Cum se rezolvă un sistem de ecuații 7. Sisteme de ecuații liniare

Lecție și prezentare pe tema: "Sisteme de ecuații. Metoda substituției, metoda adunării, metoda introducerii unei noi variabile"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Simulator pentru manuale de Atanasyan L.S. Simulator pentru manuale Pogorelova A.V.

Metode de rezolvare a sistemelor de inegalități

Băieți, am studiat sisteme de ecuații și am învățat cum să le rezolvăm folosind grafice. Acum să vedem ce alte modalități de rezolvare a sistemelor există?
Aproape toate metodele de rezolvare a acestora nu sunt diferite de cele pe care le-am studiat în clasa a VII-a. Acum trebuie să facem câteva ajustări în funcție de ecuațiile pe care am învățat să le rezolvăm.
Esența tuturor metodelor descrise în această lecție, aceasta este înlocuirea unui sistem cu un sistem echivalent cu mai mult vedere simplă si metoda de rezolvare. Băieți, amintiți-vă ce este un sistem echivalent.

Metoda de înlocuire

Prima modalitate de a rezolva sisteme de ecuații cu două variabile ne este bine cunoscută - aceasta este metoda substituției. Am folosit această metodă pentru a rezolva ecuații liniare. Acum să vedem cum să rezolvăm ecuațiile în cazul general?

Cum ar trebui să procedezi atunci când iei o decizie?
1. Exprimați una dintre variabile în termenii alteia. Variabilele utilizate cel mai des în ecuații sunt x și y. Într-una dintre ecuații exprimăm o variabilă în termenii alteia. Sfat: Priviți cu atenție ambele ecuații înainte de a începe rezolvarea și alegeți-o pe cea în care este mai ușor să exprimați variabila.
2. Înlocuiți expresia rezultată în a doua ecuație, în locul variabilei care a fost exprimată.
3. Rezolvați ecuația pe care am obținut-o.
4. Înlocuiți soluția rezultată în a doua ecuație. Dacă există mai multe soluții, atunci trebuie să le înlocuiți succesiv, pentru a nu pierde câteva soluții.
5. Ca urmare, veți primi o pereche de numere $(x;y)$, care trebuie notate ca răspuns.

Exemplu.
Rezolvați un sistem cu două variabile folosind metoda substituției: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Soluţie.
Să aruncăm o privire mai atentă la ecuațiile noastre. Evident, exprimarea lui y în termeni de x în prima ecuație este mult mai simplă.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Să substituim prima expresie în a doua ecuație $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Să rezolvăm a doua ecuație separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Am obținut două soluții la a doua ecuație $x_1=2$ și $x_2=3$.
Înlocuiți secvențial în a doua ecuație.
Dacă $x=2$, atunci $y=3$. Dacă $x=3$, atunci $y=2$.
Răspunsul vor fi două perechi de numere.
Răspuns: $(2;3)$ și $(3;2)$.

Metoda adunării algebrice

Această metodă am studiat-o și în clasa a VII-a.
Se stie ca ecuație rațională din două variabile putem înmulți cu orice număr, fără a uita să înmulțim ambele părți ale ecuației. Am înmulțit una dintre ecuații cu un anumit număr, astfel încât atunci când adunăm ecuația rezultată la a doua ecuație a sistemului, una dintre variabile a fost distrusă. Apoi ecuația a fost rezolvată pentru variabila rămasă.
Această metodă încă funcționează, deși nu este întotdeauna posibilă distrugerea uneia dintre variabile. Dar vă permite să simplificați semnificativ forma uneia dintre ecuații.

Exemplu.
Rezolvați sistemul: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Soluţie.
Să înmulțim prima ecuație cu 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Să scădem pe a doua din prima ecuație.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
După cum puteți vedea, forma ecuației rezultate este mult mai simplă decât cea originală. Acum putem folosi metoda substituției.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Să exprimăm x în termenii lui y în ecuația rezultată.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Avem $y=-1$ și $y=-3$.
Să substituim aceste valori succesiv în prima ecuație. Obținem două perechi de numere: $(1;-1)$ și $(-1;-3)$.
Răspuns: $(1;-1)$ și $(-1;-3)$.

