Probleme care implică procente: calcul standard folosind proporții. Postări etichetate „alcătuirea proporțiilor în funcție de condițiile problemei”

Din punct de vedere matematic, o proporție este egalitatea a două rapoarte. Interdependența este caracteristică tuturor părților proporției, precum și rezultatul lor neschimbător. Puteți înțelege cum să creați o proporție familiarizându-vă cu proprietățile și formula proporției. Pentru a înțelege principiul rezolvării proporțiilor, va fi suficient să luăm în considerare un exemplu. Numai rezolvând direct proporțiile poți învăța rapid și ușor aceste abilități. Și acest articol va ajuta cititorul în acest sens.

Proprietăți ale proporției și formulei

1. Inversarea proporției. În cazul în care egalitatea dată arată ca 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți 2b: 1a = 4d: 3c. (Și 1a, 2b, 3c și 4d sunt numere prime, altele decât 0).
2. Înmulțirea încrucișată a termenilor dați ai proporției. ÎN expresie literală arată astfel: 1a: 2b = 3c: 4d, iar scrierea 1a4d = 2b3c va fi echivalentă cu aceasta. Astfel, produsul părților extreme ale oricărei proporții (numerele de la marginile egalității) este întotdeauna egal cu produsul părților din mijloc (numerele situate în mijlocul egalității).
3. Când compuneți o proporție, proprietatea acesteia de a rearanja termenii extremi și medii poate fi de asemenea utilă. Formula egalității 1a: 2b = 3c: 4d poate fi afișată în următoarele moduri:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (când termenii de mijloc ai proporției sunt rearanjați).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (când termenii extremi ai proporției sunt rearanjați).
4. Proprietatea sa de a crește și de a descrește ajută perfect la rezolvarea proporțiilor. Când 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (egalitatea prin proporție crescătoare).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (egalitate prin proporție descrescătoare).
5. Puteți crea o proporție adunând și scăzând. Când proporția este scrisă ca 1a:2b = 3c:4d, atunci:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporția se face prin adunare).
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporția se calculează prin scădere).
6. De asemenea, atunci când se rezolvă o proporție care conține fracțional sau numere mari, puteți împărți sau înmulți ambii termeni cu același număr. De exemplu, componentele proporției 70:40=320:60 pot fi scrise astfel: 10*(7:4=32:6).
7. O opțiune pentru rezolvarea proporțiilor cu procente arată astfel. De exemplu, notați 30=100%, 12=x. Acum ar trebui să înmulțiți termenii de mijloc (12*100) și să împărțiți la extrema cunoscută (30). Astfel, răspunsul este: x=40%. În mod similar, dacă este necesar, puteți înmulți termenii extremi cunoscuți și îi puteți împărți la un număr mediu dat, obținând rezultatul dorit.

Dacă sunteți interesat de o anumită formulă de proporție, atunci în versiunea cea mai simplă și cea mai comună, proporția este următoarea egalitate (formulă): a/b = c/d, în care a, b, c și d sunt patru non- numere zero.

Rezolvarea unei probleme folosind o proporție înseamnă a face o valoare necunoscută x membru al acestei proporții. Apoi, folosind proprietatea de bază a proporției, obțineți ecuație liniară si rezolva-l.

Abilități preliminare Conținutul lecției

Cum să rezolvi o problemă folosind proporția

Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu. Trei grupuri trebuie să primească o bursă de 1.600 de ruble fiecare. În prima grupă sunt 20 de elevi. Aceasta înseamnă că primul grup va fi plătit cu 1600 × 20, adică 32 de mii de ruble.

În al doilea grup sunt 17 persoane. Aceasta înseamnă că al doilea grup va fi plătit cu 1600 × 17, adică 27.200 mii de ruble.

Ei bine, vom plăti o bursă celui de-al treilea grup. Sunt 15 oameni în el. Trebuie să cheltuiți 1600 × 15 pe ele, adică 24 de mii de ruble.

Ca urmare, avem următoarea soluție:

Pentru astfel de probleme, soluția poate fi scrisă folosind o proporție.

Proporția prin definiție este egalitatea a două rapoarte. De exemplu, egalitatea este proporție. Această proporție poate fi citită după cum urmează:

o acest lucru se aplică b, Cum c se aplică d

În mod similar, puteți corela bursa și studenții, astfel încât fiecare să primească 1.600 de ruble.

Deci, să notăm primul raport, și anume raportul de o mie șase sute de ruble de persoană:

Am aflat că pentru a plăti 20 de studenți câte 1.600 de ruble fiecare, vom avea nevoie de 32 de mii de ruble. Deci, al doilea raport va fi raportul dintre treizeci și două de mii la douăzeci de studenți:

Acum conectăm relațiile rezultate cu un semn egal:

Am luat proporția. Se poate citi astfel:

O mie șase sute de ruble se referă la un student, așa cum treizeci și două de mii de ruble se referă la douăzeci de studenți.

Înțelegeți câte 1600 de ruble fiecare. Dacă împărțiți pe ambele părți ale ecuației , atunci vom descoperi că un student, ca douăzeci de studenți, va primi 1.600 de ruble.

Acum imaginați-vă că suma de bani necesară pentru a plăti burse pentru douăzeci de studenți nu era cunoscută. Să spunem dacă întrebarea a fost așa: V În grup sunt 20 de studenți și fiecare trebuie să plătească 1600 de ruble. Câte ruble sunt necesare pentru a plăti bursa?

În acest caz proporţia ar lua forma. Adică, suma de bani necesară pentru plata bursei a devenit un membru necunoscut al proporției. Această proporție poate fi citită după cum urmează:

O mie șase sute de ruble se referă la un student ca număr necunoscut de ruble se referă la douăzeci de studenți

Acum să folosim proprietatea de bază a proporției. Se afirmă că produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor medii:

Înmulțind termenii proporției „în cruce”, obținem egalitatea 1600 × 20 = 1 × x. După ce am calculat ambele părți ale egalității, obținem 32000 = x sau x= 32000 . Cu alte cuvinte, vom găsi valoarea cantității necunoscute pe care o căutam.

