Când au apărut fracțiile? Istoria fracțiilor ordinare.

Fracțiile sunt încă considerate una dintre cele mai dificile domenii ale matematicii. Istoria fracțiilor datează de mai bine de o mie de ani. Capacitatea de a împărți un întreg în părți a apărut pe teritoriul Egiptului antic și Babilonului. De-a lungul anilor, operațiunile efectuate cu fracții au devenit mai complexe, iar forma înregistrării acestora s-a schimbat. Fiecare avea propriile sale caracteristici în „relația” cu această ramură a matematicii.

Ce este o fracție?

Când a apărut nevoia de a împărți un întreg în părți fără efort suplimentar, atunci au apărut fracțiile. Istoria fracțiilor este indisolubil legată de soluționarea problemelor utilitare. Termenul „fracție” în sine are rădăcini arabe și provine dintr-un cuvânt care înseamnă „a rupe, a împărți”. Puține s-au schimbat în acest sens din cele mai vechi timpuri. Definiția modernă este următoarea: o fracție este o parte sau o sumă a părților unei unități. În consecință, exemplele cu fracții reprezintă execuția secvențială a operațiilor matematice cu fracții de numere.

Astăzi există două moduri de a le înregistra. a apărut în timpuri diferite: primele sunt mai vechi.

A venit din timpuri imemoriale

Pentru prima dată au început să opereze cu fracțiuni în Egipt și Babilon. Abordarea matematicienilor celor două țări a avut diferențe semnificative. Totuși, începutul a fost făcut în același mod în ambele cazuri. Prima fracție a fost jumătate sau 1/2. Apoi a apărut un sfert, un al treilea și așa mai departe. Potrivit săpăturilor arheologice, istoria originii fracțiilor datează de aproximativ 5 mii de ani. Pentru prima dată, fracțiunile unui număr se găsesc în papirusurile egiptene și pe tăblițele de lut babiloniene.

Egiptul antic

Specie fracții obișnuite astazi le includ si pe asa-zisele egiptene. Ele reprezintă suma mai multor termeni de forma 1/n. Numătorul este întotdeauna unul, iar numitorul este un număr natural. Este greu de ghicit că astfel de fracții au apărut în Egiptul antic. Când am calculat, am încercat să notăm toate acțiunile sub forma unor astfel de sume (de exemplu, 1/2 + 1/4 + 1/8). Doar fracțiile 2/3 și 3/4 aveau denumiri separate, restul au fost împărțite în termeni. Existau tabele speciale în care fracțiile unui număr erau prezentate ca o sumă.

Cea mai veche referire cunoscută la un astfel de sistem se găsește în Papirusul matematic Rhind, datând de la începutul mileniului II î.Hr. Include un tabel de fracții și probleme de matematică cu soluții și răspunsuri prezentate ca sume de fracții. Egiptenii știau să adună, să împartă și să înmulțească fracții dintr-un număr. Fracțiile din Valea Nilului au fost scrise folosind hieroglife.

Reprezentarea unei fracții dintr-un număr ca sumă de termeni de forma 1/n, caracteristică Egiptului antic, a fost folosită de matematicieni nu numai din această țară. Până în Evul Mediu, fracțiile egiptene erau folosite în Grecia și în alte țări.

Dezvoltarea matematicii în Babilon

Matematica arăta diferit în regatul babilonian. Istoria apariției fracțiilor aici este direct legată de caracteristicile sistemului numeric moștenit stat antic moștenit de la predecesorul său, civilizația sumerian-akkadiană. Tehnologia de calcul în Babilon era mai convenabilă și mai avansată decât în ​​Egipt. Matematica din această țară a rezolvat o gamă mult mai largă de probleme.

Realizările babilonienilor de astăzi pot fi judecate după tăblițele de lut supraviețuitoare pline cu cuneiforme. Datorită caracteristicilor materialului, au ajuns la noi în cantitati mari. După unii, în Babilon, înainte de Pitagora, a fost descoperită o teoremă binecunoscută, care mărturisește fără îndoială dezvoltarea științei în această stare străveche.

