acea dreaptă a este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul α.

Memento.

Pentru a demonstra acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile bisectoarei perpendiculare pe un segment. Bisectoare perpendiculară r la segment AB- acesta este locul punctelor echidistante de capetele segmentului. Asta este, dacă ideea CU se află pe bisectoarea perpendiculară p, atunci AC = BC.

Lasă punctul DESPRE- punctul de intersecție al dreptei Oși planul α (Fig. 2). Fără pierderea generalității, vom presupune că liniile drepte pŞi q se intersectează într-un punct DESPRE. Trebuie să demonstrăm perpendicularitatea dreptei O la o linie arbitrară m din planul α.

Să tragem prin punct DESPRE direct l, paralel cu linia m. Pe o linie dreaptă O pune deoparte segmentele OAŞi OB, și OA = OB, adică ideea DESPRE- mijlocul segmentului AB. Să facem o directă P.L., .

Drept r perpendicular pe o linie dreaptă O(din condiție), (prin construcție). Mijloace, r AB. Punct R se află pe o linie dreaptă r. Mijloace, RA = PB.

Drept q perpendicular pe o linie dreaptă O(din condiție), (prin construcție). Mijloace, q- bisectoare perpendiculară pe un segment AB. Punct Q se află pe o linie dreaptă q. Mijloace, QA =QB.

Triunghiuri ARQŞi VRQ egal pe trei laturi (RA = PB, QA =QB, PQ- partea comună). Deci unghiurile ARQŞi VRQ sunt egali.

Triunghiuri OP.L.Şi BPL egal în unghi și două laturi adiacente (∠ ARL= ∠VRL, RA = PB, P.L.- partea comună). Din egalitatea triunghiurilor obținem că AL =B.L..

Luați în considerare un triunghi ABL. Este isoscel pentru că AL =BL.Într-un triunghi isoscel, mediana LО este și înălțimea, adică o linie dreaptă LО perpendicular AB.

Am înțeles asta O perpendicular pe o linie dreaptă euşi deci directă m, Q.E.D.

Puncte A, M, O se află pe o dreaptă perpendiculară pe planul α, iar punctele O, V, SŞi D se află în planul α (Fig. 3). Care dintre următoarele unghiuri sunt unghiuri drepte: ?

Soluţie

Să luăm în considerare unghiul. Drept SA este perpendiculară pe planul α, ceea ce înseamnă că este o dreaptă SA perpendicular pe orice dreptă situată în planul α, inclusiv pe dreapta ÎN. Înseamnă, .

Să luăm în considerare unghiul. Drept SA perpendicular pe o linie dreaptă OS, Înseamnă, .

Să luăm în considerare unghiul. Drept SA perpendicular pe o linie dreaptă DESPRED, Înseamnă, . Luați în considerare un triunghi DAO. Un triunghi poate avea un singur unghi drept. Deci unghiul BARAJ- nu este directă.

Să luăm în considerare unghiul. Drept SA perpendicular pe o linie dreaptă DESPRED, Înseamnă, .

Să luăm în considerare unghiul. Acesta este un unghi într-un triunghi dreptunghic BMO, nu poate fi drept, deoarece unghiul MOU- Drept.

Răspuns: .

Într-un triunghi ABC dat: , AC= 6 cm, Soare= 8 cm, CM- mediană (Fig. 4). Prin vârf CU s-a trasat o linie directă SK, perpendicular pe planul triunghiului ABC, și SK= 12 cm Găsiți KM.

Soluţie:

Să găsim lungimea AB conform teoremei lui Pitagora: (cm).

După proprietate triunghi dreptunghic mijlocul ipotenuzei M echidistant de vârfurile triunghiului. Adică SM = AM = VM, (cm).

Luați în considerare un triunghi KSM. Drept KS perpendicular pe plan ABC, ceea ce înseamnă KS perpendicular CM. Deci este un triunghi KSM- dreptunghiular. Să găsim ipotenuza KM din teorema lui Pitagora: (cm).

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 1, 2, 5, 6 p. 57

2. Definiți perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

3. Indicați o pereche în cub - o muchie și o față care sunt perpendiculare.

4. Punct LA se află în afara planului unui triunghi isoscel ABCși echidistante de puncte ÎNŞi CU. M- mijlocul bazei Soare. Demonstrează că linia Soare perpendicular pe plan AKM.

