Cum să găsiți un unghi înscris într-un cerc. Unghiurile centrale și înscrise ale unui cerc

Astăzi ne vom uita la un alt tip de probleme 6 - de data aceasta cu un cerc. Mulți studenți nu le plac și le sunt dificile. Și complet în zadar, deoarece astfel de probleme sunt rezolvate elementar, dacă știi niște teoreme. Sau nu îndrăznesc deloc dacă nu-i cunoști.

Înainte de a vorbi despre principalele proprietăți, permiteți-mi să vă reamintesc definiția:

Un unghi înscris este unul al cărui vârf se află pe cerc însuși și ale cărui laturi decupează o coardă pe acest cerc.

Un unghi central este orice unghi cu vârful său în centrul cercului. Laturile sale intersectează, de asemenea, acest cerc și sculptează o coardă pe el.

Deci, conceptele de înscris și unghiul central sunt indisolubil legate de cercul și acordurile din cadrul acestuia. Și acum afirmația principală:

Teorema. Unghiul central este întotdeauna de două ori unghiul înscris, bazat pe același arc.

În ciuda simplității afirmației, există o întreagă clasă de probleme 6 care pot fi rezolvate folosindu-l - și nimic altceva.

Sarcină. Găsiți un unghi ascuțit înscris subîntins de o coardă egală cu raza cercului.

Fie AB coarda luată în considerare, O centrul cercului. Construcție suplimentară: OA și OB sunt razele cercului. Primim:

Luați în considerare triunghiul ABO. În ea AB = OA = OB - toate laturile sunt egale cu raza cercului. Prin urmare, triunghiul ABO este echilateral și toate unghiurile din el sunt de 60°.

Fie M vârful unghiului înscris. Deoarece unghiurile O și M se sprijină pe același arc AB, unghiul înscris M este de 2 ori mai mic decât unghiul central O. Avem:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Sarcină. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul înscris subtins de același arc de cerc. Găsiți unghiul înscris.

Să introducem următoarea notație:

1. AB este coarda cercului;
2. Punctul O este centrul cercului, deci unghiul AOB este unghiul central;
3. Punctul C este vârful unghiului înscris ACB.

Deoarece căutăm unghiul înscris ACB, să-l notăm ACB = x. Atunci unghiul central AOB este x + 36. Pe de altă parte, unghiul central este de 2 ori unghiul înscris. Avem:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Deci am găsit unghiul înscris AOB - este egal cu 36°.

Un cerc este un unghi de 360°

După ce au citit subtitrarea, probabil că cititorii cunoscători vor spune acum: „Uf!” Într-adevăr, compararea unui cerc cu un unghi nu este în întregime corectă. Pentru a înțelege despre ce vorbim, aruncați o privire la cercul trigonometric clasic:

Pentru ce este această poză? Și în plus, o rotație completă este un unghi de 360 ​​de grade. Și dacă o împărțiți, să zicem, în 20 de părți egale, atunci dimensiunea fiecăreia dintre ele va fi 360: 20 = 18 grade. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

Punctele A, B și C se află pe cerc și îl împart în trei arce, ale căror măsurători sunt în raportul 1: 3: 5. Aflați unghiul mai mare al triunghiului ABC.

Mai întâi, să găsim măsura gradului fiecărui arc. Fie cel mai mic x. În figură, acest arc este desemnat AB. Atunci arcele rămase - BC și AC - pot fi exprimate în termeni de AB: arc BC = 3x; AC = 5x. În total, aceste arcuri dau 360 de grade:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Acum luați în considerare un arc mare AC care nu conține punctul B. Acest arc, ca și unghiul central corespunzător AOC, este 5x = 5 40 = 200 de grade.

Unghiul ABC este cel mai mare dintre toate unghiurile dintr-un triunghi. Este un unghi înscris subtins de același arc ca unghiul central AOC. Aceasta înseamnă că unghiul ABC este de 2 ori mai mic decât AOC. Avem:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Aceasta va fi măsura în grad a unghiului mai mare din triunghiul ABC.