Fracții: Istoria fracțiilor în Babilon

Sistemul numeric din Babilon era sexagesimal. Fiecare cifră nouă diferă de cea anterioară cu 60. Acest sistem a fost păstrat în lumea modernă pentru a indica timpul și unghiurile. Fracțiile au fost și sexagesimale. Pictogramele speciale au fost folosite pentru înregistrare. Ca și în Egipt, exemplele cu fracții conțineau simboluri separate pentru 1/2, 1/3 și 2/3.

Sistemul babilonian nu a dispărut odată cu statul. Fracțiile scrise în sistemul de 60 de cifre au fost folosite de astronomii și matematicienii antici și arabi.

Grecia antică

Istoria fracțiilor obișnuite a fost puțin îmbogățită în Grecia antică. Locuitorii din Hellas credeau că matematica ar trebui să opereze numai cu numere întregi. Prin urmare, expresiile cu fracții nu s-au găsit practic niciodată pe paginile tratatelor grecești antice. Cu toate acestea, pitagoreenii au adus o anumită contribuție la această ramură a matematicii. Ei au înțeles fracțiile ca rapoarte sau proporții, iar unitatea a fost, de asemenea, considerată indivizibilă. Pitagora și studenții săi au construit o teorie generală a fracțiilor, au învățat să efectueze toate cele patru operații aritmetice, precum și să compare fracții aducându-le la un numitor comun.

Sfântul Imperiu Roman

Sistemul roman de fracții a fost asociat cu o măsură a greutății numită „cură”. A fost împărțit în 12 acțiuni. 1/12 dintr-un as se numea uncie. Au fost 18 nume pentru fracții. Iată câteva dintre ele:

semi - jumătate de assa;

sextante - a șasea parte a fundului;

șapte uncie - jumătate de uncie sau 1/24 de fund.

Dezavantajul unui astfel de sistem era imposibilitatea reprezentării unui număr ca fracție cu numitorul 10 sau 100. Matematicienii romani au depășit dificultatea folosind procente.

Scrierea fracțiilor comune

În Antichitate, fracțiile erau deja scrise într-un mod familiar: un număr peste altul. Cu toate acestea, a existat o diferență semnificativă. Numătorul era situat sub numitor. Ei au început să scrie fracții astfel în India antică. Metoda modernă a fost folosită de arabi. Dar niciunul dintre popoarele numite nu a folosit o linie orizontală pentru a separa numărătorul și numitorul. Apare pentru prima dată în scrierile lui Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci, în 1202.

China

Dacă istoria apariției fracțiilor obișnuite a început în Egipt, atunci zecimalele au apărut pentru prima dată în China. În Imperiul Celest au început să fie folosite în jurul secolului al III-lea î.Hr. Istoria fracțiilor zecimale a început cu matematicianul chinez Liu Hui, care a propus utilizarea lor în extragerea rădăcinilor pătrate.

În secolul al III-lea d.Hr zecimaleîn China au început să fie folosite la calcularea greutății și volumului. Treptat au început să pătrundă din ce în ce mai adânc în matematică. În Europa însă, zecimalele au intrat în uz mult mai târziu.

Al-Kashi din Samarkand

Indiferent de predecesorii chinezi, fracțiile zecimale au fost descoperite de astronomul al-Kashi din oras antic Samarkand. A trăit și a lucrat în secolul al XV-lea. Omul de știință și-a conturat teoria în tratatul „Cheia aritmeticii”, care a fost publicat în 1427. Al-Kashi a sugerat să folosească uniforma noua scrierea fracțiilor. Atât părțile întregi, cât și cele fracționale au fost acum scrise pe aceeași linie. Astronomul din Samarkand nu a folosit virgulă pentru a le separa. El a scris numărul întreg și partea fracționară culori diferite folosind cerneală neagră și roșie. Uneori, al-Kashi folosea și o linie verticală pentru a separa.

Decimale în Europa

Un nou tip de fracții a început să apară în lucrările matematicienilor europeni în secolul al XIII-lea. Trebuie remarcat faptul că nu erau familiarizați cu lucrările lui al-Kashi, precum și cu invenția chinezilor. Fracțiile zecimale au apărut în scrierile lui Jordan Nemorarius. Apoi au fost folosite deja în secolul al XVI-lea de un om de știință francez care a scris „Canonul matematic”, care conținea tabele trigonometrice. Viet a folosit fracții zecimale în ele. Pentru a separa părțile întregi și fracționale, omul de știință a folosit o bară verticală, precum și diferite dimensiuni de font.

