Nodul și nok a două numere, algoritm euclidian. Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Al doilea număr: b=

Separator de mii Fără separator de spațiu „´

Rezultat:

Cel mai mare divizor comun GCD( o,b)=6

Cel mai mic multiplu comun al LCM( o,b)=468

Cel mai grozav număr natural, prin care numerele a și b se împart fără rest, se numește cel mai mare divizor comun(GCD) a acestor numere. Notat cu mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).

Cel mai mic multiplu comun LCM a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).

Numerele întregi a și b sunt numite prim reciproc, dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.

Cel mai mare divizor comun

Să fie date două numere pozitive o 1 și o 2 1). Este necesar să se găsească divizorul comun al acestor numere, adică. găsiți un astfel de număr λ , care împarte numerele o 1 și o 2 în același timp. Să descriem algoritmul.

1) În acest articol, cuvântul număr va fi înțeles ca un număr întreg.

Lasă o 1 ≥ o 2 si lasa

Unde m 1 , o 3 sunt niște numere întregi, o 3 <o 2 (restul diviziunii o 1 per o 2 ar trebui să fie mai puțin o 2).

Să presupunem că λ desparte o 1 și o 2 atunci λ desparte m 1 o 2 și λ desparte o 1 −m 1 o 2 =o 3 (Enunțul 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Testul de divizibilitate”). Rezultă că fiecare divizor comun o 1 și o 2 este divizorul comun o 2 și o 3. Reversul este de asemenea adevărat dacă λ divizor comun o 2 și o 3 atunci m 1 o 2 și o 1 =m 1 o 2 +o 3 este de asemenea divizibil cu λ . Prin urmare divizorul comun o 2 și o 3 este, de asemenea, un divizor comun o 1 și o 2. Deoarece o 3 <o 2 ≤o 1, atunci putem spune că soluția la problema găsirii divizorului comun al numerelor o 1 și o 2 redus la problema mai simplă a găsirii divizorului comun al numerelor o 2 și o 3 .

Dacă o 3 ≠0, atunci putem împărți o 2 pe o 3. Apoi

,

Unde m 1 și o 4 sunt niște numere întregi, ( o 4 rest din diviziune o 2 pe o 3 (o 4 <o 3)). Prin raționament similar ajungem la concluzia că divizorii comuni ai numerelor o 3 și o 4 coincide cu divizori comuni ai numerelor o 2 și o 3 și, de asemenea, cu divizori comuni o 1 și o 2. Deoarece o 1 , o 2 , o 3 , o 4, ... sunt numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între o 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziunii o n pe o n+1 va fi egal cu zero ( o n+2 =0).

.

Fiecare divizor comun λ numere o 1 și o 2 este, de asemenea, un divizor de numere o 2 și o 3 , o 3 și o 4 , .... o n și o n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor o n și o n+1 sunt și divizori de numere o n−1 și o n , .... , o 2 și o 3 , o 1 și o 2. Dar divizorul comun al numerelor o n și o n+1 este un număr o n+1, deoarece o n și o n+1 sunt divizibile cu o n+1 (rețineți că o n+2 =0). Prin urmare o n+1 este, de asemenea, un divizor de numere o 1 și o 2 .

Rețineți că numărul o n+1 este cel mai mare divizor de numere o n și o n+1 , deoarece cel mai mare divizor o n+1 este el însuși o n+1. Dacă o n+1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor o 1 și o 2. Număr o se numește n+1 cel mai mare divizor comun numere o 1 și o 2 .

Numerele o 1 și o 2 poate fi numere pozitive sau negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero este nedefinit.

Algoritmul de mai sus este numit Algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.

Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere

Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.

• Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
• Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
• Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
• Pasul 4. Împarte numărul 42 la 28. Restul este 14.
• Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.

La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.

Numerele coprime

Definiţie 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime, neavând divizor comun.

Teorema 1. Dacă o 1 și o 2 numere coprime și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și o 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ Şi o 2 .

Dovada. Luați în considerare algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2 (vezi mai sus).

.

Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2 și deci o n și o n+1 este 1. Adică o n+1 =1.

Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , Atunci

.

