Rezolvați inegalitatea cu ecuația pătratică. Calculator online

Acest articol conține material care acoperă subiectul „ soluţie inegalități pătratice " Mai întâi, arătăm ce sunt inegalitățile pătratice cu o variabilă și le dăm vedere generală. Și apoi ne uităm în detaliu la cum să rezolvăm inegalitățile pătratice. Sunt prezentate principalele abordări ale soluției: metoda grafică, metoda intervalelor și prin selectarea pătratului binomului din partea stângă a inegalității. Sunt date soluții la exemple tipice.

Navigare în pagină.

Ce este o inegalitate pătratică?

Desigur, înainte de a vorbi despre rezolvarea inegalităților pătratice, trebuie să înțelegem clar ce este o inegalitate pătratică. Cu alte cuvinte, trebuie să fiți capabil să distingeți inegalitățile pătratice de alte tipuri de inegalități după tipul de înregistrare.

Definiţie.

Inegalitatea pătratică este o inegalitate de forma a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >poate exista orice alt semn de inegalitate ≤, >, ≥), unde a, b și c sunt niște numere și a≠0 și x este o variabilă (variabila poate fi notă cu orice altă literă).

Să dăm imediat un alt nume inegalităților pătratice - inegalități de gradul doi. Acest nume se explică prin faptul că în partea stângă a inegalităților a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

De asemenea, uneori puteți auzi inegalități pătratice numite inegalități pătratice. Acest lucru nu este în întregime corect: definiția „quadratic” se referă la funcții definite prin ecuații de forma y=a·x 2 +b·x+c. Deci, există inegalități pătratice și funcții pătratice, dar nu inegalități pătratice.

Să arătăm câteva exemple de inegalități pătratice: 5 x 2 −3 x+1>0, aici a=5, b=−3 și c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, coeficienții acestei inegalități pătratice sunt a=−2,2, b=−0,5 și c=−11; , în acest caz .

Rețineți că în definiția unei inegalități pătratice, coeficientul a lui x 2 este considerat a fi diferit de zero. Acest lucru este de înțeles; egalitatea coeficientului a la zero va „elimina” pătratul și vom avea de-a face cu o inegalitate liniară de forma b x+c>0 fără pătratul variabilei. Dar coeficienții b și c pot fi egali cu zero, atât separat, cât și simultan. Iată exemple de astfel de inegalități pătratice: x 2 −5≥0, aici coeficientul b pentru variabila x este egal cu zero; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 atât b cât și c sunt zero.

Cum se rezolvă inegalitățile pătratice?

Acum puteți fi nedumerit de întrebarea cum să rezolvați inegalitățile pătratice. Practic, sunt utilizate trei metode principale pentru a rezolva:

• metoda grafică (sau, ca în A.G. Mordkovich, grafică funcțională),
• metoda intervalului,
• și rezolvarea inegalităților pătratice prin izolarea pătratului binomului din partea stângă.

Grafic

Să facem imediat o rezervă că metoda de rezolvare a inegalităților pătratice, pe care o luăm în considerare acum, nu se numește grafică în manualele școlare de algebră. Cu toate acestea, în esență, acesta este ceea ce este el. Mai mult, prima cunoștință cu metoda grafica de rezolvare a inegalitatilor de obicei începe atunci când se pune întrebarea cum să rezolve inegalitățile pătratice.

Metodă grafică de rezolvare a inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) este de a analiza graficul funcţie pătratică y=a·x 2 +b·x+c pentru a găsi intervale în care funcția specificată ia valori negative, pozitive, nepozitive sau nenegative. Aceste intervale constituie soluțiile inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 și respectiv a x 2 +b x+c≥0.

Metoda intervalului

Pentru a rezolva inegalitățile pătratice cu o variabilă, pe lângă metoda grafică, metoda intervalului este destul de convenabilă, care în sine este foarte universală și este potrivită pentru rezolvarea diferitelor inegalități, nu doar a celor pătratice. Latura sa teoretică se află dincolo de limitele cursului de algebră din clasele a VIII-a și a IX-a, când învață să rezolve inegalitățile pătratice. Prin urmare, nu vom intra aici baza teoretica metoda intervalelor, dar să ne concentrăm asupra modului în care rezolvă inegalitățile pătratice.

