O mărime fizică care este scalară. Mărimea vectorială și scalară - cum diferă

În fizică, există mai multe categorii de mărimi: vectoriale și scalare.

Ce este o mărime vectorială?

O mărime vectorială are două caracteristici principale: direcție și modul. Doi vectori vor fi aceiași dacă valoarea lor absolută și direcția sunt aceleași. Pentru a desemna o cantitate vectorială, cel mai des sunt folosite litere cu o săgeată deasupra lor. Un exemplu de mărime vectorială este forța, viteza sau accelerația.

Pentru a înțelege esența unei mărimi vectoriale, ar trebui să o luăm în considerare din punct geometric viziune. Un vector este un segment care are o direcție. Lungimea unui astfel de segment se corelează cu valoarea modulului său. Un exemplu fizic de mărime vectorială este deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu. Parametri precum accelerația acestui punct, viteza și forțele care acționează asupra acestuia, câmpul electromagnetic vor fi, de asemenea, afișați ca mărimi vectoriale.

Dacă luăm în considerare o mărime vectorială indiferent de direcție, atunci un astfel de segment poate fi măsurat. Dar rezultatul rezultat va reflecta doar caracteristici parțiale ale cantității. Pentru ea măsurare completă valoarea trebuie completată cu alți parametri ai segmentului direcțional.

În algebra vectorială există un concept vector zero. Acest concept înseamnă un punct. În ceea ce privește direcția vectorului zero, aceasta este considerată incertă. Pentru a desemna vectorul zero, se folosește zeroul aritmetic, introdus cu caractere aldine.

Dacă analizăm toate cele de mai sus, putem concluziona că toate segmentele direcționate definesc vectori. Două segmente vor defini un vector numai dacă sunt egale. La compararea vectorilor, se aplică aceeași regulă ca și la compararea cantităților scalare. Egalitatea înseamnă acord complet în toate privințele.

Ce este o mărime scalară?

Spre deosebire de un vector, o cantitate scalară are un singur parametru - acesta valoarea sa numerică. Este de remarcat faptul că valoarea analizată poate avea fie o valoare numerică pozitivă, fie una negativă.

Exemplele includ masa, tensiunea, frecvența sau temperatura. Cu astfel de marimi se pot efectua diverse operatii aritmetice: adunare, impartire, scadere, inmultire. O mărime scalară nu are o asemenea caracteristică precum direcția.

O mărime scalară este măsurată cu o valoare numerică, astfel încât să poată fi afișată pe o axă de coordonate. De exemplu, foarte des se construiește axa distanței parcurse, a temperaturii sau a timpului.

Principalele diferențe între mărimile scalare și vectoriale

Din descrierile date mai sus, este clar că principala diferență dintre mărimile vectoriale și mărimile scalare este lor caracteristici. O mărime vectorială are o direcție și o mărime, în timp ce o mărime scalară are doar o valoare numerică. Desigur, o mărime vectorială, ca o mărime scalară, poate fi măsurată, dar o astfel de caracteristică nu va fi completă, deoarece nu există nicio direcție.

Pentru a ne imagina mai clar diferența dintre o mărime scalară și o mărime vectorială, ar trebui dat un exemplu. Pentru a face acest lucru, să luăm o astfel de zonă de cunoaștere ca climatologie. Dacă spunem că vântul bate cu o viteză de 8 metri pe secundă, atunci se va introduce o cantitate scalară. Dar dacă spunem că vântul de nord bate cu o viteză de 8 metri pe secundă, atunci vorbim de o valoare vectorială.

Vectorii joacă un rol imens în matematica modernă, precum și în multe domenii ale mecanicii și fizicii. Majoritate mărimi fizice poate fi reprezentat ca vectori. Acest lucru ne permite să generalizăm și să simplificăm semnificativ formulele și rezultatele utilizate. Adesea, valorile vectoriale și vectorii sunt identificați între ele. De exemplu, în fizică puteți auzi că viteza sau forța este un vector.