Pentru ca o linie dreaptă în spațiu să fie plană, este necesar și suficient ca pe diagramă proiecția orizontală a dreptei să fie o proiecție orizontală a orizontalei, iar proiecția frontală să fie la proiecția frontală a frontalului acestui avion.

Determinarea distanței de la un punct la un plan(Fig. 19)

1. Dintr-un punct, coborâți o perpendiculară pe plan (pentru a face acest lucru în plan

țineți apăsat h,f);

2. Aflați punctul de intersecție al dreptei cu planul (vezi Fig. 18);

3. Găsiți n.v. segment perpendicular (vezi Fig. 7).

Secțiunea a doua Metoda de înlocuire a planurilor de proiecție

(pentru sarcinile 5, 6, 7)

Acest figură geometrică rămas nemişcat în sistemul planurilor de proiecţie. Sunt instalate noi planuri de proiecție astfel încât proiecțiile obținute pe ele să ofere o soluție rațională a problemei luate în considerare. În acest caz, fiecare nou sistem de planuri de proiecție trebuie să fie un sistem ortogonal. După proiectarea obiectelor pe plane, acestea sunt combinate într-unul singur prin rotirea lor în jurul unor linii drepte comune (axe de proiecție) ale fiecărei perechi de plane reciproc perpendiculare.

De exemplu, să fie specificat punctul A într-un sistem de două plane P 1 și P 2. Să suplimentăm sistemul cu un alt plan P 4 (Fig. 20), P 1 P 4. Are o linie comună X 14 cu planul P 1. Construim o proiecție a lui A4 pe P4.

AA 1 =A 2 A 12 =A 4 A 14.

În fig. 21, unde planele P 1, P 2 și P 4 sunt aliniate, acest fapt este determinat de rezultatul A 1 A 4 X 14 și A 14 A 4 A 2 A 12.

Distanța noii proiecții a punctului la noua axă de proiecție (A 4 A 14) este egală cu distanța de la proiecția înlocuită a punctului la axa înlocuită (A 2 A 12).

Un număr mare de probleme metrice de geometrie descriptivă sunt rezolvate pe baza următoarelor patru probleme:

1. Transformarea unei drepte de poziție generală într-o dreaptă de nivel (Fig. 22):

a) P 4 || AB (axa X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) A 4 A 14 = A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Transformarea unei linii generale într-o linie proeminentă (Fig. 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

A 14 A 4 = A 12 A 2;

V 14 V 4 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - prezent;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 =B 45 V 5 =A 14 A 1 =B 14 V 1;

3. Conversia planului de poziție generală în poziția de proiectare (Fig. 24):

Avionul poate fi adus într-o poziție de proiectare dacă o linie dreaptă a planului este proiectată. În planul ABC trasăm o linie orizontală (h 2 ,h 1), care poate fi proiectată într-o singură transformare. Să desenăm planul P 4 perpendicular pe orizontală; pe acest plan va fi proiectat ca punct, iar planul triunghiului ca o linie dreaptă.

4. Transformarea planului de poziție generală în plan de nivel (Fig. 25).

Faceți din avion un plan nivel folosind două transformări. Mai întâi, planul trebuie făcut proiectat (vezi Fig. 25), apoi desenați P 5 || A 4 B 4 C 4, obținem A 5 B 5 C 5 - n.v.

Problema #5

Determinați distanța de la punctul C la o linie dreaptă în poziție generală (Fig. 26).

Soluția se reduce la a 2-a problemă principală. Apoi, distanța din diagramă este definită ca distanța dintre două puncte

A 5 B 5 D 5 și C 5.

Proiecție C 4 D 4 || X 45.

Problema #6

Determinați distanța de la ()D la plan, dat de puncte A, B, C, (Fig. 27).

Problema este rezolvată folosind a doua problemă principală. Distanţa (E 4 D 4), de la ()D 4 până la dreapta A 4 C 4 B 4, în care este proiectat planul ABC, este valoarea naturală a segmentului ED.

Proiecția D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Construiește-l singur D 1 E 1.

Construiește-l singur D 2 E 2.

Problema nr. 7

Determinați dimensiunea reală a triunghiului ABC (vezi soluția celei de-a patra probleme principale) (Fig. 25)

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.