Esența metodei intervalului în raport cu rezolvarea inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), constă în determinarea semnelor care au valorile trinomului pătratic a·x 2 +b·x+c pe intervalele în care se împarte axa de coordonate la zerourile acestui trinom (dacă există). Intervalele cu semnele minus constituie soluții ale inegalității pătratice a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, iar la rezolvarea inegalităților nestricte, la intervalele indicate se adaugă puncte corespunzătoare zerourilor trinomului.

Puteți face cunoștință cu toate detaliile acestei metode, algoritmul ei, regulile de plasare a semnelor pe intervale și puteți lua în considerare soluții gata făcute la exemplele tipice cu ilustrațiile oferite făcând referire la materialul din articol rezolvarea inegalităților pătratice folosind metoda intervalului .

Prin pătrarea binomului

Pe lângă metoda grafică și metoda intervalului, există și alte abordări care vă permit să rezolvați inegalitățile pătratice. Și ajungem la una dintre ele, care se bazează pe binom pătratîn partea stângă a inegalității pătratice.

Principiul acestei metode de rezolvare a inegalităților pătratice este de a efectua transformări echivalente ale inegalității, permițându-ne să se procedeze la rezolvarea unei inegalități echivalente de forma (x−p) 2 , ≥), unde p și q sunt niște numere.

Și cum are loc tranziția la inegalitate (x−p) 2? , ≥) și cum se rezolvă, articolul explică soluția inegalităților pătratice prin izolarea pătratului binomului. Există, de asemenea, exemple de rezolvare a inegalităților pătratice folosind această metodă și ilustrațiile grafice necesare.

Inegalități care se reduc la pătratice

În practică, de foarte multe ori trebuie să se ocupe de inegalități care pot fi reduse folosind transformări echivalente în inegalități pătratice de forma a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Să începem cu exemple ale celor mai simple inegalități care se reduc la inegalități pătratice. Uneori, pentru a trece la o inegalitate pătratică, este suficient să rearanjați termenii din această inegalitate sau să-i mutați dintr-o parte în alta. De exemplu, dacă transferăm toți termenii din partea dreaptă a inegalității 5≤2·x−3·x 2 la stânga, obținem o inegalitate pătratică în forma specificată mai sus 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Un alt exemplu: rearanjarea părții stângi a inegalității 5+0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

La școală, la lecțiile de algebră, când învață să rezolve inegalitățile pătratice, se ocupă și de rezolvarea inegalităților raționale, reducând la pătrate. Soluția lor presupune transferul tuturor termenilor la partea stângă urmată de transformarea expresiei formate acolo la forma a·x 2 +b·x+c prin executarea . Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Găsiți multe soluții la inegalitate 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .inegalitatea iraţională este echivalentă cu inegalitatea pătratică x 2 −6 x−9<0 , а inegalitatea logaritmică – inegalitatea x 2 +x−2≥0.

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei matematice. clasa a XI-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

A fost necesară compararea cantităților și cantităților la rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.

Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare a unui triunghi se află opusă unghiului mai mare. Arhimede, în timp ce a calculat circumferința, a stabilit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul, cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci de ori diametrul.

Scrieți simbolic relațiile dintre numere și mărimi folosind semnele > și b. Înregistrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Ați întâlnit și inegalități numerice în clasele inferioare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau pot fi false. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) este o inegalitate numerică corectă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică incorectă.

Inegalitățile care implică necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți stabili sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai rar decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.

Unele inegalități servesc ca singurul mijloc auxiliar de a demonstra sau de a infirma existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.

Inegalități numerice

Poți compara numere întregi? zecimale. Cunoașteți regulile de comparație? fracții obișnuite cu aceiași numitori dar cu numărători diferiți; cu aceiași numărători, dar numitori diferiti. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.

Compararea numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.

Definiţie. Numărul a mai mult număr b, dacă diferența a-b pozitiv. Numărul a număr mai mic b, dacă diferența a-b este negativă.

Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a A compara numerele a și b înseamnă a afla care dintre semne >, = sau Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.