Metoda de introducere a unei noi variabile

Am studiat și această metodă, dar să ne uităm din nou la ea.

Exemplu.
Rezolvați sistemul: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Soluţie.
Să introducem înlocuirea $t=\frac(x)(y)$.
Să rescriem prima ecuație cu o nouă variabilă: $t+\frac(2)(t)=3$.
Să rezolvăm ecuația rezultată:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Avem $t=2$ sau $t=1$. Să introducem schimbarea inversă $t=\frac(x)(y)$.
Avem: $x=2y$ și $x=y$.

Pentru fiecare dintre expresii, sistemul original trebuie rezolvat separat:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$.      
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     

Exemplu.
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.

Soluţie.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.    
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Am primit patru perechi de soluții.
Răspuns: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Rezolvați sistemul: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.
Să introducem înlocuirea: $z=\frac(2)(x-3y)$ și $t=\frac(3)(2x+y)$.
Să rescriem ecuațiile originale cu variabile noi:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Să folosim metoda adunării algebrice:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Să introducem înlocuirea inversă:
$\begin(cazuri)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cazuri)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Să folosim metoda de înlocuire:

$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.

$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Răspuns: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Probleme privind sistemele de ecuații pentru soluție independentă
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Sistem ecuații liniare cu două necunoscute sunt două sau mai multe ecuații liniare pentru care este necesar să se găsească toate soluțiile lor comune. Vom considera sisteme de două ecuații liniare în două necunoscute. Vederea generală a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute este prezentată în figura de mai jos:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Aici x și y sunt variabile necunoscute, a1,a2,b1,b2,c1,c2 sunt câteva numere reale. O soluție a unui sistem de două ecuații liniare în două necunoscute este o pereche de numere (x,y) astfel încât, dacă înlocuim aceste numere în ecuațiile sistemului, atunci fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată. Există mai multe moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare. Să luăm în considerare una dintre modalitățile de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare și anume metoda adunării.

Algoritm de rezolvare prin adunare

Un algoritm pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu două necunoscute folosind metoda adunării.

1. Dacă este necesar, utilizați transformări echivalente pentru a egaliza coeficienții uneia dintre variabilele necunoscute din ambele ecuații.

2. Prin adăugarea sau scăderea ecuațiilor rezultate, obțineți o ecuație liniară cu o necunoscută

3. Rezolvați ecuația rezultată cu o necunoscută și găsiți una dintre variabile.

4. Înlocuiți expresia rezultată în oricare dintre cele două ecuații ale sistemului și rezolvați această ecuație, obținând astfel a doua variabilă.

5. Verificați soluția.

Un exemplu de soluție folosind metoda de adăugare

Pentru o mai mare claritate, să rezolvăm următorul sistem de ecuații liniare cu două necunoscute folosind metoda adunării:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Deoarece niciuna dintre variabile nu are coeficienți identici, egalăm coeficienții variabilei y. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu trei și a doua ecuație cu două.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Primim următorul sistem de ecuații:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Acum scădem prima din a doua ecuație. Prezentăm termeni similari și rezolvăm ecuația liniară rezultată.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Înlocuim valoarea rezultată în prima ecuație din sistemul nostru original și rezolvăm ecuația rezultată.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Rezultatul este o pereche de numere x=6 și y=14. Verificăm. Să facem o înlocuire.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

După cum puteți vedea, avem două egalități corecte, prin urmare, am găsit soluția corectă.

Să ne amintim mai întâi definiția unei soluții a unui sistem de ecuații cu două variabile.

Definiția 1

O pereche de numere se numește soluție a unui sistem de ecuații cu două variabile dacă, la înlocuirea lor în ecuație, se obține egalitatea corectă.

În viitor vom lua în considerare sisteme de două ecuații cu două variabile.

Sunt patru modalități principale de rezolvare a sistemelor de ecuații: metoda substituirii, metoda adunarii, metoda grafica, metoda mentinerii unor variabile noi. Să ne uităm la aceste metode folosind exemple specifice. Pentru a descrie principiul utilizării primelor trei metode, vom lua în considerare un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Metoda de înlocuire

Metoda de substituție este următoarea: luați oricare dintre aceste ecuații și exprimați $y$ în termeni de $x$, apoi $y$ este înlocuit în ecuația de sistem, de unde se găsește variabila $x.$ După aceasta, putem calcula cu usurinta variabila $y.$

Exemplul 1

Să exprimăm $y$ din a doua ecuație în termeni de $x$:

Să substituim în prima ecuație și să găsim $x$:

\ \ \

Să găsim $y$:

Răspuns: $(-2,\ 3)$

Metoda de adunare.

