Progresii aritmetice și geometrice

Informații teoretice

Informații teoretice

	Progresie aritmetică	Progresie geometrică
Definiţie	Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie)	Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, al căror termen, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr. q (q- numitorul progresiei)
Formula de recurență	Pentru orice natural n a n + 1 = a n + d	Pentru orice natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula al n-lea termen	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Proprietate caracteristică
Suma primilor n termeni

Exemple de sarcini cu comentarii

Sarcina 1

În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2

Conform formulei celui de-al n-lea termen:

un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Dupa conditie:

a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .

Este necesar să găsiți diferența de progresii:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Raspuns: un 22 = -48.

Sarcina 2

Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....

Prima metodă (folosind formula n termeni)

Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Deoarece b 1 = -3,

A doua metodă (folosind formula recurentă)

Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Raspuns: b 5 = -48.

Sarcina 3

În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.

Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma .

Din aceasta rezultă:

.

Să înlocuim datele în formula:

Raspuns: 95.

Sarcina 4

În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.

Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:

.

În care se află în acest caz, mai comod de folosit?

Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.

Raspuns: 368.

Sarcina 5

În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.

Conform formulei celui de-al n-lea termen:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Raspuns: un 22 = -48.

Sarcina 6

Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:

Aflați termenul progresiei indicat de x.

Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 Pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.

Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:

.

Raspuns: .

Sarcina 7

Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:

Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:

.

Raspuns: 4.

Sarcina 8

În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n pentru care inegalitatea este valabilă un n > -6.

Progresie aritmetică denumește o succesiune de numere (termeni ai unei progresii)

În care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent printr-un termen nou, care se mai numește diferență de pas sau de progresie.

Astfel, prin specificarea pasului de progresie și a primului său termen, puteți găsi oricare dintre elementele acestuia folosind formula

Proprietățile unei progresii aritmetice

1) Fiecare membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea număr, este media aritmetică a membrilor anteriori și următori ai progresiei

Este adevărat și invers. Dacă media aritmetică a termenilor impari (pari) adiacenți ai unei progresii este egală cu termenul care se află între ei, atunci această succesiune de numere este o progresie aritmetică. Folosind această declarație, este foarte ușor să verifici orice secvență.

De asemenea, prin proprietatea progresiei aritmetice, formula de mai sus poate fi generalizată la următoarele

Acest lucru este ușor de verificat dacă scrieți termenii în dreapta semnului egal

Este adesea folosit în practică pentru a simplifica calculele în probleme.

2) Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează folosind formula

Amintiți-vă bine formula pentru suma unei progresii aritmetice este indispensabilă în calcule și se găsește destul de des în situații simple de viață.

3) Dacă trebuie să găsiți nu întreaga sumă, ci o parte a secvenței începând cu al k-lea termen, atunci următoarea formulă a sumei vă va fi utilă

4) De interes practic este găsirea sumei n termeni ai unei progresii aritmetice pornind de la numărul k-lea. Pentru a face acest lucru, utilizați formula

Aceasta încheie materialul teoretic și trece la rezolvarea problemelor comune în practică.

Exemplul 1. Aflați al patruzecilea termen al progresiei aritmetice 4;7;...

Soluţie:

Dupa starea pe care o avem

Să stabilim pasul de progres

Folosind o formulă binecunoscută, găsim al patruzecelea termen al progresiei

Exemplul 2.

Soluţie:

O progresie aritmetică este dată de al treilea și al șaptelea termen. Găsiți primul termen al progresiei și suma celor zece.

Să notăm elementele date ale progresiei folosind formulele

Pe prima o scadem din a doua ecuatie, ca rezultat gasim pasul de progresie

Înlocuim valoarea găsită în oricare dintre ecuații pentru a găsi primul termen al progresiei aritmetice

Calculăm suma primilor zece termeni ai progresiei

Fără a folosi calcule complexe, am găsit toate cantitățile necesare.

Soluţie:

Exemplul 3. O progresie aritmetică este dată de numitor și unul dintre termenii săi. Găsiți primul termen al progresiei, suma celor 50 de termeni ai săi începând de la 50 și suma primilor 100.

Să notăm formula pentru al sutelea element al progresiei

și găsește-l pe primul

Pe baza primului, găsim al 50-lea termen al progresiei

Aflarea sumei părții din progresie

și suma primelor 100

Valoarea progresiei este de 250.

Exemplul 4.

