Îndoire dreaptă îndoire transversală plată. Arhive de categorie: Încovoiere O grindă de secțiune transversală constantă cu îndoire plană

îndoire dreaptă. Încovoiere transversală plană Construirea de diagrame ale factorilor de forță interni pentru grinzi Construirea de diagrame de Q și M folosind ecuații Construirea de diagrame de Q și M folosind secțiuni (puncte) caracteristice Calcule de rezistență la încovoiere directă a grinzilor Tensiuni principale în timpul încovoierii. O verificare completă a rezistenței grinzilor. Conceptul de centru de încovoiere. Concepte de deformare a grinzii și condiții de rigiditate a acestora Ecuație diferențială axa curbă a unei grinzi Metoda integrării directe Exemple de determinare a deplasărilor în grinzi prin metoda integrării directe Semnificaţia fizică a constantelor de integrare Metoda parametrilor iniţiali (ecuaţia universală a axei curbe a unei grinzi). Exemple de determinare a deplasărilor într-un fascicul folosind metoda parametrilor inițiali Determinarea deplasărilor folosind metoda lui Mohr. Regula A.K. Vereșchagin. Calculul integralei Mohr conform regulii lui A.K. Vereshchagina Exemple de determinare a deplasărilor folosind integrala Mohr Bibliografie Îndoire directă. Cot transversal plat. 1.1. Construirea diagramelor factorilor de forță interni pentru grinzi Încovoierea directă este un tip de deformare în care în secțiunile transversale ale tijei apar doi factori de forță interni: un moment încovoietor și o forță transversală. Într-un caz particular, forța tăietoare poate fi zero, atunci încovoierea se numește pură. În îndoirea transversală plană, toate forțele sunt situate într-unul dintre planurile principale de inerție ale tijei și perpendicular pe axa longitudinală a acesteia, iar momentele sunt situate în același plan (Fig. 1.1, a, b). Orez. 1.1 Forța transversală într-o secțiune transversală arbitrară a unei grinzi este numeric egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe normala la axa grinzii a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare. Forța tăietoare în secțiune m-n grinzi grinzile (Fig. 1.3, a) este considerată pozitivă dacă momentul rezultant al forțelor externe la stânga secțiunii este îndreptat în sensul acelor de ceasornic, iar spre dreapta - în sens invers acelor de ceasornic și negativ - în cazul opus (Fig. 1.3, b). Orez. 1.3 La calcularea momentului încovoietor într-o secțiune dată, momentele forțelor exterioare situate în stânga secțiunii sunt considerate pozitive dacă sunt direcționate în sensul acelor de ceasornic. Pentru partea dreaptă a fasciculului - invers. Este convenabil să se determine semnul momentului încovoietor după natura deformării grinzii. Momentul încovoietor este considerat pozitiv dacă, în secțiunea luată în considerare, partea tăiată a grinzii se îndoaie convex în jos, adică fibrele inferioare sunt întinse. În cazul opus, momentul încovoietor în secțiune este negativ. Există relații diferențiale între momentul încovoietor M, forța tăietoare Q și intensitatea sarcinii q. 1. Prima derivată a forței tăietoare de-a lungul abscisei secțiunii este egală cu intensitatea sarcinii distribuite, adică. Pe baza analizei diagramelor M și Q, se determină secțiuni periculoase ale fasciculului. Ordonatele pozitive ale diagramei Q sunt așezate în sus, iar ordonatele negative sunt stabilite de la linia de bază trasată paralel cu axa longitudinală a fasciculului. Sunt stabilite ordonatele pozitive ale diagramei M, iar ordonatele negative sunt așezate în sus, adică diagrama M este construită din partea fibrelor întinse. Construcția diagramelor Q și M pentru grinzi ar trebui să înceapă cu determinarea reacțiilor de sprijin. Pentru o grindă cu un capăt prins și celălalt capăt liber, construcția diagramelor Q și M poate fi începută de la capătul liber, fără a se determina reacțiile în înglobare. 1.2. Construcția diagramelor Q și M folosind ecuațiile Grinzii este împărțită în secțiuni în care funcțiile pentru momentul încovoietor și forța tăietoare rămân constante (nu au discontinuități). Limitele secțiunilor sunt punctele de aplicare a forțelor concentrate, perechile de forțe și locurile de modificare a intensității sarcinii distribuite. La fiecare secțiune, se ia o secțiune arbitrară la o distanță x de la originea coordonatelor, iar pentru această secțiune se întocmesc ecuații pentru Q și M. Folosind aceste ecuații, se construiesc diagrame ale lui Q și M. Exemplul 1.1 Construiți diagrame transversale forțele Q și momentele încovoietoare M pentru o grindă dată (Fig. 1.4,a). Rezolvare: 1. Determinarea reacţiilor de suport. Compunem ecuații de echilibru: din care obținem Reacțiile suporturilor se determină corect. Grinda are patru secțiuni Fig. 1,4 încărcări: CA, AD, DB, BE. 2. Construcția diagramei Q. Secțiunea CA. În secțiunea CA 1, desenăm o secțiune arbitrară 1-1 la o distanță x1 de capătul stâng al grinzii. Definim Q ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în stânga secțiunii 1-1: Semnul minus este luat deoarece forța care acționează în stânga secțiunii este îndreptată în jos. Expresia pentru