Linia care trece prin punctul K(x 0 ; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) și paralelă cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentată prin ecuație

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul K( ;) paralelă cu dreapta y = x+ .

Exemplul nr. 1. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 0 (-2,1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Soluţie . Să reprezentăm ecuația cu panta sub forma y = kx + a. Pentru a face acest lucru, transferați toate valorile cu excepția y la partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțiți partea dreaptă cu un factor de 3. Se obține: y = -2/3x + 7/3
Să găsim ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1), paralelă cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0

Exemplul nr. 2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie . Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria triunghi dreptunghic, unde a și b sunt picioarele sale. Să găsim punctele de intersecție ale liniei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Să o înlocuim în formula pentru zonă: . Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y – 10 = 0.

Exemplul nr. 3. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 5x-7y-4=0.
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aici a = 5 / 7). Ecuația dreptei dorite este y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul nr. 4. După ce am rezolvat exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplul nr. 5. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2;5) și paralelă cu dreapta 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor).

Ecuația unei drepte pe un plan.
Vectorul direcție este drept. Vector normal

O linie dreaptă pe un plan este una dintre cele mai simple forme geometrice, vă este familiar încă din școala elementară, iar astăzi vom învăța cum să o facem cu ajutorul metodelor geometriei analitice. Pentru a stăpâni materialul, trebuie să fii capabil să construiești o linie dreaptă; cunoașteți ce ecuație definește o dreaptă, în special o dreaptă care trece prin originea coordonatelor și drepte paralele cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în manual Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, l-am creat pentru matan, dar secțiunea despre funcţie liniară S-a dovedit foarte reușit și detaliat. Prin urmare, dragi ceainice, încălziți-vă mai întâi acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre vectori, altfel înțelegerea materialului va fi incompletă.

Pe această lecție Vom analiza modalități prin care puteți crea o ecuație a unei linii drepte pe un plan. Recomand să nu neglijăm exemplele practice (chiar dacă par foarte simple), întrucât le voi pune la dispoziție fapte și tehnici elementare și importante care vor fi necesare în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică superioară.

• Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?
• Cum ?
• Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?
• Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

si incepem:

Ecuația unei drepte cu panta

Cunoscuta formă „școală” a unei ecuații în linie dreaptă se numește ecuația unei drepte cu panta. De exemplu, dacă o dreaptă este dată de ecuație, atunci panta ei este: . Să luăm în considerare semnificația geometrică a acestui coeficient și modul în care valoarea lui afectează locația liniei:

Într-un curs de geometrie se dovedeşte că panta dreptei este egală cu tangenta unghiuluiîntre direcția pozitivă a axeiși această linie: , iar unghiul „se deșuruba” în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a nu aglomera desenul, am desenat unghiuri doar pentru două linii drepte. Să luăm în considerare linia „roșie” și panta acesteia. Conform celor de mai sus: (unghiul „alfa” este indicat printr-un arc verde). Pentru linia dreaptă „albastră” cu coeficientul unghiului, egalitatea este adevărată (unghiul „beta” este indicat printr-un arc maro). Și dacă tangenta unghiului este cunoscută, atunci, dacă este necesar, este ușor de găsit și colțul însuși prin folosire functie inversa– arctangent. După cum se spune, un tabel trigonometric sau un microcalculator în mâinile tale. Astfel, coeficientul unghiular caracterizează gradul de înclinare a dreptei faţă de axa absciselor.

Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă panta este negativă: atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple sunt liniile drepte „albastre” și „zmeură” din desen.

2) Dacă panta este pozitivă: , atunci linia merge de jos în sus. Exemple - linii drepte „negre” și „roșii” în desen.

3) Dacă panta este zero: , atunci ecuația ia forma , iar dreapta corespunzătoare este paralelă cu axa. Un exemplu este linia dreaptă „galbenă”.

4) Pentru o familie de linii paralele cu o axă (nu există niciun exemplu în desen, cu excepția axei în sine), coeficientul unghiular nu exista (tangenta de 90 de grade nu este definită).

