Găsirea celui mai mic multiplu comun: metode, exemple de găsire a LCM. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun

Scolarilor li se dau o multime de sarcini la matematica. Printre acestea, de foarte multe ori există probleme cu următoarea formulare: există două sensuri. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor date? Este necesar să puteți îndeplini astfel de sarcini, deoarece abilitățile dobândite sunt folosite pentru a lucra cu fracții când numitori diferiti. În acest articol ne vom uita la cum să găsim LOC și concepte de bază.

Înainte de a găsi răspunsul la întrebarea cum să găsiți LCM, trebuie să definiți termenul multiplu. Cel mai adesea, formularea acestui concept sună după cum urmează: un multiplu al unei anumite valori A este un număr natural care va fi divizibil cu A fără rest Deci, pentru 4, multiplii vor fi 8, 12, 16, 20. și așa mai departe, până la limita necesară.

Mai mult decât atât, numărul de divizori pentru o anumită valoare poate fi limitat, dar multiplii sunt infiniti. Există, de asemenea, aceeași valoare pentru valorile naturale. Acesta este un indicator care este împărțit în ele fără rest. După ce am înțeles conceptul de cea mai mică valoare pentru anumiți indicatori, să trecem la cum să o găsim.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu de doi sau mai mulți exponenți este cel mai mic număr natural care este complet divizibil cu toate numerele specificate.

Există mai multe modalități de a găsi o astfel de valoare, luați în considerare următoarele metode:

1. Dacă numerele sunt mici, atunci scrieți pe o linie toate cele divizibile cu ea. Continuați să faceți asta până când găsiți ceva în comun între ei. În scris, ele sunt notate cu litera K. De exemplu, pentru 4 și 3, cel mai mic multiplu este 12.
2. Dacă acestea sunt mari sau trebuie să găsiți un multiplu de 3 sau mai multe valori, atunci ar trebui să utilizați o altă tehnică care implică descompunerea numerelor în factori primi. Mai întâi, așezați-o pe cea mai mare listată, apoi pe toate celelalte. Fiecare dintre ele are propriul său număr de multiplicatori. De exemplu, să descompunăm 20 (2*2*5) și 50 (5*5*2). Pentru cel mai mic, subliniază factorii și adaugă-i la cel mai mare. Rezultatul va fi 100, care va fi cel mai mic multiplu comun al numerelor de mai sus.
3. La găsirea a 3 numere (16, 24 și 36) principiile sunt aceleași ca și pentru celelalte două. Să extindem fiecare dintre ele: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Doar doi doi din extinderea numărului 16 nu au fost incluse în extinderea celui mai mare. Le adunăm și obținem 144, care este cel mai mic rezultat pentru valorile numerice indicate anterior.

Acum știm care este tehnica generală pentru găsirea celei mai mici valori pentru două, trei sau mai multe valori. Cu toate acestea, există și metode private, ajutând la căutarea NOC dacă cele anterioare nu ajută.

Cum să găsiți GCD și NOC.

Metode private de găsire

Ca și în cazul oricărei secțiuni matematice, există cazuri speciale de găsire a LCM care ajută în situații specifice:

• dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte fără rest, atunci cel mai mic multiplu al acestor numere este egal cu acesta (MCM de 60 și 15 este 15);
• numerele prime relativ nu au factori primi comuni. Cea mai mică valoare a acestora este egală cu produsul acestor numere. Astfel, pentru numerele 7 și 8 va fi 56;
• aceeași regulă funcționează și pentru alte cazuri, inclusiv cele speciale, despre care se poate citi în literatura de specialitate. Acestea ar trebui să includă și cazurile de descompunere a numerelor compuse, care sunt subiectul articolelor individuale și chiar al disertațiilor candidaților.

Cazurile speciale sunt mai puțin frecvente decât exemple standard. Dar datorită lor, puteți învăța să lucrați cu fracții de diferite grade de complexitate. Acest lucru este valabil mai ales pentru fracții, unde există numitori inegali.