Cerc circumscris în jurul unui triunghi dreptunghic

Mulți oameni uită această teoremă. Dar degeaba, pentru că unele probleme B8 nu se pot rezolva deloc fără el. Mai exact, sunt rezolvate, dar cu un asemenea volum de calcule încât ai prefera să adormi decât să ajungi la răspuns.

Teorema. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.

Ce rezultă din această teoremă?

1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de toate vârfurile triunghiului. Aceasta este o consecință directă a teoremei;
2. Mediana trasată la ipotenuză împarte triunghiul inițial în două triunghiuri isoscele. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

În triunghiul ABC desenăm mediana CD. Unghiul C este de 90° și unghiul B este de 60°. Găsiți unghiul ACD.

Deoarece unghiul C este de 90°, triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic. Se dovedește că CD este mediana atrasă de ipotenuză. Aceasta înseamnă că triunghiurile ADC și BDC sunt isoscele.

În special, luați în considerare triunghiul ADC. În el AD = CD. Dar într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale - vezi „Problema B8: Segmente de linie și unghiuri în triunghiuri”. Prin urmare, unghiul dorit ACD = A.

Deci, rămâne de aflat cu ce este egal unghiul A. Pentru a face acest lucru, să revenim la original triunghiul ABC. Să notăm unghiul A = x. Deoarece suma unghiurilor din orice triunghi este 180°, avem:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Desigur, ultima problemă poate fi rezolvată diferit. De exemplu, este ușor de demonstrat că triunghiul BCD nu este doar isoscel, ci echilateral. Deci unghiul BCD este de 60 de grade. Prin urmare, unghiul ACD este 90 − 60 = 30 de grade. După cum puteți vedea, puteți utiliza diferite triunghiuri isoscele, dar răspunsul va fi întotdeauna același.

Cel mai adesea, procesul de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică începe cu o repetare a definițiilor, formulelor și teoremelor de bază, inclusiv pe tema „Unghiuri centrale și înscrise într-un cerc”. De regulă, această secțiune de planimetrie este studiată în liceu. Nu este de mirare că mulți studenți se confruntă cu nevoia de a repeta concepte de bazăși teoreme pe tema „Unghiul central al unui cerc”. După ce au înțeles algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, școlarii pot conta pe primirea de punctaje competitive pe baza rezultatelor promovării examenului unificat de stat.

Cum să vă pregătiți ușor și eficient pentru trecerea testului de certificare?

Când studiază înainte de a promova examenul de stat unificat, mulți elevi de liceu se confruntă cu problema găsirii informațiilor necesare pe tema „Unghiuri centrale și înscrise într-un cerc”. Nu este întotdeauna cazul că un manual școlar este la îndemână. Iar căutarea de formule pe Internet durează uneori mult timp.

Portalul nostru educațional vă va ajuta să vă „îmbunătățiți” abilitățile și să vă îmbunătățiți cunoștințele într-o secțiune atât de dificilă a geometriei precum planimetria. „Șkolkovo” oferă elevilor de liceu și profesorilor lor o nouă modalitate de a construi procesul de pregătire pentru examenul de stat unificat. Toate materialele de bază sunt prezentate de specialiștii noștri în cea mai accesibilă formă. După citirea informațiilor din secțiunea „Teoretică”, elevii vor afla ce proprietăți are unghiul central al unui cerc, cum să-i găsească valoarea etc.

Apoi, pentru consolidarea cunoștințelor dobândite și a abilităților de exersare, recomandăm efectuarea unor exerciții adecvate. O selecție largă de sarcini pentru găsirea dimensiunii unui unghi înscris într-un cerc și alți parametri este prezentată în secțiunea „Catalog”. Pentru fiecare exercițiu, experții noștri au scris o soluție detaliată și au indicat răspunsul corect. Lista sarcinilor de pe site este completată și actualizată în mod constant.