Să ne uităm la această metodă folosind un exemplu:

Exemplul 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Înmulțind a doua ecuație cu 3, obținem:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Acum să adunăm ambele ecuații împreună:

\ \ \

Să găsim $y$ din a doua ecuație:

\[-6-y=-9\] \

Răspuns: $(-2,\ 3)$

Nota 1

Rețineți că în această metodă este necesar să se înmulțească una sau ambele ecuații cu astfel de numere încât în ​​timpul adunării una dintre variabile „dispare”.

Metoda grafică

Metoda grafică este următoarea: ambele ecuații ale sistemului sunt reprezentate pe plan de coordonateși se găsește punctul de intersecție a acestora.

Exemplul 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Să exprimăm $y$ din ambele ecuații în termeni de $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Să reprezentăm ambele grafice pe același plan:

Figura 1.

Răspuns: $(-2,\ 3)$

Metoda de introducere a noilor variabile

Să ne uităm la această metodă folosind următorul exemplu:

Exemplul 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Soluţie.

Acest sistem este echivalent cu sistemul

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ corect.\]

Fie $2^x=u\ (u>0)$ și $3^y=v\ (v>0)$, obținem:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Să rezolvăm sistemul rezultat folosind metoda adunării. Să adunăm ecuațiile:

\ \

Apoi, din a doua ecuație, obținem asta

Revenind la înlocuire, obținem un nou sistem de ecuații exponențiale:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Primim:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Cu acest videoclip încep o serie de lecții dedicate sistemelor de ecuații. Astăzi vom vorbi despre rezolvarea sistemelor de ecuații liniare metoda de adăugare- acesta este unul dintre cele mai multe moduri simple, dar în același timp una dintre cele mai eficiente.

Metoda de adăugare constă în trei simple pași:

1. Priviți sistemul și alegeți o variabilă care are coeficienți identici (sau opuși) în fiecare ecuație;
2. Efectuați scăderea algebrică (pentru numere opuse- adunarea) a ecuațiilor una de la cealaltă, iar apoi aduc termeni similari;
3. Rezolvați noua ecuație obținută după pasul al doilea.

Dacă totul este făcut corect, atunci la ieșire vom obține o singură ecuație cu o variabilă— nu va fi greu să o rezolvi. Apoi, tot ce rămâne este să înlocuiți rădăcina găsită în sistemul original și să obțineți răspunsul final.

Cu toate acestea, în practică, totul nu este atât de simplu. Există mai multe motive pentru aceasta:

• Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda adunării implică faptul că toate liniile trebuie să conțină variabile cu coeficienți egali/opuși. Ce să faci dacă această cerință nu este îndeplinită?
• Nu întotdeauna după adăugarea/scăderea ecuațiilor în modul indicat obținem design frumos, care este ușor de rezolvat. Este posibil să simplificați cumva calculele și să grăbiți calculele?

Pentru a obține răspunsul la aceste întrebări și, în același timp, pentru a înțelege câteva subtilități suplimentare la care mulți studenți eșuează, urmăriți lecția mea video:

Cu această lecție începem o serie de prelegeri dedicate sistemelor de ecuații. Și vom începe de la cele mai simple dintre ele, și anume cele care conțin două ecuații și două variabile. Fiecare dintre ele va fi liniară.

Sistemele este material de clasa a VII-a, dar această lecție va fi utilă și pentru elevii de liceu care doresc să-și perfecționeze cunoștințele despre acest subiect.