Totuși, acestea au fost doar cazuri speciale de utilizare științifică. Fracțiile zecimale au început să fie folosite în Europa ceva mai târziu pentru a rezolva problemele de zi cu zi. Acest lucru s-a întâmplat datorită savantului olandez Simon Stevin la sfârșitul secolului al XVI-lea. A publicat lucrarea de matematică „Al zecelea” în 1585. În ea, omul de știință a conturat teoria utilizării fracțiilor zecimale în aritmetică, în sistemul monetar și pentru determinarea greutăților și măsurilor.

Punct, punct, virgulă

De asemenea, Stevin nu a folosit virgulă. El a separat cele două părți ale fracției folosind un zero înconjurat de un cerc.

Prima dată când o virgulă a separat două părți dintr-o fracție zecimală a fost în 1592. În Anglia, însă, au început să folosească un punct. În Statele Unite, zecimalele sunt încă scrise astfel.

Unul dintre inițiatorii folosirii ambelor semne de punctuație pentru a separa părțile întregi și fracționale a fost matematicianul scoțian John Napier. El și-a exprimat propunerea în 1616-1617. Omul de știință german a folosit și virgula

Fracții în Rus'

Pe pământul rusesc, primul matematician care a explicat împărțirea întregului în părți a fost călugărul Novgorod Kirik. În 1136, el a scris o lucrare în care a subliniat metoda „numărării anilor”. Kirik s-a ocupat de probleme de cronologie și calendar. În lucrarea sa, el a citat și împărțirea orei în părți: cincimi, douăzeci și cinci, și așa mai departe.

Împărțirea întregului în părți a fost folosită la calcularea sumei impozitului în secolele XV-XVII. S-au folosit operațiile de adunare, scădere, împărțire și înmulțire cu părți fracționale.

Cuvântul „fracție” însuși a apărut în Rus' în secolul al VIII-lea. Provine de la verbul „a împărți, a împărți în părți”. Strămoșii noștri au folosit cuvinte speciale pentru a numi fracțiile. De exemplu, 1/2 a fost desemnat ca jumătate sau jumătate, 1/4 ca un sfert, 1/8 ca jumătate, 1/16 ca jumătate și așa mai departe.

Teoria completă a fracțiilor, nu mult diferită de cea modernă, a fost prezentată în primul manual de aritmetică, scris în 1701 de Leonti Filippovici Magnitsky. „Aritmetica” a constat din mai multe părți. Autorul vorbește despre fracții în detaliu în secțiunea „Despre numerele rupte sau cu fracții”. Magnitsky oferă operații cu numere „rupte” și denumiri diferite ale acestora.

Astăzi, fracțiile sunt încă printre cele mai dificile ramuri ale matematicii. Nici istoria fracțiilor nu a fost simplă. Națiuni diferite uneori independent unul de celălalt, iar uneori împrumutând experiența predecesorilor, au ajuns la necesitatea introducerii, stăpânirii și folosirii fracțiilor de numere. Doctrina fracțiilor a crescut întotdeauna din observatii practiceși datorită problemelor presante. Era necesar să se împartă pâinea, să se delimiteze terenuri egale, să se calculeze impozitele, să se măsoare timpul și așa mai departe. Caracteristicile utilizării fracțiilor și a operațiilor matematice cu acestea depind de sistemul numeric din stat și de nivel general dezvoltarea matematicii. Într-un fel sau altul, depășind mai bine de o mie de ani, secțiunea de algebră dedicată fracțiilor de numere a fost formată, dezvoltată și este folosită cu succes astăzi pentru o varietate de nevoi, atât practice, cât și teoretice.