Elevii de liceu se pot pregăti pentru Examenul Unificat de Stat exersând exerciții, de exemplu, găsirea mărimii unui unghi central și a lungimii unui arc de cerc, online, din orice regiune rusă.

Dacă este necesar, sarcina finalizată poate fi salvată în secțiunea „Preferate” pentru a reveni la ea mai târziu și a analiza din nou principiul soluției sale.

\[(\Large(\text(Unghiuri centrale și inscripționate)))\]

Definiții

Un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului.

Un unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe un cerc.

Gradul de măsurare a unui arc de cerc este gradul de măsurare a unghiului central care îl subtinde.

Teorema

Gradul de măsurare a unui unghi înscris este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.

Dovada

Vom efectua demonstrația în două etape: în primul rând, vom demonstra validitatea enunțului pentru cazul în care una dintre laturile unghiului înscris conține un diametru. Fie punctul \(B\) vârful unghiului înscris \(ABC\) și \(BC\) diametrul cercului:

Triunghiul \(AOB\) este isoscel, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) este extern, apoi \(\unghi AOC = \unghi OAB + \unghi ABO = 2\unghi ABC\), unde \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Acum luați în considerare un unghi înscris arbitrar \(ABC\) . Să desenăm diametrul cercului \(BD\) din vârful unghiului înscris. Există două cazuri posibile:

1) diametrul taie unghiul în două unghiuri \(\angle ABD, \angle CBD\) (pentru fiecare dintre ele teorema este adevărată, așa cum sa dovedit mai sus, de aceea este valabilă și pentru unghiul inițial, care este suma acestora doi şi deci egal cu jumătate din suma arcurilor pe care se sprijină, adică egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină). Orez. 1.

2) diametrul nu a tăiat unghiul în două unghiuri, atunci avem încă două unghiuri noi înscrise \(\angle ABD, \angle CBD\), a căror latură conține diametrul, prin urmare, teorema este adevărată pentru ele, atunci este valabil și pentru unghiul inițial (care este egal cu diferența acestor două unghiuri, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătate din diferența arcurilor pe care se sprijină, adică egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină). Orez. 2.

Consecințele

1. Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale.

2. Un unghi înscris subîntins de un semicerc este un unghi drept.

3. Un unghi înscris este egal cu jumătate din unghiul central subîntins de același arc.

\[(\Large(\text(Tangent la cerc)))\]

Definiții

Există trei tipuri poziție relativă linie dreaptă și cerc:

1) dreapta \(a\) intersectează cercul în două puncte. O astfel de linie se numește linie secantă. În acest caz, distanța \(d\) de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza \(R\) a cercului (Fig. 3).

2) linia dreaptă \(b\) intersectează cercul într-un punct. O astfel de dreaptă se numește tangentă, iar punctul lor comun \(B\) se numește punct de tangență. În acest caz \(d=R\) (Fig. 4).

Teorema

1. O tangentă la un cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de tangență.

2. Dacă o dreaptă trece prin capătul razei unui cerc și este perpendiculară pe această rază, atunci este tangentă la cerc.

Consecinţă

Segmentele tangente trasate de la un punct la un cerc sunt egale.

Dovada

Să desenăm două tangente \(KA\) și \(KB\) la cerc din punctul \(K\):

Aceasta înseamnă că \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sunt ca razele. Triunghiuri dreptunghiulare\(\triunghiul KAO\) și \(\triunghiul KBO\) sunt egale în catete și ipotenuză, prin urmare, \(KA=KB\) .

Consecinţă

Centrul cercului \(O\) se află pe bisectoarea unghiului \(AKB\) format din două tangente trase din același punct \(K\) .

\[(\Large(\text(Teoreme legate de unghiuri)))\]

Teorema unghiului dintre secante

Unghiul dintre două secante desenate din același punct este egal cu jumătatea diferenței în gradele arcurilor mai mari și mai mici pe care le tăiau.

