Chiar și funcția x. Funcții pare și impare

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• formează conceptul de paritate și ciudat al unei funcții, învață capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
• dezvoltarea activității creative a elevilor, gândire logică, capacitatea de a compara, de a generaliza;
• cultivați munca grea și cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Cartea cu probleme.
3. Algebră clasa a IX-a. Sarcini pentru învățarea și dezvoltarea elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PROGRESUL LECȚIEI

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (caietul cu probleme de clasa a IX-a. A.G. Mordkovich).

O) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 la X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la naim = – 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit un algoritm de explorare a funcțiilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat din diapozitiv.

Completați tabelul
	Domeniul definiției	Zerourile funcției	Intervale de constanță a semnelor		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizarea cunoștințelor

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de aplicare a definiției pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și – 2.
– Pentru care dintre aceste funcții din domeniul definiției sunt valabile egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (introduceți datele obținute în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafică	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită

4. Material nou

– În timp ce făceam această muncă, băieți, am identificat o altă proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Notați subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm să determinăm uniformitatea și neobișnuirea unei funcții, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și trasarea graficelor.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. 1 Funcţie la = f (X), definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X este executat egalitatea f(–x)= f(x). Dați exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este valabilă. Dați exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n– un număr întreg, se poate argumenta că funcția este impară când n– impar și funcția este par când n– chiar și.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu sunt nici pare, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt satisfăcute f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

În definițiile 1 și 2 vorbeam despre valorile funcției la x și – x, prin urmare se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

Def 3. Dacă o mulțime numerică, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus –x, atunci mulțimea X numită mulţime simetrică.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt asimetrice.

– Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție care este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
– Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) – par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Este adevărată afirmația inversă: dacă domeniul de definire al unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
– Aceasta înseamnă că prezența unei mulțimi simetrice a domeniului de definiție este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum examinezi o funcție pentru paritate? Să încercăm să creăm un algoritm.

Slide

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul de definire al funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Şi f(X):

• Dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• Dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• Dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Examinați funcția a) pentru paritate la= x 5 +; b) la= ; V) la= .

Soluţie.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), o mulțime asimetrică, ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

O); b) y = x (5 – x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toată lumea X, îndeplinind condiția X? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toate x care îndeplinesc condiția x? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

***(Atribuirea opțiunii de examinare unificată de stat).

1. Funcția impară y = f(x) este definită pe întreaga linie numerică. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axă
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați dacă o funcție este pară sau impară

1)
; 2)
; 3)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită când
. Vom găsi
.

Aceste.
. Mijloace, această funcție este uniformă.

2) Funcția este definită când

Aceste.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. Pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție de formă generală.

3. Studiul funcției pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval dacă în acest interval fiecărei valori mai mari a argumentului îi corespunde o valoare mai mare (mai mică) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) într-un anumit interval se numesc monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Soluţie.

1) Această funcție este definită pe întreaga linie numerică. Să găsim derivata.

Derivata este egala cu zero daca
Şi
. Domeniul de definiție este axa numerelor, împărțită la puncte
,
la intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția crește în acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

.

Determinăm semnul trinomului pătratic în fiecare interval.

Astfel, domeniul de definire al funcției

Să găsim derivata
,
, Dacă
, adică
, Dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitivă, funcția crește pe interval
.

4. Studiul funcției la extrem.

Punct
numit punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta e pentru toata lumea
din acest cartier inegalitatea tine

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata functiei in acest punct este egala cu zero sau nu exista (conditie necesara pentru existenta unui extremum).

Punctele în care derivata este zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul din „+” în „–”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „–” la „+”, atunci minimul; Dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a unei functii
egal cu zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. Dacă
, Asta – punct maxim, dacă
, Asta – punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.De aici
– puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
Şi
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
– puncte minime.

La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul din „+” în „–”, deci
– punct maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

După ce am rezolvat ecuația
, vom găsi
Şi
– puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Aşa,
– al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.

