Sistemul de ecuații algebrice liniare metoda matriceală. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind o matrice inversă

Ecuațiile în general, ecuațiile algebrice liniare și sistemele lor, precum și metodele de rezolvare a acestora, ocupă un loc aparte în matematică, atât teoretică, cât și aplicată.

Acest lucru se datorează faptului că marea majoritate a problemelor fizice, economice, tehnice și chiar pedagogice pot fi descrise și rezolvate folosind o varietate de ecuații și sistemele acestora. ÎN în ultima vreme Modelarea matematică a devenit deosebit de populară în rândul cercetătorilor, oamenilor de știință și practicienilor din aproape toate domeniile subiectelor, ceea ce se explică prin avantajele sale evidente față de alte metode binecunoscute și dovedite pentru studierea obiectelor de diferite naturi, în special așa-numitele sisteme complexe. Există o mare varietate definiții diferite model matematic dat de oamenii de știință în timpuri diferite, dar în opinia noastră, cea mai reușită este următoarea afirmație. Model matematic este o idee exprimată printr-o ecuație. Astfel, capacitatea de a compune și rezolva ecuații și sistemele acestora este o caracteristică integrală a unui specialist modern.

Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare se folosesc cel mai des următoarele metode: Cramer, Jordan-Gauss și metoda matricei.

Metoda soluției matriceale - metoda soluției folosind matrice inversă sisteme de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero.

Dacă scriem coeficienții pentru mărimile necunoscute xi în matricea A, colectăm mărimile necunoscute în coloana vectorială X și termenii liberi în coloana vectorială B, atunci sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi scris sub forma: urmând ecuația matricei A · X = B, care are o soluție unică numai atunci când determinantul matricei A nu este egal cu zero. În acest caz, soluția sistemului de ecuații poate fi găsită în felul următor X = O-1 · B, Unde O-1 este matricea inversă.

Metoda soluției matriceale este următoarea.

Să fie dat sistemul ecuații liniare Cu n necunoscut:

Poate fi rescris sub formă de matrice: TOPOR = B, Unde O- matricea principală a sistemului, BŞi X- coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:

Să înmulțim asta ecuația matriceală lăsat pe O-1 - matricea inversă a matricei O: O -1 (TOPOR) = O -1 B

Deoarece O -1 O = E, primim X= A -1 B. Partea dreaptă a acestei ecuații va oferi coloana soluție a sistemului original. Condiția pentru aplicabilitatea acestei metode (precum și existența unei soluții în general) nu este sistem omogen ecuații liniare cu un număr de ecuații, egală cu numărul necunoscute) este nondegenerarea matricei O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:det O≠ 0.

Pentru un sistem omogen de ecuații liniare, adică atunci când vectorul B = 0 , într-adevăr regula opusă: sistemul TOPOR = 0 are o soluție non-trivială (adică non-zero) numai dacă det O= 0. O astfel de conexiune între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativa Fredholm.

Exemplu soluții la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare.

Să ne asigurăm că determinantul matricei, compus din coeficienții necunoscutelor sistemului de ecuații algebrice liniare, nu este egal cu zero.

Următorul pas este de a calcula complementele algebrice pentru elementele matricei formate din coeficienții necunoscutelor. Ele vor fi necesare pentru a găsi matricea inversă.

Metoda matricei Solutii SLAU aplicat la rezolvarea sistemelor de ecuaţii în care numărul de ecuaţii corespunde numărului de necunoscute. Metoda este cel mai bine utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ordin scăzut. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aplicarea proprietăților înmulțirii matriceale.

Această metodă, cu alte cuvinte metoda matricei inverse, așa numită deoarece soluția se reduce la o ecuație matriceală obișnuită, pentru a o rezolva, trebuie să găsiți matricea inversă.

Metoda soluției matriceale SLAE cu un determinant care este mai mare decât sau mai putin de zero este după cum urmează:

Să presupunem că există un SLE (sistem de ecuații liniare) cu n necunoscut (pe un câmp arbitrar):

Aceasta înseamnă că poate fi ușor convertit în formă de matrice:

AX=B, Unde O— matricea principală a sistemului, BŞi X— coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:

Să înmulțim această ecuație matriceală din stânga cu A−1— matrice inversă la matrice A: A −1 (AX)=A −1 B.

Deoarece A -1 A=E, Înseamnă, X=A -1 B. Partea dreaptă a ecuației dă coloana soluției sistem initial. Condiția de aplicabilitate a metodei matricei este nedegenerarea matricei O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:

detA≠0.

Pentru sistem omogen de ecuații liniare, adică dacă vector B=0, este valabilă regula inversă: sistemul AX=0 există o soluție non-trivială (adică nu este egală cu zero) numai atunci când detA=0. Această legătură între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește Alternativa Fredholm.

Astfel, soluția SLAE folosind metoda matricei se realizează conform formulei . Sau, soluția la SLAE se găsește folosind matrice inversă A−1.

Se știe că pentru o matrice pătrată O comanda n pe n există o matrice inversă A−1 numai dacă determinantul său este diferit de zero. Astfel, sistemul n ecuații algebrice liniare cu n Rezolvăm necunoscute folosind metoda matricei numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.