Teorema. Dacă adăugați același număr la ambele părți ale inegalității, semnul inegalității nu se va schimba.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același lucru număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același lucru număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.

Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și înmulți inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni ajută la rezolvarea problemelor de evaluare și comparare a semnificațiilor expresiilor.

Când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adună sau să se înmulțească părțile stânga și dreaptă ale inegalităților termen cu termen. În același timp, se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua, atunci putem spune că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci putem spune că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.

Când luăm în considerare aceste exemple, s-au folosit următoarele: teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:

Teorema. La adunarea inegalităților de același semn se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.

Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, ale căror laturi stânga și dreaptă sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.

Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Alături de semnele inegalităților stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare sau egal cu b, adică și nu mai puțin b.

Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.

Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să creezi un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În continuare vei afla că modele matematice Pentru rezolvarea multor probleme există inegalități cu necunoscute. Va fi introdus conceptul de rezolvare a unei inegalități și va fi prezentat modul de a testa dacă un anumit număr este o soluție a unei anumite inegalități.

Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax în care a și b sunt date numere, iar x este o necunoscută, sunt numite inegalități liniare cu o necunoscută.

Definiţie. Soluția la o inegalitate cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care această inegalitate devine o adevărată inegalitate numerică. Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia sau stabilirea faptului că nu există.

Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se încearcă să le reducă, folosind proprietăți, la forma unor inegalități simple.

Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă

Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \), numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Soluție la inegalitate
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c pot fi considerate ca fiind găsirea de intervale în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) ia pozitiv sau negativ valori Pentru a face acest lucru, este suficient să analizați modul în care graficul funcției \(y= ax^2+bx+c\) este situat în plan de coordonate: unde sunt îndreptate ramurile parabolei - în sus sau în jos, dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, marcați-le pe axa x și prin punctele marcate desenați o parabolă schematică, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus pentru a > 0 sau în jos pentru a 0 sau în partea de jos pentru a 3) găsiți intervale pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0\)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitate
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului

Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul de definiție al funcției în intervalele \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) și \( (5; +\infty)\)

Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.

Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele luate în considerare este indicat în tabel:

În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerouri ale funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero semnul acesteia se schimbă.

Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele

Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalului.

Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului.

Rezolvați inegalitatea:

\(x(0,5-x)(x+4) În mod evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \ x=-4 \)

Reprezentăm zerourile funcției pe axa numerelor și calculăm semnul pe fiecare interval:

Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.

Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Conceptul de inegalitate matematică a apărut în antichitate. Acest lucru s-a întâmplat când omul primitiv a dezvoltat nevoia de a număra și de a opera diverse articole comparați numărul și dimensiunea acestora. Din cele mai vechi timpuri, Arhimede, Euclid și alți oameni de știință celebri: matematicieni, astronomi, designeri și filozofi au folosit inegalitățile în raționamentul lor.

Dar ei, de regulă, au folosit terminologia verbală în lucrările lor. Pentru prima dată semne moderne pentru a desemna conceptele de „mai mult” și „mai puțin” în forma în care fiecare școlar le cunoaște astăzi, au fost inventate și puse în practică în Anglia. Matematicianul Thomas Harriot a oferit un astfel de serviciu descendenților săi. Și asta s-a întâmplat cu aproximativ patru secole în urmă.

Sunt cunoscute multe tipuri de inegalități. Printre acestea se numără cele simple, care conțin una, două sau mai multe variabile, rapoarte pătratice, fracționale, complexe și chiar cele reprezentate de un sistem de expresii. Cel mai bun mod de a înțelege cum să rezolvi inegalitățile este de a folosi diverse exemple.

Nu rata trenul

Pentru început, să ne imaginăm că un locuitor al unei zone rurale se grăbește la gara, care se află la 20 km de satul său. Pentru a nu pierde trenul care pleacă la ora 11, trebuie să plece din casă la timp. La ce oră trebuie făcut acest lucru dacă viteza sa este de 5 km/h? Soluția acestei probleme practice se rezumă la îndeplinirea condițiilor expresiei: 5 (11 - X) ≥ 20, unde X este ora de plecare.