În mod similar, a fost posibil să se determine suma totală pentru numărul rămas de studenți - pentru 17 și 15. Aceste proporții arătau ca și. Folosind proprietatea de bază a proporției, puteți găsi valoarea x

Problema 2. Autobuzul a parcurs o distanță de 100 km în 2 ore. Cât va dura autobuzul să parcurgă 300 km dacă circulă cu aceeași viteză?

Puteți determina mai întâi distanța pe care o parcurge autobuzul într-o oră. Apoi determinați de câte ori această distanță este conținută în 300 de kilometri:

100: 2 = 50 km pentru fiecare oră de călătorie

300 km: 50 = 6 ore

Sau puteți face proporția „o sută de kilometri sunt la o oră așa cum trei sute de kilometri sunt la un număr necunoscut de ore”:

Raportul cantităților similare

Dacă termenii extremi sau medii ai proporției sunt schimbați, proporția nu va fi încălcată.

Da, în proporție puteți schimba membrii extremi. Apoi obțineți proporția .

De asemenea, proporția nu va fi încălcată dacă este întoarsă cu susul în jos, adică se folosesc rapoarte inverse în ambele părți.

Să inversăm proporția . Apoi obținem proporția . Relația nu este ruptă. Raportul dintre studenți este egal cu raportul dintre sumele de bani destinate acestor studenți. Această proporție este adesea întocmită în școală atunci când sunt întocmite tabele pentru a rezolva o problemă.

Această metodă de scriere este foarte convenabilă deoarece vă permite să traduceți enunțul problemei într-o formă mai înțeleasă. Să rezolvăm o problemă în care trebuia să stabilim de câte ruble sunt necesare pentru a plăti burse pentru douăzeci de studenți.

Să scriem condițiile problemei după cum urmează:

Să creăm un tabel pe baza acestei condiții:

Să facem o proporție folosind datele din tabel:

Folosind proprietatea de bază a proporției, obținem o ecuație liniară și găsim rădăcina acesteia:

Inițial, aveam de-a face cu proporție , care este alcătuită din rapoarte de cantități de diferite naturi. Număratorii rapoartelor conțineau sumele de bani, iar numitorii includeau numărul de studenți:

Schimbând membrii extremi, obținem proporția . Această proporție este alcătuită din rapoarte de cantități de aceeași natură. Prima relație conține numărul de studenți, iar a doua - suma de bani:

Dacă o relație este compusă din cantități de aceeași natură, atunci o vom numi raportul cantităților cu același nume. De exemplu, relația dintre fructe, bani, mărimi fizice, fenomene, acțiuni.

Un raport poate fi compus atât din cantități cu același nume, cât și din cantități de natură diferită. Exemple ale acestora din urmă sunt raportul dintre distanță și timp, raportul dintre costul unui produs și cantitatea acestuia și raportul dintre valoarea totală a burselor și numărul de studenți.

Exemplul 2. În grădina școlii sunt plantați pini și mesteacăn, cu câte 2 mesteacăn pentru fiecare pin. Câți pini au fost plantați în grădină dacă au fost plantați 240 de mesteacăni?

Să stabilim câți pini au fost plantați în grădină. Pentru a face acest lucru, să creăm o proporție. Condiția spune că pentru fiecare pin sunt 2 mesteceni. Să scriem o relație care să arate că există doi mesteacăni pentru un pin:

Acum să scriem o a doua relație care să arate asta x pinii reprezintă 240 de mesteceni

Să conectăm aceste relații cu un semn egal și să obținem următoarea proporție:

„Doi mesteceni tratează un pin așa,
cum se leagă 240 de mesteacăn cu x pini”

Folosind proprietatea de bază a proporției, găsim valoarea x

Sau proporția poate fi făcută notând mai întâi condiția, ca în exemplul anterior:

Veți obține aceeași proporție, dar de data aceasta va fi alcătuită din rapoarte de cantități cu același nume:

Aceasta înseamnă că în grădină au fost plantați 120 de pini.

Exemplul 3. Din 225 kg minereu s-au obținut 34,2 kg cupru. Care este procentul de cupru din minereu?

Puteți împărți 34,2 la 225 și exprimați rezultatul ca procent:

Sau faceți o proporție de 225 de kilograme de minereu ca 100%, deoarece 34,2 kg de cupru sunt la un număr necunoscut de procente:

Sau creați o proporție în care rapoartele sunt formate din cantități cu același nume:

Probleme de proporționalitate directă

Înțelegerea relațiilor dintre cantități cu același nume duce la înțelegerea rezolvării problemelor de proporționalitate directă și inversă. Să începem cu problemele de proporționalitate directă.

În primul rând, să ne amintim ce este proporționalitatea directă. Aceasta este o relație între două cantități în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o creștere a celeilalte cu aceeași sumă.

Dacă un autobuz a parcurs o distanță de 50 km în 1 oră, atunci pentru a parcurge o distanță de 100 km (la aceeași viteză) autobuzul ar dura 2 ore. Pe măsură ce distanța a crescut, timpul de călătorie a crescut cu aceeași sumă. Cum să arăți acest lucru folosind proporția?

Unul dintre scopurile raportului este de a arăta de câte ori prima cantitate este mai mare decât a doua. Aceasta înseamnă că folosind proporții putem arăta că distanța și timpul s-au dublat. Pentru a face acest lucru, folosim raportul cantităților cu același nume.

Să arătăm că distanța s-a dublat:

În mod similar, vom arăta că timpul a crescut cu aceeași sumă

„100 de kilometri sunt la 50 de kilometri, așa cum 2 ore sunt la 1 oră”

Dacă împărțim de ambele părți ale ecuației, vom constata că distanța și timpul au fost mărite de același număr de ori.

