Cum se calculează viteza medie? Probleme cu viteza medie

Foarte simplu! Este necesar să se împartă întregul traseu la momentul în care obiectul mișcării a fost pe drum. Exprimată diferit, putem defini viteza medie ca media aritmetică a tuturor vitezelor unui obiect. Dar există câteva nuanțe atunci când rezolvați problemele din acest domeniu.

De exemplu, pentru a calcula viteza medie, este dată următoarea versiune a problemei: călătorul a mers mai întâi cu o viteză de 4 km pe oră timp de o oră. Apoi, o mașină care trecea l-a „ridicat” și a condus restul drumului în 15 minute. Mai mult, mașina se deplasa cu o viteză de 60 km pe oră. Cum se determină viteza medie a unui călător?

Nu trebuie să adăugați pur și simplu 4 km și 60 și să le împărțiți în jumătate, aceasta va fi soluția greșită! La urma urmei, traseele parcurse pe jos și cu mașina ne sunt necunoscute. Aceasta înseamnă că mai întâi trebuie să calculăm întreaga cale.

Prima parte a traseului este ușor de găsit: 4 km pe oră X 1 oră = 4 km

Există probleme minore cu a doua parte a călătoriei: viteza este exprimată în ore, iar timpul de călătorie este exprimat în minute. Această nuanță îngreunează adesea găsirea răspunsului corect atunci când se pun întrebări despre cum să găsiți viteza medie, calea sau timpul.

Să exprimăm 15 minute în ore. Pentru aceasta, 15 minute: 60 minute = 0,25 ore. Acum să calculăm cât de departe a mers călătorul?

60 km/h X 0,25h = 15 km

Acum găsirea întregului traseu parcurs de călător nu va fi dificilă: 15 km + 4 km = 19 km.

Timpul de călătorie este, de asemenea, destul de ușor de calculat. Aceasta este 1 oră + 0,25 ore = 1,25 ore.

Și acum este clar cum să găsiți viteza medie: trebuie să împărțiți întreaga cale în timpul necesar călătorului să o depășească. Adică 19 km: 1,25 ore = 15,2 km/h.

Există o glumă pe această temă. Un bărbat grăbit îl întreabă pe proprietarul câmpului: „Pot să merg la gară prin site-ul tău? Am întârziat puțin și aș vrea să-mi scurtez traseul mergând direct. Atunci cu siguranță voi ajunge la timp pentru trenul, care pleacă la 16:45!” - „Desigur, poți să-ți scurtezi calea trecând prin lunca mea! Și dacă taurul meu te observă acolo, atunci vei prinde chiar și trenul care pleacă la 16:15.”

Această situație comică, între timp, este direct legată de un astfel de concept matematic precum viteza medie. La urma urmei, un potențial pasager încearcă să-și scurteze călătoria din simplul motiv că știe viteza medie a mișcării sale, de exemplu, 5 km pe oră. Iar pietonul, știind că ocolul de-a lungul drumului asfaltat este de 7,5 km, făcând calcule mentale simple, înțelege că îi va lua o oră și jumătate pentru a parcurge acest drum (7,5 km: 5 km/h = 1,5 oră).

După ce a plecat prea târziu din casă, este limitat în timp, așa că decide să-și scurteze calea.

Și aici ne confruntăm cu prima regulă, care ne dictează cum să găsim viteza medie de mișcare: dată distanta directaîntre puncte extreme cale sau tocmai prin calcul Din cele de mai sus, este clar pentru toată lumea: calculul trebuie efectuat, ținând cont de traiectoria căii.

Scurtând traseul, dar fără a-i modifica viteza medie, obiectul din persoana pietonului câștigă timp. Fermierul, presupunând viteza medie a unui „sprinter” care fuge de un taur furios, face și el calcule simple și își dă rezultatul.

Șoferii folosesc adesea o a doua regulă importantă pentru calcularea vitezei medii, care se referă la timpul de călătorie. Aceasta se referă la întrebarea cum să găsiți viteza medie dacă obiectul se oprește pe parcurs.