Acest lucru este de înțeles, deoarece distanța pe care trebuie să o parcurgă un sătean până la stație este egală cu viteza de deplasare înmulțită cu numărul de ore pe drum. Vino fost om poate, dar nu are cum să întârzie. Știind cum să rezolvi inegalitățile și aplicându-ți abilitățile în practică, vei ajunge cu X ≤ 7, care este răspunsul. Aceasta înseamnă că săteanul ar trebui să meargă la gara la șapte dimineața sau puțin mai devreme.

Intervale numerice pe o linie de coordonate

Acum să aflăm cum să mapam relațiile descrise pe Inegalitatea de mai sus nu este strictă. Înseamnă că variabila poate lua valori mai mici de 7 sau poate fi egală cu acest număr. Să dăm alte exemple. Pentru a face acest lucru, luați în considerare cu atenție cele patru cifre prezentate mai jos.

Pe primul dintre ele se poate vedea o reprezentare grafică a intervalului [-7; 7]. Este format dintr-un set de numere plasate pe o linie de coordonate și situate între -7 și 7, inclusiv limitele. În acest caz, punctele de pe grafic sunt reprezentate ca cercuri pline, iar intervalul este înregistrat folosind

A doua figură este o reprezentare grafică a inegalității stricte. În acest caz, numerele de limită -7 și 7, afișate prin puncte perforate (necompletate), nu sunt incluse în setul specificat. Iar intervalul în sine este scris între paranteze astfel: (-7; 7).

Adică, după ce ne-am dat seama cum să rezolvăm inegalitățile de acest tip și am primit un răspuns similar, putem concluziona că este format din numere care se află între limitele în cauză, cu excepția -7 și 7. Următoarele două cazuri trebuie evaluate într-un mod similar. A treia figură prezintă imagini ale intervalelor (-∞; -7] U – paranteze pătrate.

*Acest lucru se aplică nu numai inegalităților pătratice. Paranteza pătrată înseamnă că granița intervalului în sine este inclusă în soluție.

Veți vedea asta în exemple. Să ne uităm la câteva pentru a lămuri toate întrebările despre asta. În teorie, algoritmul poate părea oarecum complicat, dar în realitate totul este simplu.

EXEMPLU 1: Rezolvați x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Rezolvarea unei ecuații pătratice x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Găsirea rădăcinilor:

Înlocuiți coeficientul o

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

Scriem inegalitatea sub forma (x–50)(x–10) ≤ 0

Rădăcinile ecuației împart dreapta numerică în intervale. Să le arătăm pe linia numerică:

Am primit trei intervale (–∞;10), (10;50) și (50;+∞).

Determinăm „semnele” pe intervale, facem acest lucru prin înlocuirea valorilor arbitrare ale fiecărui interval rezultat în expresia (x–50)(x–10) și ne uităm la corespondența „semnului” rezultat cu semnul în inegalitatea (x–50)(x–10) ≤ 0:

la x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 incorect

la x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

la x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 incorect

Soluția va fi intervalul.

Pentru toate valorile lui x din acest interval inegalitatea va fi adevărată.

*Rețineți că am inclus paranteze pătrate.

Pentru x = 10 și x = 50, inegalitatea va fi și ea adevărată, adică limitele sunt incluse în soluție.

Răspuns: x∊

Din nou:

— Limitele intervalului sunt INCLUSE în soluția inegalității atunci când condiția conține semnul ≤ sau ≥ (inegalitatea nestrictă). În acest caz, este obișnuit să afișați rădăcinile rezultate într-o schiță cu un cerc HASHED.

— Limitele intervalului NU sunt INCLUSE în soluția inegalității atunci când condiția conține semnul< или >(inegalitate strictă). În acest caz, se obișnuiește să afișați rădăcina în schiță ca un cerc UNHASHED.

EXEMPLU 2: Rezolvare x 2 + 4 x–21 > 0

Rezolvarea unei ecuații pătratice x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Găsirea rădăcinilor:

Înlocuiți coeficientul oși rădăcini în formula (2), obținem:

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

Scriem inegalitatea sub forma (x–3)(x+7) > 0.