2 = 2

Problema 2. În 3 ore s-au măcinat la moară 27 de tone de făină de grâu. Câte tone de făină de grâu pot fi măcinate în 9 ore dacă ritmul de lucru nu se modifică?

Soluţie

Timpul de funcționare al morii și masa făinii măcinate sunt cantități direct proporționale. Prin creșterea timpului de funcționare de câteva ori, cantitatea de făină măcinată va crește cu aceeași cantitate. Să arătăm acest lucru folosind proporția.

În problemă, sunt date 3 ore. Aceste 3 ore au crescut la 9 ore. Să scriem raportul de 9 ore la 3 ore.

Acum să scriem a doua relație. Va fi o atitudine x tone de făină de grâu la 27 de tone. Acest raport va arăta că cantitatea de făină măcinată a crescut cu aceeași cantitate cu timpul de funcționare al morii

Să conectăm aceste relații cu un semn egal și să obținem proporție.

Să folosim proprietatea de bază a proporției și să găsim x

Asta înseamnă că în 9 ore poți măcina 81 de tone de făină de grâu.

În general, dacă luați două cantități direct proporționale și le creșteți de același număr de ori, atunci raportul dintre noua valoare și vechea valoare a primei cantități va fi egal cu raportul dintre noua valoare și vechea valoare a a doua cantitate.

Deci, în problema anterioară, vechile valori au fost 3 h și 27 t Aceste valori au fost crescute de același număr de ori (de trei ori). Noile valori sunt 9 ore și 81 de ore. Apoi raportul dintre noua valoare a timpului de funcționare al morii și valoarea veche este egal cu raportul dintre noua valoare a masei făinii măcinate și valoarea veche.

Dacă împărțim pe ambele părți ale ecuației, vom constata că timpul de funcționare al morii și cantitatea de făină măcinată au crescut de același număr de ori:

3 = 3

Proporția care se adaugă problemelor de proporționalitate directă poate fi descrisă folosind expresia:

Unde mai târziu a devenit egal cu 81.

Problema 2. Pentru 8 vaci iarna, lăptatoarea pregătește zilnic 80 kg fân, 96 kg rădăcină, 120 kg siloz și 12 kg concentrate. Determinați consumul zilnic al acestui furaj pentru 18 vaci.

Soluţie

Numărul de vaci și greutatea fiecărui furaj sunt direct proporționale. Când numărul de vaci crește de mai multe ori, greutatea fiecărui furaj va crește cu aceeași cantitate.

Să facem mai multe proporții care să calculeze masa fiecărui furaj pentru 18 vaci.

Să începem cu fânul. În fiecare zi se prepară 80 kg din el pentru 8 vaci. Apoi vor fi pregătite 18 vaci x kg de fân.

Să notăm un raport care arată de câte ori a crescut numărul de vaci:

Acum să notăm raportul care arată de câte ori a crescut masa fânului:

Să conectăm aceste relații cu un semn egal și să obținem proporția:

De aici găsim x

Aceasta înseamnă că pentru 18 vaci trebuie să pregătiți 180 kg de fân. În mod similar, determinăm masa de rădăcină, siloz și concentrate.

Pentru 8 vaci se recoltează zilnic 96 kg de rădăcină. Apoi vor fi pregătite 18 vaci x kg de legume rădăcinoase. Să facem o proporție din rapoarte și , apoi să calculăm valoarea x

Să stabilim cât de mult siloz și concentrate trebuie pregătite pentru 18 vaci:

Aceasta înseamnă că pentru 18 vaci trebuie pregătite zilnic 180 kg de fân, 216 kg de rădăcină, 270 kg de siloz și 27 kg de concentrate.

Problema 3. Gospodina face dulceata de cirese, si pune 2 cani de zahar pentru 3 cani de cirese. Cât zahăr ar trebui să pun în 12 căni de cireșe? pentru 10 pahare de cirese? pentru un pahar de cirese?

Soluţie

Numărul de pahare de cireșe și numărul de pahare de zahăr granulat sunt cantități direct proporționale. Dacă numărul de pahare de cireșe crește de mai multe ori, numărul de pahare de zahăr va crește cu aceeași cantitate.

Să notăm un raport care arată de câte ori a crescut numărul de pahare de cireșe:

Acum să notăm raportul care arată de câte ori a crescut numărul de pahare de zahăr:

Să conectăm aceste rapoarte cu un semn egal, să obținem proporția și să găsim valoarea x

Asta înseamnă că pentru 12 căni de cireșe trebuie să pui 8 căni de zahăr.

Determinați numărul de căni de zahăr pentru 10 căni de cireșe și o ceașcă de cireșe

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a rezolva probleme de proporționalitate inversă, puteți utiliza din nou o proporție formată din rapoarte de cantități cu același nume.

Spre deosebire de proporționalitatea directă, unde mărimile cresc sau descresc în aceeași direcție, în proporționalitate inversă mărimile se schimbă invers una față de cealaltă.

Dacă o valoare crește de mai multe ori, atunci cealaltă scade cu aceeași valoare. Și invers, dacă o valoare scade de mai multe ori, atunci cealaltă crește cu aceeași valoare.

Să presupunem că trebuie să pictezi un gard format din 8 foi

Un pictor va picta el însuși toate cele 8 foi

Dacă sunt 2 pictori, atunci fiecare va picta 4 foi.

Aceasta, desigur, cu condiția ca pictorii să fie sinceri între ei și să împartă în mod corect această lucrare în mod egal între doi.

Dacă sunt 4 pictori, atunci fiecare va picta 2 foi

Remarcăm că atunci când numărul de pictori crește de mai multe ori, numărul de foi per pictor scade cu aceeași cantitate.