Cu cât coeficientul de pantă în valoare absolută este mai mare, cu atât graficul în linie dreaptă este mai abrupt..

De exemplu, luați în considerare două linii drepte. Aici, așadar, linia dreaptă are o pantă mai abruptă. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul vă permite să ignorați semnul, ne interesează doar valori absolute coeficienți unghiulari.

La rândul său, o linie dreaptă este mai abruptă decât liniile drepte .

Dimpotrivă: cu cât coeficientul de pantă este mai mic în valoare absolută, cu atât linia dreaptă este mai plată.

Pentru linii drepte inegalitatea este adevărată, astfel linia dreaptă este mai plată. Tobogan pentru copii, pentru a nu-ți da vânătăi și lovituri.

De ce este necesar acest lucru?

Prelungiți-vă chinul Cunoașterea faptelor de mai sus vă permite să vă vedeți imediat greșelile, în special erorile atunci când construiți grafice - dacă desenul se dovedește a fi „evident ceva greșit”. Este recomandabil ca dvs pe loc era clar că, de exemplu, linia dreaptă este foarte abruptă și merge de jos în sus, iar linia dreaptă este foarte plată, apăsată aproape de axă și merge de sus în jos.

În problemele geometrice, apar adesea mai multe linii drepte, așa că este convenabil să le desemnați cumva.

Denumiri: liniile drepte sunt desemnate mici cu litere latine: . O opțiune populară este de a le desemna folosind aceeași literă cu indicele naturale. De exemplu, cele cinci linii la care tocmai ne-am uitat pot fi notate cu .

Deoarece orice linie dreaptă este determinată în mod unic de două puncte, ea poate fi notată prin următoarele puncte: etc. Denumirea implică în mod clar că punctele aparțin liniei.

E timpul sa ne incalzim putin:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?

Dacă se cunosc un punct aparținând unei anumite drepte și coeficientul unghiular al acestei drepte, atunci ecuația acestei drepte se exprimă prin formula:

Exemplul 1

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă cu pantă dacă se știe că punctul aparține dreptei date.

Soluţie: Să compunem ecuația dreptei folosind formula . ÎN în acest caz,:

Răspuns:

Examinare se face simplu. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și ne asigurăm că panta noastră este la locul său. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă această ecuație. Să le conectăm în ecuație:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul satisface ecuația rezultată.

Concluzie: Ecuația a fost găsită corect.

Un exemplu mai complicat pentru decizie independentă:

Exemplul 2

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă dacă se știe că unghiul său de înclinare față de direcția pozitivă a axei este , iar punctul aparține acestei drepte.

Dacă aveți dificultăți, recitiți materialul teoretic. Mai precis, mai practic, sar peste multe dovezi.

A sunat ultimul apel, petrecerea de absolvire s-a stins, iar în afara porților școlii noastre natale ne așteaptă însăși geometria analitică. Glumele s-au terminat... Sau poate abia incep =)

Ne fluturăm cu nostalgie stiloul către familiar și ne familiarizăm cu ecuația generală a unei linii drepte. Pentru că în geometria analitică este exact ceea ce se folosește:

Ecuația generală a unei drepte are forma: , unde sunt câteva numere. În același timp, coeficienții simultan nu sunt egale cu zero, deoarece ecuația își pierde sensul.

Să ne îmbrăcăm într-un costum și să legăm ecuația cu coeficientul de pantă. Mai întâi, să mutăm toți termenii la partea stângă:

Termenul cu „X” trebuie pus pe primul loc:

În principiu, ecuația are deja forma , dar conform regulilor de etichetă matematică, coeficientul primului termen (în acest caz) trebuie să fie pozitiv. Schimbarea semnelor:

Amintește-ți asta caracteristica tehnica! Facem primul coeficient (cel mai des) pozitiv!

În geometria analitică, ecuația unei linii drepte va fi aproape întotdeauna dată în formă generală. Ei bine, dacă este necesar, poate fi ușor redus la forma „școală” cu un coeficient unghiular (cu excepția liniilor drepte paralele cu axa ordonatelor).

