Rezolvați formula ecuației pătratice. Ecuații patratice incomplete

Transformarea unei ecuații pătratice complete într-una incompletă arată astfel (pentru cazul \(b=0\)):

Pentru cazurile în care \(c=0\) sau când ambii coeficienți sunt egali cu zero, totul este similar.

Vă rugăm să rețineți că nu se pune problema ca \(a\) să fie egal cu zero nu poate fi egal cu zero, deoarece în acest caz se va transforma în:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

În primul rând, trebuie să înțelegeți că o ecuație pătratică incompletă este încă o , și, prin urmare, poate fi rezolvată în același mod ca o ecuație pătratică obișnuită (prin ). Pentru a face acest lucru, adăugăm pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(3x^2-27=0\)
Soluţie :

Răspuns : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(-x^2+x=0\)
Soluţie :

ÎN societatea modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Dovada acestui lucru poate fi găsită în proiectarea navelor maritime și fluviale, avioanelor și rachetelor. Folosind astfel de calcule, se determină traiectoriile de mișcare ale unei game largi de corpuri, inclusiv obiecte spațiale. Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în drumeții, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factorii ei componente

Se determină gradul ecuației valoarea maxima gradul variabilei pe care o conține această expresie. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui astfel de polinom îi lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, valorile variabilelor în care sunt ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai simplu mod de a găsi x este prin scoaterea variabilei dintre paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În continuare, devine evident că fie x=0, fie problema se rezumă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine a coordonatelor. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuirea valorilor necesare, echivalarea partea dreaptă 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătratic este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x+1), (x-3) și (x+). 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Rădăcină pătrată

Un alt caz de ecuație incompletă de ordinul doi este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă, iar după aceea se extrage rădăcina pătrată din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în în acest caz, Există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții pot fi egalitățile care nu conțin deloc un termen cu, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresie când partea dreaptă este negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței terenului

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate a fost determinată în mare măsură de necesitatea de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice bazate pe probleme de acest gen.

Deci, să presupunem că există un teren dreptunghiular, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Pentru a începe, să creăm mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea zonei, atunci lungimea acesteia va fi (x+16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x(x+16), care, conform condițiilor problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x(x+16) = 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este exact aceea, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite metode diferite.

Discriminant

În primul rând, să facem, atunci, transformările necesare aspect a acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie într-o formă corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta ar putea fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind un discriminant. Aici calculele necesare sunt produse după schema: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare într-o ecuație de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile. Dacă D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este egal cu: 256 - 4(-612) = 2704. Acest lucru sugerează că problema noastră are un răspuns. Dacă cunoașteți k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în cantități negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea parcelei) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 +16=34, iar perimetrul 2(34+ 18)=104(m2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Exemple și soluții detaliate ale mai multor dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Să mutăm totul la partea stângă egalitate, vom face o transformare, adică vom obține forma ecuației, care se numește de obicei standard, și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Aceasta înseamnă că ecuația noastră va avea două rădăcini. Să le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea cu 1.

2) Acum să rezolvăm mistere de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, să reducem polinomul la forma obișnuită corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece aceasta nu este deloc esența problemei. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Ecuații cuadratice Este convenabil să se rezolve prin formulele de mai sus și prin discriminant, când rădăcina pătrată este luată din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Ea poartă numele unei persoane care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației se adună numeric la -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Să folosim teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După verificare, ne vom asigura că aceste valori variabile se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva ghicitori matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de relație, desenată ca grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite folosind formula tocmai dată x 0 = -b/2a. Și înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, care aparține axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor unei parabole cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să ne uităm la ele. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul parabolei puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și contrariul. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și rezolvați ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Folosind ecuații care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu numai că făceau calcule matematice și determinau ariile figurilor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru marile descoperiri în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau radical diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care le cunoaște orice școlar modern.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a început să rezolve ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de era lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Sper că după ce ați studiat acest articol veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete, pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete, se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică completă, trebuie să calculăm discriminantul D.