Q nu depinde de variabila x1. Diagrama Q din această secțiune va fi reprezentată ca o linie dreaptă paralelă cu axa absciselor. Sectiunea AD. Pe secțiune desenăm o secțiune arbitrară 2-2 la o distanță x2 de capătul stâng al grinzii. Definim Q2 ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în stânga secțiunii 2-2: 8 Valoarea lui Q este constantă în secțiune (nu depinde de variabila x2). Graficul Q de pe secțiune este o linie dreaptă paralelă cu axa absciselor. Plot DB. Pe site desenăm o secțiune arbitrară 3-3 la o distanță x3 de capătul drept al grinzii. Definim Q3 ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în dreapta secțiunii 3-3: Expresia rezultată este ecuația unei drepte înclinate. Sectiunea BE. Pe site desenăm o secțiune 4-4 la o distanță x4 de capătul drept al grinzii. Definim Q ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în dreapta secțiunii 4-4: 4 Aici se ia semnul plus deoarece sarcina rezultantă din dreapta secțiunii 4-4 este îndreptată în jos. Pe baza valorilor obținute construim diagrame Q (Fig. 1.4, b). 3. Construcția diagramei M. Secțiunea m1. Definim momentul încovoietor în secțiunea 1-1 ca fiind suma algebrică a momentelor forțelor care acționează în stânga secțiunii 1-1. 1.5, c. 1.3. Construirea diagramelor lui Q și M din secțiuni (puncte) caracteristice Folosind dependențe diferențiale dintre M, Q, q și concluziile care decurg din acestea, se recomandă construirea diagramelor lui Q și M din secțiuni caracteristice (fără a întocmi ecuații). Folosind această metodă, valorile lui Q și M sunt calculate în secțiuni caracteristice. Secțiunile caracteristice sunt secțiunile limită ale secțiunilor, precum și secțiunile în care un factor de forță intern dat are o valoare extremă. În limitele dintre secțiunile caracteristice, conturul 12 al diagramei se stabilește pe baza dependențelor diferențiale dintre M, Q, q și a concluziilor care decurg din acestea. Exemplul 1.3 Construiți diagramele Q și M pentru grinda prezentată în Fig. 1.6, a. Orez. 1.6. Rezolvare: Începem să construim diagramele Q și M de la capătul liber al grinzii, în timp ce reacțiile în înglobare nu trebuie să fie determinate. Grinda are trei secțiuni de încărcare: AB, BC, CD. Nu există sarcină distribuită în secțiunile AB și BC. Forțele tăietoare sunt constante. Diagrama Q este limitată la linii drepte paralele cu axa x. Momentele încovoietoare variază liniar. Diagrama M este limitată de linii drepte înclinate pe axa absciselor. Există o sarcină distribuită uniform pe secțiunea CD. Forțele transversale variază conform unei legi liniare, iar momentele încovoietoare - conform legii unei parabole pătrate cu convexitate în direcția sarcinii distribuite. La limita secțiunilor AB și BC, forța transversală se modifică brusc. La limita secțiunilor BC și CD, momentul încovoietor se modifică brusc. 1. Construcția diagramei Q. Calculăm valorile forțelor transversale Q în secțiunile limită ale secțiunilor: Pe baza rezultatelor calculului, construim diagrama Q pentru grinda (Fig. 1, b). Din diagrama Q rezultă că forța transversală pe secțiunea CD este egală cu zero în secțiunea situată la distanța qa a q de la începutul acestei secțiuni. În această secțiune, momentul încovoietor are o valoare maximă. 2. Construirea diagramei M. Calculăm valorile momentelor încovoietoare în secțiunile limită ale secțiunilor: La momentul maxim din secțiune Pe baza rezultatelor calculului, construim diagrama M (Fig. 5.6, c). Exemplul 1.4 Folosind o diagramă dată a momentelor încovoietoare (Fig. 1.7, a) pentru o grindă (Fig. 1.7, b), determinați sarcinile care acționează și construiți diagrama Q. Cercul indică vârful unei parabole pătrate. Soluție: Să determinăm sarcinile care acționează asupra grinzii. Secțiunea AC este încărcată cu o sarcină uniform distribuită, deoarece diagrama M din această secțiune este o parabolă pătrată. În secțiunea de referință B, se aplică fasciculului un moment concentrat, acționând în sensul acelor de ceasornic, deoarece în diagrama M avem un salt în sus cu mărimea momentului. În secțiunea NE, fasciculul nu este încărcat, deoarece diagrama M din această secțiune este limitată de o linie dreaptă înclinată. Reacția suportului B se determină din condiția ca momentul încovoietor în secțiunea C să fie egal cu zero, adică pentru a determina intensitatea sarcinii distribuite, creăm o expresie pentru momentul încovoietor din secțiunea A ca suma momentelor de forțele din dreapta și echivalăm cu zero Acum determinăm reacția suportului A. Pentru aceasta să creăm o expresie pentru momentele încovoietoare în secțiune ca suma momentelor de forțe din stânga cu o sarcină este prezentată în fig. 1.7, c. Pornind de la capătul din stânga al grinzii, calculăm valorile forțelor transversale în secțiunile limită ale secțiunilor: Diagrama Q este prezentată în Fig. 1.7, d Problema considerată poate fi rezolvată prin întocmirea dependențelor funcționale pentru M, Q în fiecare secțiune. Să alegem originea coordonatelor la capătul stâng al fasciculului. În secțiunea AC, diagrama M este exprimată printr-o parabolă pătrată, a