În această opțiune, de obicei, dacă nu există clarificări suplimentare, se ia timp întreg pentru calcul, inclusiv opriri. Prin urmare, un șofer de mașină poate spune că viteza sa medie dimineața pe un drum liber este mult mai mare decât viteza medie în ora de vârf, deși vitezometrul arată aceeași cifră în ambele versiuni.

Cunoscând aceste cifre, un șofer cu experiență nu va întârzia niciodată nicăieri, după ce a ghicit dinainte care va fi viteza sa medie în oraș. timpuri diferite zile.

Toate sarcinile în care există mișcarea obiectelor, mișcarea sau rotația lor, sunt oarecum legate de viteză.

Acest termen caracterizează mișcarea unui obiect în spațiu pe o anumită perioadă de timp - numărul de unități de distanță pe unitatea de timp. El este un „oaspete” frecvent al ambelor secțiuni de matematică și fizică. Corpul original își poate schimba locația atât în ​​mod uniform, cât și cu accelerație. În primul caz, valoarea vitezei este statică și nu se modifică în timpul mișcării, în al doilea, dimpotrivă, crește sau scade.

Cum să găsești viteza - mișcare uniformă

Dacă viteza de mișcare a corpului a rămas neschimbată de la începutul mișcării până la sfârșitul traseului, atunci vorbim de mișcare cu accelerație constantă - mișcare uniformă. Poate fi drept sau curbat. În primul caz, traiectoria corpului este o linie dreaptă.

Atunci V=S/t, unde:

• V – viteza dorită,
• S – distanța parcursă (calea totală),
• t – timpul total de mișcare.

Cum să găsești viteza - accelerația este constantă

Dacă un obiect se mișca cu accelerație, atunci viteza lui se schimba pe măsură ce se mișca. În acest caz, următoarea expresie vă va ajuta să găsiți valoarea dorită:

V=V (start) + at, unde:

• V (start) – viteza inițială a obiectului,
• a – accelerarea corpului,
• t – timpul total de călătorie.

Cum să găsești viteza - mișcare neuniformă

ÎN în acest caz, Există o situație în care corpul trece prin diferite secțiuni ale căii în momente diferite.
S(1) – pentru t(1),
S(2) – pentru t(2), etc.

În prima secțiune, mișcarea s-a produs la „tempo” V(1), în a doua – V(2), etc.

Pentru a afla viteza de mișcare a unui obiect de-a lungul întregii trasee (valoarea sa medie), utilizați expresia:

Cum să găsiți viteza - rotația unui obiect

În cazul rotației, vorbim de viteza unghiulară, care determină unghiul prin care elementul se rotește pe unitatea de timp. Valoarea dorită este indicată prin simbolul ω (rad/s).

• ω = Δφ/Δt, unde:

Δφ – unghi trecut (increment de unghi),
Δt – timpul scurs (timp de mișcare – increment de timp).

• Dacă rotația este uniformă, valoarea dorită (ω) este asociată cu un astfel de concept precum perioada de rotație - cât timp va dura până când obiectul nostru va finaliza 1 viraj complet. În acest caz:

ω = 2π/T, unde:
π – constantă ≈3,14,
T – punct.

Sau ω = 2πn, unde:
π – constantă ≈3,14,
n – frecvența de circulație.

• Cu un cunoscut viteza liniară obiect pentru fiecare punct de pe calea mișcării și raza cercului de-a lungul căruia se mișcă, pentru a găsi viteza ω veți avea nevoie de următoarea expresie:

ω = V/R, unde:
V – valoarea numerică a mărimii vectoriale (viteza liniară),
R este raza traiectoriei corpului.

Cum să găsești viteza - deplasarea punctelor mai aproape și mai departe

În probleme de acest gen, ar fi indicat să folosim termenii viteză de apropiere și viteză de distanță.