Aflați numărul de termeni ai unei progresii aritmetice dacă:

Soluţie:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Să scriem ecuațiile în termenii primului termen și al pasului de progresie și să le determinăm

Înlocuim valorile obținute în formula sumei pentru a determina numărul de termeni din sumă

Efectuăm simplificări

și rezolvați ecuația pătratică

Dintre cele două valori găsite, doar numărul 8 se potrivește condițiilor problemei. Astfel, suma primilor opt termeni ai progresiei este 111.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația

1+3+5+...+x=307.

Rezolvare: Această ecuație este suma unei progresii aritmetice. Să scriem primul său termen și să găsim diferența în progresie Înainte să începem să decidem probleme de progresie aritmetică , să ne uităm la ce este succesiune de numere , deoarece progresia aritmetică este succesiune de numere.

O secvență de numere este un set de numere, fiecare element având propriul său element număr de serie . Elementele acestei mulțimi sunt numite membri ai secvenței. Numărul de serie al unui element de secvență este indicat printr-un index:

Primul element al secvenței;

Al cincilea element al secvenței;

- elementul „n-lea” al secvenței, adică elementul „stă la coadă” la numărul n.

Există o relație între valoarea unui element de secvență și numărul său de secvență. Prin urmare, putem considera o secvență ca o funcție al cărei argument este numărul ordinal al elementului secvenței. Cu alte cuvinte, putem spune asta secvența este o funcție a argumentului natural:

Secvența poate fi setată în trei moduri:

1 . Secvența poate fi specificată folosind un tabel.În acest caz, pur și simplu setăm valoarea fiecărui membru al secvenței.

De exemplu, Cineva a decis să se ocupe de gestionarea personală a timpului și, pentru început, să numere cât timp petrece pe VKontakte în timpul săptămânii. Înregistrând timpul în tabel, el va primi o secvență formată din șapte elemente:

Prima linie a tabelului indică numărul zilei săptămânii, a doua - timpul în minute. Vedem că, adică luni, Cineva a petrecut 125 de minute pe VKontakte, adică joi - 248 de minute și, adică, vineri doar 15.

2 . Secvența poate fi specificată folosind formula a n-a termen.

În acest caz, dependența valorii unui element de secvență de numărul său este exprimată direct sub forma unei formule.

De exemplu, dacă , atunci

Pentru a găsi valoarea unui element de secvență cu un număr dat, înlocuim numărul elementului în formula celui de-al n-lea termen.

Facem același lucru dacă trebuie să găsim valoarea unei funcții dacă valoarea argumentului este cunoscută. Inlocuim valoarea argumentului in ecuatia functiei:

Dacă, de exemplu, , Asta

Permiteți-mi să notez încă o dată că în ordine, spre deosebire de arbitrar functie numerica, argumentul poate fi doar un număr natural.

3 . Secvența poate fi specificată folosind o formulă care exprimă dependența valorii numărului membru al secvenței n de valorile membrilor anteriori.

În acest caz, nu este suficient să cunoaștem doar numărul membrului secvenței pentru a-i găsi valoarea. Trebuie să specificăm primul membru sau primii câțiva membri ai secvenței. ,

De exemplu, luați în considerare succesiunea Putem găsi valorile membrilor secvenței unul câte unul

Adică, de fiecare dată, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea termen al șirului, revenim la cei doi anteriori. Această metodă de specificare a unei secvențe este numită recurent, din cuvânt latin recurro- întoarce-te.

Acum putem defini o progresie aritmetică. O progresie aritmetică este un caz special simplu al unei secvențe de numere.

Progresie aritmetică este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul adăugat la același număr.

Numărul este sunat diferența de progresie aritmetică. Diferența unei progresii aritmetice poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero.

Dacă title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescând.

De exemplu, 2; 5; 8; 11;...

Dacă , atunci fiecare termen al unei progresii aritmetice este mai mic decât cel precedent, iar progresia este în scădere.

De exemplu, 2; -1; -4; -7;...

Dacă , atunci toți termenii progresiei sunt egali cu același număr, iar progresia este staţionar.

De exemplu, 2;2;2;2;...

Principala proprietate a unei progresii aritmetice:

Să ne uităm la poză.

Vedem asta

, și în același timp

Adăugând aceste două egalități, obținem:

.