Pagina #2

Pagina #3

Pagina #4

Scrierea fracțiilor în Egipt Egiptenii au încercat să scrie toate fracțiile ca sume de fracții, adică fracții de forma 1/n. De exemplu, în loc de 8/15 au scris 1/3 + 1/5. Singura excepție a fost fracția 2/3. În papirusul Ahmes există o sarcină: „Împărțiți 7 pâini între 8 persoane”. Dacă tăiați fiecare pâine în 8 bucăți, va trebui să faceți 49 de tăieturi. Și în egiptean această problemă a fost rezolvată așa. Fracția 7/8 a fost scrisă ca fracții: 1/2 + 1/4 + 1/8. Aceasta înseamnă că fiecărei persoane ar trebui să i se dea o jumătate de pâine, un sfert de pâine și o optime de pâine; Prin urmare, tăiem patru pâini în jumătate, două pâini în 4 părți și o pâine în 8 părți, după care dăm fiecăruia câte o parte.

Pagina #5

Pagina #6

Informațiile sunt incluse în imaginea diapozitivului

Pagina #7

Pagina #8

Sistemul roman de fracții și măsuri era duozecimal. Chiar și acum ei spun uneori: „A studiat temeinic această problemă”. Asta înseamnă că problema a fost studiată până la capăt, că nu rămâne nici cea mai mică ambiguitate. Și ce se întâmplă cuvânt ciudat„cu scrupule” de la numele roman pentru 1/288 assa – „scrupulus”. Sistemul roman de fracții și măsuri era duozecimal. Chiar și acum ei spun uneori: „A studiat temeinic această problemă”. Asta înseamnă că problema a fost studiată până la capăt, că nu rămâne nici cea mai mică ambiguitate. Și cuvântul ciudat „scrupulous” provine de la numele roman pentru 1/288 assa - „scrupulus”. Au fost, de asemenea, utilizate următoarele nume: „semi” - jumătate de as, „sextanes” - o șase din el, „semiouncie” - jumătate de uncie, adică 1/24 de as, etc. În total, 18 au fost folosit nume diferite fractii. Pentru a lucra cu fracții, a fost necesar să ne amintim atât de tabelul de adunare, cât și de cel de înmulțire pentru aceste fracții. Așadar, negustorii romani știau sigur că la adăugarea triens (1/3 assa) și sextani, rezultatul este semis, iar la înmulțirea imp (2/3 assa) cu sescunce (3/2 uncie, adică 1/8). assa), se obține o uncie. Pentru a facilita munca, au fost întocmite tabele speciale, dintre care unele au ajuns la noi.

Pagina #9

Pagina #10

Pagina #11

Pagina #12

Pagina #13

Babilonienii lucrau doar cu fracții sexagesimale. Deoarece numitorii unor astfel de fracții sunt numerele 60, 602, 603 etc., fracții precum 1/7 nu au putut fi exprimate cu precizie prin intermediul celor sexagesimale. Au exprimat-o aproximativ prin fracții similare.

Se distingea prin sistemul său de fracții Roma antică. Acest sistem se baza pe împărțirea unei unități de greutate în 12 părți, numite fund. A douăsprezecea parte a unui as se numea uncie. Au fost, de asemenea, utilizate următoarele nume: „semi” - jumătate de as, „sextanes” - o șaseme de as, „semiouncie” - jumătate de uncie, adică 1/24 de as. Au fost folosite un total de 18 denumiri diferite pentru fracții. Pentru a lucra cu astfel de fracții, a fost necesar să ne amintim atât de tabelul de adunare, cât și de cel de înmulțire. Pentru a facilita munca, au fost întocmite tabele speciale. Dezavantajul acestui sistem era că nu avea fracții cu numitori de 10 sau 100, ceea ce a făcut dificilă împărțirea la 10, 100 etc. Pentru a evita aceste dificultăți, romanii au început să folosească interesul.

Fracțiile nu au fost găsite în lucrările grecești de matematică, deoarece Oamenii de știință greci credeau că matematica ar trebui să se ocupe doar de numere întregi. Fracțiile în știința greacă au apărut datorită muzicii.

Scrierea fracțiilor cu numărător și numitor a fost propusă în India, doar numitorul era scris în partea de sus și numărătorul în jos și, de asemenea, nu au pus o linie pe fracție. Notarea modernă a fracțiilor a fost propusă de arabi. Bazele teoriei fracțiilor obișnuite au fost puse de matematicienii greci și indieni.