Un vector este de obicei înțeles ca o mărime care are 2 caracteristici principale:

1. modul;
2. direcţie.

Astfel, doi vectori sunt considerați egali dacă modulele, precum și direcțiile ambelor, coincid. Valoarea în cauză este cel mai adesea scrisă ca o literă cu o săgeată desenată deasupra ei.

Printre cele mai comune cantități ale tipului corespunzător se numără viteza, forța și, de asemenea, de exemplu, accelerația.

Din punct de vedere geometric, un vector poate fi un segment dirijat, a cărui lungime se corelează cu modulul său.

Dacă luăm în considerare o mărime vectorială separat de direcția ei, atunci ea poate fi măsurată în principiu. Adevărat, aceasta va fi, într-un fel sau altul, o caracteristică parțială a cantității corespunzătoare. Complet - realizat numai dacă este completat cu parametrii segmentului direcțional.

Ce este o mărime scalară?

Prin scalar înțelegem de obicei o mărime care are o singură caracteristică și anume o valoare numerică. În acest caz, valoarea luată în considerare poate lua o valoare pozitivă sau negativă.

Mărimile scalare comune includ masa, frecvența, tensiunea și temperatura. Cu ele se pot efectua diverse operații matematice - adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

Direcția (ca caracteristică) nu este tipică pentru mărimile scalare.

Comparaţie

Principala diferență dintre o mărime vectorială și o mărime scalară este că prima are caracteristici cheie - mărime și direcție, în timp ce a doua are o valoare numerică. Este de remarcat faptul că o mărime vectorială, ca și o mărime scalară, poate fi măsurată în principiu, cu toate acestea, în acest caz, caracteristicile sale vor fi determinate doar parțial, deoarece va exista o lipsă de direcție.

După ce am stabilit care este diferența dintre un vector și o mărime scalară, vom afișa concluziile într-un tabel mic.

Mărimile se numesc scalare (scalare) dacă, după alegerea unei unități de măsură, sunt caracterizate complet de un număr. Exemple de mărimi scalare sunt unghiul, suprafața, volumul, masa, densitatea, sarcina electrică, rezistența, temperatura.

Este necesar să se facă distincția între două tipuri de mărimi scalare: scalari puri și pseudoscalari.

3.1.1. Scalari puri.

Scalarii puri sunt complet definiți de un singur număr, independent de alegerea axelor de referință. Exemple de scalari puri sunt temperatura și masa.

3.1.2. Pseudoscalare.

Ca și scalarii puri, pseudoscalarii sunt definiți folosind un singur număr, a cărui valoare absolută nu depinde de alegerea axelor de referință. Cu toate acestea, semnul acestui număr depinde de alegerea direcțiilor pozitive pe axele de coordonate.

Luați în considerare, de exemplu, un paralelipiped dreptunghiular, ale cărui margini pe axele de coordonate dreptunghiulare sunt, respectiv, egale. Volumul acestui paralelipiped este determinat cu ajutorul determinantului

a cărui valoare absolută nu depinde de alegerea axelor de coordonate dreptunghiulare. Cu toate acestea, dacă schimbați direcția pozitivă pe una dintre axele de coordonate, determinantul va schimba semnul. Volumul este un pseudoscalar. Unghiul, aria și suprafața sunt, de asemenea, pseudoscalari. Mai jos (Secțiunea 5.1.8) vom vedea că un pseudoscalar este de fapt un tensor de un fel special.

Cantități vectoriale

3.1.3. Axă.

O axă este o linie dreaptă infinită pe care se alege direcția pozitivă. Lasă o astfel de linie dreaptă, și direcția de la

este considerat pozitiv. Să considerăm un segment de pe această dreaptă și să presupunem că numărul care măsoară lungimea este egal cu a (Fig. 3.1). Atunci lungimea algebrică a segmentului este egală cu a, lungimea algebrică a segmentului este egală cu - a.