Câteva exemple

Să ne uităm la câteva exemple care vă vor ajuta să înțelegeți principiul găsirii celui mai mic multiplu:

1. Găsiți LOC (35; 40). Mai întâi descompunem 35 = 5*7, apoi 40 = 5*8. Adăugați 8 la cel mai mic număr și obțineți LOC 280.
2. NOC (45; 54). Descompunem fiecare dintre ele: 45 = 3*3*5 și 54 = 3*3*6. Adăugăm numărul 6 la 45. Obținem un LCM egal cu 270.
3. Bine ultimul exemplu. Există 5 și 4. Nu există multipli primi ai acestora, așa că cel mai mic multiplu comun în acest caz va fi produsul lor, egal cu 20.

Datorită exemplelor, puteți înțelege cum este localizat NOC, care sunt nuanțele și care este sensul unor astfel de manipulări.

Găsirea NOC este mult mai ușoară decât ar părea inițial. Pentru a face acest lucru, se folosesc atât expansiunea simplă, cât și înmulțirea valori simple una peste alta. Capacitatea de a lucra cu această secțiune a matematicii ajută la studiul ulterioară a subiectelor matematice, în special a fracțiunilor cu diferite grade de complexitate.

Nu uitați să rezolvați periodic exemplele diverse metode, aceasta dezvoltă aparatul logic și vă permite să vă amintiți numeroși termeni. Învață cum să găsești un astfel de exponent și te vei putea descurca bine în restul secțiunilor de matematică. Învățare fericită la matematică!

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum să găsiți cel mai mic multiplu comun.

Să începem să studiem cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere. În această secțiune vom defini termenul, vom considera teorema care stabilește legătura dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun și vom da exemple de rezolvare a problemelor.

Multipli comuni – definiție, exemple

În acest subiect ne vor interesa doar multipli comuni ai numerelor întregi altele decât zero.

Definiția 1

Multiplu comun al numerelor întregi este un număr întreg care este un multiplu al tuturor numerelor date. De fapt, este orice număr întreg care poate fi împărțit la oricare dintre numerele date.

Definiția multiplilor comuni se referă la două, trei sau mai multe numere întregi.

Exemplul 1

Conform definiției de mai sus, multiplii comuni ai numărului 12 sunt 3 și 2. De asemenea, numărul 12 va fi un multiplu comun al numerelor 2, 3 și 4. Numerele 12 și -12 sunt multipli comuni ai numerelor ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

În același timp, multiplu comun al numerelor 2 și 3 va fi numerele 12, 6, − 24, 72, 468, − 100.010.004 și o serie întreagă de altele.

Dacă luăm numere care sunt divizibile cu primul număr al unei perechi și care nu sunt divizibile cu al doilea, atunci astfel de numere nu vor fi multipli comuni. Deci, pentru numerele 2 și 3, numerele 16, − 27, 5009, 27001 nu vor fi multipli comuni.

0 este un multiplu comun al oricărui set de numere întregi, altele decât zero.

Dacă ne amintim de proprietatea divizibilității în raport cu numere opuse, atunci se dovedește că un număr întreg k va fi un multiplu comun al acestor numere, la fel ca și numărul - k. Aceasta înseamnă că divizorii comuni pot fi fie pozitivi, fie negativi.

Este posibil să găsiți LCM pentru toate numerele?

Multiplu comun poate fi găsit pentru orice număr întreg.

Exemplul 2

Să presupunem că ni se dă k numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. Numărul pe care îl obținem la înmulțirea numerelor a 1 · a 2 · … · a kîn funcție de proprietatea divizibilității, acesta va fi împărțit în fiecare dintre factorii care au fost incluși în produsul original. Aceasta înseamnă că produsul numerelor a 1 , a 2 , … , a k este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Câți multipli comuni pot avea aceste numere întregi?

Un grup de numere întregi poate avea număr mare multipli comuni. De fapt, numărul lor este infinit.

