Cum se rezolvă ecuația b. Rezolvarea ecuațiilor în două variabile

În acest videoclip vom analiza întregul set ecuații liniare, care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este un zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca și în cazul nostru ultimul exemplu);
2. Apoi aduceți similare
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu chiar sarcini simple.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina nr. 1

Primul pas ne cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai sa o scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțim la coeficient:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Deci am primit răspunsul.

Sarcina nr. 2

Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:

Iată câteva asemănătoare:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina nr. 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aici sunt mai multe paranteze, dar nu sunt înmulțite cu nimic, pur și simplu sunt precedate de semne diferite. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hai să facem calculul:

Realizam ultimul pas— împărțiți totul la coeficientul lui „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și ceilalți;

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegând asta simplu fapt vă va permite să evitați să faceți greșeli stupide și jignitoare în liceu, când a face astfel de acțiuni este de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diferitelor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula cu siguranță.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:

\[\varnothing\]

sau nu există rădăcini.

Exemplul nr. 2

Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:

\[\varnothing\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem puțină confidențialitate:

Iată câteva asemănătoare:

Să parcurgem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.

Sarcina nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „X” la stânga, iar cei fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Încă o dată am primit răspunsul final.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este că, de îndată ce începem să înmulțim parantezele care conțin mai mult de un termen, o face prin următoarea regulă: luam primul termen din primul si inmultim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.

Despre suma algebrică

Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ ne referim design simplu: scade sapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.

De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc de algoritmul nostru:

1. Deschideți parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți la raport.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în ​​stânga cât și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți la raport.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.

Exemplul nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să extindem:

Izolam variabila:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema este rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.

Puncte cheie

Constatările cheie sunt:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu-ți face griji dacă vezi funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare vor scădea.
• Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!

Să analizăm două tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului folosind metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii prin metoda substitutiei trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Express. Din orice ecuație exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim valoarea rezultata intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate.
3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

Pentru a decide sistem prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen trebuie să:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face coeficienți identici.
2. Adunăm sau scădem ecuații, rezultând o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvați ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului o reprezintă punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, ceea ce înseamnă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2.După ce am exprimat-o, înlocuim 3+10y în prima ecuație în loc de variabila x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (deschideți parantezele)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații sunt punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y Să găsim x, în primul punct în care l-am exprimat înlocuim y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm folosind metoda adunării (scăderii) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Alegem o variabilă, să presupunem că alegem x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Scădeți a doua din prima ecuație pentru a scăpa de variabila x Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fără glumă.