În general, există două metode de rezolvare a unor astfel de sisteme:

1. Metoda de adunare;
2. O metodă de exprimare a unei variabile în termenii alteia.

Astăzi ne vom ocupa de prima metodă - vom folosi metoda scăderii și adunării. Dar pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți următorul fapt: odată ce aveți două sau mai multe ecuații, puteți lua oricare dintre ele și le puteți adăuga una la alta. Se adaugă membru cu membru, adică. „X” se adaugă la „X” și se dau altele asemănătoare, „Y” cu „Y” sunt din nou similare, iar ceea ce este în dreapta semnului egal se adaugă, de asemenea, unul altuia, iar altele similare sunt, de asemenea, date acolo .

Rezultatele unor astfel de mașinațiuni vor fi o nouă ecuație, care, dacă are rădăcini, ele vor fi cu siguranță printre rădăcinile ecuației originale. Prin urmare, sarcina noastră este să facem scăderea sau adunarea în așa fel încât fie $x$, fie $y$ să dispară.

Cum să realizați acest lucru și ce instrument să folosiți pentru aceasta - vom vorbi despre asta acum.

Rezolvarea problemelor ușoare folosind metoda adunării

Deci, învățăm să folosim metoda adunării folosind exemplul a două expresii simple.

Sarcina nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Rețineți că $y$ are un coeficient de $-4$ în prima ecuație și $+4$ în a doua. Ele sunt reciproc opuse, deci este logic să presupunem că dacă le adunăm, atunci în suma rezultată „jocurile” vor fi distruse reciproc. Adaugă și obține:

Să rezolvăm cea mai simplă construcție:

Grozav, am găsit „x”. Ce ar trebui să facem cu el acum? Avem dreptul să o înlocuim în oricare dintre ecuații. Să înlocuim în primul:

\[-4y=12\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

Răspuns: $\left(2;-3 \right)$.

Problema nr. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Situația de aici este complet similară, doar cu „X”. Să le adunăm:

Avem cea mai simplă ecuație liniară, să o rezolvăm:

Acum să găsim $x$:

Răspuns: $\left(-3;3 \right)$.

Puncte importante

Deci, tocmai am rezolvat două sisteme simple de ecuații liniare folosind metoda adunării. Puncte cheie din nou:

1. Dacă există coeficienți opuși pentru una dintre variabile, atunci este necesar să adăugați toate variabilele din ecuație. În acest caz, unul dintre ele va fi distrus.
2. Înlocuim variabila găsită în oricare dintre ecuațiile sistemului pentru a găsi a doua.
3. Înregistrarea răspunsului final poate fi prezentată în diferite moduri. De exemplu, așa - $x=...,y=...$, sau sub formă de coordonate ale punctelor - $\left(...;... \right)$. A doua varianta este de preferat. Principalul lucru de reținut este că prima coordonată este $x$, iar a doua este $y$.
4. Regula de scriere a răspunsului sub formă de coordonate punct nu este întotdeauna aplicabilă. De exemplu, nu poate fi folosit când variabilele nu sunt $x$ și $y$, ci, de exemplu, $a$ și $b$.

În următoarele probleme vom avea în vedere tehnica scăderii atunci când coeficienții nu sunt opuși.

Rezolvarea problemelor ușoare folosind metoda scăderii

Sarcina nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Rețineți că aici nu există coeficienți opuși, dar există coeficienți identici. Prin urmare, scădem pe a doua din prima ecuație:

Acum înlocuim valoarea $x$ în oricare dintre ecuațiile sistemului. Să mergem mai întâi:

Răspuns: $\left(2;5\right)$.

Problema nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vedem din nou același coeficient de $5$ pentru $x$ în prima și a doua ecuație. Prin urmare, este logic să presupunem că trebuie să scădeți a doua din prima ecuație:

Am calculat o variabilă. Acum să-l găsim pe al doilea, de exemplu, înlocuind valoarea $y$ în a doua construcție:

Răspuns: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuanțe ale soluției

Deci ce vedem? În esență, schema nu este diferită de soluția sistemelor anterioare. Singura diferență este că nu adunăm ecuații, ci le scădem. Facem scăderi algebrice.

Cu alte cuvinte, de îndată ce vezi un sistem format din două ecuații în două necunoscute, primul lucru la care trebuie să te uiți sunt coeficienții. Dacă oriunde sunt aceleași, ecuațiile se scad, iar dacă sunt opuse, se folosește metoda adunării. Acest lucru se face întotdeauna astfel încât unul dintre ele să dispară, iar în ecuația finală, care rămâne după scădere, rămâne doar o variabilă.