Dacă obiectele sunt îndreptate unul către celălalt, atunci viteza de apropiere (înlăturare) va fi următoarea:
V (mai aproape) = V(1) + V(2), unde V(1) și V(2) sunt vitezele obiectelor corespunzătoare.

Dacă unul dintre corpuri îl ajunge din urmă pe celălalt, atunci V (mai aproape) = V(1) – V(2), V(1) este mai mare decât V(2).

Cum să găsești viteza - mișcare pe un corp de apă

Dacă evenimentele se desfășoară pe apă, atunci viteza curentului (adică mișcarea apei în raport cu un țărm staționar) se adaugă vitezei proprie a obiectului (mișcarea corpului față de apă). Cum sunt aceste concepte interconectate?

În cazul deplasării cu curentul, V=V(propriu) + V(debit).
Dacă împotriva curentului – ​​V=V (propriu) – V (curent).

Amintiți-vă că viteza este dată ca valoare numerică, și direcția. Viteza descrie cât de repede se schimbă poziția unui corp, precum și direcția în care se mișcă acel corp. De exemplu, 100 m/s (sud).

Există valori medii, a căror definiție incorectă a devenit o glumă sau o pildă. Orice calcul incorect este comentat cu o referire comună, general înțeleasă, la un rezultat atât de evident absurd. De exemplu, expresia „temperatura medie în spital” va face pe toată lumea să zâmbească cu înțelegere sarcastică. Cu toate acestea, aceiași experți adesea, fără să se gândească, adună vitezele pe secțiuni individuale ale traseului și împart suma calculată la numărul acestor secțiuni pentru a obține un răspuns la fel de lipsit de sens. Amintiți-vă de la cursul de mecanică liceu, cum să găsiți viteza medie într-un mod corect și nu absurd.

Analog al „temperaturii medii” în mecanică

În ce cazuri condițiile dificile ale unei probleme ne împing la un răspuns grăbit, necugetat? Dacă vorbesc despre „părți” ale căii, dar nu indică lungimea lor, acest lucru alarmează chiar și o persoană care are puțină experiență în rezolvarea unor astfel de exemple. Dar dacă problema indică în mod direct intervale egale, de exemplu, „pentru prima jumătate a călătoriei trenul a urmat-o cu o viteză...”, sau „pietonul a parcurs prima treime a drumului cu o viteză...”, și apoi descrie în detaliu modul în care obiectul s-a deplasat la intervalele egale rămase, adică raportul este cunoscut S 1 = S 2 = ... = S nŞi valori exacte viteze v 1, v 2, ... v n, gândirea noastră deseori se rătăcește de neiertat. Se ia în considerare media aritmetică a vitezelor, adică toate valorile cunoscute v se adună și se împart în n. Ca urmare, răspunsul se dovedește a fi incorect.

„Formule” simple pentru calcularea cantităților în timpul mișcării uniforme

Atât pentru întreaga distanță parcursă, cât și pentru secțiunile sale individuale în cazul medierii vitezei, sunt valabile relațiile scrise pentru mișcare uniformă:

• S = vt(1), cale „formulă”;
• t=S/v(2), „formula” pentru calcularea timpului de mișcare ;
• v=S/t(3), „formula” pentru determinarea vitezei medii pe o secțiune de cale S străbătut în timp t.

Adică pentru a găsi cantitatea dorită v folosind relația (3), trebuie să le cunoaștem exact pe celelalte două. Atunci când rezolvăm întrebarea cum să găsim viteza medie de mișcare, trebuie să stabilim în primul rând care este întreaga distanță parcursă. Sși care este timpul întregului mișcare? t.