Să ne întrebăm ce suficientștii să construiești o linie dreaptă? Două puncte. Dar mai multe despre acest incident din copilărie, acum se lipește cu regula săgeților. Fiecare linie dreaptă are o pantă foarte specifică, la care este ușor de „adaptat”. vector.

Un vector care este paralel cu o dreaptă se numește vector de direcție al acelei drepte. Este evident că orice linie dreaptă are infinit de vectori de direcție și toți vor fi coliniari (co-direcțional sau nu - nu contează).

Voi nota vectorul de direcție astfel: .

Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă, vectorul este liber și nu este legat de niciun punct din plan. Prin urmare, în plus, este necesar să cunoașteți un punct care aparține liniei.

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție?

Dacă un anumit punct aparținând unei linii și vectorul de direcție al acestei linii sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii poate fi compilată folosind formula:

Uneori se numește ecuația canonică a dreptei .

Ce să faci când una dintre coordonate este egal cu zero, vom înțelege în exemplele practice de mai jos. Apropo, vă rugăm să rețineți - ambele deodată coordonatele nu pot fi egale cu zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Soluţie: Să compunem ecuația unei linii drepte folosind formula. În acest caz:

Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracții:

Și aducem ecuația la aspectul general:

Răspuns:

De regulă, nu este nevoie să faceți un desen în astfel de exemple, ci de dragul înțelegerii:

În desen vedem punctul de plecare, vectorul de direcție inițial (poate fi reprezentat din orice punct al planului) și linia dreaptă construită. Apropo, în multe cazuri este cel mai convenabil să construiți o linie dreaptă folosind o ecuație cu un coeficient unghiular. Ecuația noastră poate fi ușor convertită în formă și fără probleme la selectarea unui alt punct pentru a construi o linie dreaptă.

După cum s-a menționat la începutul paragrafului, o linie dreaptă are infiniti vectori de direcție și toți sunt coliniari. De exemplu, am desenat trei astfel de vectori: . Indiferent de vectorul de direcție pe care îl alegem, rezultatul va fi întotdeauna aceeași ecuație de linie dreaptă.

Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Rezolvarea proporției:

Împărțiți ambele părți la –2 și obțineți ecuația familiară:

Cei interesați pot testa vectori în același mod sau orice alt vector coliniar.

Acum să rezolvăm problema inversă:

Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?

Foarte simplu:

Dacă o linie este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei linii.

Exemple de găsire a vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Declarația ne permite să găsim un singur vector de direcție dintr-un număr infinit, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși în unele cazuri este recomandabil să se reducă coordonatele vectorilor de direcție:

Astfel, ecuația specifică o dreaptă care este paralelă cu axa și coordonatele vectorului de direcție rezultat sunt împărțite convenabil la –2, obținându-se exact vectorul de bază ca vector de direcție. Logic.

În mod similar, ecuația specifică o linie dreaptă paralelă cu axa și împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem vectorul ort ca vector de direcție.

Acum hai să o facem verificarea Exemplul 3. Exemplul a crescut, așa că vă reamintesc că în el am compilat ecuația unei drepte folosind un vector punct și un vector de direcție

În primul rând, folosind ecuația dreptei îi reconstruim vectorul de direcție: – totul este în regulă, am primit vectorul original (în unele cazuri rezultatul poate fi un vector coliniar cu cel original, iar acest lucru este de obicei ușor de observat prin proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare).

În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația. Le substituim în ecuația:

S-a obținut egalitatea corectă, ceea ce ne bucură foarte mult.

Concluzie: Sarcina a fost finalizată corect.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Este foarte recomandabil să verificați folosind algoritmul discutat. Încercați să verificați întotdeauna (dacă este posibil) un draft. Este o prostie sa faci greseli acolo unde pot fi evitate 100%.