cărei ecuație are forma Constanțele a, b, c se găsesc din condiția ca parabola să treacă prin trei puncte cu coordonate cunoscute: Înlocuind coordonatele punctelor în ecuația parabolei, obținem: Expresia pentru momentul încovoietor va fi Diferențierea funcției M1 , obținem dependența pentru forța transversală După diferențierea funcției Q, obținem o expresie pentru intensitatea sarcinii distribuite. În secțiunea NE, expresia momentului încovoietor este prezentată sub forma unei funcții liniare Pentru a determina constantele a și b, folosim condițiile ca această dreaptă să treacă prin două puncte ale căror coordonate sunt cunoscute obținem două ecuații: ,b din care avem un 20. Ecuația pentru momentul încovoietor în secțiunea NE va fi După dubla diferențiere a lui M2, vom găsi Folosind valorile găsite ale lui M și Q, construim diagrame ale momentele încovoietoare și forțele tăietoare pentru grinda. Pe lângă sarcina distribuită, asupra fasciculului se aplică forțe concentrate în trei secțiuni, unde există salturi pe diagrama Q și momente concentrate în secțiunea în care există un șoc pe diagrama M. Exemplul 1.5 Pentru o grindă (Fig. 1.8, a), se determină poziția rațională a balamalei C, la care cel mai mare moment încovoietor din deschidere este egal cu momentul încovoietor din ansamblu (în valoare absolută). Construiți diagrame de Q și M. Rezolvare Determinarea reacțiilor suport. Chiar dacă (Fig. 1.2, a) este considerată pozitivă dacă rezultanta forțelor externe din stânga secțiunii este îndreptată în sus, iar spre dreapta - în jos și negativă - în cazul opus (Fig. 1.2, b). Orez. 1.2 La calcularea forței tăietoare într-o secțiune dată, forțele externe situate în stânga secțiunii sunt luate cu semnul plus dacă sunt îndreptate în sus și cu semnul minus dacă sunt îndreptate în jos. Pentru partea dreaptă a fasciculului - invers. legăturile de sprijin este egală cu patru, fasciculul este determinat static. Momentul încovoietor în balamaua C este zero, ceea ce ne permite să creăm o ecuație suplimentară: suma momentelor din jurul balamalei a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a acestei balamale este egală cu zero. Să alcătuim suma momentelor tuturor forțelor la dreapta balamalei C. Diagrama Q pentru grinda este limitată de o dreaptă înclinată, deoarece q = const. Determinăm valorile forțelor transversale în secțiunile limită ale grinzii: abscisa xK a secțiunii, unde Q = 0, este determinată din ecuația din care diagrama M pentru fascicul este limitată de o parabolă pătrată. Expresiile pentru momentele încovoietoare în secțiuni, unde Q = 0, și, respectiv, în înglobare se scriu astfel: Din condiția de egalitate a momentelor se obține ecuație pătratică raportat la parametrul dorit x: Valoarea reală x2x 1.029 m valori numerice forțele transversale și momentele încovoietoare în secțiunile caracteristice ale grinzii. Figura 1.8, b prezintă diagrama Q, iar în Fig. 1.8, c – diagrama M. Problema luată în considerare ar putea fi rezolvată prin împărțirea grinzii articulate în elementele sale constitutive, așa cum se arată în Fig. 1.8, d. La început se determină reacţiile suporturilor VC şi VB. Diagramele lui Q și M sunt construite pentru grinda suspendată SV din acțiunea sarcinii aplicate acesteia. Apoi se deplasează la fasciculul principal AC, încărcându-l cu o forță suplimentară VC, care este forța de presiune a fasciculului CB asupra fasciculului AC. După aceea, diagramele Q și M sunt construite pentru fasciculul AC. 1.4. Calcule de rezistență la încovoiere directă a grinzilor Calcule de rezistență bazate pe tensiuni normale și forfecare. Când o grindă se îndoaie direct în secțiunile sale transversale, apar tensiuni normale și tangenţiale (Fig. 1.9). secțiune rotundă diametrul d: (1.8) Pentru o secțiune inelară   sunt diametrele interior și, respectiv, exterior ale inelului. Pentru grinzi din materiale plastice cele mai raționale sunt formele simetrice de 20 de secțiuni (grindă în I, în formă de cutie, inelară). Pentru grinzile din materiale fragile care nu rezistă în mod egal la tensiune și compresiune, secțiunile care sunt asimetrice față de axa z neutră (grindă T, în formă de U, grinzi în I asimetrice) sunt raționale. Pentru grinzile cu secțiune transversală constantă din materiale plastice cu forme de secțiune transversală simetrică, condiția de rezistență se scrie după cum urmează: (1.10) unde Mmax este momentul încovoietor maxim în modul; – efort admisibil pentru material. Pentru grinzile cu secțiune transversală constantă din materiale plastice cu forme de secțiune transversală asimetrică, condiția de rezistență se scrie sub următoarea formă: (1.11) Pentru grinzile din materiale fragile cu secțiuni asimetrice față de axa neutră, dacă diagrama M este lipsită de ambiguitate (Fig. 1.12), trebuie să scrieți două condiții de rezistență - distanțe de la axa neutră până la punctele cele mai îndepărtate ale zonelor întinse și, respectiv, comprimate ale secțiunii periculoase; P – tensiuni admisibile pentru întindere și respectiv compresiune. Fig.1.12. De obicei, dimensiunile secțiunii transversale ale