Cum se rezolvă un sistem de ecuații folosind metoda matricei. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind o matrice inversă

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Metoda matricei vă permite să găsiți soluții la SLAE (sistem de liniar ecuații algebrice) de orice complexitate. Întregul proces de rezolvare a SLAE-urilor se rezumă la două acțiuni principale:

Determinarea matricei inverse pe baza matricei principale:

Înmulțirea matricei inverse rezultate cu un vector coloană de soluții.

Să presupunem că ni se oferă un SLAE de următoarea formă:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Să începem să rezolvăm această ecuație scriind matricea sistemului:

Matrice din partea dreaptă:

Să definim matricea inversă. Puteți găsi o matrice de ordinul 2 după cum urmează: 1 - matricea în sine trebuie să fie nesingulară; 2 - se schimbă elementele sale care se află pe diagonala principală, iar pentru elementele diagonalei secundare schimbăm semnul cu cel opus, după care împărțim elementele rezultate la determinantul matricei. Primim:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matrice sunt considerate egale dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale. Ca rezultat, avem următorul răspuns pentru soluția SLAE:

Unde pot rezolva un sistem de ecuații folosind metoda matricei online?

Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte.

Scopul serviciului. Folosind acest calculator online, necunoscutele (x 1, x 2, ..., x n) sunt calculate într-un sistem de ecuații. Decizia este dusă la îndeplinire metoda matricei inverse. În acest caz:

• se calculează determinantul matricei A;
• prin adunări algebrice se găseşte matrice inversă A-1;
• se creează un șablon de soluție în Excel;

Decizia se ia direct pe site-ul web (in modul online) și este gratuit. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport Word (vezi formatul exemplu).

Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție folosind metoda matricei inverse, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, într-o nouă casetă de dialog, completați matricea A și vectorul rezultatelor B.

Numărul de variabile 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Rezolvarea ecuațiilor matriceale.

Algoritm de rezolvare

1. Se calculează determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci soluția este terminată. Sistemul are un număr infinit de soluții.
2. Când determinantul este diferit de zero, matricea inversă A -1 se găsește prin adunări algebrice.
3. Vectorul soluție X =(x 1, x 2, ..., x n) se obține prin înmulțirea matricei inverse cu vectorul rezultat B.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru sistem metoda matricei. Să scriem matricea sub forma:
Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Examinare:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o masă unde m linii şi n coloane, se spune că această matrice are dimensiunea m pe n.

Vedere generală a matricei:

Pentru solutii matriceale este necesar să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți parametrii ei principali. Elementele principale ale matricei:

• Diagonala principală, constând din elemente un 11, un 22…..a mn.
• Diagonala laterală formată din elemente a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Principalele tipuri de matrice:

• Pătratul este o matrice în care numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
• Zero - unde toate elementele matricei = 0.
• Matrice transpusă - matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală O prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
• Unitate - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
• O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat o matrice de identitate.

Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate pot fi simetrice.

Metode de rezolvare a matricilor.

Aproape totul metode de rezolvare a matricei consta in gasirea determinantului acestuia n-a ordine și majoritatea sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3 există alte metode, mai raționale.

Găsirea determinanților de ordinul 2.

Pentru a calcula determinantul unei matrice O Ordinul 2, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.

Regula simplificată a triunghiului ca una dintre metode de rezolvare a matricei, poate fi descris astfel:

Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul „+”; De asemenea, pentru al 2-lea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul „-”, adică conform următoarei scheme:

La rezolvarea matricilor folosind regula lui Sarrus, în dreapta determinantului, se adună primele 2 coloane și produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și pe diagonalele care sunt paralele cu acesta se iau cu semnul „+”; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:

Descompunerea determinantului într-un rând sau coloană la rezolvarea matricilor.

Determinant egal cu suma produse ale elementelor șirului determinant prin complementele lor algebrice. De obicei este selectat rândul/coloana care conține zerouri. Rândul sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.

La rezolvarea matricilor metoda de reducere a determinantului la formă triunghiulară, ele funcționează astfel: folosind transformări simple peste rânduri sau coloane, determinantul devine în aparență triunghiulară iar apoi valoarea sa, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul elementelor care stau pe diagonala principală.

Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.

Când rezolvați matrice folosind teorema lui Laplace, trebuie să cunoașteți teorema în sine. Teorema lui Laplace: Fie Δ - acesta este un factor determinant n-a ordine. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k-a ordine conținută în selectat k rândurile (coloanele), prin complementele lor algebrice vor fi egale cu determinantul.

Rezolvarea matricei inverse.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

1. Determinați dacă o matrice dată este pătrată. Dacă răspunsul este negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
2. Calculăm complemente algebrice.
3. Compunem o matrice de unire (mutuală, adjunctă). C.
4. Compunem matricea inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea finală va fi matricea inversă necesară față de cea dată.
5. Verificăm munca efectuată: înmulțiți matricea inițială și matricea rezultată, rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Rezolvarea sistemelor matriceale.