Dacă luăm mai multe linii paralele, atunci, după ce am determinat direcția pozitivă pe una dintre ele, o determinăm astfel pe restul. Situația este diferită dacă liniile nu sunt paralele; atunci trebuie să fiți de acord în mod specific cu privire la alegerea direcției pozitive pentru fiecare linie dreaptă.

3.1.4. Sensul de rotație.

Lasă axa. Vom numi rotație în jurul unei axe pozitivă sau directă dacă este efectuată pentru un observator care stă de-a lungul direcției pozitive a axei, la dreapta și la stânga (Fig. 3.2). Altfel se numește negativ sau invers.

3.1.5. Triedre directe și inverse.

Fie un triedru (dreptunghiular sau nedreptunghiular). Direcțiile pozitive sunt selectate pe axele, respectiv de la O la x, de la O la y și de la O la z.

 Vector- un concept pur matematic care este folosit doar în fizică sau alte științe aplicate și care permite simplificarea soluționării unor probleme complexe.
 Vector− segment drept dirijat.
  Într-un curs de fizică elementară trebuie să se opereze cu două categorii de mărimi − scalare și vectoriale.
 Scalar mărimile (scalari) sunt mărimi caracterizate printr-o valoare numerică și semn. Scalarii au lungimea − l, masa − m, calea − s, timp − t, temperatura − T, sarcina electrica − q, energie − W, coordonate etc.
  Toate se aplică cantităților scalare operații algebrice(adunare, scădere, înmulțire etc.).

 Exemplul 1.
  Determinați sarcina totală a sistemului, constând din sarcinile incluse în acesta, dacă q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Încărcare completă a sistemului
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

 Exemplul 2.
  Pentru ecuație pătratică fel
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 Vector cantitățile (vectorii) sunt cantități, pentru determinarea cărora este necesar să se indică, pe lângă valoare numerică asa este directia. Vectori − viteza v, puterea F, impuls p, intensitatea câmpului electric E, inducție magnetică B etc.
  Valoarea numerică a unui vector (modul) este notă cu o literă fără simbol vectorial sau vectorul este închis între bare verticale r = |r|.
  Grafic, vectorul este reprezentat printr-o săgeată (Fig. 1),

A cărui lungime pe o scară dată este egală cu mărimea sa, iar direcția coincide cu direcția vectorului.
Doi vectori sunt egali dacă mărimile și direcțiile lor coincid.
  Mărimile vectoriale sunt adăugate geometric (după regula algebrei vectoriale).
  Găsirea unei sume vectoriale din vectorii componente dați se numește adunare vectorială.
  Adunarea a doi vectori se realizează conform regulii paralelogramului sau triunghiului. Vector sumă
c = a + b
egală cu diagonala unui paralelogram construit pe vectori oŞi b. Modulează-l
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Fig. 2).


La α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) este teorema lui Pitagora.

Același vector c poate fi obținut folosind regula triunghiului dacă de la sfârșitul vectorului o vector deoparte b. Vectorul de urmărire c (conectând începutul vectorului oși sfârșitul vectorului b) este suma vectorială a termenilor (vectori componente oŞi b).
  Vectorul rezultat se găsește ca linie de urmă a liniei întrerupte ale cărei legături sunt vectorii componente (Fig. 3).


 Exemplul 3.
  Adăugați două forțe F 1 = 3 N și F 2 = 4 N, vectori F 1Şi F 2 faceți unghiuri α 1 = 10° și, respectiv, α 2 = 40° cu orizontul
 F = F 1 + F 2(Fig. 4).

  Rezultatul adunării acestor două forțe este o forță numită rezultanta. Vector Fîndreptată de-a lungul diagonalei unui paralelogram construit pe vectori F 1Şi F 2, ambele părți și este egal ca modul cu lungimea sa.
  Modul vectorial F găsiți prin teorema cosinusului
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Dacă
(α 2 − α 1) = 90°, apoi F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Unghi care este vector F este egal cu axa Ox, îl găsim folosind formula
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.