unei grinzi sunt determinate din condiția de rezistență la solicitări normale. Verificarea rezistentei grinzilor prin solicitari tangentiale este obligatorie pentru grinzile scurte si grinzile de orice lungime daca in apropierea suporturilor exista forte concentrate de marime mari, precum si pentru grinzile din lemn, nituite si sudate. Exemplul 1.6 Verificați rezistența unei grinzi cu secțiune cutie (Fig. 1.14) folosind tensiuni normale și forfecare, dacă MPa. Construiți diagrame în secțiunea periculoasă a fasciculului. Orez. 1.14 Rezolvarea 23 1. Construirea diagramelor lui Q și M folosind secțiuni caracteristice. Având în vedere partea stângă a grinzii, obținem Diagrama forțelor transversale este prezentată în Fig. 1.14, c. Diagrama momentelor încovoietoare este prezentată în Fig. 5.14, g. 2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale 3. Cele mai mari tensiuni normale din secțiunea C, unde acționează Mmax (modulo): MPa. Tensiunile normale maxime din grinda sunt aproape egale cu cele admise. 4. Cele mai mari tensiuni tangențiale din secțiunea C (sau A), unde acționează max Q (modulo): Iată momentul static al ariei semisecțiunii relativ la axa neutră; b2 cm – lăţimea secţiunii la nivelul axei neutre. 5. Tensiuni tangenţiale într-un punct (în perete) din secţiunea C: Fig. 1.15 Aici Szomc 834,5 108 cm3 este momentul static al ariei secțiunii situată deasupra dreptei care trece prin punctul K1; b2 cm – grosimea peretelui la nivelul punctului K1. Diagramele  și  pentru secțiunea C a grinzii sunt prezentate în Fig. 1.15. Exemplul 1.7 Pentru fasciculul prezentat în Fig. 1.16, a, necesar: 1. Construiți diagrame de forțe transversale și momente încovoietoare de-a lungul secțiunilor (puncte) caracteristice. 2. Determinați dimensiunile secțiunii transversale sub formă de cerc, dreptunghi și grinzi în I din starea de rezistență la solicitări normale, comparați zonele secțiunii transversale. 3. Verificați dimensiunile selectate ale secțiunilor grinzii în funcție de solicitarea tangenţială. Dat: Rezolvare: 1. Determinați reacțiile suporturilor grinzii Verificare: 2. Construcția diagramelor Q și M. Valorile forțelor transversale în secțiunile caracteristice ale grinzii 25 Fig. 1.16 În secțiunile CA și AD, intensitatea sarcinii q = const. În consecință, în aceste zone diagrama Q este limitată la linii drepte înclinate față de axă. În secțiunea DB, intensitatea sarcinii distribuite este q = 0, prin urmare, în această secțiune, diagrama Q este limitată la o dreaptă paralelă cu axa x. Diagrama Q pentru fascicul este prezentată în Fig. 1.16, b. Valorile momentelor încovoietoare în secțiunile caracteristice ale grinzii: În a doua secțiune, determinăm abscisa x2 a secțiunii în care Q = 0: Momentul maxim în a doua secțiune Diagrama M pentru grinda este prezentată în Fig. 1.16, c. 2. Creăm o condiție de rezistență pe baza tensiunilor normale, din care determinăm momentul axial de rezistență al secțiunii din expresia determinată de diametrul necesar d al unei grinzi de secțiune circulară. Pentru o grindă de secțiune dreptunghiulară. Înălțimea necesară a secțiunii. Determinați numărul necesar. Folosind tabelele GOST 8239-89, găsim cea mai apropiată valoare mai mare a momentului axial de rezistență 597 cm3, care corespunde fasciculului I nr. 33 cu caracteristicile: A z 9840 cm4. Verificarea toleranței: (subîncărcare cu 1% din 5%) cel mai apropiat fascicul în I nr. 30 (W 2 cm3) duce la suprasarcină semnificativă (mai mult de 5%). În cele din urmă acceptăm grinda în I nr. 33. Compară suprafețele secțiunilor rotunde și dreptunghiulare cu cea mai mică zonă A a grinzii în I: Din cele trei secțiuni luate în considerare, cea mai economică este secțiunea grinzii în I. 3. Calculăm cele mai mari tensiuni normale în secțiunea periculoasă 27 a grinzii I (Fig. 1.17, a): Tensiuni normale în peretele din apropierea flanșei secțiunii grinzii în I Diagrama tensiunilor normale în secțiunea periculoasă a fasciculul este prezentat în fig. 1.17, b. 5. Determinați cele mai mari tensiuni de forfecare pentru secțiunile selectate ale grinzii. a) secțiunea dreptunghiulară a grinzii: b) secțiunea rotundă a grinzii: c) secțiunea grinzii în I: Tensiuni tangențiale în peretele de lângă flanșa grinzii în I în secțiunea periculoasă A (dreapta) (la punctul 2): diagrama tensiunilor tangențiale în secțiuni periculoase ale grinzii I este prezentată în Fig. 1.17, c. Tensiunile tangenţiale maxime în grindă nu depăşesc tensiunile admisibile Exemplul 1.8 Determinaţi sarcina admisă pe grindă (Fig. 1.18, a), dacă 60 MPa, sunt date dimensiunile secţiunii transversale (Fig. 1.19, a). Construiți o diagramă a tensiunilor normale într-o secțiune periculoasă a unei grinzi la o sarcină admisă. Condiție de rezistență pentru tensiuni normale pentru punctul periculos „a” (Fig. 1.19) în secțiunea periculoasă I (Fig. 1.18): După înlocuirea datelor numerice 5. Cu o sarcină admisă într-o secțiune periculoasă, tensiuni normale la punctele „a” și „ b” vor fi sunt egale: Diagrama normală a tensiunilor pentru secțiunea periculoasă 1-1 este prezentată în Fig. 1.19, b.