Deci, am mărit numărul de pictori de la 1 la 4. Cu alte cuvinte, am crescut de patru ori numărul de pictori. Să scriem asta folosind o relație:

Ca urmare, numărul de foi de gard per pictor a scăzut de patru ori. Să scriem asta folosind o relație:

Să conectăm aceste relații cu un semn egal și să obținem proporția

„4 pictori sunt pentru 1 pictor, așa cum 8 foi sunt pentru 2 foi”

Problema 2. 15 muncitori au terminat de finisat apartamentele din noua clădire în 24 de zile. Câte zile ar fi nevoie de 18 muncitori pentru a finaliza această lucrare?

Soluţie

Numărul de lucrători și numărul de zile petrecute la muncă sunt invers proporționale. Dacă numărul de muncitori crește de mai multe ori, numărul de zile necesare pentru finalizarea acestei lucrări va scădea cu aceeași sumă.

Să notăm raportul dintre 18 lucrători la 15 lucrători. Acest raport va arăta de câte ori a crescut numărul de lucrători

Acum să notăm al doilea raport, arătând de câte ori a scăzut numărul de zile. Deoarece numărul de zile va scădea de la 24 de zile la x zile, apoi al doilea raport va fi raportul dintre vechiul număr de zile (24 de zile) și noul număr de zile ( x zile)

Să conectăm relațiile rezultate cu un semn egal și să obținem proporția:

De aici găsim x

Aceasta înseamnă că 18 lucrători vor finaliza munca necesara in 20 de zile.

În general, dacă luați două cantități invers proporționale și creșteți una dintre ele cu un anumit număr ori, apoi celălalt va scădea cu aceeași sumă. Atunci raportul dintre noua valoare și vechea valoare a primei cantități va fi egal cu raportul dintre vechea valoare și noua valoare a celei de-a doua cantități.

Deci, în problema anterioară, valorile vechi erau de 15 zile lucrătoare și 24 de zile. Numărul de lucrători a fost crescut de la 15 la 18 (adică a crescut de mai multe ori). Ca urmare, numărul de zile necesare pentru finalizarea lucrării a scăzut cu aceeași sumă. Noile valori sunt 18 zile lucrătoare și 20 de zile. Atunci raportul dintre noul număr de lucrători și vechiul număr este egal cu raportul dintre vechiul număr de zile și noul număr

Pentru a crea proporții pentru probleme de proporționalitate inversă, puteți folosi formula:

În raport cu problema noastră, valorile variabilelor vor fi următoarele:

Unde mai târziu a devenit egal cu 20.

Problema 2. Viteza vasului cu aburi este legată de viteza debitului râului ca 36:5. Vaporul s-a deplasat în aval timp de 5 ore și 10 minute. Cât îi va lua să se întoarcă?

Soluţie

Viteza proprie a navei este de 36 km/h. Viteza curgerii râului este de 5 km/h. Deoarece vaporul se deplasa cu curentul mâinii, viteza lui era de 36 + 5 = 41 km/h. Timpul de călătorie a fost de 5 ore și 10 minute. Pentru comoditate, exprimăm timpul în minute:

5 ore 10 minute = 300 minute + 10 minute = 310 minute

Deoarece la întoarcere nava se deplasa împotriva curgerii râului, viteza sa era de 36 − 5 = 31 km/h.

Viteza navei și timpul de mișcare a acesteia sunt mărimi invers proporționale. Dacă viteza scade de mai multe ori, timpul de mișcare a acesteia va crește cu aceeași cantitate.

Să notăm raportul care arată de câte ori a scăzut viteza de mișcare:

Acum să notăm al doilea raport, arătând de câte ori a crescut timpul de mișcare. Din noul timp x va fi mai mare decât timpul vechi, vom scrie timpul în numărătorul raportului x, iar numitorul este vechiul timp egal cu trei sute zece minute

Să conectăm rapoartele rezultate cu un semn egal și să obținem proporția. De aici găsim valoarea x

410 minute înseamnă 6 ore și 50 de minute. Aceasta înseamnă că nava va dura 6 ore și 50 de minute pentru a se întoarce.

Problema 3. La reparația drumului lucrau 15 oameni și au trebuit să termine treaba în 12 zile. În a cincea zi au mai sosit câțiva muncitori dimineața, iar restul de muncă a fost finalizat în 6 zile. Câți muncitori suplimentari au sosit?

Soluţie

Scădeți 4 zile lucrate din 12 zile. Astfel vom stabili câte zile au mai rămas cei cincisprezece muncitori de lucru

12 zile − 4 zile = 8 zile

În a cincea zi sosiri suplimentare x muncitori. Apoi numărul total de muncitori a devenit 15+ x .

Numărul de muncitori și numărul de zile necesare pentru finalizarea lucrării sunt invers proporționale. Dacă numărul de muncitori crește de mai multe ori, numărul de zile va scădea cu aceeași sumă.

Să scriem un raport care arată de câte ori a crescut numărul de lucrători:

Acum să notăm de câte ori a scăzut numărul de zile necesare pentru finalizarea lucrării:

Să conectăm aceste relații cu un semn egal și să obținem proporție. De aici puteți calcula valoarea x

Asta înseamnă că au sosit încă 5 muncitori.

Scară

Scala este raportul dintre lungimea unui segment din imagine și lungimea segmentului corespunzător de pe sol.

Să presupunem că distanța de la casă la școală este de 8 km. Să încercăm să desenăm un plan al zonei, unde vor fi indicate casa, școala și distanța dintre ele. Dar nu putem înfățișa pe hârtie o distanță de 8 km, deoarece este destul de mare. Dar putem reduce această distanță de câteva ori, astfel încât să încapă pe hârtie.

Lăsați kilometrii pe teren din planul nostru să fie exprimați în centimetri. Să convertim 8 kilometri în centimetri, obținem 800.000 de centimetri.

Să reducem 800.000 cm de o sută de mii de ori:

800.000 cm: 100.000 cm = 8 cm

8 cm este distanța de acasă la școală, redusă de o sută de mii de ori. Acum puteți desena cu ușurință o casă și o școală pe hârtie, distanța dintre ele va fi de 8 cm.