Dovada

Fie \(M\) punctul din care sunt trase două secante așa cum se arată în figură:

Să arătăm asta \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) – colț exterior triunghi \(MAD\) , atunci \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), unde \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), dar unghiurile \(\angle DAB\) și \(\angle MDA\) sunt înscrise, atunci \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ceea ce trebuia dovedit.

Teorema unghiului dintre coarde care se intersectează

Unghiul dintre două coarde care se intersectează este egal cu jumătate din suma gradelor de arc ale arcurilor pe care le taie: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dovada

\(\angle BMA = \angle CMD\) ca verticală.

Din triunghi \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Dar \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), din care tragem concluzia că \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ zâmbește\pe (CD)).\]

Teorema unghiului dintre o coardă și o tangentă

Unghiul dintre tangentă și coarda care trece prin punctul de tangență este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului subîntins de coardă.

Dovada

Lasă linia dreaptă \(a\) să atingă cercul în punctul \(A\), \(AB\) este coarda acestui cerc, \(O\) este centrul acestuia. Fie ca linia care conține \(OB\) se intersectează cu \(a\) în punctul \(M\) . Să demonstrăm asta \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Să notăm \(\angle OAB = \alpha\) . Deoarece \(OA\) și \(OB\) sunt raze, atunci \(OA = OB\) și \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Astfel, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Deoarece \(OA\) este raza trasată la punctul tangent, atunci \(OA\perp a\), adică \(\angle OAM = 90^\circ\), prin urmare, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema pe arce subtinse de coarde egale

Coardele egale subtind arcuri egale mai mici decât semicercurile.

Și invers: arcurile egale sunt subîntinse de acorduri egale.

Dovada

1) Fie \(AB=CD\) . Să demonstrăm că semicercurile mai mici ale arcului .

Pe trei laturi, prin urmare, \(\angle AOB=\angle COD\) . Dar pentru că \(\angle AOB, \angle COD\) - unghiuri centrale susținute de arce \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)în consecință, atunci \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Dacă \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Asta \(\triunghi AOB=\triunghi COD\) pe două laturi \(AO=BO=CO=DO\) și unghiul dintre ele \(\angle AOB=\angle COD\) . Prin urmare, și \(AB=CD\) .

Teorema

Dacă raza traversează coarda, atunci aceasta este perpendiculară pe aceasta.

Este adevărat și invers: dacă raza este perpendiculară pe coardă, atunci în punctul de intersecție o bisectează.

Dovada

1) Fie \(AN=NB\) . Să demonstrăm că \(OQ\perp AB\) .

Considerăm \(\triunghiul AOB\) : este isoscel, deoarece \(OA=OB\) – razele cercului. Deoarece \(ON\) este mediana trasată la bază, apoi este și înălțimea, prin urmare, \(ON\perp AB\) .

2) Fie \(OQ\perp AB\) . Să demonstrăm că \(AN=NB\) .

În mod similar, \(\triunghiul AOB\) este isoscel, \(ON\) este înălțimea, prin urmare, \(ON\) este mediana. Prin urmare, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teoreme legate de lungimile segmentelor)))\]

Teoremă asupra produsului segmentelor de coarde

Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.

Dovada

Lasă acordurile \(AB\) și \(CD\) să se intersecteze în punctul \(E\) .

Luați în considerare triunghiurile \(ADE\) și \(CBE\) . În aceste triunghiuri, unghiurile \(1\) și \(2\) sunt egale, deoarece sunt înscrise și se sprijină pe același arc \(BD\), iar unghiurile \(3\) și \(4\) sunt egale ca verticală. Triunghiurile \(ADE\) și \(CBE\) sunt similare (pe baza primului criteriu de asemănare a triunghiurilor).

Apoi \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), din care \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema tangentei și secantei

Pătratul unui segment tangent este egal cu produsul unei secante și al părții sale exterioare.

Dovada

Lăsați tangenta să treacă prin punctul \(M\) și atingeți cercul în punctul \(A\) . Lasă secantei să treacă prin punctul \(M\) și să intersecteze cercul în punctele \(B\) și \(C\) astfel încât \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Luați în considerare triunghiurile \(MBA\) și \(MCA\) : \(\angle M\) este comun, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Conform teoremei despre unghiul dintre o tangentă și o secantă, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Astfel, triunghiurile \(MBA\) și \(MCA\) sunt similare la două unghiuri.