Calcula grindă de îndoire Există mai multe opțiuni:
1. Calculul sarcinii maxime pe care o va suporta
2. Selectarea secțiunii acestei grinzi
3. Calcul pe baza tensiunilor maxime admise (pentru verificare)
Să aruncăm o privire principiu general selectarea secțiunii grinzii pe două suporturi încărcate cu o sarcină uniform distribuită sau o forță concentrată.
Pentru început, va trebui să găsiți punctul (secțiunea) în care va exista un moment maxim. Aceasta depinde dacă grinda este susținută sau încorporată. Mai jos sunt diagrame ale momentelor încovoietoare pentru cele mai comune scheme.

După găsirea momentului încovoietor, trebuie să găsim momentul de rezistență Wx al acestei secțiuni folosind formula dată în tabel:

În plus, când împărțim momentul încovoietor maxim la momentul de rezistență într-o secțiune dată, obținem efort maxim în grindași trebuie să comparăm această solicitare cu solicitarea pe care o poate suporta în general fasciculul nostru dintr-un anumit material.

Pentru materiale plastice(otel, aluminiu etc.) tensiunea maxima va fi egala cu limita de curgere a materialului, A pentru fragil(fontă) – rezistență la tracțiune. Putem găsi rezistența la curgere și rezistența la tracțiune din tabelele de mai jos.

Să ne uităm la câteva exemple:
1. [i] Doriți să verificați dacă o grindă în I nr. 10 (oțel St3sp5) de 2 metri lungime, încorporată rigid în perete, vă va sprijini dacă vă agățați de ea. Lăsați masa dvs. să fie de 90 kg.
În primul rând, trebuie să selectăm o schemă de proiectare.

Această diagramă arată că momentul maxim va fi la etanșare, iar din moment ce fasciculul nostru I are secțiune egală pe toată lungimea, atunci tensiunea maximă va fi în terminație. Să-l găsim:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN*m

Folosind tabelul de sortiment I-beam, găsim momentul de rezistență al I-beam Nr. 10.

Acesta va fi egal cu 39,7 cm3. Să-l transformăm în metri cubi și să obținem 0,0000397 m3.
Apoi, folosind formula, găsim tensiunile maxime care apar în grinda.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

După ce am găsit solicitarea maximă care apare în grinda, o putem compara cu efortul maxim admisibil egal cu limita fluiditatea oțelului St3sp5 este de 245 MPa.

45,34 MPa este corect, ceea ce înseamnă că acest fascicul I va rezista la o masă de 90 kg.

2. [i] Deoarece avem o aprovizionare destul de mare, vom rezolva a doua problemă, în care vom găsi masa maximă posibilă pe care o va suporta aceeași grindă în I nr. 10, de 2 metri lungime.
Dacă dorim să găsim masa maximă, atunci trebuie să echivalăm valorile limitei de curgere și efortul care va apărea în grinda (b = 245 MPa = 245.000 kN*m2).