Detectarea erorilor ascunse matematice

În exemplul pe care îl rezolvăm, distanța parcursă de corp (tren sau pieton) va fi egală cu produsul nS n(din moment ce noi n odată ce adunăm secțiuni egale ale căii, în exemplele date - jumătăți, n=2, sau treimi, n=3). Nu știm nimic despre timpul total de mișcare. Cum se determină viteza medie dacă numitorul fracției (3) nu este specificat în mod explicit? Să folosim relația (2), pentru fiecare secțiune a traseului pe care o determinăm t n = S n: v n. Cantitate Vom scrie intervalele de timp calculate astfel sub linia fracției (3). Este clar că pentru a scăpa de semnele „+”, trebuie să aduci totul S n: v n la un numitor comun. Rezultatul este o „fracție cu două etaje”. În continuare, folosim regula: numitorul numitorului intră în numărător. Ca urmare, pentru problema trenului după reducerea cu S n avem v av = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . În cazul unui pieton, întrebarea cum să găsiți viteza medie este și mai dificil de rezolvat: v av = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

Confirmare explicită a erorii „în cifre”

Pentru a confirma cu degetele că determinarea mediei aritmetice este o modalitate greșită de a calcula vmier, să facem exemplul mai concret prin înlocuirea literelor abstracte cu cifre. Pentru tren, să luăm vitezele 40 km/hŞi 60 km/h(raspuns gresit - 50 km/h). Pentru un pieton - 5 , 6 Şi 4 km/h(media aritmetică - 5 km/h). Este ușor de verificat prin înlocuirea valorilor în relațiile (4) și (5) că răspunsurile corecte sunt pentru locomotivă 48 km/hși pentru o persoană - 4.(864) km/h(periodic zecimal, rezultatul nu este foarte frumos matematic).

Când media aritmetică nu eșuează

Dacă problema este formulată astfel: „Pentru intervale egale de timp, corpul s-a deplasat mai întâi cu viteză v 1, atunci v 2, v 3și așa mai departe”, poate fi găsit un răspuns rapid la întrebarea cum să găsiți viteza medie pe calea greșită. Vom lăsa cititorul să verifice singur acest lucru prin însumarea intervalelor de timp egale la numitor și folosind la numărător v avg relația (1). Acesta este poate singurul caz în care o metodă eronată duce la un rezultat corect. Dar pentru calcule precise garantate trebuie să utilizați numai algoritmul corect, referindu-se invariabil la fracție v av = S: t.

Algoritm pentru toate ocaziile

Pentru a evita cu siguranță greșelile, atunci când decideți cum să găsiți viteza medie, este suficient să vă amintiți și să executați succesiune simplă actiuni:

• determinați întregul traseu prin însumarea lungimilor secțiunilor sale individuale;
• setați toată durata călătoriei;
• împărțiți primul rezultat la al doilea, cantitățile necunoscute nespecificate în problemă (sub rezerva formulării corecte a condițiilor) sunt reduse.

Articolul discută cele mai simple cazuri când datele inițiale sunt date pentru părți egale de timp sau secțiuni egale ale căii. În cazul general, raportul intervalelor cronologice sau distanțelor parcurse de un corp poate fi foarte arbitrar (dar în același timp definit matematic, exprimat ca un întreg sau fracție specifică). Regula de referire la raport v av = S: t absolut universal și nu dă greș niciodată, oricât de complex ar fi la prima vedere transformări algebrice nici unul nu trebuia să facă.

În cele din urmă, observăm: semnificația practică a utilizării algoritmului potrivit nu a trecut neobservată de cititorii observatori. Viteza medie calculată corect în exemplele date s-a dovedit a fi puțin mai mică decât „temperatura medie” pe autostradă. Prin urmare, un algoritm fals pentru sistemele care înregistrează viteză ar însemna număr mai mare deciziile eronate ale poliției rutiere trimise în „scrisori în lanț” șoferilor.