Desigur, asta nu este tot. Acum vom lua în considerare sistemele în care ecuațiile sunt în general inconsecvente. Aceste. Nu există în ele variabile care să fie fie aceleași, fie opuse. În acest caz, pentru a rezolva astfel de sisteme, se folosește o tehnică suplimentară, și anume, înmulțirea fiecărei ecuații cu un coeficient special. Cum să-l găsești și cum să rezolvi astfel de sisteme în general, vom vorbi despre asta acum.

Rezolvarea problemelor prin înmulțirea cu un coeficient

Exemplul #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vedem că nici pentru $x$ și nici pentru $y$ coeficienții nu sunt doar reciproc opuși, dar nici nu sunt corelați în niciun fel cu cealaltă ecuație. Acești coeficienți nu vor dispărea în niciun fel, chiar dacă adunăm sau scădem ecuațiile unul de la celălalt. Prin urmare, este necesar să se aplice înmulțirea. Să încercăm să scăpăm de variabila $y$. Pentru a face acest lucru, înmulțim prima ecuație cu coeficientul lui $y$ din a doua ecuație, iar a doua ecuație cu coeficientul lui $y$ din prima ecuație, fără a atinge semnul. Înmulțim și obținem un nou sistem:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Să ne uităm la asta: la $y$ coeficienții sunt opuși. Într-o astfel de situație, este necesar să se folosească metoda de adăugare. Să adăugăm:

Acum trebuie să găsim $y$. Pentru a face acest lucru, înlocuiți $x$ în prima expresie:

\[-9y=18\left| :\stânga(-9 \dreapta) \dreapta.\]

Răspuns: $\left(4;-2 \right)$.

Exemplul nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Din nou, coeficienții pentru niciuna dintre variabile nu sunt consecvenți. Să înmulțim cu coeficienții lui $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Noastre sistem nou este echivalent cu cel precedent, totuși, coeficienții lui $y$ sunt reciproc opuși și, prin urmare, este ușor să aplicați metoda de adunare aici:

Acum să găsim $y$ înlocuind $x$ în prima ecuație:

Răspuns: $\left(-2;1 \right)$.

Nuanțe ale soluției

Regula cheie aici este următoarea: înmulțim întotdeauna numai cu numere pozitive- acest lucru vă va scuti de greșelile stupide și ofensive asociate cu schimbarea semnelor. În general, schema de soluții este destul de simplă:

1. Ne uităm la sistem și analizăm fiecare ecuație.
2. Dacă vedem că nici $y$ și nici $x$ coeficienții sunt consecvenți, i.e. nu sunt nici egale, nici opuse, atunci facem următoarele: selectăm variabila de care trebuie să scăpăm, apoi ne uităm la coeficienții acestor ecuații. Dacă înmulțim prima ecuație cu coeficientul din a doua, iar a doua, în mod corespunzător, înmulțim cu coeficientul din prima, atunci în final vom obține un sistem care este complet echivalent cu cel precedent și coeficienții lui $ y$ va fi consistent. Toate acțiunile sau transformările noastre au drept scop doar obținerea unei variabile într-o ecuație.
3. Găsim o variabilă.
4. Inlocuim variabila gasita intr-una din cele doua ecuatii ale sistemului si gasim a doua.
5. Scriem răspunsul sub formă de coordonate de puncte dacă avem variabile $x$ și $y$.

Dar chiar și un astfel de algoritm simplu are propriile sale subtilități, de exemplu, coeficienții lui $x$ sau $y$ pot fi fracții și alte numere „urâte”. Vom analiza acum aceste cazuri separat, deoarece în ele puteți acționa oarecum diferit decât conform algoritmului standard.

Rezolvarea problemelor cu fracții

Exemplul #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

În primul rând, observați că a doua ecuație conține fracții. Dar rețineți că puteți împărți 4$ la 0,8$. Vom primi 5$. Să înmulțim a doua ecuație cu $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Scădem ecuațiile una de la alta:

Am găsit $n$, acum să numărăm $m$:

Răspuns: $n=-4;m=5$

Exemplul nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ corect.\]

Aici, ca și în sistemul anterior, există coeficienți fracționari, dar cu niciunul dintre ei coeficienți variabili nu se potrivesc unul cu celălalt de un număr întreg de ori. Prin urmare, folosim algoritmul standard. Scapa de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Folosim metoda scăderii:

Să găsim $p$ înlocuind $k$ în a doua construcție:

Răspuns: $p=-4;k=-2$.