Serviciul online de rezolvare a ecuațiilor vă va ajuta să rezolvați orice ecuație. Folosind site-ul nostru, nu numai că veți primi răspunsul la ecuație, dar veți și vedea solutie detaliata, adică o afișare pas cu pas a procesului de obținere a rezultatului. Serviciul nostru va fi util elevilor de liceu scoli medii si parintii lor. Elevii se vor putea pregăti pentru teste și examene, își vor testa cunoștințele, iar părinții vor putea controla decizia ecuatii matematice cu copiii tăi. Abilitatea de a rezolva ecuații - cerință obligatorie la şcolari. Serviciul vă va ajuta să vă educați și să vă îmbunătățiți cunoștințele în domeniul ecuațiilor matematice. Cu ajutorul lui poți rezolva orice ecuație: pătratică, cubică, irațională, trigonometrică etc. Beneficiu serviciu onlineși este neprețuit, deoarece pe lângă răspunsul corect, primești o soluție detaliată pentru fiecare ecuație. Beneficiile rezolvării ecuațiilor online. Puteți rezolva orice ecuație online pe site-ul nostru absolut gratuit. Serviciul este complet automat, nu trebuie să instalați nimic pe computer, trebuie doar să introduceți datele și programul vă va oferi o soluție. Sunt excluse orice erori de calcul sau greșeli de scriere. La noi, rezolvarea oricărei ecuații online este foarte ușoară, așa că asigurați-vă că folosiți site-ul nostru pentru a rezolva orice fel de ecuații. Trebuie doar să introduceți datele și calculul va fi finalizat în câteva secunde. Programul funcționează independent, fără intervenție umană și primești un răspuns precis și detaliat. Rezolvarea ecuației în vedere generală. Într-o astfel de ecuație, coeficienții variabili și rădăcinile dorite sunt interconectate. Cea mai mare putere a unei variabile determină ordinea unei astfel de ecuații. Pe baza acestui lucru, pentru ecuații utilizați diverse metodeși teoreme pentru găsirea soluțiilor. Rezolvarea ecuațiilor de acest tip înseamnă găsirea rădăcinilor necesare în formă generală. Serviciul nostru vă permite să rezolvați chiar și cea mai complexă ecuație algebrică online. Puteți obține atât o soluție generală a ecuației, cât și una particulară pentru valorile numerice ale coeficienților pe care îi specificați. Pentru a rezolva o ecuație algebrică pe site, este suficient să completați corect doar două câmpuri: părțile stânga și dreapta ale ecuației date. U ecuații algebrice Cu cote variabile un număr infinit de soluții, iar prin stabilirea anumitor condiții, din setul de soluții sunt selectate cele private. Ecuație cuadratică. Ecuația pătratică are forma ax^2+bx+c=0 pentru a>0. Rezolvarea ecuațiilor pătratice implică găsirea valorilor lui x la care este valabilă egalitatea ax^2+bx+c=0. Pentru a face acest lucru, găsiți valoarea discriminantă folosind formula D=b^2-4ac. Dacă discriminantul mai putin de zero, atunci ecuația nu are rădăcini reale (rădăcinile sunt din câmp numere complexe), dacă este egală cu zero, atunci ecuația are o rădăcină reală, iar dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci ecuația are două rădăcini reale, care se găsesc prin formula: D= -b+-sqrt/2a. Pentru a rezolva o ecuație pătratică online, trebuie doar să introduceți coeficienții ecuației (numere întregi, fracții sau zecimale). Dacă într-o ecuație există semne de scădere, trebuie să puneți semnul minus în fața termenilor corespunzători ai ecuației. Decide ecuație pătratică online și în funcție de parametru, adică de variabilele din coeficienții ecuației. Serviciul nostru online pentru găsire solutii generale. Ecuații liniare. Pentru a rezolva ecuații liniare (sau sisteme de ecuații), în practică sunt utilizate patru metode principale. Vom descrie fiecare metodă în detaliu. Metoda de înlocuire. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda substituției necesită exprimarea unei variabile în termenii celorlalte. După aceasta, expresia este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. De aici denumirea metodei soluției, adică în loc de variabilă, expresia acesteia este substituită prin variabilele rămase. În practică, metoda necesită calcule complexe, deși este ușor de înțeles, așa că rezolvarea unei astfel de ecuații online va ajuta la economisirea de timp și la ușurarea calculelor. Trebuie doar să indicați numărul de necunoscute din ecuație și să completați datele din ecuațiile liniare, apoi serviciul va face calculul. metoda Gauss. Metoda se bazează pe cele mai simple transformări ale sistemului pentru a ajunge la un sistem echivalent în aparență triunghiulară. Din ea, necunoscutele sunt determinate unul câte unul. În practică, este necesar să rezolvi o astfel de ecuație online cu descriere detaliată, datorită căruia veți avea o bună înțelegere a metodei gaussiene pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Scrie la format corect sistem de ecuații liniare și ține cont de numărul de necunoscute pentru a rezolva cu acuratețe sistemul. metoda lui Cramer. Această metodă rezolvă sisteme de ecuații în cazurile în care sistemul are o soluție unică. Principala acțiune matematică aici este calculul determinanților matricei. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Cramer se realizează online, rezultatul îl primiți instantaneu cu o descriere completă și detaliată. Este suficient doar să umpleți sistemul cu coeficienți și să selectați numărul de variabile necunoscute. Metoda matricei. Această metodă constă în colectarea coeficienților necunoscutelor din matricea A, a necunoscutelor din coloana X și a termenilor liberi din coloana B. Astfel, sistemul de ecuații liniare se reduce la ecuația matriceală tipul AxX=B. Această ecuație are o soluție unică numai dacă determinantul matricei A este diferit de zero, în caz contrar sistemul nu are soluții, sau un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuațiilor metoda matricei este să găsești matrice inversă O.