Conceptul de viteză este unul dintre conceptele principale în cinematică.
  Mulți oameni știu probabil că viteza este mărime fizică, care arată cât de repede (sau cât de încet) se mișcă un corp în mișcare în spațiu. Desigur, vorbim despre mișcare în sistemul de referință ales. Știai, totuși, că se folosesc nu unul, ci trei concepte de viteză? Există viteză la un moment dat în timp, numită viteză instantanee, și există două concepte de viteză medie pentru o anumită perioadă de timp - viteza medie la sol (în engleză viteza) și viteza medie peste mișcare (în engleză viteza).
  Vom lua în considerare un punct material în sistemul de coordonate x, y, z(Fig. a).

Poziţie O puncte la un moment dat t se caracterizează prin coordonate x(t), y(t), z(t), reprezentând cele trei componente ale vectorului rază ( t). Punctul se deplasează, poziția sa în sistemul de coordonate selectat se modifică în timp - sfârșitul vectorului rază ( t) descrie o curbă numită traiectoria unui punct în mișcare.
  Traiectorie descrisă pe o perioadă de timp de la t la t + Δt, prezentat în figura b.

  Prin B este indicată poziţia punctului în momentul de faţă t + Δt(este fixat de vectorul raza ( t + Δt)). Lasă Δs− lungimea traiectoriei curbilinii luate în considerare, adică traseul parcurs de punctul în timp de la t la t + Δt.
  Viteza medie la sol a unui punct pentru o anumită perioadă de timp este determinată de relație

  Este evident că v p − mărime scalară; se caracterizează doar printr-o valoare numerică.
  Vector prezentat în figura b

se numește mișcarea unui punct material în timp din t la t + Δt.
  Viteza medie de mișcare pentru o anumită perioadă de timp este determinată de relație

  Este evident că v avg − cantitatea vectorială. Direcția vectorială v avg coincide cu direcția de mișcare Δr.
  Rețineți că în cazul mișcare rectilinie viteza medie la sol a unui punct în mișcare coincide cu modulul vitezei medii de-a lungul mișcării.
  Mișcarea unui punct de-a lungul unei traiectorii rectilinie sau curbilinie se numește uniformă dacă în relația (1) valoarea vп nu depinde de Δt. Dacă, de exemplu, reducem Δt de 2 ori, apoi lungimea traseului parcurs de punct Δs va scadea de 2 ori. Cu mișcare uniformă, un punct parcurge o cale de lungime egală în intervale de timp egale.
 Întrebare:
  Este posibil să presupunem că cu mișcarea uniformă a unui punct din Δt depinde și vectorul cf al vitezei medii de-a lungul deplasării?

 Răspuns:
  Acest lucru poate fi luat în considerare numai în cazul mișcării rectilinie (în acest caz, reamintim că modulul vitezei medii de-a lungul mișcării este egal cu viteza medie la sol). Dacă mișcarea uniformă are loc de-a lungul unei traiectorii curbe, atunci cu o modificare a intervalului de mediere Δt Atât modulul, cât și direcția vectorului viteză medie de-a lungul deplasării se vor schimba. Cu mișcare curbilinie uniformă la intervale de timp egale Δt vor corespunde diferiți vectori de deplasare Δr(și prin urmare diferiți vectori v avg).
  Adevărat, în cazul mișcării uniforme într-un cerc, perioade egale de timp vor corespunde valorilor egale ale modulului de deplasare |r|(și prin urmare egal |v av |). Dar direcțiile deplasărilor (și, prin urmare, vectorii) v avg) și în acest caz vor fi diferite pentru același Δt. Acest lucru poate fi văzut în figură,

  Unde un punct care se mișcă uniform în jurul unui cerc descrie arce egale în perioade egale de timp AB, B.C., CD. Deşi vectorii de deplasare 1 , 2 , 3 au aceleași module, dar direcțiile lor sunt diferite, deci nu este nevoie să vorbim despre egalitatea acestor vectori.
 Nota
  Dintre cele două viteze medii în probleme, viteza medie la sol este de obicei luată în considerare, iar viteza medie de mișcare este folosită destul de rar. Cu toate acestea, merită atenție, deoarece ne permite să introducem conceptul de viteză instantanee.