Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă. Studierea graficului unei funcții

Cu acest serviciu poți găsi cel mai mare și cea mai mică valoare funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

y =

pe segmentul [ ;]

Includeți teoria

Reguli de intrare în funcții:

Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile

Ecuația f" 0 (x *) = 0 este conditie necesara extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Identifică punctele staționare x c ​​la care funcția nu crește sau descrește.

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile

Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minim local (global) al funcției.

Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Atunci punctul x * este un maxim local (global).

Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1

Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte este necesar să se utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile pentru extremum.

În acest articol voi vorbi despre algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori funcții, puncte minime și maxime.

Din teorie, cu siguranță ne va fi de folos tabel de derivateŞi reguli de diferențiere. Totul este pe acest platou:

Algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori.

Este mai convenabil pentru mine să explic cu un exemplu concret. Luați în considerare:

Exemplu: Găsiți cea mai mare valoare a funcției y=x^5+20x^3–65x pe segmentul [–4;0].

Pasul 1. Luăm derivata.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Pasul 2. Găsirea punctelor extreme.

Punct extrem numim acele puncte la care functia atinge valoarea sa cea mai mare sau minima.

Pentru a găsi punctele extreme, trebuie să echivalați derivata funcției cu zero (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Acum rezolvăm această ecuație biquadratică și rădăcinile găsite sunt punctele noastre extreme.

Rezolv astfel de ecuații prin înlocuirea t = x^2, apoi 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Să reducem ecuația cu 5, obținem: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Facem schimbarea inversă x^2 = t:

X_(1 și 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 și 4) = ±sqrt(-13) (excludem, nu poate exista numere negative, cu excepția cazului în care, desigur, vorbim despre numere complexe)

Total: x_(1) = 1 și x_(2) = -1 - acestea sunt punctele noastre extreme.

Pasul 3. Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare.

Metoda de înlocuire.

În condiție, ni s-a dat segmentul [b][–4;0]. Punctul x=1 nu este inclus în acest segment. Deci nu luăm în considerare. Dar, pe lângă punctul x=-1, trebuie să luăm în considerare și limitele din stânga și din dreapta ale segmentului nostru, adică punctele -4 și 0. Pentru a face acest lucru, înlocuim toate aceste trei puncte în funcția originală. Rețineți că originalul este cel dat în condiția (y=x^5+20x^3–65x), unii oameni încep să îl înlocuiască în derivată...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Aceasta înseamnă că cea mai mare valoare a funcției este [b]44 și se realizează în punctul [b]-1, care se numește punctul maxim al funcției pe segmentul [-4; 0].

Ne-am hotărât și am primit un răspuns, suntem grozavi, te poți relaxa. Dar oprește-te! Nu crezi că calcularea y(-4) este oarecum prea dificilă? În condiții de timp limitat, este mai bine să folosiți o altă metodă, o numesc astfel:

Prin intervale de constanță a semnelor.

Aceste intervale se găsesc pentru derivata funcției, adică pentru ecuația noastră biquadratică.

O fac așa. Desenez un segment regizat. Pun punctele: -4, -1, 0, 1. În ciuda faptului că 1 nu este inclus în segmentul dat, ar trebui totuși remarcat pentru a determina corect intervalele de constanță a semnului. Să luăm un număr de multe ori mai mare decât 1, să spunem 100, și să îl înlocuim mental în ecuația noastră biquadratică 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Chiar și fără a număra nimic, devine evident că la punctul 100, funcția are semnul plus. Aceasta înseamnă că pentru intervalele de la 1 la 100 are un semn plus. Când trecem prin 1 (mergem de la dreapta la stânga), funcția va schimba semnul în minus. Când trece prin punctul 0, funcția își va păstra semnul, deoarece aceasta este doar granița segmentului și nu rădăcina ecuației. Când trece prin -1, funcția va schimba din nou semnul în plus.

Din teorie știm că unde este derivata funcției (și am desenat asta tocmai pentru aceasta) schimbă semnul de la plus la minus (punctul -1 în cazul nostru) funcția ajunge maximul său local (y(-1)=44, așa cum a fost calculat mai devreme) pe acest segment (asta logic este foarte de inteles, functia a incetat sa creasca pentru ca a ajuns la maxim si a inceput sa scada).