Acești 8 cm se referă la 800.000 cm reali Așa că îl scriem folosind raportul:

8: 800 000

Una dintre proprietățile unei relații afirmă că relația nu se schimbă dacă membrii ei sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr.

Pentru a simplifica raportul 8: 800.000, ambii termeni pot fi împărțiți la 8. Apoi obținem raportul 1: 100.000. Numim acest raport scară. Acest raport arată că un centimetru pe plan se referă la (sau corespunde) o sută de mii de centimetri pe sol.

Prin urmare, în desenul nostru este necesar să indicăm că planul este întocmit pe o scară de 1: 100.000

1 cm pe plan se referă la 100.000 cm pe sol;
2 cm pe plan se referă la 200.000 cm pe sol;
3 cm pe plan se referă la 300.000 la sol etc.

Pentru orice hartă sau plan se indică la ce scară au fost realizate. Această scară vă permite să determinați distanța reală dintre obiecte.

Deci, planul nostru este întocmit pe o scară de 1: 100.000 Pe acest plan, distanța dintre casă și școală este de 8 cm. Pentru a calcula distanța reală dintre casă și școală, trebuie să creșteți de 8 cm de 100.000 de ori. Cu alte cuvinte, înmulțiți 8 cm cu 100.000

8 cm × 100.000 = 800.000 cm

Obținem 800.000 cm sau 8 km, dacă convertim centimetri în kilometri.

Să zicem că între casă și școală este un copac. Pe plan, distanța dintre școală și acest copac este de 4 cm.

Atunci distanța reală dintre casă și copac va fi de 4 cm × 100.000 = 400.000 cm sau 4 km.

Distanța la sol poate fi determinată folosind proporție. În exemplul nostru, distanța dintre casă și școală va fi calculată folosind următoarea proporție:

1 cm pe plan este raportat la 100.000 cm pe sol, la fel cum 8 cm pe plan este raportat la x cm pe sol.

Din această proporţie aflăm că valoarea x este egal cu 800000 cm.

Exemplul 2. Pe hartă, distanța dintre cele două orașe este de 8,5 cm Determinați distanța reală dintre orașe dacă harta este întocmită la scara 1: 1.000.000.

Soluţie

O scară de 1:1.000.000 indică faptul că 1 cm pe hartă corespunde cu 1.000.000 cm pe sol. Atunci 8,5 cm vor corespunde x cm pe pământ. Să facem proporția de la 1 la 1000000 la 8,5 la x

1 km conține 100.000 cm Apoi 8.500.000 cm vor conține

Sau poți gândi așa. Distanța de pe hartă și distanța de la sol sunt mărimi direct proporționale. Dacă distanța de pe hartă crește de mai multe ori, distanța la sol va crește cu aceeași valoare. Atunci proporția va lua următoarea formă. Primul raport va arăta de câte ori distanța la sol este mai mare decât distanța de pe hartă:

Al doilea raport va arăta că distanța la sol este de același număr de ori mai mare decât 8,5 cm pe hartă:

De aici x egal cu 8.500.000 cm sau 85 km.

Problema 3. Lungimea râului Neva este de 74 km. Care este lungimea sa pe o hartă a cărei scară este 1: 2.000.000

Soluţie

O scară de 1: 2.000.000 înseamnă că 1 cm pe hartă corespunde cu 2.000.000 cm pe sol.

Și 74 km este 74 × 100.000 = 7.400.000 cm pe sol. Prin reducerea cu 7.400.000 la 2.000.000, vom determina lungimea râului Neva pe hartă

7.400.000: 2.000.000 = 3,7 cm

Aceasta înseamnă că pe o hartă a cărei scară este 1: 2.000.000, lungimea râului Neva este de 3,7 cm.

Să scriem soluția folosind o proporție. Primul raport va arăta de câte ori lungimea de pe hartă este mai mică decât lungimea de la sol:

Al doilea raport va arăta că 74 km (7.400.000 cm) au scăzut cu aceeași cantitate:

De aici găsim x egal cu 3,7 cm

Probleme de rezolvat independent

Problema 1. Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei. Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?

Soluţie

Lasă x kg de ulei se pot obține din 7 kg de semințe de bumbac. Masa semințelor de bumbac și masa uleiului rezultat sunt cantități direct proporționale. Apoi reducerea semințelor de bumbac de la 21 kg la 7 kg va duce la o scădere a uleiului rezultat cu aceeași cantitate.

Răspuns: 7 kg de semințe de bumbac vor da 1,7 kg de ulei.

Problema 2. Pe o anumită secțiune a căii ferate, șine vechi de 8 m lungime au fost înlocuite cu altele noi de 12 m lungime Câte șine noi de doisprezece metri vor fi necesare dacă s-au îndepărtat 360 de șine vechi?

Soluţie

Lungimea secțiunii în care șinele sunt înlocuite este de 8 × 360 = 2880 m.

Lasă x sunt necesare șine de doisprezece metri pentru înlocuire. Creșterea lungimii unei șine de la 8 m la 12 m va duce la o reducere a numărului de șine de la 360 la 12 m. x lucruri. Cu alte cuvinte, lungimea șinei și numărul lor sunt invers proporționale

Răspuns:înlocuirea șinelor vechi va necesita 240 de șine noi.

Sarcina 3. 60% dintre elevii clasei au mers la cinema, iar restul de 12 persoane au mers la expoziție. Câți elevi sunt în clasă?