În etapa de pregătire pentru testul final, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească temeinic teoria, să-și amintească formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de sarcină, absolvenții vor putea conta scoruri mari la promovarea examenului unificat de stat la matematică.

Pregătește-te pentru testarea examenului cu Shkolkovo!

La trecerea în revistă a materialelor pe care le-au abordat, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare rezolvării ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, veți putea identifica lacunele în cunoștințe și veți putea acorda atenție acelor sarcini care provoacă cele mai multe dificultăți.

Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și prezentat tot ceea ce este necesar pentru promovarea cu succes Material pentru examenul de stat unificatîn cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Teoretică”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă recomandăm să exersați finalizarea sarcinilor. Examinați cu atenție exemplele prezentate pe această pagină. ecuații exponențiale cu soluția de a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați să efectuați sarcini în secțiunea „Directoare”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți trece direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care v-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. În acest fel, le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul dumneavoastră.

Pentru a promova cu succes examenul de stat unificat, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

I. ax 2 =0 – incomplet ecuație pătratică (b=0, c=0 ). Rezolvare: x=0. Raspuns: 0.

Rezolvați ecuații.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Soluţie. Să deschidem paranteze prin înmulțire 2x pentru fiecare termen dintre paranteze:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Mutăm termenii din partea dreaptă la stânga:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Iată termeni similari:

3x 2 =0, deci x=0.

Răspuns: 0.

II. ax 2 +bx=0 –incomplet ecuație pătratică (c=0 ). Rezolvare: x (ax+b)=0 → x 1 =0 sau ax+b=0 → x 2 =-b/a. Raspuns: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Soluţie. Să eliminăm factorul comun Xîn afara parantezelor:

x(5x-26)=0; fiecare factor poate fi egal cu zero:

x=0 sau 5x-26=0→ 5x=26, împărțiți ambele părți ale egalității la 5 și obținem: x=5,2.

Răspuns: 0; 5,2.

Exemplul 3. 64x+4x 2 =0.

Soluţie. Să eliminăm factorul comun 4xîn afara parantezelor:

4x(16+x)=0. Avem trei factori, 4≠0, prin urmare, sau x=0 sau 16+x=0. Din ultima egalitate obținem x=-16.

Răspuns: -16; 0.

Exemplul 4.(x-3) 2 +5x=9.

Soluţie. Aplicând formula pentru pătratul diferenței a două expresii, vom deschide parantezele:

x 2 -6x+9+5x=9; transforma la forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Să prezentăm termeni similari:

x2-x=0; o vom scoate Xîn afara parantezelor, obținem: x (x-1)=0. De aici sau x=0 sau x-1=0→ x=1.

Răspuns: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –incomplet ecuație pătratică (b=0 ); Rezolvare: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Dacă (-c/a)<0 , atunci nu există rădăcini reale. Dacă (-с/а)>0

Exemplul 5. x 2 -49=0.

Soluţie.

x 2 =49, de aici x=±7. Răspuns:-7; 7.

Exemplul 6. 9x 2 -4=0.

Soluţie.

Adesea trebuie să găsiți suma pătratelor (x 1 2 +x 2 2) sau suma cuburilor (x 1 3 +x 2 3) a rădăcinilor unei ecuații pătratice, mai rar - suma valorilor reciproce ​a pătratelor rădăcinilor sau a sumei aritmetice rădăcini pătrate din rădăcinile ecuației pătratice:

Teorema lui Vieta poate ajuta cu asta:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Să ne exprimăm prin pŞi q:

1) suma pătratelor rădăcinilor ecuației x 2 +px+q=0;

2) suma cuburilor rădăcinilor ecuației x 2 +px+q=0.