Fie divizorul comun o 1 λ Şi o 2 da δ . Apoi δ este inclus ca multiplicator în o 1 λ , m 1 o 2 λ si in o 1 λ -m 1 o 2 λ =o 3 λ (vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Următorul δ este inclus ca multiplicator în o 2 λ Şi m 2 o 3 λ , și, prin urmare, este inclus ca factor în o 2 λ -m 2 o 3 λ =o 4 λ .

Raționând astfel, suntem convinși că δ este inclus ca multiplicator în o n−1 λ Şi m n−1 o n λ , și deci în o n−1 λ −m n−1 o n λ =o n+1 λ . Deoarece o n+1 =1, atunci δ este inclus ca multiplicator în λ . Prin urmare numărul δ este divizorul comun al numerelor λ Şi o 2 .

Să luăm în considerare cazurile speciale ale teoremei 1.

Consecinţă 1. Lasă oŞi c Numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.

într-adevăr. Din teorema 1 acŞi b au aceiași divizori comuni ca cŞi b. Dar cifrele cŞi b relativ simplu, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acŞi b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acŞi b reciproc simple.

Consecinţă 2. Lasă oŞi b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.

într-adevăr. Din condiția de aprobare akŞi b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bŞi k. Prin urmare b desparte k.

Corolarul 1 poate fi generalizat.

Consecinţă 3. 1. Lasă numerele o 1 , o 2 , o 3 , ..., o m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi o 1 o 2 , o 1 o 2 · o 3 , ..., o 1 o 2 o 3 ··· o m, produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.

2. Să avem două rânduri de numere

astfel încât fiecare număr din prima serie este prim în raportul fiecărui număr din a doua serie. Apoi produsul

Trebuie să găsiți numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.

Dacă un număr este divizibil cu o 1, atunci are forma sa 1 unde s oarecare număr. Dacă q este cel mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2, atunci

Unde s 1 este un număr întreg. Apoi

este cei mai mici multipli comuni ai numerelor o 1 și o 2 .

o 1 și o 2 sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor o 1 și o 2:

Trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu de numere o 1 , o 2 , o 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε Şi o 3 și înapoi. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε Şi o 3 da ε 1. Apoi, multipli de numere o 1 , o 2 , o 3 , o 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și o 4. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și o 4 da ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.

În cazul special când numerele o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor o 1 , o 2, după cum se arată mai sus, are forma (3). În continuare, de când o 3 prim în raport cu numerele o 1 , o 2 atunci o 3 număr prim o 1 · o 2 (Corolarul 1). Înseamnă cel mai mic multiplu comun al numerelor o 1 ,o 2 ,o 3 este un număr o 1 · o 2 · o 3. Raționând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.

Declaraţie 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m este egal cu produsul lor o 1 · o 2 · o 3 ··· o m.

Declaraţie 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m este de asemenea divizibil cu produsul lor o 1 · o 2 · o 3 ··· o m.

Să luăm în considerare rezolvarea următoarei probleme. Pasul băiatului este de 75 cm, iar pasul fetei este de 60 cm. Este necesar să găsiți cea mai mică distanță la care fac amândoi un număr întreg de pași.

Soluţie.Întreaga cale pe care o vor parcurge băieții trebuie să fie divizibil cu 60 și 70, deoarece fiecare trebuie să facă un număr întreg de pași. Cu alte cuvinte, răspunsul trebuie să fie un multiplu de 75 și 60.

Mai întâi, vom nota toți multiplii numărului 75. Obținem:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Acum să notăm numerele care vor fi multipli ai lui 60. Obținem:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Acum găsim numerele care sunt în ambele rânduri.

• Multiplii comuni ai numerelor ar fi 300, 600 etc.

Cel mai mic dintre ele este numărul 300. În acest caz, se va numi cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Revenind la starea problemei, cea mai mică distanță la care băieții vor face un număr întreg de pași va fi de 300 cm Băiatul va parcurge acest drum în 4 pași, iar fata va trebui să facă 5 pași.