Exemplul 3

Să presupunem că avem un număr k. Atunci produsul numerelor k · z, unde z este un întreg, va fi un multiplu comun al numerelor k și z. Având în vedere că numărul de numere este infinit, numărul multiplilor comuni este infinit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM) – Definiție, notație și exemple

Amintiți-vă conceptul de cel mai mic număr dintr-un set dat de numere, despre care am discutat în secțiunea „Compararea numerelor întregi”. Ținând cont de acest concept, formulăm definiția celui mai mic multiplu comun, care are cea mai mare semnificație practică dintre toți multiplii comuni.

Definiția 2

Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi date este cel mai mic multiplu comun pozitiv al acestor numere.

Există cel mai mic multiplu comun pentru orice număr de numere date. Cea mai des folosită abreviere pentru concept în literatura de referință este NOC. Notare scurtă pentru cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , … , a k va avea forma LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Exemplul 4

Cel mai mic multiplu comun al lui 6 și 7 este 42. Aceste. LCM(6, 7) = 42. Cel mai mic multiplu comun al celor patru numere 2, 12, 15 și 3 este 60. O notație scurtă va arăta ca LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Cel mai mic multiplu comun nu este evident pentru toate grupurile de numere date. Adesea trebuie calculat.

Relația dintre NOC și GCD

Cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun conectate între ele. Relația dintre concepte este stabilită prin teoremă.

Teorema 1

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) ).

Dovada 1

Să presupunem că avem un număr M, care este un multiplu al numerelor a și b. Dacă numărul M este divizibil cu a, există și un număr întreg z , sub care egalitatea este adevărată M = a k. Conform definiției divizibilității, dacă M este divizibil cu b, atunci a · kîmpărțit la b.

Dacă introducem o nouă notație pentru mcd (a, b) ca d, atunci putem folosi egalitățile a = a 1 dși b = b 1 · d. În acest caz, ambele egalități vor fi numere relativ prime.

Am stabilit deja mai sus a · kîmpărțit la b. Acum această condiție poate fi scrisă după cum urmează:
a 1 d kîmpărțit la b 1 d, ceea ce este echivalent cu condiția a 1 kîmpărțit la b 1 după proprietăţile divizibilităţii.

Conform proprietății reciproc numere prime, Dacă a 1Şi b 1– numere coprime, a 1 nedivizibil cu b 1în ciuda faptului că a 1 kîmpărțit la b 1, Asta b 1 trebuie împărtășită k.

În acest caz, ar fi potrivit să presupunem că există un număr t, pentru care k = b 1 t, și de când b 1 = b: d, Asta k = b: d t.

Acum in schimb k să substituim în egalitate M = a k expresia formei b: d t. Acest lucru ne permite să atingem egalitatea M = a b: d t. La t = 1 putem obține cel mai mic multiplu comun pozitiv al lui a și b , egal a b:d, cu condiția ca numerele a și b pozitiv.

Deci am demonstrat că LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Stabilirea unei conexiuni între LCM și GCD vă permite să găsiți cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere date.

Definiția 3

Teorema are două consecințe importante:

• multiplii celui mai mic multiplu comun a două numere sunt la fel cu multiplii comuni ai acestor două numere;
• cel mai mic multiplu comun al numerelor prime pozitive reciproce a și b este egal cu produsul lor.

Nu este greu de fundamentat aceste două fapte. Orice multiplu comun al lui M al numerelor a și b este definit de egalitatea M = LCM (a, b) · t pentru o valoare întreagă t. Deoarece a și b sunt relativ primi, atunci mcd (a, b) = 1, prin urmare, mcd (a, b) = a · b: mcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, este necesar să găsiți secvențial LCM a două numere.

Teorema 2

Să presupunem că a 1 , a 2 , … , a k- acestea sunt niște numere întregi numere pozitive. Pentru a calcula LCM m k aceste numere, trebuie să le calculăm secvenţial m2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(mk-1, ak).