Soluţie.

1) Expresie x 1 2 +x 2 2 obţinută prin pătrarea ambelor părţi ale ecuaţiei x 1 + x 2 = -p;

(x1 +x2)2 =(-p)2; deschideți parantezele: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; exprimăm suma necesară: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Avem o egalitate utilă: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Expresie x 1 3 +x 2 3 Să reprezentăm suma cuburilor folosind formula:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

O altă ecuație utilă: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Exemple.

3) x 2 -3x-4=0. Fără a rezolva ecuația, calculați valoarea expresiei x 1 2 +x 2 2.

Soluţie.

x 1 +x 2 =-p=3, si munca x 1 ∙x 2 =q=în exemplul 1) egalitate:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Avem -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Apoi x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Răspuns: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Calculați: x 1 3 +x 2 3 .

Soluţie.

După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații pătratice reduse este x 1 +x 2 =-p=2, si munca x 1 ∙x 2 =q=-4. Să aplicăm ceea ce am primit ( în exemplul 2) egalitate: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Răspuns: x 1 3 +x 2 3 =32.

Întrebare: ce se întâmplă dacă ni se oferă o ecuație pătratică neredusă? Răspuns: poate fi întotdeauna „redusă” prin împărțirea termenului cu termen la primul coeficient.

5) 2x 2 -5x-7=0. Fără a decide, calculează: x 1 2 +x 2 2.

Soluţie. Ni se oferă o ecuație pătratică completă. Împărțiți ambele părți ale egalității la 2 (primul coeficient) și obțineți următoarea ecuație pătratică: x 2 -2,5x-3,5=0.

Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor este egală cu 2,5 ; produsul rădăcinilor este egal -3,5 .

O rezolvăm în același mod ca exemplul 3) folosind egalitatea: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Răspuns: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Găsi:

Să transformăm această egalitate și, folosind teorema lui Vieta, să înlocuim suma rădăcinilor -p, iar produsul rădăcinilor prin q, obținem o altă formulă utilă. La derivarea formulei, am folosit egalitatea 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

În exemplul nostru x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Inlocuim aceste valori in formula rezultata:

7) x 2 -13x+36=0. Găsi:

Să transformăm această sumă și să obținem o formulă care poate fi folosită pentru a găsi suma rădăcinilor pătrate aritmetice din rădăcinile unei ecuații pătratice.

Avem x1 +x2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Inlocuim aceste valori in formula rezultata:

Sfaturi : verificați întotdeauna posibilitatea de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice folosind o metodă adecvată, deoarece 4 revizuit formule utile vă permit să finalizați rapid o sarcină, mai ales în cazurile în care discriminantul este un număr „incomod”. În toate cazuri simple găsiți rădăcinile și operați asupra lor. De exemplu, în ultimul exemplu selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor ar trebui să fie egală cu 13 , și produsul rădăcinilor 36 . Care sunt aceste numere? Cu siguranţă, 4 și 9. Acum calculați suma rădăcinilor pătrate ale acestor numere: 2+3=5. Asta este!

I. Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică redusă.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 este egal cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Găsiți rădăcinile ecuației pătratice date folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1) x 2 -x-30=0. Aceasta este ecuația pătratică redusă ( x 2 +px+q=0), al doilea coeficient p=-1, și membrul gratuit q=-30.În primul rând, să ne asigurăm că această ecuație are rădăcini și că rădăcinile (dacă există) vor fi exprimate în numere întregi. Pentru aceasta este suficient ca discriminatorul să fie pătrat perfect număr întreg.

Găsirea discriminantului D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Acum, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor trebuie să fie egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, adică. ( -p), iar produsul este egal cu termenul liber, i.e. ( q). Apoi:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Trebuie să alegem două numere astfel încât produsul lor să fie egal cu -30 , iar suma este unitate. Acestea sunt numere -5 Şi 6 . Răspuns: -5; 6.