În ciuda faptului că există limitări ale posibilității de a utiliza această metodă și există dificultăți de calcul pentru valori mari ale coeficienților și sistemelor ordin înalt, metoda poate fi implementată cu ușurință pe un computer.

Un exemplu de rezolvare a unui SLAE neomogen.

Mai întâi, să verificăm dacă determinantul matricei coeficienților SLAE-urilor necunoscute nu este egal cu zero.

Acum găsim matricea de unire, transpuneți-l și înlocuiți-l în formula pentru a determina matricea inversă.

Înlocuiți variabilele în formula:

Acum găsim necunoscutele înmulțind matricea inversă și coloana de termeni liberi.

Aşa, x=2; y=1; z=4.

Când treceți de la forma obișnuită a SLAE la forma matriceală, aveți grijă la ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului. De exemplu:

NU POATE fi scris ca:

Este necesar, mai întâi, să ordonăm variabilele necunoscute în fiecare ecuație a sistemului și numai după aceea să trecem la notația matriceală:

În plus, trebuie să fiți atenți la desemnarea variabilelor necunoscute x 1, x 2 , …, x n pot exista si alte litere. De exemplu:

sub formă de matrice o scriem astfel:

Metoda matricei este mai bună pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute, iar determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. Când există mai mult de 3 ecuații într-un sistem, găsirea matricei inverse va necesita mai mult efort de calcul, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să folosiți metoda Gauss pentru rezolvare.

Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matricea identitară- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

Matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată aceste. pentru acele matrice în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerate, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
2. Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
4. Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A și atribuim matricea de identitate E la dreapta Folosind transformările Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date în Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost efectuate corect.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.

După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoareși se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.

Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating Rj sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.

Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, când analiză comparativă diverse proiecte de investiții, precum și la evaluarea altor indicatori economici ai organizațiilor.

Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei

Unde a ijŞi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.

Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice , pe care o vom numi matricea sistemului.

Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.

Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.

Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:

Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit nearticulată.

Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.

METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi

Să găsim de lucru

aceste. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi folosind definiția egalității matriceale acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt O∙X=B.

Iată matricele OŞi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | O| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei O: . Din moment ce A -1 A = EŞi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea O nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.

REGULA LUI CRAMER

Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:

Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,

numit determinant al sistemului.

Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți coloanele 1, 2 și 3 din determinantul D succesiv cu o coloană de termeni liberi

Apoi putem demonstra următorul rezultat.

Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – activată A 21 iar al treilea – pe A 31:

Să adăugăm aceste ecuații:

Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă această ecuație. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I

În mod similar, se poate demonstra că și .

În cele din urmă, este ușor de observat asta

Astfel, obținem egalitatea: .

Prin urmare, .

Egalitățile și sunt derivate similar, din care urmează enunțul teoremei.

Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.

Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații

METODA GAUSS

Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea secvenţială a necunoscutelor din ecuaţiile sistemului.

Luați în considerare din nou sistemul de la trei ecuații cu trei necunoscute:

.

Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la O 21 și înmulțiți cu – O 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la O 31 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca urmare, sistemul original va lua forma:

Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:

De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2 si in final, de la 1 - x 1.

Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.

Adesea în loc să scrie sistem nou ecuațiile, sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:

și apoi aduceți-l într-un triunghiular sau vedere în diagonală folosind transformări elementare.

LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:

1. rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
2. înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
3. adăugarea altor linii la o singură linie.

Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.

(uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea preliminară cu un astfel de concept precum forma matriceală de notare a SLAE. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:

1. Notează trei matrice: matricea sistemului $A$, matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$.
2. Aflați matricea inversă $A^(-1)$.
3. Folosind egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, obțineți o soluție la SLAE dat.

Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice ca $A\cdot X=B$, unde $A$ este matricea sistemului, $B$ este matricea termenilor liberi, $X$ este matricea necunoscutelor. Fie matricea $A^(-1)$ să existe. Să înmulțim ambele părți ale egalității $A\cdot X=B$ cu matricea $A^(-1)$ din stânga:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Deoarece $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ este matricea de identitate), egalitatea scrisă mai sus devine:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Deoarece $E\cdot X=X$, atunci:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Exemplul nr. 1

Rezolvați SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ folosind matricea inversă.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. Să calculăm $A^(-1)$. În exemplul nr. 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$. Apoi efectuăm înmulțirea matriceală

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 și -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Deci, avem egalitatea $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( matrice )\dreapta)$. Din această egalitate avem: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Răspuns: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Exemplul nr. 2

Rezolvați SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ folosind metoda matricei inverse.

Să notăm matricea sistemului $A$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea necunoscutelor $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Acum este rândul să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. găsi $A^(-1)$. În exemplul nr. 3 de pe pagina dedicată găsirii matricelor inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Să folosim rezultatul final și să scriem $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 și 37\end(matrice)\dreapta). $$

Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, apoi să efectuăm înmulțirea matricei pe partea dreaptă de această egalitate.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Deci, am obținut egalitatea $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(matrice)\right)$. Din această egalitate avem: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.