Să împărțim ambele părți ale egalității la 2:

Deci, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor două învecinate:

Mai mult, din moment ce

, și în același timp

, Asta

, și prin urmare

Fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând cu title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula celui de-al treilea termen.

Vedem că termenii progresiei aritmetice satisfac următoarele relații:

si in sfarsit

Am primit formula celui de-al n-lea termen.

IMPORTANT! Orice membru al unei progresii aritmetice poate fi exprimat prin și. Cunoscând primul termen și diferența unei progresii aritmetice, puteți găsi oricare dintre termenii săi.

Suma a n termeni ai unei progresii aritmetice.

Într-o progresie aritmetică arbitrară, sumele termenilor echidistanți de cei extremi sunt egale între ele:

Considerăm o progresie aritmetică cu n termeni. Fie suma n termeni ai acestei progresii să fie egală cu .

Să aranjam mai întâi termenii progresiei în ordine crescătoare a numerelor, apoi în ordine descrescătoare:

Să adăugăm în perechi:

Suma din fiecare paranteză este , numărul de perechi este n.

Primim:

Aşa, suma n termeni ai unei progresii aritmetice poate fi găsită folosind formulele:

Să luăm în considerare rezolvarea problemelor de progresie aritmetică.

1 . Secvența este dată de formula celui de-al n-lea termen: . Demonstrați că această succesiune este o progresie aritmetică.

Să demonstrăm că diferența dintre doi termeni adiacenți ai șirului este egală cu același număr.

Am constatat că diferența dintre doi membri adiacenți ai secvenței nu depinde de numărul lor și este o constantă. Prin urmare, prin definiție, această secvență este o progresie aritmetică.

2 . Având în vedere o progresie aritmetică -31; -27;...

a) Găsiți 31 de termeni ai progresiei.

b) Stabiliți dacă numărul 41 este inclus în această progresie.

O) Vedem că;

Să scriem formula pentru al n-lea termen pentru progresia noastră.

În general

În cazul nostru , De aceea

Probleme privind progresia aritmetică existau deja în cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut o soluție pentru că aveau o nevoie practică.

Deci, într-unul din papirusuri Egiptul antic„, care are un conținut matematic – papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) – conține următoarea sarcină: împărți zece măsuri de pâine între zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie de o opteme din măsură”.

Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Astfel, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compilat multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la Elementele lui Euclid), a formulat gândul: „Într-o progresie aritmetică, care a număr par termeni, suma termenilor din a doua jumătate este mai mare decât suma termenilor din prima jumătate cu pătratul a 1/2 din numărul de termeni.”

Secvența este notată cu un. Numerele unei secvențe se numesc membrii ei și sunt de obicei desemnate prin litere cu indici care indică numărul de serie al acestui membru (a1, a2, a3 ... citiți: „a 1st”, „a 2nd”, „a 3rd” și așa mai departe ).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Ce este o progresie aritmetică? Prin ea se înțelege pe cel obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.

Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci această progresie este considerată în creștere.

O progresie aritmetică se numește finită dacă sunt luați în considerare doar primii săi termeni. La foarte cantitati mari membrii este deja progresie nesfârșită.

Orice progresie aritmetică este definită de următoarea formulă:

an =kn+b, b și k fiind niște numere.

Afirmația opusă este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:

1. Fiecare termen al progresiei este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor.
2. Revers: dacă, începând cu al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este în același timp un semn al progresiei, de aceea este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
   În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre termenii șirului, începând cu al 2-lea.

Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numere de progresie).

Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (N-lea) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) ne permite să determinăm al n-lea termen o progresie aritmetică prin oricare dintre cei ce-lea termeni ai săi, cu condiția să fie cunoscută.

Suma termenilor unei progresii aritmetice (adică primii n termeni ai unei progresii finite) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1+an) n/2.

Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile problemelor și de datele inițiale.

Serii naturale ale oricăror numere, cum ar fi 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.

Pe lângă progresia aritmetică, există și o progresie geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.

Calculator online.
Rezolvarea unei progresii aritmetice.
Dați: a n , d, n
Găsiți: a 1

Acest program matematic găsește \(a_1\) a unei progresii aritmetice pe baza numerelor specificate de utilizator \(a_n, d\) și \(n\).
Numerele \(a_n\) și \(d\) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții. În plus, număr fracționar poate fi introdus ca fracție zecimală (\(2,5\)) și ca fracție comună(\(-5\frac(2)(7)\)).

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de găsire a unei soluții.