Proiecția vectorului a pe axa Ox (Oy) este o mărime scalară care depinde de unghiul α dintre direcția vectorului oși axa Ox (Oy). (Fig. 5)


  Proiecții vectoriale o pe axele Ox și Oy ale sistemului de coordonate dreptunghiulare. (Fig. 6)


  Pentru a evita greșelile la determinarea semnului proiecției vectoriale pe axă, este util să rețineți următoarea regulă: dacă direcția componentei coincide cu direcția axei, atunci proiecția vectorului pe această axă este pozitivă, dar dacă direcția componentei este opusă direcției axei, atunci proiecția vectorului este negativ. (Fig. 7)


  Scăderea vectorilor este o adunare în care se adaugă un vector la primul vector, numeric egal cu al doilea, sens invers
a − b = a + (−b) = d(Fig. 8).

  Să fie necesar din vector o scăderea vectorului b, diferența lor − d. Pentru a găsi diferența dintre doi vectori, trebuie să mergeți la vector o adauga vector ( −b), adică un vector d = a - b va fi un vector direcționat de la începutul vectorului o până la sfârșitul vectorului ( −b) (Fig. 9).

  Într-un paralelogram construit pe vectori oŞi b ambele părți, o diagonală c are sensul sumei, iar celălalt d− diferenţe vectoriale oŞi b(Fig. 9).
  Produsul unui vector o prin scalar k este egal cu vector b= k o, al cărui modul este de k ori mai mare decât modulul vectorului o, iar direcția coincide cu direcția o pentru k pozitiv și opusul pentru k negativ.

 Exemplul 4.
  Determinați impulsul unui corp cu o greutate de 2 kg care se deplasează cu o viteză de 5 m/s. (Fig. 10)

Impulsul corpului p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s și îndreptată spre viteză v.

 Exemplul 5.
  O sarcină q = −7,5 nC este plasată într-un câmp electric cu o putere de E = 400 V/m. Aflați mărimea și direcția forței care acționează asupra sarcinii.

Forța este F= q E. Deoarece sarcina este negativă, vectorul forță este îndreptat în direcția opusă vectorului E. (Fig. 11)


 Diviziune vector o printr-un scalar k este echivalent cu înmulțirea o cu 1/k.
 Produs punctual vectori oŞi b numit scalar „c”, egal cu produsul dintre modulele acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Fig. 12)


 Exemplul 6.
  Aflați munca efectuată de o forță constantă F = 20 N, dacă deplasarea S = 7,5 m, iar unghiul α dintre forță și deplasarea α = 120°.

Lucrul efectuat de o forță este egal, prin definiție, cu produsul scalar al forței și deplasării
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

 Opera de artă vectorială vectori oŞi b numit vector c, numeric egal cu produsul valorilor absolute ale vectorilor a și b înmulțit cu sinusul unghiului dintre ei:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
  Vector c perpendicular pe planul în care se află vectorii oŞi b, iar direcția sa este legată de direcția vectorilor oŞi b regula șurubului drept (Fig. 13).


 Exemplul 7.
  Determinați forța care acționează asupra unui conductor de 0,2 m lungime plasat într-un câmp magnetic, a cărui inducție este de 5 T, dacă puterea curentului în conductor este de 10 A și formează un unghi α = 30° cu direcția câmpului.

Putere amperi
dF = I = Idl × B sau F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Luați în considerare rezolvarea problemelor.
  1. Cum sunt direcționați doi vectori ai căror module sunt identici și egali cu a, dacă modulul sumei lor este egal cu: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?