În consecință, unde derivata funcției schimbă semnul din minus în plus, se realizează minim local al unei funcții. Da, da, am găsit, de asemenea, că punctul minim local este 1, iar y(1) este valoarea minimă a funcției de pe segment, să spunem de la -1 la +∞. Vă rugăm să rețineți că acesta este doar un MINIM LOCAL, adică un minim pe un anumit segment. Deoarece minimul real (global) al funcției va ajunge undeva acolo, la -∞.

După părerea mea, prima metodă este mai simplă teoretic, iar a doua este mai simplă din punct de vedere al operațiilor aritmetice, dar mult mai complexă din punct de vedere al teoriei. La urma urmei, uneori există cazuri în care funcția nu își schimbă semnul la trecerea prin rădăcina ecuației și, în general, te poți confunda cu aceste maxime și minime locale, globale, deși oricum va trebui să stăpânești bine acest lucru dacă intenționați să intrați într-o universitate tehnică (și pentru ce altceva ar trebui să o iau? profil Examen de stat unificatși rezolvați această problemă). Dar practica și numai practica te va învăța să rezolvi astfel de probleme odată pentru totdeauna. Și vă puteți antrena pe site-ul nostru. Aici .

Dacă aveți întrebări sau ceva neclar, asigurați-vă că întrebați. Voi fi bucuros să vă răspund și să fac modificări și completări articolului. Amintiți-vă că facem acest site împreună!

Micuță și drăguță sarcină simplă din categoria celor care servesc drept salvare pentru un elev plutitor. Este mijlocul lunii iulie în natură, așa că este timpul să vă acomodați cu laptopul pe plajă. Dis-de-dimineață, a început să se joace raza de soare a teoriei, pentru a se concentra în curând pe practică, care, în ciuda ușurinței declarate, conține cioburi de sticlă în nisip. În acest sens, vă recomand să luați în considerare cu conștiință cele câteva exemple din această pagină. Pentru a rezolva probleme practice trebuie să fii capabil găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale funcției.

În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. În lecția despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității la un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un interval dacă:

1) este continuu pe intervalul ;
2) continuă într-un punct corect iar la punct stânga.

În al doilea paragraf am vorbit despre așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări pentru a-l defini, dar voi rămâne la linia pe care am început-o mai devreme:

Funcția este continuă în punct corect, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: . Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acest punct:

Imaginați-vă că punctele verzi sunt unghii cu o bandă elastică magică atașată de ele:

Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat– un gard în sus, un gard în jos, iar produsul nostru pășește în padoc. Astfel, o funcție continuă pe un interval este mărginită pe ea. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit cu strictețe. Prima teoremă a lui Weierstrass....Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt fundamentate plictisitor în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor din Evul Mediu Terry a tras un grafic în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă la orizont? La urma urmei, Pământul era odată considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)

Conform A doua teoremă a lui Weierstrass, continuu pe un segmentfuncția își atinge limita superioară exactăși a ta marginea inferioară exactă .

Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși sunt notate cu , iar numărul este valoarea minimă a funcției pe segment marcat .

In cazul nostru:

Nota : în teorie, înregistrările sunt comune .

În linii mari, cea mai mare valoare este acolo unde se află cel mai înalt punct de pe grafic, iar cea mai mică valoare este acolo unde este punctul cel mai jos.

Important! După cum sa subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a funcțieiŞi cea mai mică valoare a funcției – NU ACEȘI, Ce functia maximaŞi functie minima. Deci, în exemplul luat în considerare, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.

Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și o inundație, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere si asta e!

Mai mult, soluția este pur analitică, așadar nu este nevoie să faci un desen!

Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:

1) Găsiți valorile funcției în puncte critice, care aparţin acestui segment.

Prindeți un alt bonus: aici nu este nevoie să verificați condiția suficientă pentru un extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu garanteaza inca, care este minimul sau valoarea maxima. Funcția demonstrativă atinge un maxim și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției de pe segment. Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.

Deci, în primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului, fără a vă deranja dacă există sau nu extreme în ele.

2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.

3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectați cea mai mică și cea mai mare număr mare, notează răspunsul.

Ne așezăm pe malul mării albastre și lovim apa puțin adâncă cu călcâiele:

Exemplul 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Soluţie:
1) Să calculăm valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:

Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:

2) Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponenți și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, să ne înarmam cu un calculator sau Excel și să calculăm valori aproximative, fără a uita că:

Acum totul este clar.

Răspuns:

Exemplu rațional fracționar pentru decizie independentă:

Exemplul 6

Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?

Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?