Nuanțe ale soluției

Asta e tot optimizare. În prima ecuație, nu am înmulțit cu nimic, ci am înmulțit a doua ecuație cu $5$. Ca rezultat, am primit o ecuație consistentă și chiar identică pentru prima variabilă. În al doilea sistem am urmat un algoritm standard.

Dar cum găsești numerele cu care să înmulți ecuațiile? La urma urmei, dacă înmulți cu numere fracționare, vom obține fracții noi. Prin urmare, fracțiile trebuie înmulțite cu un număr care ar da un nou întreg, iar după aceea variabilele trebuie înmulțite cu coeficienți, urmând algoritmul standard.

În concluzie, aș dori să vă atrag atenția asupra formatului de înregistrare a răspunsului. După cum am spus deja, deoarece aici nu avem $x$ și $y$, ci alte valori, folosim o notație non-standard de forma:

Rezolvarea sistemelor complexe de ecuații

Ca o notă finală la tutorialul video de astăzi, să ne uităm la câteva dintre ele sisteme complexe. Complexitatea lor va consta in faptul ca vor avea variabile atat in stanga cat si in dreapta. Prin urmare, pentru a le rezolva va trebui să aplicăm preprocesare.

Sistemul nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Fiecare ecuație are o anumită complexitate. Prin urmare, să tratăm fiecare expresie ca cu o construcție liniară obișnuită.

În total, obținem sistemul final, care este echivalent cu cel original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Să ne uităm la coeficienții lui $y$: $3$ se încadrează în $6$ de două ori, așa că să înmulțim prima ecuație cu $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Coeficienții lui $y$ sunt acum egali, așa că îi scadem pe al doilea din prima ecuație: $$

Acum să găsim $y$:

Răspuns: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistemul nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Să transformăm prima expresie:

Să ne ocupăm de al doilea:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

În total, sistemul nostru inițial va lua următoarea formă:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Privind coeficienții lui $a$, vedem că prima ecuație trebuie înmulțită cu $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Scădeți a doua din prima construcție:

Acum să găsim $a$:

Răspuns: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Asta e tot. Sper că acest tutorial video vă va ajuta să înțelegeți acest subiect dificil și anume rezolvarea sistemelor de ecuații liniare simple. Vor mai fi multe lecții pe această temă: ne vom uita la mai multe exemple complexe, unde vor exista mai multe variabile, iar ecuațiile în sine vor fi deja neliniare. Ne vedem din nou!

Rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice(SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect din cursul de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să prezentăm conceptul unui sistem fundamental de soluții și să arătăm cum să scriem solutie generala SLAE folosind vectori ai sistemului de soluții fundamentale. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute - coeficienți (unii reali sau numere complexe), - termeni liberi (de asemenea numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine și o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - nesigur.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, altfel - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul sistem omogen toate variabilele necunoscute sunt zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a sistemului de ecuații algebrice liniare metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Prin utilizarea matrice inversă soluţia acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din complementele algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi x 1 este exclus din toate ecuaţiile sistemului, începând cu a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuaţiile, începând cu a treia, şi tot aşa, până când doar variabila necunoscută x n rămâne în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adăugând la stânga ei și partea dreaptă laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Astfel, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Minor ordinul cel mai înalt se numește matricea A, diferită de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore, există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:


Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat număr mai mic variabile necunoscute n, apoi în stânga ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semnul opus.

Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:


Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma


Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:


Prin urmare, .

În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Să rezumam.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea de bază minoră egală cu numărul variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, pe care o găsim prin orice metodă cunoscută nouă.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi utilizată pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi compatibilitatea. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda gaussiană este de preferat.

Privește descriere detaliatăși a analizat exemple în articol metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula pe care o vom obțineți una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm necunoscute gratuite valori variabile 1,0,0,…,0 și calculați principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,...,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,…,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Să luăm. Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.