Din asemănarea triunghiurilor \(MBA\) și \(MCA\) avem: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), care este echivalent cu \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Consecinţă

Produsul unei secante trase din punctul \(O\) de partea sa exterioară nu depinde de alegerea secantei trase din punctul \(O\) .

Unghiul central- este unghiul format din două raze cerc. Un exemplu de unghi central este unghiul AOB, BOC, COE și așa mai departe.

DESPRE colțul centralŞi arcîncheiat între părțile sale se spune că corespund unul la altul.

1. dacă unghiuri centrale arcuri sunt egali.

2. dacă unghiuri centrale nu sunt egale, atunci cea mai mare dintre ele corespunde cu cea mai mare arc.

Fie AOB și COD două unghiuri centrale, egale sau inegale. Să rotim sectorul AOB în jurul centrului în direcția indicată de săgeată, astfel încât raza OA să coincidă cu OC Apoi, dacă unghiurile centrale sunt egale, atunci raza OA va coincide cu OD și arcul AB cu arcul CD. .

Aceasta înseamnă că aceste arcuri vor fi egale.

Dacă unghiuri centrale nu sunt egale, atunci raza OB nu va merge de-a lungul OD, ci în altă direcție, de exemplu, de-a lungul OE sau OF. În ambele cazuri unghi mai mare, evident, corespunde și arcul mare.

Teorema pe care am demonstrat-o pentru un cerc rămâne adevărată cercuri egale, deoarece astfel de cercuri nu diferă între ele în nimic în afară de poziția lor.

Oferte inversate va fi de asemenea adevărat . Într-un cerc sau în cercuri egale:

1. dacă arcuri sunt egale, apoi corespunzând lor unghiuri centrale sunt egali.

2. dacă arcuri nu sunt egale, atunci cea mai mare dintre ele corespunde cu cea mai mare unghiul central.

Într-un cerc sau în cercuri egale, unghiurile centrale sunt legate ca arce corespunzătoare. Sau parafrazând obținem că unghiul central proporţional arcul său corespunzător.

Instrucţiuni

Dacă se cunosc raza (R) a cercului și lungimea arcului (L) corespunzătoare unghiului central dorit (θ), aceasta poate fi calculată atât în ​​grade, cât și în radiani. Totalul este determinat de formula 2*π*R și corespunde unui unghi central de 360° sau două numere Pi, dacă se folosesc radiani în loc de grade. Prin urmare, pornește de la proporția 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Exprimați din acesta unghiul central în radiani θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R sau grade θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) și calculați folosind formula rezultată.

Pe baza lungimii coardei (m) care leagă punctele care determină unghiul central (θ), valoarea acesteia poate fi calculată și dacă se cunoaște raza (R) a cercului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi format din două raze și . Acest triunghi isoscel, toată lumea este cunoscută, dar trebuie să găsiți unghiul opus bazei. Sinusul jumătății sale este egal cu raportul dintre lungimea bazei - coarda - și de două ori lungimea laturii - raza. Prin urmare, utilizați funcția sinus invers pentru calcule - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Unghiul central poate fi specificat în fracțiuni de rotație sau dintr-un unghi rotit. De exemplu, dacă trebuie să găsiți unghiul central corespunzător unui sfert viraj complet, împărțiți 360° la patru: θ = 360°/4 = 90°. Aceeași valoare în radiani ar trebui să fie 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Unghiul desfășurat este egal cu jumătate de rotație completă, prin urmare, de exemplu, unghiul central corespunzător unui sfert din acesta va fi jumătate din valorile calculate mai sus atât în ​​grade, cât și în radiani.