În cazul în care una dintre coordonatele vectorului de direcție este zero, procedați foarte simplu:

Exemplul 5

Soluţie: Formula nu este potrivită deoarece numitorul din partea dreaptă este zero. Există o cale de ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescriem formula în formă, iar restul s-a rostogolit de-a lungul unui șanț adânc:

Răspuns:

Examinare:

1) Restabiliți vectorul de direcție al dreptei:
– vectorul rezultat este coliniar cu vectorul de direcție original.

2) Înlocuiți coordonatele punctului în ecuație:

Se obține egalitatea corectă

Concluzie: sarcina finalizată corect

Apare întrebarea, de ce să vă deranjați cu formula dacă există o versiune universală care va funcționa în orice caz? Există două motive. În primul rând, formula este sub forma unei fracții mult mai bine amintit. Și în al doilea rând, dezavantajul formulei universale este că riscul de confuzie crește semnificativ la înlocuirea coordonatelor.

Exemplul 6

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Să revenim la cele două puncte omniprezente:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind două puncte?

Dacă se cunosc două puncte, atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte poate fi compilată folosind formula:

De fapt, acesta este un tip de formulă și iată de ce: dacă se cunosc două puncte, atunci vectorul va fi vectorul de direcție al dreptei date. În clasă Vectori pentru manechine am luat în considerare cea mai simplă sarcină– cum să găsiți coordonatele unui vector din două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de direcție sunt:

Nota : punctele pot fi „schimbate” și poate fi folosită formula . O astfel de soluție va fi echivalentă.

Exemplul 7

Scrieți o ecuație a unei drepte folosind două puncte .

Soluţie: Folosim formula:

Pieptănarea numitorilor:

Și amestecați puntea:

Acum este momentul să scapi de el numere fracționare. În acest caz, trebuie să înmulțiți ambele părți cu 6:

Deschideți parantezele și aduceți-vă în minte ecuația:

Răspuns:

Examinare este evident - coordonatele punctelor inițiale trebuie să satisfacă ecuația rezultată:

1) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

2) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

Concluzie: Ecuația dreptei este scrisă corect.

Dacă cel putin unul dintre puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.

Este demn de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă, deoarece construiți o linie dreaptă și vedeți dacă punctele îi aparțin , nu chiar atât de simplu.

Voi mai nota câteva aspecte tehnice ale soluției. Poate că în această problemă este mai profitabil să folosiți formula oglindă și, în aceleași puncte faceți o ecuație:

Mai puține fracții. Dacă doriți, puteți duce soluția până la capăt, rezultatul ar trebui să fie aceeași ecuație.

Al doilea punct este să vă uitați la răspunsul final și să vă dați seama dacă ar putea fi simplificat în continuare? De exemplu, dacă obțineți ecuația , atunci este indicat să o reduceți cu două: – ecuația va defini aceeași linie dreaptă. Cu toate acestea, acesta este deja un subiect de conversație poziţia relativă a liniilor.

După ce a primit răspunsul în Exemplul 7, pentru orice eventualitate, am verificat dacă TOȚI coeficienții ecuației sunt divizibili cu 2, 3 sau 7. Deși, cel mai adesea astfel de reduceri se fac în timpul soluției.

Exemplul 8

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă va permite să înțelegeți și să exersați mai bine tehnicile de calcul.

Similar cu paragraful anterior: dacă în formulă unul dintre numitori (coordonata vectorului de direcție) devine zero, apoi îl rescriem sub forma . Din nou, observați cât de stânjenită și confuză arată. Nu văd prea mult rost să aduc exemple practice, întrucât deja am rezolvat o astfel de problemă (vezi nr. 5, 6).

Vector normal direct (vector normal)

Ce este normal? Cu cuvinte simple, normalul este perpendicular. Adică, vectorul normal al unei linii este perpendicular pe o dreaptă dată. Evident, orice linie dreaptă are un număr infinit de ele (precum și vectori de direcție), iar toți vectorii normali ai dreptei vor fi coliniari (codirecționali sau nu, nu are nicio diferență).

Tratarea cu ele va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii ghid:

Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul normal al acestei linii.