Pentru solutii ale sistemelor matriceale Cel mai des este folosită metoda Gaussiană.

Metoda Gauss este o metodă standard de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate succesiv, adică, cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuații este adus la un sistem echivalent de triunghiuri. forma si din ea, secvential, pornind de la aceasta din urma (dupa numar), gasiti fiecare element al sistemului.

metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru găsirea de soluții matrice. Dacă un sistem are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss presupune, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, mișcarea inversă este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.

Să luăm în considerare sistem de ecuații algebrice liniare(SLAU) relativ n necunoscut x 1 , x 2 , ..., x n :

Acest sistem într-o formă „restrânsă” poate fi scris după cum urmează:

S n i=1 o ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

În conformitate cu regula înmulțirii matriceale, sistemul considerat ecuații liniare poate fi scris în formă matriceală Ax=b, Unde

, ,.

Matrice O, ale căror coloane sunt coeficienții pentru necunoscutele corespunzătoare, iar rândurile sunt coeficienții pentru necunoscutele din ecuația corespunzătoare se numește matricea sistemului. Matricea coloanei b, ale cărui elemente sunt părțile din dreapta ale ecuațiilor sistemului, se numește matrice din partea dreaptă sau pur și simplu partea dreaptă a sistemului. Matricea coloanei x , ale cărui elemente sunt necunoscutele necunoscute, se numește soluție de sistem.

Un sistem de ecuații algebrice liniare scrise sub forma Ax=b, este ecuația matriceală.

Dacă matricea sistemului nedegenerate, atunci are o matrice inversă și atunci soluția sistemului este Ax=b este dat de formula:

x=A -1 b.

Exemplu Rezolvați sistemul metoda matricei.

Soluţie să găsim matricea inversă pentru matricea coeficienților sistemului

Să calculăm determinantul prin extinderea de-a lungul primei linii:

Din moment ce Δ ≠ 0 , Asta O -1 există.

Matricea inversă a fost găsită corect.

Să găsim o soluție la sistem

Prin urmare, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Examinare:

7. Teorema Kronecker-Capelli privind compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare.

Sistem de ecuații liniare are forma:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Aici sunt date a i j și b i (i = ; j = ), iar x j sunt numere reale necunoscute. Folosind conceptul de produs al matricelor, putem rescrie sistemul (5.1) sub forma:

unde A = (a i j) este o matrice formată din coeficienți pentru necunoscutele sistemului (5.1), care se numește matricea sistemului, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sunt vectori coloană alcătuiți respectiv din necunoscute x j și termeni liberi b i .

Colectare comandată n numerele reale (c 1, c 2,..., c n) se numesc soluție de sistem(5.1), dacă în urma înlocuirii acestor numere în locul variabilelor corespunzătoare x 1, x 2,..., x n, fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o identitate aritmetică; cu alte cuvinte, dacă există un vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T astfel încât AC  B.

Sistemul (5.1) este numit comun, sau rezolvabil, daca are cel putin o solutie. Sistemul este numit incompatibil, sau de nerezolvat, daca nu are solutii.

,

format prin atribuirea unei coloane de termeni liberi în dreapta matricei A se numește matricea extinsă a sistemului.

Problema compatibilității sistemului (5.1) se rezolvă prin următoarea teoremă.

Teorema Kronecker-Capelli . Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rândurile matricelor A șiA coincid, adică. r(A) = r(A) = r.

Pentru mulțimea M de soluții ale sistemului (5.1) există trei posibilități:

1) M =  (în acest caz sistemul este inconsecvent);

2) M constă dintr-un element, adică sistemul are o soluție unică (în acest caz sistemul este numit anumit);

3) M este format din mai mult de un element (atunci sistemul este numit nesigur). În al treilea caz, sistemul (5.1) are un număr infinit de soluții.

Sistemul are o soluție unică numai dacă r(A) = n. În acest caz, numărul de ecuații nu este număr mai mic necunoscute (mn); dacă m>n, atunci m-n ecuații sunt consecințele celorlalți. Daca 0

Pentru a rezolva un sistem arbitrar de ecuații liniare, trebuie să fiți capabil să rezolvați sisteme în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute - așa-numitele Sisteme de tip Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistemele (5.3) se rezolvă în una din următoarele moduri: 1) metoda Gauss, sau metoda eliminării necunoscutelor; 2) după formulele lui Cramer; 3) metoda matricei.

Exemplul 2.12. Explorează sistemul de ecuații și rezolvă-l dacă este consecvent:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Soluţie. Scriem matricea extinsă a sistemului:

 .