 Soluţie.
  a) Doi vectori sunt direcționați de-a lungul unei drepte în direcții opuse. Suma acestor vectori este zero.

  b) Doi vectori sunt direcționați de-a lungul unei drepte în aceeași direcție. Suma acestor vectori este 2a.

  c) Doi vectori sunt îndreptați la un unghi de 120° unul față de celălalt. Suma vectorilor este a. Vectorul rezultat este găsit folosind teorema cosinusului:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 și α = 120°.
  d) Doi vectori sunt îndreptați la un unghi de 90° unul față de celălalt. Modulul sumei este egal cu
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 și α = 90°.

  e) Doi vectori sunt îndreptați la un unghi de 60° unul față de celălalt. Modulul sumei este egal cu
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 și α = 60°.
 Răspuns: Unghiul α dintre vectori este egal cu: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Dacă a = a 1 + a 2 orientarea vectorilor, ce se poate spune despre orientarea reciprocă a vectorilor a 1Şi a 2, dacă: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?

 Soluţie.
  a) Dacă suma vectorilor se găsește ca sumă a modulelor acestor vectori, atunci vectorii sunt direcționați de-a lungul unei linii drepte, paralele între ele a 1 ||a 2.
  b) Dacă vectorii sunt direcționați în unghi unul față de celălalt, atunci suma lor se găsește folosind teorema cosinusului pentru un paralelogram
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 și α = 90°.
vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt a 1 ⊥ a 2.
  c) Stare a 1 + a 2 = a 1 − a 2 poate fi executat dacă a 2− vector zero, atunci a 1 + a 2 = a 1 .
 Răspunsuri. O) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− vector zero.

3. Două forțe de 1,42 N fiecare sunt aplicate unui punct al corpului la un unghi de 60° unul față de celălalt. În ce unghi ar trebui aplicate două forțe de 1,75 N fiecare în același punct al corpului, astfel încât acțiunea lor să echilibreze acțiunea primelor două forțe?

Soluţie.
  Conform condițiilor problemei, două forțe de 1,75 N fiecare echilibrează două forțe de 1,42 N fiecare. Acest lucru este posibil dacă modulele vectorilor de perechi de forțe rezultați sunt egale. Determinăm vectorul rezultat folosind teorema cosinusului pentru un paralelogram. Pentru prima pereche de forțe:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
pentru a doua pereche de forțe, respectiv
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Echivalarea părților stângi ale ecuațiilor
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Să găsim unghiul necesar β între vectori
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
După calcule,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.

 A doua soluție.
  Să luăm în considerare proiecția vectorilor pe axa de coordonate OX (Fig.).

  Folosind relația dintre părți în triunghi dreptunghic, primim
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
unde
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) și β ≈ 90,7°.

4. Vector a = 3i − 4j. Care trebuie să fie mărimea scalară c pentru |c o| = 7,5?
 Soluţie.
c o= c( 3i − 4j) = 7,5
Modul vectorial o va fi egal
a 2 = 3 2 + 4 2 și a = ±5,
apoi din
c.(±5) = 7,5,
hai sa gasim asta
c = ±1,5.

5. Vectori a 1Şi a 2 iese din origine și au coordonatele carteziene de sfârșit (6, 0) și respectiv (1, 4). Găsiți vectorul a 3 astfel încât: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Soluţie.
  Să descriem vectorii din sistemul de coordonate carteziene (Fig.)

  a) Vectorul rezultat de-a lungul axei Ox este
a x = 6 + 1 = 7.
Vectorul rezultat de-a lungul axei Oy este
a y = 4 + 0 = 4.
Pentru ca suma vectorilor să fie egală cu zero, este necesar ca condiția să fie îndeplinită
a 1 + a 2 = −a 3.
Vector a 3 modulo va fi egal cu vectorul total a 1 + a 2, dar îndreptată în sens opus. Coordonată de sfârșit vectorială a 3 este egal cu (−7, −4), iar modulul
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.