Soluţie

Dacă 60% dintre studenți au mers la cinema, iar restul de 12 persoane au mers la expoziție, atunci 40% dintre studenți vor reprezenta 12 persoane care au mers la expoziție. Apoi puteți crea o proporție în care 12 elevi tratează 40% la fel ca toți ceilalți x elevii sunt 100%

Sau puteți crea o proporție constând din rapoarte de cantități cu același nume. Numărul de înscrieri și procentele variază direct proporțional. Apoi putem scrie că de câte ori a crescut numărul participanților, de câte ori a crescut procentul

Problema 5. Pietonul a petrecut 2,5 ore în călătorie, deplasându-se cu o viteză de 3,6 km/h. Cât timp va petrece un pieton pe aceeași cale dacă viteza lui este de 4,5 km/h

Soluţie

Viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale. Dacă viteza crește de mai multe ori, timpul de călătorie va scădea cu aceeași valoare.

Să scriem un raport care arată de câte ori a crescut viteza pietonului:

Să scriem un raport care arată că timpul de mișcare a scăzut cu aceeași cantitate:

Să conectăm aceste rapoarte cu un semn egal, să obținem proporția și să găsim valoarea x

Sau puteți utiliza rapoartele cantităților cu același nume. Numărul de mașini produse și procentul acestor mașini contabilizate sunt direct proporționale. Când numărul de mașini crește de mai multe ori, procentul crește cu aceeași cantitate. Apoi putem scrie că 230 de mașini sunt de atâtea ori mai mult decât x mașini, de câte ori mai mult este 115% decât 100%

Răspuns: Conform planului, uzina trebuia să producă 200 de mașini.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Dar nu totul este atât de complicat și de neînțeles pe cât pare la prima vedere. De ce este nevoie de toate acestea? Iată cel mai comun exemplu.

Să presupunem că avem o imagine încărcată pe site-ul nostru web și ne dorim ca după încărcare să creăm o copie în miniatură, o previzualizare a imaginii. Acest lucru este adesea necesar pentru a anunța știri, de exemplu. Și scriptul necesită să specificați cel puțin dimensiunile aproximative ale imaginii în miniatură - lățimea și înălțimea acesteia.

Să mai spunem că i-ai conturat deja lățimea, dar cum rămâne cu înălțimea? Cum se calculează astfel încât imaginea să pară mai mult sau mai puțin proporțională cu cea originală.

Formula de calcul

Totul se face în două etape:

• 1 - Împărțiți lățimea inițială la lățimea necesară;
• 2 - Obținem înălțimea necesară împărțind înălțimea inițială la rezultatul împărțirii celor două lățimi (pasul 1).

Exemplu. Să luăm dimensiunile imaginilor deja cunoscute de toată lumea: 1024x768 și 800x600. Să ne imaginăm că nu știm înălțimea celei de-a doua imagini. Formula dă următoarele: 768/(1024/800) = 600 . Aceasta este înălțimea de care avem nevoie.

Dacă știm înălțimea, dar trebuie să obținem lățimea, atunci trebuie să facem totul ca în prima formulă, doar invers.

Pentru a obține lățimea necesară, aveți nevoie de:

• 1 - Împărțiți înălțimea inițială la înălțimea necesară;
• 2 - Obținem lățimea necesară împărțind lățimea inițială la rezultatul împărțirii celor două înălțimi (pasul 1).

adica 1024/(768/600) = 800 .

Alcătuiește o proporție. În acest articol vreau să vă vorbesc despre proporție. Este foarte important să înțelegi ce este proporția și să poți să o compui, chiar te salvează. Aceasta pare a fi o „litera” mică și nesemnificativă în alfabetul mare al matematicii, dar fără ea matematica este sortită să fie șchiopătă și incompletă.În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc ce este proporția. Aceasta este o egalitate a formei:

care este același (asta este formă diferităînregistrări).

Exemplu:

Se spune că unu este la doi, precum patru este la opt. Adică, aceasta este egalitatea a două relații (în acest exemplu, relațiile sunt numerice).

Regula de bază a proporției:

a:b=c:d

produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii

adică

a∙d=b∙c

*Dacă orice valoare dintr-o proporție este necunoscută, aceasta poate fi întotdeauna găsită.

Dacă luăm în considerare o formă de înregistrare precum:

atunci poți folosi următoarea regulă, se numește „regula crucii”: se scrie egalitatea produselor elementelor (numere sau expresii) care stau pe diagonală

a∙d=b∙c

După cum puteți vedea, rezultatul este același.

Dacă cele trei elemente de proporție sunt cunoscute, atunciputem găsi întotdeauna un al patrulea.

Aceasta este tocmai esența beneficiului și a necesitățiiproporţii la rezolvarea problemelor.

Să ne uităm la toate opțiunile în care cantitatea necunoscută x este situată „oriunde” în proporție, unde a, b, c sunt numere:

Mărimea care se află în diagonală față de x este scrisă în numitorul fracției, iar mărimile cunoscute aflate în diagonală sunt scrise în numărător ca produs. Nu este necesar să-l memorezi, vei calcula deja totul corect dacă ai învățat regula de bază a proporției.

Acum întrebarea principală legată de titlul articolului. Când salvează proporția și unde este folosită? De exemplu:

1. În primul rând, acestea sunt probleme care implică procente. Ne-am uitat la ele în articolele „” și „”.

2. Multe formule sunt date sub formă de proporții:

>teorema sinusurilor

> relația elementelor dintr-un triunghi

> teorema tangentei

> Teorema lui Thales și altele.

3. În problemele de geometrie, condiția specifică adesea raportul dintre laturi (alte elemente) sau zone, de exemplu 1:2, 2:3 și altele.

4. Conversia unităților de măsură și proporția este utilizată pentru a converti unitățile atât într-o măsură, cât și pentru a converti de la o măsură la alta:

- ore până la minute (și invers).

- unități de volum, suprafață.

— lungimi, de exemplu mile în kilometri (și invers).

— grade la radiani (și invers).

aici nu te poți descurca fără să întocmești proporții.

Punctul cheie este că trebuie să stabiliți corect corespondența, să ne uităm la exemple simple:

Trebuie să determinați un număr care este 35% din 700.