Pentru prima dată în Europa, acest termen a fost folosit în 1202 de primul matematician important Europa medievală Leonardo din Pisa (1170 - 1250), mai cunoscut sub numele de Fibonacci. O teorie cu drepturi depline a fracțiilor obișnuite și a operațiilor asupra acestora a fost dezvoltată în secolul al XVI-lea în lucrările matematicianului italian Niccolo Tartaglia (1499 - 1557) și ale matematicianului și astronomului german și italian Christopher Clavius ​​(Clavius) (1537 -). 1612). ÎN Rusiei antice fracțiile se numeau fracții sau numere rupte. Termenul rusesc „fracție” provine din cuvânt latin„fractura”, care în arabă înseamnă „a rupe”, „a zdrobi”. Termenul „fracție” este folosit în „Aritmetică” de către matematicianul și profesorul rus Leonti Filippovici Magnitsky (1669 - 1739) atât pentru fracțiile ordinare, cât și pentru fracțiile zecimale.

Istoria fracțiilor. Autori: elevii clasei a V-a Tkachev A., Volkov M., Matveeva V., Vershinin S. Întrebare problemă: Cum au apărut fracțiile? Obiectivele studiului: Rezumați materialul istoric, când și unde au fost menționate pentru prima dată fracțiile. Determinați originea cuvântului „fracție”. Faceți o listă cu moduri de a scrie fracții în diferite epoci și între diferite popoare. Selectați probleme antice cu soluții și sistematizați-le în conformitate cu operațiile aritmetice. Din cele mai vechi timpuri, oamenii trebuiau nu numai să numere obiectele, ci și să măsoare lungimea, timpul, suprafața și să plătească bunurile cumpărate sau vândute. Nu a fost întotdeauna posibil să se exprime rezultatul măsurării sau costul mărfurilor fracțiile erau folosite în Roma antică. Pentru romani, unitatea de bază de măsură a masei era măgarul, precum și o unitate monetară. Fundul a fost împărțit în 12 părți egale de uncii. De exemplu, un roman ar putea spune că a mers șapte uncii din drum. Aceasta însemna că 7/12 din călătorie fusese finalizată. 1/288 assa - „scrupulus”, „semis” jumătate assa „sextance” - o șaseme din ea, „semiounce” - jumătate de uncie, adică 1/24 assa, triens (1/3 assa), demon (2/3 ass.) Nu existau fracții în lucrările grecești despre matematică. Oamenii de știință greci credeau că matematica ar trebui să se ocupe doar de numere întregi, ei lăsau negustorilor și artizanilor să studieze rapoartele și fracțiile. China antică a fost folosit un punct în locul unei linii: 1 3 1 3 Scrierea fracțiilor folosind un numărător și un numitor a apărut în Grecia antică , doar grecii au scris numitorul în sus și numărătorul în jos. Hindușii au început să scrie fracții în forma cu care suntem familiarizați acum aproximativ 1.500 de ani, dar nu au folosit o linie între numărător și numitor. Linia de fracție a devenit folosită în mod obișnuit abia în secolul al XVI-lea. Și arabii au început să scrie fracții exact așa cum fac acum. Primul om de știință european care a folosit și a răspândit notația modernă a fracțiilor a fost un negustor și călător italian, fiul funcționarului orașului Fibonacci (Leonardo de Pisa). În 1202 el a introdus cuvântul „fracție”. Euterpe a luat instantaneu partea a douăsprezecea, Clio a luat partea a cincea, Thalia a luat partea a opta. Melpomene a plecat cu partea a douăzecea. Terpsichore a luat un sfert. Cu partea a șaptea, Erato a fugit de mine, Polyhymnia a furat cele treizeci de fructe. O sută douăzeci au fost luate de Uratia, trei sute de fructe au fost luate de Calliope. Mă întorc acasă aproape cu mâinile goale. Muzele mi-au lăsat doar cincizeci de fructe să le împărtășesc.” Câte mere a purtat Eros înainte de a se întâlni cu Muzele? Concluzii: Fracțiile au apărut în Egiptul antic pentru o numărare mai precisă.