B) Vectorul rezultat de-a lungul axei Ox este egal cu
a x = 6 − 1 = 5,
iar vectorul rezultat de-a lungul axei Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Când condiția este îndeplinită
a 1 − a 2 = −a 3,
vector a 3 va avea coordonatele capătului vectorului a x = –5 și a y = −4, iar modulul acestuia este egal cu
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.

6. Un mesager merge 30 m spre nord, 25 m spre est, 12 m spre sud, apoi ia un lift la o înălțime de 36 m într-o clădire Care este distanța L parcursă de el și deplasarea S ?

 Soluţie.
  Să descriem situația descrisă în problemă pe un plan la o scară arbitrară (Fig.).

Sfârșitul vectorului O.A. are coordonatele 25 m la est, 18 m la nord și 36 în sus (25; 18; 36). Distanța parcursă de o persoană este egală cu
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Mărimea vectorului deplasare poate fi găsită folosind formula
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
unde x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
 Răspuns: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Unghiul α dintre doi vectori oŞi b este egal cu 60°. Determinați lungimea vectorului c = a + bși unghiul β dintre vectori oŞi c. Mărimile vectorilor sunt a = 3,0 și b = 2,0.

 Soluţie.
  Lungimea vectorului egală cu suma vectorilor oŞi b Să determinăm folosind teorema cosinusului pentru un paralelogram (Fig.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
După înlocuire
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Pentru a determina unghiul β, folosim teorema sinusului pentru triunghiul ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
În același timp, ar trebui să știi asta
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
  Rezolvarea unui simplu ecuație trigonometrică, ajungem la expresie
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
prin urmare,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
  Să verificăm folosind teorema cosinusului pentru un triunghi:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
unde
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Şi
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
 Răspuns: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Rezolva probleme.
  8. Pentru vectori oŞi b definit în Exemplul 7, găsiți lungimea vectorului d = a - b colţ γ între oŞi d.

9. Aflați proiecția vectorului a = 4,0i + 7,0j la o linie dreaptă, a cărei direcție formează un unghi α = 30° cu axa Ox. Vector o iar linia dreaptă se află în planul xOy.

10. Vector o face un unghi α = 30° cu dreapta AB, a = 3,0. În ce unghi β față de dreapta AB ar trebui să fie îndreptat vectorul? b(b = √(3)) astfel încât vectorul c = a + b a fost paralel cu AB? Aflați lungimea vectorului c.

11. Se dau trei vectori: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Găsiți a) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b - (a, b)c.

12. Unghiul dintre vectori oŞi b este egal cu α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Aflați lungimile vectorilor c = (a, b)a + bŞi d = 2b − a/2.

13. Demonstrați că vectorii oŞi b sunt perpendiculare dacă a = (2, 1, −5) și b = (5, −5, 1).

14. Aflați unghiul α dintre vectori oŞi b, dacă a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vector o formează un unghi α = 30° cu axa Ox, proiecția acestui vector pe axa Oy este egală cu a y = 2,0. Vector b perpendicular pe vector oși b = 3,0 (vezi figura).

Vector c = a + b. Aflați: a) proiecțiile vectorului b pe axa Ox și Oy; b) valoarea lui c şi unghiul β dintre vector cși axa Bou; taxi); d) (a, c).

 Răspunsuri:
  9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
  10. β = 300°; c = 3,5.
  11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
  12. c = 2,6; d = 1,7.
  14. α = 44,4°.
  15. a) b x = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
  Studiind fizica, aveți oportunități grozave de a vă continua educația la o universitate tehnică. Acest lucru va necesita o aprofundare paralelă a cunoștințelor în matematică, chimie, limbă și mai rar în alte materii. Câștigătorul olimpiadei republicane, Savich Egor, absolvă una dintre facultățile MIPT, unde se impun cunoștințe în chimie. Dacă aveți nevoie de ajutor la Academia de Științe de Stat în chimie, atunci contactați profesioniștii cu siguranță veți primi asistență calificată și în timp util.