Determinarea celui mai mic multiplu comun

• Cel mai mic multiplu comun al două numere naturale a și b este cel mai mic număr natural care este un multiplu atât al lui a cât și al lui b.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun a două numere, nu este necesar să scrieți toți multiplii acestor numere pe rând.

Puteți folosi următoarea metodă.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun

Mai întâi trebuie să factorizați aceste numere în factori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Acum să notăm toți factorii care sunt în expansiunea primului număr (2,2,3,5) și să adăugăm la ei toți factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (5).

Ca rezultat, obținem o serie de numere prime: 2,2,3,5,5. Produsul acestor numere va fi cel mai puțin comun factor pentru aceste numere. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generală pentru găsirea celui mai mic multiplu comun

• 1. Împărțiți numerele în factori primi.
• 2. Notează factorii primi care fac parte din unul dintre ei.
• 3. Adăugați la acești factori toți cei care se află în extinderea celorlalți, dar nu și în cel selectat.
• 4. Aflați produsul tuturor factorilor scrisi.

Această metodă este universală. Poate fi folosit pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al oricărui număr de numere naturale.

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, trebuie mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, numerele care sunt multipli de 5 pot fi considerate 15, 20, 25 și așa mai departe.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără a lăsa rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil cu toate aceste numere.

Pentru a găsi LOC, puteți folosi mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să notați toți multiplii acestor numere pe o linie până când găsiți ceva comun între ei. Multiplii sunt notați cu majusculă K.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Astfel, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această notație se face după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă metodă de calculare a LCM.

Pentru a finaliza sarcina, trebuie să factorizați numerele date în factori primi.

Mai întâi trebuie să notați descompunerea celui mai mare număr pe o linie, iar sub ea - restul.

Descompunerea fiecărui număr poate conține un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În extinderea numărului mai mic, ar trebui să evidențiați factorii care lipsesc în extinderea primului număr cel mai mare și apoi să îi adăugați. În exemplul prezentat, un doi lipsește.

Acum puteți calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii celui de-al doilea număr care nu au fost incluși în expansiunea numărului mai mare va fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, ar trebui să le factorizați pe toate în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Astfel, doar doi doi din expansiunea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în extinderea celor douăzeci și patru).

Astfel, ele trebuie adăugate la extinderea unui număr mai mare.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, LCM de doisprezece și douăzeci și patru este de douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au divizori identici, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM (10, 11) = 110.

Dar multe numere naturale sunt, de asemenea, divizibile cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil cu un întreg (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural o- este un număr natural care împarte un număr dat o fara urma. Un număr natural care are mai mult de doi divizori se numește compozit .

Vă rugăm să rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Aceste numere sunt: ​​1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere oŞi b- acesta este numărul cu care ambele numere date sunt împărțite fără rest oŞi b.

Multipli comuni mai multe numere este un număr care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni există întotdeauna unul cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr este numit cel mai micmultiplu comun (CMM).

LCM este întotdeauna un număr natural care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mŞi n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mŞi n. Mai mult, setul multiplilor comuni m, n coincide cu setul de multipli ai LCM( m, n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Aşa, Funcția Cebyshev. Și de asemenea:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți utiliza conexiunea acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k- diverse numere prime, și d 1 ,...,d kŞi e 1 ,...,e k— numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi NOC ( o,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, descompunerea LCM conține toți factorii primi incluși în cel puțin una dintre descompunerea numerelor. a, b, și se ia cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui multiplicator.

Exemplu:

Calcularea celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redusă la mai multe calcule secvențiale ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare descompunere (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați) la factorii produsului dorit, apoi adăugați factori din descompunerea altor numere care nu apar în primul număr sau apar în el mai puține ori;

— produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) sunt completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr care este divizibil cu 21 și 28.

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 sunt completați cu factorul 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) care este un multiplu al tuturor numerelor date.

Numerele 2,3,11,37 sunt numere prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

Regulă. Pentru a calcula LCM al numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

O alta varianta:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Notăm cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Definiţie. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt împărțite fără rest cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiţie. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Să factorizăm numerele 48 și 36 și să obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este egal cu 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiţie. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să notăm factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Ei au numit un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33.550.336 Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai puțin comune. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care erau multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.