Să calculăm rangul matricei principale a sistemului. Este evident că, de exemplu, minorul de ordinul doi din colțul din stânga sus = 7  0; minorii de ordinul trei care îl conțin sunt egali cu zero:

În consecință, rangul matricei principale a sistemului este 2, adică. r(A) = 2. Pentru a calcula rangul matricei extinse A, luăm în considerare minorul limitrof

aceasta înseamnă că rangul matricei extinse r(A) = 3. Deoarece r(A)  r(A), sistemul este inconsecvent.

Tema 2. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINEARE.

Concepte de bază.

Definiția 1. Sistem m ecuații liniare cu n necunoscute este un sistem de forma:

unde și sunt numere.

Definiția 2. O soluție a sistemului (I) este un set de necunoscute în care fiecare ecuație a acestui sistem devine o identitate.

Definiția 3. Sistemul (I) este numit comun, dacă are cel puțin o soluție și nearticulată, daca nu are solutii. Sistemul articular este numit anumit, dacă are o soluție unică, și nesigur altfel.

Definiția 4. Ecuația formei

numit zero, iar ecuația este de forma

numit incompatibil. Evident, un sistem de ecuații care conține o ecuație inconsistentă este inconsistent.

Definiția 5. Se numesc două sisteme de ecuații liniare echivalent, dacă fiecare soluție a unui sistem servește ca soluție pentru altul și, invers, fiecare soluție a celui de-al doilea sistem este o soluție pentru primul.

Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare.

Să luăm în considerare sistemul (I) (vezi §1).

Să notăm:

Matricea coeficienților pentru necunoscute

Matrice - coloană de termeni liberi

Matrice – coloană de necunoscute

.

Definiția 1. Matricea se numește matricea principală a sistemului(I), iar matricea este matricea extinsă a sistemului (I).

După definiția egalității matricelor, sistemul (I) corespunde egalității matricelor:

.

Partea dreaptă a acestei egalități prin definiția produsului matricelor ( vezi definiția 3 § 5 capitolul 1) poate fi factorizat:

, adică

Egalitatea (2) numit notația matricială a sistemului (I).

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n, adică numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar matricea principală a sistemului este nesingulară, adică. . Atunci sistemul (I) din §1 are o soluție unică

unde Δ = det A numit principal determinant al sistemului(I), Δ i se obţine din determinantul Δ prin înlocuire i a-a coloană la o coloană de membri liberi ai sistemului (I).

Exemplu: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer:

.

Prin formule (3) .

Calculăm determinanții sistemului:

,

,

.

Pentru a obține determinantul, am înlocuit prima coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi; înlocuind a 2-a coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi, obținem ; într-un mod similar, înlocuind a 3-a coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi, obținem . Soluție de sistem:

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind o matrice inversă.

Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n iar matricea principală a sistemului este nesingulară. Să scriem sistemul (I) sub formă de matrice ( vezi §2):

deoarece matrice O nesingular, atunci are o matrice inversă ( vezi Teorema 1 §6 din Capitolul 1). Să înmulțim ambele părți ale egalității (2) la matrice, atunci

Prin definiția unei matrici inverse. Din egalitate (3) avem

Rezolvați sistemul folosind matricea inversă

.

Să notăm

În exemplul (§ 3) am calculat determinantul, deci, matricea O are o matrice inversă. Apoi în vigoare (4) , adică

. (5)

Să găsim matricea ( vezi §6 capitolul 1)

, , ,

, , ,

,

.

metoda Gauss.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare:

. (eu)

Este necesar să găsiți toate soluțiile sistemului (I) sau să vă asigurați că sistemul este inconsecvent.

Definiția 1.Să o numim o transformare elementară a sistemului(I) oricare dintre cele trei acțiuni:

1) tăierea ecuației zero;

2) adunarea la ambele părți ale ecuației a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu numărul l;

3) schimbarea termenilor în ecuațiile sistemului astfel încât necunoscutele cu aceleași numere în toate ecuațiile să ocupe aceleași locuri, i.e. dacă, de exemplu, în prima ecuație am schimbat termenii 2 și 3, atunci același lucru trebuie făcut în toate ecuațiile sistemului.

Metoda Gauss constă în faptul că sistemul (I) cu ajutorul transformărilor elementare se reduce la un sistem echivalent, a cărui soluție se găsește direct sau se stabilește insolubilitatea acestuia.

După cum este descris în §2, sistemul (I) este determinat în mod unic de matricea sa extinsă și orice transformare elementară a sistemului (I) corespunde unei transformări elementare a matricei extinse:

.

Transformarea 1) corespunde cu ștergerea rândului zero din matrice, transformarea 2) echivalează cu adăugarea unui alt rând la rândul corespunzător al matricei, înmulțit cu numărul l, transformarea 3) echivalează cu rearanjarea coloanelor din matrice.