Dacă coordonatele vectorului de direcție trebuie să fie „trase” cu atenție din ecuație, atunci coordonatele vectorului normal pot fi pur și simplu „eliminate”.

Vectorul normal este întotdeauna ortogonal cu vectorul de direcție al dreptei. Să verificăm ortogonalitatea acestor vectori folosind produs punctual:

Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de direcție:

Este posibil să construim o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal? O simt în intestine, este posibil. Dacă vectorul normal este cunoscut, atunci direcția dreptei în sine este clar definită - aceasta este o „structură rigidă” cu un unghi de 90 de grade.

Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

Dacă se cunosc un anumit punct aparținând unei linii și vectorul normal al acestei drepte, atunci ecuația acestei linii se exprimă prin formula:

Aici totul a mers fără fracțiuni și alte surprize. Acesta este vectorul nostru normal. Iubește-l. Si respect =)

Exemplul 9

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Soluţie: Folosim formula:

S-a obținut ecuația generală a dreptei, să verificăm:

1) „Eliminați” coordonatele vectorului normal din ecuație: – da, într-adevăr, vectorul original a fost obținut din condiție (sau ar trebui să se obțină un vector coliniar).

2) Să verificăm dacă punctul satisface ecuația:

Adevărata egalitate.

După ce suntem convinși că ecuația este compusă corect, vom finaliza a doua parte, mai ușoară, a sarcinii. Scoatem vectorul de direcție al dreptei:

Răspuns:

În desen situația arată astfel:

În scopuri de instruire, o sarcină similară pentru rezolvarea independentă:

Exemplul 10

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Secțiunea finală a lecției va fi dedicată celor mai puțin obișnuite, dar și specii importante ecuațiile unei drepte pe un plan

Ecuația unei drepte în segmente.
Ecuația unei drepte în formă parametrică

Ecuația unei linii drepte în segmente are forma , unde sunt constante nenule. Unele tipuri de ecuații nu pot fi reprezentate în această formă, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece termenul liber este egal cu zero și nu există nicio modalitate de a obține unul în partea dreaptă).

Acesta este, la figurat vorbind, un tip „tehnic” de ecuație. O sarcină comună este de a reprezenta ecuația generală a unei linii ca o ecuație a unei linii în segmente. Cum este convenabil? Ecuația unei drepte în segmente vă permite să găsiți rapid punctele de intersecție ale unei linii cu axe de coordonate, ceea ce poate fi foarte important în unele probleme de matematică superioară.

Să găsim punctul de intersecție al dreptei cu axa. Resetăm „y” la zero, iar ecuația ia forma . Punctul dorit se obtine automat: .

La fel si cu axa – punctul în care dreapta intersectează axa ordonatelor.

Acest articol dezvăluie derivarea ecuației unei drepte care trece prin două puncte date într-un sistem de coordonate dreptunghiular situat pe un plan. Să derivăm ecuația unei drepte care trece prin două puncte date într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Vom arăta și rezolva clar câteva exemple legate de materialul acoperit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a obține ecuația unei drepte care trece prin două puncte date, este necesar să se acorde atenție unor fapte. Există o axiomă care spune că prin două puncte divergente dintr-un plan se poate trasa o dreaptă și numai una. Cu alte cuvinte, două puncte date dintr-un plan sunt definite de o dreaptă care trece prin aceste puncte.

Dacă planul este definit de sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy, atunci orice linie dreaptă descrisă în el va corespunde ecuației unei linii drepte pe plan. Există, de asemenea, o legătură cu vectorul de direcție al dreptei. Aceste date sunt suficiente pentru a compila ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Să ne uităm la un exemplu de rezolvare a unei probleme similare. Este necesar să se creeze o ecuație pentru o dreaptă a care trece prin două puncte divergente M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2), situate în sistemul de coordonate carteziene.

În ecuația canonică a unei drepte pe un plan, având forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, se specifică un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu o dreaptă care se intersectează cu ea într-un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) cu un vector de ghidare a → = (a x , a y) .