Acest calculator online poate fi util pentru elevii de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră.

Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate. În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau antrenament al dvs. frati mai mici

sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul problemelor în curs de rezolvare crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a numerelor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea numerelor
Numerele \(a_n\) și \(d\) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții.

Numărul \(n\) poate fi doar un întreg pozitiv.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
Părțile întregi și fracționale din fracții zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă. De exemplu, puteți intra zecimale

deci 2,5 sau cam asa 2,5
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.

Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ. /
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire:
Intrare:

Rezultat: \(-\frac(2)(3)\) &
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire:
Întreaga parte este separată de fracție prin semnul și:

Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Introduceți numerele a n , d, n

Găsiți un 1
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.

În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.

Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos. Va rugam asteptati

sec... Dacă tu observat o eroare în soluție
, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback. Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce.

intra in campuri

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Secvență de numere Numerotarea este adesea folosită în practica de zi cu zi diverse articole

Într-o bancă de economii, folosind numărul de cont personal al deponentului, puteți găsi cu ușurință acest cont și puteți vedea ce depozit este pe el. Lăsați contul nr. 1 să conțină un depozit de a1 ruble, contul nr. 2 să conțină un depozit de a2 ruble etc. Se pare că succesiune de numere
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
unde N este numărul tuturor conturilor. Aici, fiecare număr natural n de la 1 la N este asociat cu un număr a n.

A studiat și matematică secvențe de numere infinite:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Se numește numărul a 1 primul termen al secvenței, numărul a 2 - al doilea termen al secvenței, numărul a 3 - al treilea termen al secvenței etc.
Se numește numărul a n al-lea (n-lea) membru al secvenței, iar numărul natural n este al acestuia număr.

De exemplu, într-o succesiune de pătrate numere naturale 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... și 1 = 1 este primul termen al șirului; iar n = n 2 este al n-lea termen secvențe; a n+1 = (n + 1) 2 este (n + 1)-al-lea (n plus primul) termen al secvenței. Adesea, o secvență poate fi specificată prin formula celui de-al n-lea termen. De exemplu, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definește șirul \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progresie aritmetică

Durata anului este de aproximativ 365 de zile. Mai mult valoarea exacta este egal cu \(365\frac(1)(4)\) zile, deci la fiecare patru ani se acumulează o eroare de o zi.

Pentru a ține seama de această eroare, la fiecare al patrulea an se adaugă o zi, iar anul prelungit se numește an bisect.

De exemplu, în al treilea mileniu ani bisecti sunt anii 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

În această secvență, fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, adăugat la același număr 4. Astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice.

Definiţie.
Se numește șirul de numere a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progresie aritmetică, dacă pentru toate naturale n egalitatea
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
unde d este un număr.

Din această formulă rezultă că a n+1 - a n = d. Numărul d se numește diferență progresie aritmetică.

Prin definiția unei progresii aritmetice avem:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
unde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), unde \(n>1 \)

Astfel, fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor doi termeni adiacenți ai săi. Aceasta explică denumirea de progresie „aritmetică”.

Rețineți că, dacă sunt date a 1 și d, atunci termenii rămași ai progresiei aritmetice pot fi calculați folosind formula recurentă a n+1 = a n + d. În acest fel, nu este dificil să calculezi primii termeni ai progresiei, totuși, de exemplu, un 100 va necesita deja o mulțime de calcule. De obicei, formula a n-a termen este folosită pentru aceasta. Prin definiția progresiei aritmetice
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
Deloc,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
întrucât al n-lea termen al unei progresii aritmetice se obține din primul termen prin adăugarea de (n-1) ori numărul d.
Această formulă se numește formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Aflați suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 100.
Să scriem această sumă în două moduri:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Să adăugăm aceste egalități termen cu termen:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Această sumă are 100 de termeni
Prin urmare, 2S = 101 * 100, deci S = 101 * 50 = 5050.

Să considerăm acum o progresie aritmetică arbitrară
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Fie S n suma primilor n termeni ai acestei progresii:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Apoi suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egală cu
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Deoarece \(a_n=a_1+(n-1)d\), atunci înlocuind un n în această formulă obținem o altă formulă pentru găsirea suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și ale examenului de stat unificat online Jocuri, puzzle-uri Trasarea graficelor funcțiilor Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul instituțiilor de învățământ secundar din Rusia Catalogul universităților rusești Lista a sarcinilor