Dovada 2

Primul corolar din prima teoremă discutată în acest subiect ne va ajuta să demonstrăm validitatea celei de-a doua teoreme. Raționamentul se bazează pe următorul algoritm:

• multipli comuni ai numerelor a 1Şi a 2 coincid cu multiplii LCM lor, de fapt, ele coincid cu multiplii numărului m 2;
• multipli comuni ai numerelor a 1, a 2Şi a 3 m 2Şi a 3 m 3;
• multipli comuni ai numerelor a 1 , a 2 , … , a k coincid cu multipli comuni ai numerelor m k - 1Şi un k, prin urmare, coincid cu multiplii numărului m k;
• datorită faptului că cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul în sine m k, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , … , a k este m k.

Așa am demonstrat teorema.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiţie. Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiţie. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiţie. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numere naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este un multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să scriem factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Număr, egal cu suma Ei au numit toți divizorii săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33.550.336 Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât mergem mai departe serie de numere, numerele prime mai puțin comune sunt. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care erau multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.

Să ne uităm la trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Constatare prin factorizare

Prima metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM al numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, să factorăm fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere în cel mai mare grad posibil și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Astfel, LCM (99, 30, 28) = 13.860 Nici un alt număr mai mic de 13.860 nu este divizibil cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, le împotriviți în factorii lor primi, apoi luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent în care apare și înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele prime relativ nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt relativ prime. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru trebuie făcut atunci când găsiți cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin selecție.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este împărțit la un alt număr dat, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

1. Determinați cel mai mare număr din numerele date.
2. În continuare, găsim numerele care sunt multiplii celui mai mare număr, înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă produsul rezultat este divizibil cu numerele date rămase.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinăm cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și 3:

24 · 1 = 24 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 · 2 = 48 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 · 3 = 72 - divizibil cu 3 și 18.

Astfel, LCM (24, 3, 18) = 72.

Găsirea prin găsirea secvenţială a LCM

A treia metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea secvenţială a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul la gcd-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, utilizați următoarea procedură:

1. Mai întâi, găsiți LCM a oricăror două dintre aceste numere.
2. Apoi, LCM al cel mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr etc.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al numărului 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul la gcd-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8, 9) = 72.

Dar multe numere naturale sunt și divizibile cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil cu un întreg (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural o- este un număr natural care împarte un număr dat o fara urma. Se numește un număr natural care are mai mult de doi divizori compozit .

Vă rugăm să rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Aceste numere sunt: ​​1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere oŞi b- acesta este numărul cu care ambele numere date sunt împărțite fără rest oŞi b.

Multipli comuni mai multe numere este un număr care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni există întotdeauna unul cel mai mic, în în acest caz, acesta este 90. Acest număr este numit cel mai micmultiplu comun (CMM).

LCM este întotdeauna un număr natural care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mŞi n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mŞi n. Mai mult, setul multiplilor comuni m, n coincide cu setul de multipli ai LCM( m, n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Aşa, Funcția Cebyshev. Și de asemenea:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți utiliza conexiunea acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k- diverse numere prime, și d 1 ,...,d kŞi e 1 ,...,e k— numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi NOC ( o,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, descompunerea LCM conține toți factorii primi incluși în cel puțin una dintre descompunerea numerelor. a, b, și se ia cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui multiplicator.

Exemplu:

Calcularea celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redusă la mai multe calcule secvențiale ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare descompunere (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați) la factorii produsului dorit, apoi adăugați factori din descompunerea altor numere care nu apar în primul număr sau apar în el mai puține ori;

— produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) sunt completați cu factorul 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr, care este divizibil cu 21 și 28.

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 sunt completați cu factorul 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) care este un multiplu al tuturor numerelor date.

Numerele 2,3,11,37 sunt numere prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

Regulă. Pentru a calcula LCM al numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

O alta varianta:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Notăm cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.