În problemele care implică procente, valoarea cu care comparăm este considerată 100%. Număr necunoscut să-l notăm cu x. Să stabilim corespondența:

Putem spune că șapte sute treizeci și cinci corespund la 100 la sută.

X corespunde la 35 la sută. Mijloace,

700 – 100%

x – 35%

Să decidem

Raspuns: 245

Să convertim 50 de minute în ore.

Știm că o oră înseamnă 60 de minute. Să notăm corespondența -x ore este de 50 de minute. Mijloace

1 – 60

x – 50

Noi decidem:

Adică 50 de minute reprezintă cinci șesime dintr-o oră.

Răspuns: 5/6

Nikolai Petrovici a condus 3 kilometri. Cât va fi în mile (luați în considerare că 1 milă este 1,6 km)?

Se știe că 1 milă înseamnă 1,6 kilometri. Să luăm ca x numărul de mile pe care Nikolai Petrovici le-a parcurs. Putem stabili corespondență:

O milă corespunde la 1,6 kilometri.

X mile sunt trei kilometri.

1 – 1,6

x – 3

Răspuns: 1.875 mile

Știți că există formule pentru conversia gradelor în radiani (și invers). Nu le scriu, pentru că cred că este inutil să le memorezi, și așa că trebuie să păstrezi o mulțime de informații în memorie. Puteți converti oricând grade în radiani (și invers) dacă utilizați o proporție.

Să convertim 65 de grade în unități de radiani.

Principalul lucru de reținut este că 180 de grade sunt radiani Pi.

Să notăm cantitatea dorită ca x. Stabilim corespondență.

O sută optzeci de grade corespund cu radiani Pi.

Șaizeci și cinci de grade corespund cu x radiani. studiază articolul pe acest subiect pe blog. Materialul din el este prezentat oarecum diferit, dar principiul este același. Voi termina cu asta. Cu siguranță va fi ceva mai interesant, nu-l ratați!

Dacă ne amintim însăși definiția matematicii, aceasta conține următoarele cuvinte: matematică studii cantitative RELAȚII- cuvânt cheie aici). După cum puteți vedea, însăși definiția matematicii conține proporție. In general, matematica fara proportie nu este matematica!!!

Toate cele bune!

Salutări, Alexandru

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

O proporție este o expresie matematică care compară două sau mai multe numere între ele. Proporțiile pot compara valori și cantități absolute sau părți dintr-un întreg mai mare. Proporțiile pot fi scrise și calculate în mai multe moduri diferite, dar principiul de bază este același.

Pași

Partea 1

Ce este proporția

Aflați pentru ce sunt proporțiile. Proporțiile sunt folosite atât în ​​cercetarea științifică, cât și în viata de zi cu zi pentru a compara diferite valori și cantități. În cel mai simplu caz, două numere sunt comparate, dar o proporție poate include orice număr de cantități. Când comparați două sau mai multe cantități, puteți utiliza întotdeauna proporția. Cunoașterea modului în care cantitățile se raportează între ele permite, de exemplu, să scrieți formule chimice sau rețete pentru diverse feluri de mâncare. Proporțiile vă vor fi utile într-o varietate de scopuri.

1. Aflați ce înseamnă proporție. După cum sa menționat mai sus, proporțiile ne permit să determinăm relația dintre două sau mai multe cantități. De exemplu, dacă aveți nevoie de 2 căni de făină și 1 ceașcă de zahăr pentru a face fursecuri, spunem că există un raport de 2 la 1 între cantitatea de făină și zahăr.

   • Proporțiile pot fi folosite pentru a arăta modul în care cantitățile diferite se raportează între ele, chiar dacă nu sunt legate direct (spre deosebire de o rețetă). De exemplu, dacă într-o clasă sunt cinci fete și zece băieți, raportul dintre fete și băieți este de 5 la 10. În acest caz, un număr nu depinde de celălalt sau nu este direct legat de celălalt: proporția se poate modifica dacă cineva părăsește clasa sau invers, vor veni elevi noi la ea. O proporție vă permite pur și simplu să comparați două cantități.

2. Vă rugăm să rețineți diverse moduri expresii de proporții. Proporțiile pot fi scrise în cuvinte sau folosind simboluri matematice.

   • În viața de zi cu zi, proporțiile sunt mai des exprimate în cuvinte (ca mai sus). Proporțiile sunt folosite într-o varietate de domenii și, cu excepția cazului în care profesia ta este legată de matematică sau alte științe, acesta este modul în care vei întâlni cel mai adesea acest mod de a scrie proporții.
   • Proporțiile sunt adesea scrise folosind două puncte. Când comparăm două numere folosind o proporție, acestea pot fi scrise cu două puncte, de exemplu 7:13. Dacă sunt comparate mai mult de două numere, două puncte sunt plasate consecutiv între fiecare două numere, de exemplu 10:2:23. În exemplul de mai sus pentru o clasă, comparăm numărul de fete și băieți, cu 5 fete: 10 băieți. Astfel, în acest caz proporția poate fi scrisă ca 5:10.
   • Uneori se folosește un semn de fracție atunci când scrieți proporții. În exemplul nostru de clasă, raportul dintre 5 fete și 10 băieți ar fi scris ca 5/10. În acest caz, nu ar trebui să citiți semnul „împărțire” și trebuie să vă amintiți că aceasta nu este o fracție, ci un raport dintre două numere diferite.

   Partea 2

   Operații cu proporții

   1. Reduceți proporția la forma sa cea mai simplă. Proporțiile pot fi simplificate, ca și fracțiile, prin reducerea membrilor lor cu un divizor comun. Pentru a simplifica o proporție, împărțiți toate numerele incluse în ea la divizori comuni. Cu toate acestea, nu trebuie să uităm de valorile inițiale care au condus la această proporție.