Este lesne de observat că, dimpotrivă, fiecărei transformări elementare a matricei îi corespunde o transformare elementară a sistemului (I). Datorită celor de mai sus, în loc de operații cu sistemul (I), vom lucra cu matricea extinsă a acestui sistem.

În matrice, prima coloană este formată din coeficienți pt x 1, coloana a 2-a - din coeficienții pt x 2 etc. Dacă coloanele sunt rearanjate, trebuie luat în considerare faptul că această condiție este încălcată. De exemplu, dacă schimbăm prima și a doua coloană, atunci prima coloană va conține coeficienții pentru x 2, iar în coloana a 2-a - coeficienții pentru x 1.

Vom rezolva sistemul (I) folosind metoda Gaussiană.

1. Tăiați toate rândurile zero din matrice, dacă există (adică, tăiați toate ecuațiile zero din sistemul (I).

2. Să verificăm dacă printre rândurile matricei există un rând în care toate elementele cu excepția ultimului sunt egale cu zero (să numim un astfel de rând inconsecvent). Evident, o astfel de linie corespunde unei ecuații inconsistente în sistemul (I), prin urmare, sistemul (I) nu are soluții și aici se termină procesul.

3. Fie ca matricea să nu conțină rânduri inconsistente (sistemul (I) nu conține ecuații inconsistente). Dacă a 11 =0, apoi găsim în primul rând vreun element (cu excepția ultimului) altul decât zero și rearanjam coloanele astfel încât în ​​primul rând să nu fie zero pe locul 1. Vom presupune acum că (adică, vom schimba termenii corespunzători în ecuațiile sistemului (I)).

4. Înmulțiți prima linie cu și adăugați rezultatul cu a doua linie, apoi înmulțiți prima linie cu și adăugați rezultatul cu a treia linie etc. Evident, acest proces echivalează cu eliminarea necunoscutului x 1 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei. În noua matrice obținem zerouri în prima coloană de sub element un 11:

.

5. Să tăiem toate rândurile zero din matrice, dacă există, și să verificăm dacă există un rând inconsecvent (dacă există unul, atunci sistemul este inconsecvent și soluția se termină acolo). Să verificăm dacă va fi a 22 / =0, dacă da, atunci găsim în al 2-lea rând un alt element decât zero și rearanjam coloanele astfel încât . Apoi, înmulțiți elementele celui de-al doilea rând cu si se adauga cu elementele corespunzatoare liniei a 3-a, apoi - elementele liniei a 2-a si se adauga cu elementele corespunzatoare ale liniei a 4-a etc., pana obtinem zerouri sub a 22/

.

Acțiunile întreprinse sunt echivalente cu eliminarea necunoscutului x 2 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei și a doua. Deoarece numărul de rânduri este finit, după un număr finit de pași obținem că fie sistemul este inconsecvent, fie ajungem la o matrice de pași ( vezi definiția 2 §7 capitolul 1) :

,

Să scriem sistemul de ecuații corespunzător matricei. Acest sistem este echivalent cu sistemul (I)

.

Din ultima ecuație pe care o exprimăm; înlocuiți în ecuația anterioară, găsiți etc., până când obținem .

Nota 1. Astfel, când rezolvăm sistemul (I) folosind metoda Gauss, ajungem la unul din următoarele cazuri.

1. Sistemul (I) este inconsecvent.

2. Sistemul (I) are o soluție unică dacă numărul de rânduri din matrice este egal cu numărul de necunoscute ().

3. Sistemul (I) are un număr infinit de soluții dacă numărul de rânduri din matrice este mai mic decât numărul de necunoscute ().

Prin urmare, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema. Un sistem de ecuații liniare fie este inconsecvent, are o soluție unică, fie are un număr infinit de soluții.

Exemple. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss sau demonstrați inconsecvența acestuia:

b) ;

a) Să rescriem sistemul dat sub forma:

.

Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului original pentru a simplifica calculele (în loc de fracții, vom opera numai cu numere întregi folosind această rearanjare).

Să creăm o matrice extinsă:

.

Nu există linii nule; nu există linii incompatibile, ; Să excludem prima necunoscută din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele din primul rând al matricei cu „-2” și adăugați-le cu elementele corespunzătoare din al doilea rând, ceea ce este echivalent cu înmulțirea primei ecuații cu „-2” și adăugarea acesteia cu a doua. ecuaţie. Apoi înmulțim elementele primei linii cu „-3” și le adăugăm cu elementele corespunzătoare din a treia linie, adică. înmulțiți a 2-a ecuație a sistemului dat cu „-3” și adăugați-o la a 3-a ecuație. Primim

.

Matricea corespunde unui sistem de ecuaţii). - (vezi definiția 3§7 din capitolul 1).