Problema 1

Într-o anumită secțiune a unei grinzi de secțiune dreptunghiulară 20×30cm M=28 kNm, Q= 19 kN.

Necesar:

a) determinați tensiunea normală și forfecare în punct dat LA, distanțat de axa neutră la o distanță de 11 cm,

b) verificați rezistența grinda de lemn, dacă [σ]=10 MPa, [τ]=3 MPa.

Soluţie

a) Pentru a determina σ ( LA) , τ ( LA) Și maxσ, maxτ va trebui să cunoașteți valorile momentului de inerție axial al întregii secțiuni Eu N.O., moment axial de rezistență W N.O., momentul static al piesei tăiate și momentul static al jumătății de secțiune Smax:

b) Test de forță:

— în funcție de starea normală de rezistență la stres:

— în funcție de starea de rezistență a tensiunilor tangențiale:

Problema 2

Într-o anumită secțiune a fasciculului M=10kNm, Q=40kN. Secțiunea transversală este triunghiulară. Aflați efortul normal și forfecare într-un punct situat la 15 cm de axa neutră.

Unde

Apoi

Problema 3

Selectați secțiunea transversală a unei grinzi de lemn în două versiuni: rotundă și dreptunghiulară (dacă h/b=2), dacă [σ]=10 MPa, [τ]=3 MPa, și comparați-le în ceea ce privește consumul de material.

OŞi ÎNși compuneți ecuațiile statice:

(1) ∑M(ÎN) = F·8 – M– O 6 + ( q·6)·3 =0,

(2) ∑M(O) = F·2 – M+ ÎN 6 — ( q·6)·3 =0,

Secțiunea I

∑M(CU) = M(z 1) +F· z 1 =0,

MM(z 1) = -F· z 1 = - 30 · z 1 —

– ecuație direct.

La z 1 = 0: M = 0,

z 1 = 2: M =- 60 kNm.

∑la= — F — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = — F= -30 kN – funcție constantă.

Secțiunea II

unde

- ecuație parabole.

La z 2 =0: M= 0,

z 2 =3m: M= 30 3 – 5 3 2 = 90 – 45 = 45 kNm,

z 2 =6m: M= 30 6 – 5 6 2 = 180 – 180 = 0.

∑la= Q(z 2) — q· z 2 + B= 0,

Q(z 2) = q· z 2 — B= 10· z 2 – 30 – ecuație direct,

la z 2 = 0: Q= -30,

z 2 = 6m: Q= 10 6 – 30 = 30.

Determinarea maximului analitic al momentului încovoietor al celei de-a doua secțiuni:

din starea găsim:

Și apoi

Rețineți că saltul din ep. M situat acolo unde se aplica momentul concentrat M= 60 kNm si este egal cu acest moment, iar saltul in ep. Q- sub forță concentrată O= 60 kN.

Selectarea secțiunii grinzilor se face din starea de rezistență la solicitări normale, unde trebuie înlocuită cea mai mare valoare absolută a momentului de încovoiere din diagramă M.

ÎN în acest caz, moment maxim modulo M = 60kNm

unde::

O) secțiune formă rotundă d=?

b) sectiune transversala dreptunghiulara la h/b = 2:

Apoi

Dimensiunile secțiunii transversale determinate din condiția de rezistență pentru solicitări normale trebuie să satisfacă și condiția de rezistență pentru solicitările de forfecare:

Pentru formele de secțiune transversală simple, sunt cunoscute expresii compacte pentru efortul de forfecare maximă:

— pentru secțiune rotundă

— pentru secțiune dreptunghiulară

Să folosim aceste formule. Apoi

- pentru o grindă rotundă cu :

- pentru o grindă dreptunghiulară

Pentru a afla care secțiune necesită un consum mai mic de material, este suficient să comparați valorile zonelor secțiunii transversale:

O dreptunghiular = 865,3 cm 2< O rotund = 1218,6 cm 2, prin urmare, O grindă dreptunghiulară în acest sens este mai avantajoasă decât una rotundă.

Problema 4

Selectați o secțiune în I a unei grinzi de oțel dacă [σ]=160MPa, [τ]=80MPa.

Stabilim direcțiile reacțiilor de sprijin OŞi ÎNși compune două ecuații statice pentru a le determina:

(1) ∑M(O) = – M 1 –F 2 — ( q·8)·4 + M 2 + ÎN·6 =0,

(2) ∑M(ÎN) = – M 1 – O· 6 + F· 4 + ( q·8)·2 + M 2 =0,

Examinare:

∑la = O – F – q· 8 + ÎN= 104 – 80 – 20 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑M(CU) = M(z 1) -M 1 =0,

M(z 1) = M 1 = 40 kNm – funcție constantă.

∑la= — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = 0.

Secțiunea II

— parabolă.

La z 2 =0: M= 40 kNm,

z 2 =1m: M= 40 + 104 – 10 = 134 kNm,

z 2 =2m: M= 40+ 104 2 – 10 2 2 = 208 kNm.