Este necesar să se creeze o ecuație canonică a unei drepte a, care va trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2).

Dreapta a are un vector de direcție M 1 M 2 → cu coordonate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), deoarece intersectează punctele M 1 și M 2. Am obținut datele necesare pentru a transforma ecuația canonică cu coordonatele vectorului de direcție M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) și coordonatele punctelor M 1 aflate pe acestea. (x1, y1) şi M2 (x2, y2). Obținem o ecuație de forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 sau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Luați în considerare figura de mai jos.

În urma calculelor, notăm ecuațiile parametrice ale unei drepte pe un plan care trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2). Obținem o ecuație de forma x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ sau x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Să aruncăm o privire mai atentă la rezolvarea mai multor exemple.

Exemplul 1

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin 2 puncte date cu coordonatele M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Soluţie

Ecuația canonică pentru o dreaptă care se intersectează în două puncte cu coordonatele x 1, y 1 și x 2, y 2 ia forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Conform condițiilor problemei, avem că x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Este necesar să înlocuiți valorile numerice în ecuația x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De aici rezultă că ecuația canonică ia forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Răspuns: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Dacă trebuie să rezolvați o problemă cu un alt tip de ecuație, atunci mai întâi puteți merge la cea canonică, deoarece este mai ușor să veniți de la ea la oricare alta.

Exemplul 2

Compuneți ecuația generală a unei drepte care trece prin puncte cu coordonatele M 1 (1, 1) și M 2 (4, 2) în sistemul de coordonate O x y.

Soluţie

În primul rând, trebuie să scrieți ecuația canonică a unei linii date care trece prin două puncte date. Obținem o ecuație de forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Să aducem ecuația canonică la forma dorită, apoi obținem:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Răspuns: x - 3 y + 2 = 0 .

Exemple de astfel de sarcini au fost discutate în manualele școlare în timpul lecțiilor de algebră. Problemele școlare diferă prin aceea că era cunoscută ecuația unei drepte cu coeficient de unghi, având forma y = k x + b. Dacă trebuie să găsiți valoarea pantei k și numărul b, pentru care ecuația y = k x + b definește o dreaptă în sistemul O x y care trece prin punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) , unde x 1 ≠ x 2. Când x 1 = x 2 , atunci coeficientul unghiular ia valoarea infinitului, iar linia dreaptă M 1 M 2 este definită de generalul ecuație incompletă de forma x - x 1 = 0 .

Pentru că punctele M 1Şi M 2 sunt pe o linie dreaptă, atunci coordonatele lor satisfac ecuația y 1 = k x 1 + b și y 2 = k x 2 + b. Este necesar să se rezolve sistemul de ecuații y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pentru k și b.

Pentru a face acest lucru, găsim k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 sau k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Cu aceste valori ale lui k și b, ecuația unei drepte care trece prin cele două puncte date devine y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 sau y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Este imposibil să ne amintim un număr atât de mare de formule simultan. Pentru a face acest lucru, este necesar să creșteți numărul de repetări în rezolvarea problemelor.

Exemplul 3

Scrieți ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular care trece prin puncte cu coordonatele M 2 (2, 1) și y = k x + b.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim o formulă cu un coeficient unghiular de forma y = k x + b. Coeficienții k și b trebuie să ia o astfel de valoare încât această ecuație să corespundă unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (- 7, - 5) și M 2 (2, 1).

Puncte M 1Şi M 2 sunt situate pe o linie dreaptă, atunci coordonatele lor trebuie să facă din ecuația y = k x + b o egalitate adevărată. Din aceasta obținem că - 5 = k · (- 7) + b și 1 = k · 2 + b. Să combinăm ecuația în sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b și să rezolvăm.

La înlocuire obținem asta

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Acum, valorile k = 2 3 și b = - 1 3 sunt înlocuite în ecuația y = k x + b. Constatăm că ecuația necesară care trece prin punctele date va fi o ecuație de forma y = 2 3 x - 1 3 .