D = b 2 – 4ac.

În funcție de valoarea discriminantului, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b)/2a. Când discriminantul număr pozitiv(D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. Rezolvați ecuația x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Răspuns: – 3,5; 1.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete folosind diagrama din figura 1.

Folosind aceste formule puteți rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca polinom vedere standard

O x 2 + bx + c, altfel poți să faci o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la exemplul 2 de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie primul, adică O x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi membru gratuit Cu.

Când rezolvați ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par în al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă într-o ecuație pătratică completă, al doilea termen are un coeficient par (b = 2k), atunci puteți rezolva ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egală cu unu și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată pentru soluție sau poate fi obținută prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient O, stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă pentru rezolvarea pătratului redus
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. Rezolvați ecuația

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3

Puteți observa că coeficientul lui x din această ecuație număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Atunci să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele date în diagrama figurii D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x – 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind temeinic formulele prezentate în diagrama din figura 1, veți putea întotdeauna să rezolvați orice ecuație pătratică completă.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Se știe că este o versiune particulară a egalității ax 2 + bx + c = o, unde a, b și c sunt coeficienți reali pentru x necunoscut și unde a ≠ o și b și c vor fi zerouri - simultan sau separat. De exemplu, c = o, b ≠ o sau invers. Aproape ne-am amintit definiția unei ecuații pătratice.

Trinomul de gradul doi este zero. Primul său coeficient a ≠ o, b și c poate lua orice valoare. Valoarea variabilei x va fi atunci când substituția o transformă într-o egalitate numerică corectă. Să ne concentrăm pe rădăcinile reale, deși soluțiile ecuației pot fi, de asemenea, obișnuit să se numească o ecuație completă în care niciunul dintre coeficienți nu este egal cu o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Să rezolvăm un exemplu. 2x 2 -9x-5 = oh, găsim
D = 81+40 = 121,
D este pozitiv, ceea ce înseamnă că există rădăcini, x 1 = (9+√121):4 = 5, iar al doilea x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Verificarea vă va ajuta să vă asigurați că sunt corecte.

Iată o soluție pas cu pas a ecuației pătratice

Folosind discriminantul, puteți rezolva orice ecuație pe partea stângă a căreia există un trinom pătratic cunoscut pentru a ≠ o. În exemplul nostru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Să ne uităm la ce sunt ecuații incomplete gradul doi

1. ax 2 +in = o. Termenul liber, coeficientul c la x 0, este egal cu zero aici, în ≠ o.
   Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă de acest tip? Să scoatem x din paranteze. Să ne amintim când produsul a doi factori este egal cu zero.
   x(ax+b) = o, aceasta poate fi atunci când x = o sau când ax+b = o.
   După ce am rezolvat a doua avem x = -в/а.
   Ca urmare, avem rădăcini x 1 = 0, conform calculelor x 2 = -b/a.
2. Acum coeficientul lui x este egal cu o, iar c nu este egal (≠) o.
   x 2 +c = o. Să mutăm c în partea dreaptă a egalității, obținem x 2 = -с. Această ecuație are rădăcini reale numai atunci când -c este un număr pozitiv (c ‹ o),
   x 1 este atunci egal cu √(-c), respectiv, x 2 este -√(-c). În caz contrar, ecuația nu are deloc rădăcini.
3. Ultima opțiune: b = c = o, adică ax 2 = o. Desigur, o astfel de ecuație simplă are o rădăcină, x = o.

Cazuri speciale

Ne-am uitat la cum să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă și acum să luăm orice tip.