∑la=O— q· z 2 — Q(z 2) = 0,

Q(z 2) =O— q· z 2 = 104 – 20 z 2 – ecuația direct,

la z 2 = 0: Q= 104 kN,

z 2 = 6m: Q= 104 – 40 = 64 kN.

sectiunea a III-a

- parabola.

La z 3 =0: M= 24+40=-16 kNm,

z 3 =2m: M= 24 + 136 2 - 10 (2+2) 2 = 24 + 272 - 160 = 136 kNm,

z 3 =4m: M= 24 + 136·4 – 10 (2+4) 2 = 24 + 544 – 360 = 208 kNm.

∑la=ÎN— q(2+z 3) + Q(z 3) = 0,

Q(z 3) =- ÎN+ q(2+z 3) = -136 + 20 (2+z 3) – ecuație direct,

la z 3 = 0: Q= -136 + 40 = - 94 kN,

z 3 = 4m: Q= - 136 + 20 (2+4) = - 136 + 120 = - 16 kN.

sectiunea a IV-a

-parabolă.

z 4 =0: M= 0 kNm,

z 4 =1m: M= – 10 kNm,

z 4 =2m: M= - 40kNm.

∑la=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 20 z 4 – ecuație direct.

La z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2m: Q= 40 kN.

Verificăm salturile din diagrame:

a) În diagramă M un salt pe suportul drept de 24 kNm (de la 16 la 40) este egal cu momentul concentrat M 2 =24 aplicat în acest loc.

b) În diagramă Q trei sarituri:

primul dintre ele de pe suportul din stânga corespunde unei reacţii concentrate O=104kN,

al doilea este sub forță F=80kN și egal cu acesta (64+16=80kN),

al treilea se află pe suportul din dreapta și corespunde reacției suportului drept de 136 kN (94 + 40 = 136 kN)

În cele din urmă, proiectăm secțiunea I.

Alegerea dimensiunilor sale se face din starea de rezistență la solicitări normale:

∑M(CU) = M(z 1) +F· z 1 =0,

M(z 1) = -F· z 1 = -20· z 1 .

La z 1 =0: M= 0,

z 1 =2m: M= – 40 kNm,

∑la= - F— Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = - 20kN.

Secțiunea II

z 2 =0: M= - 20 – 40 = -60 kNm,

z 2 =4m: M= 200 – 20 – 120 = 200 – 140 = 60kNm.

∑la=- F+O— Q(z 2) = 0,

Q =- F+A=-20+50=30kN.

sectiunea a III-a

-parabolă.

La z 3 =0: M= - 20·4= - 80 kNm,

z 3 =2m: M= 210·2 - 20·(2+2) 2 = 420 - 320 = 100kNm,

z 3 =4m: M= 210 4 – 20 (2+4) 2 = 840 – 720 = 120 kNm.

∑la= Q(z 3) + ÎN— q·(2+ z 3) = 0,

Q(z 3) = — ÎN+ q·(2+ z 3) = - 210 + 40·(2+ z 3) – ecuație direct.

La z 3 = 0: Q= -130kN,

z 3 = 4m: Q= 30 kN.

Q(z 0) = - 210 + 40·(2+ z 0) = 0,

— 210 + 80 + 40 z 0 = 0,

40· z 0 = 130,

z 0 = 3,25 m,

sectiunea a IV-a

parabolă.

La z 4 =0: M= 0 kNm,

z 4 =1m: M= – 20kNm,

z 4 =2m: M= - 80kNm.

∑la=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 40 z 4 – ecuație direct,

z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2m: Q= 80kN.

3. Selectarea secțiunilor (secțiunea periculoasă conform σ: | maxM|=131,25 kNm,

secţiune periculoasă de-a lungul τ: | maxQ|=130kN).

Opțiunea 1. Dreptunghiular din lemn ([σ]=15MPa, [τ]=3MPa)

Acceptăm: B=0.24m,

H=0,48m.

Verificăm prin τ:

Varianta 2. Rotunda din lemn

Procesul de proiectare al clădirilor și structurilor moderne este reglementat de un număr mare de coduri și reglementări diferite de construcție. În cele mai multe cazuri, standardele cer ca anumite caracteristici să fie asigurate, de exemplu, deformarea sau deformarea grinzilor plăcilor de pardoseală sub sarcină statică sau dinamică. De exemplu, SNiP nr. 2.09.03-85 determină, pentru suporturi și treceri, deformarea grinzii nu este mai mare de 1/150 din lungimea travei. Pentru podelele de mansardă, această cifră este deja de 1/200, iar pentru grinzile dintre podea este și mai mică - 1/250. Prin urmare, una dintre etapele obligatorii de proiectare este efectuarea unui calcul al deformarii fasciculului.