Prin urmare, funcția are un minim la punct
, maxim în puncte
Şi
.

3) O funcție este definită și continuă dacă
, adică la
.

Să găsim derivata

.

Să găsim punctele critice:

Vecinătăți de puncte
nu aparțin domeniului definiției, prin urmare nu sunt extreme. Deci, să examinăm punctele critice
Şi
.

4) Funcția este definită și continuă pe interval
. Să folosim regula 2. Aflați derivata
.

Să găsim punctele critice:

Să găsim derivata a doua
și determinați-i semnul în puncte

La puncte
funcția are un minim.

La puncte
functia are un maxim.

Ascundeți afișarea

Metode pentru specificarea unei funcții

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3. Prin atribuirea oricăror valori variabilei independente x, puteți calcula, folosind această formulă, valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5, atunci, folosind formula, aflăm că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Luând orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3, puteți calcula o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Folosind acest tabel, puteți vedea că pentru valoarea argumentului −1 va corespunde valoarea funcției −3; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 etc. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi specificate folosind grafice. Cu ajutorul unui grafic se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară

Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.

Funcția este funcţie ciudată, când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .

Funcția este nici măcar, nici ciudat si se numeste funcţie vedere generală , când nu are simetrie față de axă sau origine.

Să examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric relativ la origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Aceasta înseamnă că funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică

Funcția y=f(x) , în domeniul căreia egalitatea f(x+T)=f(x-T)=f(x) este valabilă pentru orice x, se numește functie periodica cu perioada T \neq 0 .

Repetând graficul unei funcții pe orice segment al axei x care are lungimea T.

Intervalele în care funcția este pozitivă, adică f(x) > 0, sunt segmente ale axei absciselor care corespund punctelor graficului funcției situate deasupra axei absciselor.

f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervale în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funcție limitată

Mărginit de jos Se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

Mărginit de sus se apelează o funcție y=f(x), x \in X când există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat Se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x)\dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Exemplu funcție limitată: y=\sin x este limitat pe toată axa numerelor, deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere atunci, când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . Rezultă că luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1)) > y(x_(2)).

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare funcția descrescătoare când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . Rezultă că, luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funcția Rădăcini Se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y(x)=0).

a) Dacă pentru x > 0 o funcție pară crește, atunci ea scade pentru x< 0

b) Când o funcție pară scade la x > 0, atunci crește la x< 0

c) Când o funcție impară crește la x > 0, atunci crește și la x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punctul minim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea inegalitatea f(x) > f va fi atunci satisfăcut (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Punctul maxim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru ele inegalitatea f(x) va fi apoi satisfăcută< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condiție prealabilă

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0 când funcția f(x) care este derivabilă în punctul x_(0) va avea un extrem în acest punct.

Stare suficientă

1. Când derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
2. x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții dintr-un interval

Etape de calcul:

1. Se caută derivata f"(x);
2. Se găsesc punctele staționare și critice ale funcției și se selectează cele aparținând segmentului;
3. Valorile funcției f(x) se găsesc în punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultatele obținute va fi cea mai mică valoare funcții, și mai mult - cel mai mare.

Dependența unei variabile y de o variabilă x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Pentru desemnare folosiți notația y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Aruncă o privire mai atentă asupra proprietății parității.

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției în punctul x, aparținând domeniului de definire a funcției, trebuie să fie egală cu valoarea funcției în punctul -x. Adică, pentru orice punct x, următoarea egalitate trebuie satisfăcută din domeniul de definiție al funcției: f(x) = f(-x).

Graficul unei funcții pare

Dacă trasați un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa Oy.

De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Să luăm un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.

Figura arată că graficul este simetric față de axa Oy.

Graficul unei funcții impare

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul de definire al unei funcții date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică, dacă un punct a aparține domeniului de definire al funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului definiției a funcţiei date.

2. Pentru orice punct x trebuie îndeplinită următoarea egalitate din domeniul definiției funcției: f(x) = -f(x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea coordonatelor. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Să luăm un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.

Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.