• Într-o ecuație pătratică completă, al doilea coeficient al lui x este un număr par.
  Fie k = o.5b. Avem formule pentru calcularea discriminantului și a rădăcinilor.
  D/4 = k 2 - ac, rădăcinile se calculează ca x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pentru D › o.
  x = -k/a la D = o.
  Nu există rădăcini pentru D ‹ o.
• Sunt date ecuații pătratice, când coeficientul lui x pătrat este 1, ele sunt de obicei scrise x 2 + рх + q = o. Toate formulele de mai sus se aplică lor, dar calculele sunt oarecum mai simple.
  Exemplu, x 2 -4x-9 = 0. Calculați D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• În plus, este ușor de aplicat celor date Se spune că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p, al doilea coeficient cu minus (adică semnul opus), iar produsul acestor rădăcini va fi. fie egal cu q, termenul liber. Vedeți cât de ușor ar fi să determinați verbal rădăcinile acestei ecuații. Pentru coeficienții nereduși (pentru toți coeficienții care nu sunt egali cu zero), această teoremă este aplicabilă după cum urmează: suma x 1 + x 2 este egală cu -b/a, produsul x 1 ·x 2 este egal cu c/a.

Suma termenului liber c și a primului coeficient a este egală cu coeficientul b. În această situație, ecuația are cel puțin o rădăcină (ușor de demonstrat), prima este neapărat egală cu -1, iar a doua -c/a, dacă există. Puteți verifica singur cum să rezolvați o ecuație pătratică incompletă. Mai simplu nu poate fi. Coeficienții pot fi în anumite relații între ei

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Suma tuturor coeficienților este egală cu o.
  Rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și c/a. Exemplu, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Există o serie de alte moduri de a rezolva diverse ecuații de gradul doi. Iată, de exemplu, o metodă de extragere dintr-un polinom dat pătrat plin. Există mai multe metode grafice. Când te ocupi adesea de astfel de exemple, vei învăța să „dai clic” pe ele ca pe niște semințe, pentru că toate metodele vin în minte automat.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 sau x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

După ce ați învățat să rezolvați ecuații de gradul întâi, desigur, doriți să lucrați cu alții, în special, cu ecuații de gradul doi, care altfel sunt numite pătratice.

Ecuațiile cuadratice sunt ecuații ca ax² + bx + c = 0, unde variabila este x, numerele sunt a, b, c, unde a nu este egal cu zero.

Dacă într-o ecuație pătratică unul sau celălalt coeficient (c sau b) este egal cu zero, atunci această ecuație va fi clasificată ca o ecuație pătratică incompletă.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă dacă până acum studenții au reușit să rezolve doar ecuații de gradul I? Luați în considerare ecuațiile pătratice incomplete diferite tipuriși modalități simple de a le rezolva.

a) Dacă coeficientul c este egal cu 0 și coeficientul b nu este egal cu zero, atunci ax² + bx + 0 = 0 se reduce la o ecuație de forma ax² + bx = 0.

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, trebuie să cunoașteți formula de rezolvare a unei ecuații pătratice incomplete, care constă în factorizarea părții stângi a acesteia și ulterior folosirea condiției ca produsul să fie egal cu zero.

De exemplu, 5x² - 20x = 0. Factorăm partea stângă a ecuației, în timp ce efectuăm operația matematică obișnuită: scoatem factorul comun din paranteze

5x (x - 4) = 0

Folosim condiția ca produsele să fie egale cu zero.

5 x = 0 sau x - 4 = 0

Răspunsul va fi: prima rădăcină este 0; a doua rădăcină este 4.

b) Dacă b = 0, iar termenul liber nu este egal cu zero, atunci ecuația ax ² + 0x + c = 0 se reduce la o ecuație de forma ax ² + c = 0. Ecuațiile se rezolvă în două moduri : a) prin factorizarea polinomului ecuaţiei din partea stângă ; b) folosind proprietăţile aritmeticii rădăcină pătrată. O astfel de ecuație poate fi rezolvată folosind una dintre metodele, de exemplu:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Răspunsul va fi: prima rădăcină este 5/2; a doua rădăcină este egală cu - 5/2.

c) Dacă b este egal cu 0 și c este egal cu 0, atunci ax ² + 0 + 0 = 0 se reduce la o ecuație de forma ax ² = 0. Într-o astfel de ecuație x va fi egal cu 0.

După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice incomplete nu pot avea mai mult de două rădăcini.