Exemplul 2) x 2 +6x+8=0. Avem ecuația pătratică redusă cu al doilea coeficient p=6și membru gratuit q=8. Să ne asigurăm că există rădăcini întregi. Să găsim discriminantul D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Discriminantul D 1 este pătratul perfect al numărului 1 , ceea ce înseamnă că rădăcinile acestei ecuații sunt numere întregi. Să selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor este egală cu –р=-6, iar produsul rădăcinilor este egal cu q=8. Acestea sunt numere -4 Şi -2 .

De fapt: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Răspuns: -4; -2.

Exemplul 3) x 2 +2x-4=0. În această ecuație pătratică redusă, al doilea coeficient p=2, și membrul gratuit q=-4. Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient este număr par. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Discriminantul nu este un pătrat perfect al numărului, așa că facem concluzie: Rădăcinile acestei ecuații nu sunt numere întregi și nu pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Aceasta înseamnă că rezolvăm această ecuație, ca de obicei, folosind formulele (în în acest caz, după formule). Primim:

Exemplul 4). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile ei dacă x 1 =-7, x 2 =4.

Soluţie. Ecuația necesară va fi scrisă sub forma: x 2 +px+q=0și, pe baza teoremei lui Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atunci ecuația va lua forma: x 2 +3x-28=0.

Exemplul 5). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale dacă:

II. teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă ax 2 +bx+c=0.

Suma rădăcinilor este minus b, împărțit la O, produsul rădăcinilor este egal cu Cu, împărțit la O:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Exemplul 6). Aflați suma rădăcinilor unei ecuații pătratice 2x 2 -7x-11=0.

Soluţie.

Ne asigurăm că această ecuație va avea rădăcini. Pentru a face acest lucru, este suficient să creați o expresie pentru discriminant și, fără a o calcula, asigurați-vă că discriminantul este mai mare decât zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Acum să folosim teorema Vieta pentru ecuații pătratice complete.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Exemplul 7). Aflați produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice 3x 2 +8x-21=0.

Soluţie.

Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient ( 8 ) este un număr par. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ecuația pătratică are 2 rădăcină, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– ecuație pătratică generală

Discriminant D=b2-4ac.

Dacă D>0, atunci avem două rădăcini reale:

Dacă D=0, atunci avem o singură rădăcină (sau două rădăcini egale) x=-b/(2a).

Daca D<0, то действительных корней нет.

Exemplu 1) 2x 2 +5x-3=0.

Soluţie. o=2; b=5; c=-3.

D=b2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 rădăcini adevărate.

4x 2 +21x+5=0.

Soluţie. o=4; b=21; c=5.

D=b2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 rădăcini adevărate.

II. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică de formă particulară cu chiar secundă

coeficient b

Exemplu 3) 3x 2 -10x+3=0.

Soluţie. o=3; b=-10 (număr par); c=3.

Exemplul 4) 5x 2 -14x-3=0.

Soluţie. o=5; b= -14 (număr par); c=-3.

Exemplul 5) 71x 2 +144x+4=0.

Soluţie. o=71; b=144 (număr par); c=4.

Exemplul 6) 9x 2 -30x+25=0.

Soluţie. o=9; b=-30 (număr par); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică tip privat furnizat: a-b+c=0.

Prima rădăcină este întotdeauna egală cu minus unu, iar a doua rădăcină este întotdeauna egală cu minus Cu, împărțit la O:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Exemplul 7) 2x 2 +9x+7=0.

Soluţie. o=2; b=9; c=7. Să verificăm egalitatea: a-b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .

Apoi x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Răspuns: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică a unei anumite forme supuse : a+b+c=0.

Prima rădăcină este întotdeauna egală cu unu, iar a doua rădăcină este egală cu Cu, împărțit la O:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Exemplul 8) 2x 2 -9x+7=0.

Soluţie. o=2; b=-9; c=7. Să verificăm egalitatea: a+b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .

Apoi x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Răspuns: 1; 3,5.

Pagina 1 din 1 1