Această metodă de soluție predetermina cheltuielile cantitate mare timp. Există o modalitate prin care sarcina este rezolvată în literalmente doi pași.

Să scriem ecuația canonică a dreptei care trece prin M 2 (2, 1) și M 1 (- 7, - 5), având forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Acum să trecem la ecuația pantei. Obținem că: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Răspuns: y = 2 3 x - 1 3 .

Dacă în spațiul tridimensional există un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z cu două puncte date necoincidente cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), dreapta M trecând prin ele 1 M 2 , este necesar să se obţină ecuaţia acestei drepte.

Avem asta ecuații canonice de forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z și parametrice de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sunt capabile să definească o dreaptă în coordonatele sistemului O x y z, care trece prin puncte având coordonate (x 1, y 1, z 1) cu un vector de direcție a → = (a x, a y, a z).

Drept M 1 M 2 are un vector de direcție de forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), unde dreapta trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2 , y 2 , z 2), deci ecuația canonică poate fi de forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 sau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, la rândul său parametric x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ sau x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Luați în considerare un desen care arată 2 puncte date în spațiu și ecuația unei drepte.

Exemplul 4

Scrieți ecuația unei drepte definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional, care trece prin două puncte date cu coordonatele M 1 (2, - 3, 0) și M 2 (1, - 3, - 5).

Soluţie

Este necesar să găsim ecuația canonică. Întrucât vorbim de spațiu tridimensional, înseamnă că atunci când o dreaptă trece prin puncte date, ecuația canonică dorită va lua forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Prin condiție avem că x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Rezultă că ecuațiile necesare se vor scrie după cum urmează:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Răspuns: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal

Definiţie.În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe (3, -1).

Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x – y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. 3 – 2 + C = 0, prin urmare, C = -1 . Total: ecuația necesară: 3x – y – 1 = 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero Pe un plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k pantă direct.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte dintr-un punct și panta

Dacă totalul Ax + Bu + C = 0, duce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantak.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte printr-un vector normal, puteți introduce definiția dreptei printr-un punct și vectorul de direcție al dreptei.

Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția A α 1 + B α 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0. pentru x = 1, y = 2 obținem C/ A = -3, adică. ecuația necesară:

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul O este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Ecuația generală a dreptei x – y + 1 = 0 Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt înmulțite cu numărul care se numeste factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuația normală a unei linii. Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x – 5y – 65 = 0. Trebuie să scrieți diverse tipuri ecuațiile acestei linii.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin originea coordonatelor.

Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație a unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Soluţie. Ecuația dreptei are forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(-2, -3) și origine.

Soluţie. Ecuația dreptei este: , unde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Unghiul dintre liniile drepte pe un plan

Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghi ascuțitîntre aceste linii drepte va fi definită ca

.

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată

Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat, coliniar cu vectorul de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică condiția este îndeplinită pentru ei:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nŞi p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nŞi p nu poate fi simultan egal cu zero. Dar unul sau două dintre ele se pot dovedi a fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea intrare:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axă OiŞi Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia dreaptă definite de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele OiŞi Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1. Scrieți ecuații pentru o dreaptă în spațiu perpendiculară pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Să găsim punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz. Din moment ce orice punct situat pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x = y = 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul normal avion dat.

Acum să scriem ecuațiile necesare ale unei drepte care trece printr-un punct O= (0; 0; 2) în direcția vectorului:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea Şi În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus determină o dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă din spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Să scriem ecuațiile necesare ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dreaptă dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca linia de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca linia de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Se mai numesc și ecuațiile sistemului ecuații generale drept în spațiu.

Exemplul 3. Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiu date de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii sau, ceea ce este același lucru, ecuațiile unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei drepte cu oricare două planuri de coordonate, De exemplu yOzŞi xOz .

Punct de intersecție a unei drepte și a unui plan yOz are o abscisă x= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații x= 0, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu x= 0 definește un punct O(0; 2; 6) linia dorită. Apoi presupunând în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei x = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum să scriem ecuațiile dreptei care trece prin puncte O(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,