      • În exemplul de mai sus cu o clasă de 5 fete și 10 băieți (5:10), ambele părți ale proporției au un factor comun de 5. Împărțirea ambelor cantități la 5 (cel mai mare factor comun) dă un raport de 1 fată la 2 băieți (adică 1:2). Cu toate acestea, atunci când utilizați o proporție simplificată, ar trebui să vă amintiți numerele originale: nu sunt 3 elevi în clasă, ci 15. Proporția redusă arată doar raportul dintre numărul de fete și băieți. Pentru fiecare fată sunt doi băieți, dar asta nu înseamnă că există 1 fată și 2 băieți în clasă.
      • Unele proporții nu pot fi simplificate. De exemplu, raportul 3:56 nu poate fi redus, deoarece cantitățile incluse în proporție nu au divizor comun: 3 este număr prim, iar 56 nu este divizibil cu 3.

   2. Pentru a „scala” proporțiile pot fi multiplicate sau împărțite. Proporțiile sunt adesea folosite pentru a crește sau a micșora numerele proporțional unele cu altele. Înmulțirea sau împărțirea tuturor cantităților incluse într-o proporție cu același număr menține relația dintre ele neschimbată. Astfel, proporțiile pot fi înmulțite sau împărțite cu factorul „scală”.

      • Să presupunem că un brutar trebuie să tripleze cantitatea de prăjituri pe care le coace. Dacă făina și zahărul sunt luate într-un raport de 2 la 1 (2:1), pentru a tripla cantitatea de fursecuri, această proporție trebuie înmulțită cu 3. Rezultatul va fi 6 căni de făină la 3 căni de zahăr (6: 3).
      • Poți să faci invers. Dacă brutarul trebuie să reducă cantitatea de fursecuri la jumătate, ambele părți ale proporției trebuie împărțite cu 2 (sau înmulțite cu 1/2). Rezultatul este 1 cană de făină pe jumătate de cană (1/2, sau 0,5 cană) de zahăr.

   3. Învață să găsești o cantitate necunoscută folosind două proporții echivalente. O altă problemă comună pentru care proporțiile sunt utilizate pe scară largă este găsirea unei cantități necunoscute într-una dintre proporții dacă este dată oa doua proporție similară cu aceasta. Regula de înmulțire a fracțiilor simplifică foarte mult această sarcină. Scrieți fiecare proporție ca fracție, apoi egalați aceste fracții între ele și găsiți cantitatea necesară.

      • Să presupunem că avem un grup mic de studenți format din 2 băieți și 5 fete. Dacă vrem să menținem raportul dintre băieți și fete, câți băieți ar trebui să fie într-o clasă de 20 de fete? Mai întâi, să creăm ambele proporții, dintre care una conține cantitatea necunoscută: 2 băieți: 5 fete = x băieți: 20 fete. Dacă scriem proporțiile ca fracții, obținem 2/5 și x/20. După înmulțirea ambelor părți ale egalității cu numitorii, obținem ecuația 5x=40; împărțiți 40 la 5 și în cele din urmă găsiți x=8.

   Partea 3

   Depanare

   1. Când operați cu proporții, evitați adunarea și scăderea. Multe probleme cu proporțiile sună astfel: „Pentru a pregăti un fel de mâncare ai nevoie de 4 cartofi și 5 morcovi. Dacă vrei să folosești 8 cartofi, de câți morcovi vei avea nevoie?” Mulți oameni fac greșeala de a încerca pur și simplu să adună valorile corespunzătoare. Cu toate acestea, pentru a menține aceeași proporție, ar trebui să înmulțiți mai degrabă decât să adăugați. Acest lucru este greșit și decizia corectă a acestei sarcini:

      • Metodă incorectă: „8 - 4 = 4, adică 4 cartofi au fost adăugați la rețetă. Aceasta înseamnă că trebuie să luați cei 5 morcovi anteriori și să adăugați 4 la ei, astfel încât... ceva nu este în regulă! Proporțiile funcționează diferit. Să încercăm din nou.”
      • Metoda corectă: „8/4 = 2, adică numărul de cartofi s-a dublat. Aceasta înseamnă că numărul de morcovi trebuie înmulțit cu 2. 5 x 2 = 10, adică 10 morcovi trebuie folosiți în noua rețetă.”

   2. Convertiți toate valorile în aceleași unități. Uneori problema apare deoarece cantitățile au unități diferite. Înainte de a scrie proporția, convertiți toate cantitățile în aceleași unități. De exemplu:

      • Dragonul are 500 de grame de aur și 10 kilograme de argint. Care este raportul dintre aur și argint în tezaurele de dragoni?
      • Gramele și kilogramele sunt unități de măsură diferite, așa că ar trebui să fie unificate. 1 kilogram = 1.000 de grame, adică 10 kilograme = 10 kilograme x 1.000 de grame/1 kilogramul = 10 x 1.000 de grame = 10.000 de grame.
      • Deci dragonul are 500 de grame de aur și 10.000 de grame de argint.
      • Raportul dintre masa aurului și masa argintului este de 500 de grame de aur/10.000 de grame de argint = 5/100 = 1/20.

   3. Notați unitățile de măsură din soluția dvs. la problemă.În problemele cu proporțiile, este mult mai ușor să găsești o eroare dacă notezi unitățile de măsură ale acesteia după fiecare valoare. Rețineți că dacă numărătorul și numitorul au aceleași unități, se anulează. După toate abrevierile posibile, răspunsul ar trebui să aibă unitățile de măsură corecte.

      • De exemplu: date 6 cutii, iar în fiecare trei cutii sunt 9 bile; cate bile sunt in total?
      • Metoda incorecta: 6 cutii x 3 cutii/9 bille = ... Hmm, nimic nu se reduce, iar raspunsul iese a fi „cutii x cutii / bille“. Acest lucru nu are sens.
      • Metoda corectă: 6 cutii x 9 bile/3 cutii = 6 cutii x 3 bile/1 cutie = 6 x 3 bile/1= 18 bile.