Inversa sinusului se numește funcție trigonometrică arcsinus. Poate lua valori în jumătatea numărului Pi, atât pozitive, cât și negative. latura negativă când se măsoară în radiani. Când sunt măsurate în grade, aceste valori vor fi, respectiv, în intervalul de la -90° la +90°.

Instrucţiuni

Unele valori „rotunde” nu trebuie calculate, sunt mai ușor de reținut. De exemplu: - dacă argumentul funcției este zero, atunci arcsinusul acestuia este și zero - de 1/2 este egal cu 30° sau 1/6 Pi, dacă este măsurat - arcsinus de -1/2 este -30°; sau -1/ 6 din numărul Pi in - arcsinusul lui 1 este egal cu 90° sau 1/2 din numărul Pi în radiani - arcsinusul lui -1 este egal cu -90° sau -1/2; numărul Pi în radiani;

Pentru a măsura valorile acestei funcții din alte argumente, cel mai simplu mod este să utilizați un calculator standard Windows, dacă aveți unul la îndemână. Pentru a începe, deschideți meniul principal pe butonul „Start” (sau apăsând tasta WIN), accesați secțiunea „Toate programele”, apoi la subsecțiunea „Accesorii” și faceți clic pe „Calculator”.

Comutați interfața calculatorului în modul de operare care vă permite să calculați funcții trigonometrice. Pentru a face acest lucru, deschideți secțiunea „Vizualizare” din meniul acesteia și selectați „Inginerie” sau „Științific” (în funcție de sistemul de operare utilizat).

Introduceți valoarea argumentului din care ar trebui calculată arctangente. Acest lucru se poate face făcând clic pe butoanele interfeței calculatorului cu mouse-ul sau prin apăsarea tastelor de pe , sau prin copierea valorii (CTRL + C) și apoi lipirea acesteia (CTRL + V) în câmpul de introducere a calculatorului.

Selectați unitățile de măsură în care trebuie să obțineți rezultatul calculului funcției. Sub câmpul de introducere există trei opțiuni, dintre care trebuie să selectați (făcând clic pe el cu mouse-ul) una - , radiani sau rads.

Bifați caseta de selectare care inversează funcțiile indicate pe butoanele interfeței calculatorului. Alături se află o scurtă inscripție Inv.

Faceți clic pe butonul păcat. Calculatorul va inversa funcția asociată acestuia, va efectua calculul și vă va prezenta rezultatul în unitățile specificate.

Video pe tema

Una dintre problemele geometrice comune este calcularea ariei unui segment circular - partea cercului delimitată de o coardă și coarda corespunzătoare de un arc de cerc.

Aria unui segment circular este egală cu diferența dintre aria sectorului circular corespunzător și aria triunghiului format din razele sectorului corespunzător segmentului și coarda care limitează segmentul.

Exemplul 1

Lungimea coardei care subtinde cercul este egală cu valoarea a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător coardei este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie

Un triunghi format din două raze și o coardă este isoscel, deci altitudinea trasă de la vârful unghiului central spre latura triunghiului format de coardă va fi și bisectoarea unghiului central, împărțindu-l la jumătate, iar mediană, împărțind coarda în jumătate. Știind că sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, putem calcula raza:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Conform teoremei lui Pitagora h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Prin înlocuirea unei valori numerice cu valoarea lui a, puteți calcula cu ușurință valoarea numerică a zonei segmentului.

Exemplul 2

Raza cercului este egală cu a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător segmentului este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie:

Aria sectorului corespunzătoare unui unghi dat poate fi calculată folosind următoarea formulă:

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,

Aria triunghiului corespunzătoare sectorului se calculează după cum urmează:

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Conform teoremei lui Pitagora h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Și, în cele din urmă, aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Soluțiile în ambele cazuri sunt aproape identice. Astfel, putem concluziona că pentru a calcula aria unui segment în cel mai simplu caz, este suficient să cunoaștem valoarea unghiului corespunzător arcului segmentului și unul dintre cei doi parametri - fie raza cercului, fie lungimea coardei care subtind arcul de cerc care formează segmentul.

Surse:

• Segment - geometrie