Rădăcinile ecuației împart dreapta numerică în intervale. Să le notăm pe linia numerică:

*Inegalitatea nu este strictă, deci simbolurile pentru rădăcini NU sunt umbrite. Avem trei intervale (–∞;–7), (–7;3) și (3;+∞).

Determinăm „semnele” pe intervale, facem acest lucru substituind valori arbitrare ale acestor intervale în expresia (x–3)(x+7) și căutăm conformitatea cu inegalitatea (x–3)(x+7)> 0:

la x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 corect

la x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

la x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 corect

Soluția va fi două intervale (–∞;–7) și (3;+∞). Pentru toate valorile lui x din aceste intervale inegalitatea va fi adevărată.

*Rețineți că am inclus paranteze. La x = 3 și x = –7 inegalitatea va fi incorectă - limitele nu sunt incluse în soluție.

Răspuns: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

EXEMPLU 3: Rezolvare – x 2 –9 x–20 > 0

Rezolvarea unei ecuații pătratice – x 2 –9 x–20 = 0.

o = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Găsirea rădăcinilor:

Înlocuiți coeficientul oși rădăcini în formula (2), obținem:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Scriem inegalitatea sub forma –(x+5)(x+4) > 0.

Rădăcinile ecuației împart dreapta numerică în intervale. Să notăm pe linia numerică:

*Inegalitatea este strictă, astfel încât simbolurile pentru rădăcini nu sunt umbrite. Avem trei intervale (–∞;–5), (–5; –4) și (–4;+∞).

Definim „semne” pe intervale, facem acest lucru prin substituirea în expresie –(x+5)(x+4) valori arbitrare ale acestor intervale și uitați-vă la corespondența cu inegalitatea –(x+5)(x+4)>0:

la x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

la x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 corect

la x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

Soluția va fi intervalul (–5,–4). Pentru toate valorile lui „x” care îi aparțin, inegalitatea va fi adevărată.

* Vă rugăm să rețineți că limitele nu fac parte din soluție. Pentru x = –5 și x = –4 inegalitatea nu va fi adevărată.

COMENTARIU!

Când rezolvăm o ecuație pătratică, s-ar putea să ajungem la o rădăcină sau nicio rădăcină, apoi atunci când folosiți această metodă orbește, pot apărea dificultăți în determinarea soluției.

Un mic rezumat! Metoda este bună și convenabilă de utilizat, mai ales dacă sunteți familiarizat cu funcția pătratică și cunoașteți proprietățile graficului acesteia. Dacă nu, vă rugăm să aruncați o privire și să treceți la secțiunea următoare.

Folosind graficul unei funcții pătratice. Vă recomand!

Quadratic este o funcție de forma:

Graficul său este o parabolă, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus sau în jos:

Graficul poate fi poziționat astfel: poate intersecta axa x în două puncte, îl poate atinge într-un punct (vârf) sau nu se poate intersecta. Mai multe despre asta mai târziu.

Acum să ne uităm la această abordare cu un exemplu. Întregul proces de soluție constă în trei etape. Să rezolvăm inegalitatea x 2 +2 x –8 >0.

Prima etapă

Rezolvarea ecuației x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Găsirea rădăcinilor:

Avem x 1 = 2 și x 2 = – 4.

Etapa a doua

Construirea unei parabole y=x 2 +2 x–8 prin puncte:

Punctele 4 și 2 sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale axei x. Este simplu! Ce-ai făcut? Am rezolvat ecuația pătratică x 2 +2 x–8=0. Vezi postarea lui astfel:

0 = x 2+2x – 8

Zero pentru noi este valoarea lui „y”. Când y = 0, obținem abscisa punctelor de intersecție ale parabolei cu axa x. Putem spune că valoarea zero „y” este axa x.

Acum uitați-vă la ce valori ale expresiei x x 2 +2 x – 8 mai mare (sau mai mică) decât zero? Acest lucru nu este dificil de determinat din graficul parabolei, așa cum se spune, totul este la vedere:

1. La x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 va fi pozitiv.

2. La –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 va fi negativ.

3. Pentru x > 2, ramura parabolei se află deasupra axei x. Pentru x specificat, trinomul x 2 +2 x –8 va fi pozitiv.

A treia etapă

Din parabolă putem vedea imediat la ce x expresia x 2 +2 x–8 mai mare decât zero, egal cu zero, mai putin de zero. Aceasta este esența celei de-a treia etape a soluției, și anume de a vedea și identifica zonele pozitive și negative din desen. Comparăm rezultatul obținut cu inegalitatea inițială și notăm răspunsul. În exemplul nostru, este necesar să se determine toate valorile lui x pentru care expresia x 2 +2 x–8 mai mult de zero. Am făcut asta în a doua etapă.

Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Răspuns: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Să rezumam: după ce au calculat rădăcinile ecuației în primul pas, putem marca punctele rezultate pe axa x (acestea sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x). În continuare, construim schematic o parabolă și putem deja să vedem soluția. De ce schematic? Nu avem nevoie de un program precis din punct de vedere matematic. Și imaginați-vă, de exemplu, dacă rădăcinile se dovedesc a fi 10 și 1500, încercați să construiți un grafic exact pe o foaie de hârtie cu o astfel de gamă de valori. Se pune întrebarea! Ei bine, am primit rădăcinile, ei bine, le-am marcat pe axa o, dar ar trebui să schițăm locația parabolei în sine - cu ramurile ei în sus sau în jos? Totul este simplu aici! Coeficientul pentru x 2 vă va spune:

- dacă este mai mare decât zero, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

- dacă este mai mică de zero, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

În exemplul nostru, este egal cu unu, adică pozitiv.

*Nota! Dacă inegalitatea conține un semn nestrict, adică ≤ sau ≥, atunci rădăcinile de pe dreapta numerică ar trebui să fie umbrite, acest lucru indică în mod condiționat că granița intervalului în sine este inclusă în soluția inegalității. ÎN în acest caz, rădăcinile nu sunt umbrite (perforate), deoarece inegalitatea noastră este strictă (există un semn „>”). Mai mult, în acest caz, răspunsul folosește mai degrabă paranteze decât pătrate (bordurile nu sunt incluse în soluție).

S-au scris multe, probabil am derutat pe cineva. Dar dacă rezolvi cel puțin 5 inegalități folosind parabole, atunci admirația ta nu va avea limite. Este simplu!

Deci, pe scurt:

1. Notăm inegalitatea și o reducem la cea standard.

2. Scrieți o ecuație pătratică și rezolvați-o.

3. Desenați axa x, marcați rădăcinile rezultate, desenați schematic o parabolă, cu ramuri în sus dacă coeficientul lui x 2 este pozitiv, sau ramificații în jos dacă este negativ.

4. Identificați vizual zonele pozitive sau negative și notați răspunsul la inegalitatea inițială.

Să ne uităm la exemple.

EXEMPLU 1: Rezolvați x 2 –15 x+50 > 0

Prima etapă.

Rezolvarea unei ecuații pătratice x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Găsirea rădăcinilor:

Etapa a doua.

Construim axa o. Să marchem rădăcinile rezultate. Deoarece inegalitatea noastră este strictă, nu le vom umbri. Construim schematic o parabolă, aceasta este situată cu ramurile în sus, deoarece coeficientul lui x 2 este pozitiv:

A treia etapă.

Definim vizual zone pozitive și negative, aici le-am marcat culori diferite pentru claritate, nu trebuie să faci asta.

Scriem răspunsul.

Răspuns: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Semnul U indică o soluție de unificare. Figurat vorbind, soluția este intervalul „acest” ȘI „și acesta”.

EXEMPLU 2: Rezolvare – x 2 + x+20 ≤ 0

Prima etapă.

Rezolvarea unei ecuații pătratice – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Găsirea rădăcinilor:

Etapa a doua.

Construim axa o. Să marchem rădăcinile rezultate. Deoarece inegalitatea noastră nu este strictă, umbrim denumirile rădăcinilor. Construim schematic o parabolă, aceasta este situată cu ramurile în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ (este egal cu –1):

A treia etapă.

Identificăm vizual zonele pozitive și negative. O comparăm cu inegalitatea inițială (semnul nostru este ≤ 0). Inegalitatea va fi adevărată pentru x ≤ – 4 și x ≥ 5.

Scriem răspunsul.

Răspuns: x∊(–∞;–4] U )