Modalități de a efectua calcule și teste de deformare

Motivul pentru care SNiP-urile stabilesc astfel de restricții draconice este simplu și evident. Cu cât deformarea este mai mică, cu atât marja de rezistență și flexibilitate a structurii este mai mare. Pentru o deformare mai mică de 0,5%, elementul portant, grinda sau placa își păstrează în continuare proprietăți elastice, ceea ce garantează redistribuirea normală a forțelor și menținerea integrității întregii structuri. Pe măsură ce deformarea crește, cadrul clădirii se îndoaie, rezistă, dar stă în picioare când se depășește valoarea admisă, legăturile se rup, iar structura își pierde rigiditatea și capacitatea portantă ca o avalanșă;

• Utilizați un calculator software online, în care condițiile standard sunt „conectate” și nimic mai mult;
• Utilizați date de referință gata făcute pentru diverse tipuriși tipuri de grinzi, pentru diferite modele de încărcare de susținere. Este necesar doar să se identifice corect tipul și dimensiunea fasciculului și să se determine deformarea dorită;
• Calculați deviația permisă cu mâinile și cu capul, majoritatea designerilor fac acest lucru, în timp ce controlează inspectorii de arhitectură și construcții preferă a doua metodă de calcul.

Pentru informația dumneavoastră! Pentru a înțelege cu adevărat de ce este atât de important să cunoaștem magnitudinea abaterii de la poziția inițială, merită să înțelegeți că măsurarea cantității de deviere este singura modalitate accesibilă și fiabilă de a determina starea fasciculului în practică.

Măsurând cât de mult s-a scufundat fasciculul plafon, este posibil să se determine cu o certitudine de 99% dacă structura este în stare de urgență sau nu.

Metoda de realizare a calculelor de deformare

Înainte de a începe calculul, va trebui să vă amintiți unele dependențe din teoria rezistenței materialelor și să întocmiți o diagramă de calcul. În funcție de cât de corect este executată diagrama și de condițiile de încărcare sunt luate în considerare, acuratețea și corectitudinea calculului vor depinde.

Folosim cel mai simplu model al unui fascicul încărcat prezentat în diagramă. Cea mai simplă analogie a unei grinzi poate fi o riglă de lemn, fotografie.

În cazul nostru, fasciculul:

1. Are o sectiune dreptunghiulara S=b*h, lungimea piesei de sustinere este L;
2. Rigla este încărcată cu o forță Q care trece prin centrul de greutate al planului îndoit, în urma căreia capetele se rotesc printr-un unghi mic θ, cu o deviere față de poziția orizontală inițială , egal cu f;
3. Capetele grinzii se sprijină în mod articulat și liber pe suporturi fixe, în consecință, nu există o componentă orizontală a reacției, iar capetele riglei se pot deplasa în orice direcție;

Pentru a determina deformarea unui corp sub sarcină, utilizați formula modulului elastic, care este determinată de raportul E = R/Δ, unde E este o valoare de referință, R este forța, Δ este cantitatea de deformare a corpului .

Calculați momentele de inerție și forțele

Pentru cazul nostru, dependența va arăta astfel: Δ = Q/(S E) . Pentru o sarcină q distribuită de-a lungul grinzii, formula va arăta astfel: Δ = q h/(S E) .

Ceea ce urmează este cel mai important punct. Diagrama Young de mai sus arată deformarea unei grinzi sau deformarea unei rigle ca și cum ar fi zdrobită sub o presă puternică. În cazul nostru, grinda este îndoită, ceea ce înseamnă că la capetele riglei, în raport cu centrul de greutate, se aplică două momente încovoietoare cu semn diferit. Diagrama de încărcare pentru o astfel de grindă este prezentată mai jos.

Pentru a transforma dependența lui Young pentru momentul încovoietor, este necesar să înmulțim ambele părți ale egalității cu umărul L. Obținem Δ*L = Q·L/(b·h·E) .

Dacă ne imaginăm că unul dintre suporturi este fixat rigid, iar celui de-al doilea i se va aplica un moment de echilibrare echivalent al forțelor M max = q*L*2/8, în consecință, mărimea deformației grinzii va fi exprimată prin dependență. Δх = M x/((h/3) b (h/2) E). Mărimea b h 2 /6 se numește momentul de inerție și se numește W. Rezultatul este Δx = M x / (W E) formula fundamentală pentru calcularea unei grinzi pentru încovoiere W = M / E prin momentul de inerție și momentul încovoietor.

Pentru a calcula cu exactitate deformarea, va trebui să cunoașteți momentul încovoietor și momentul de inerție. Valoarea primului poate fi calculată, dar formula specifică de calcul a unei grinzi pentru deformare va depinde de condițiile de contact cu suporturile pe care se află grinda și, respectiv, de metoda de încărcare pentru o sarcină distribuită sau concentrată. Momentul încovoietor de la o sarcină distribuită se calculează folosind formula Mmax = q*L 2 /8. Formulele date sunt valabile numai pentru o sarcină distribuită. Pentru cazul în care presiunea asupra fasciculului este concentrată într-un anumit punct și adesea nu coincide cu axa de simetrie, formula de calcul a deformarii trebuie să fie derivată folosind calcul integral.

Momentul de inerție poate fi considerat ca echivalentul rezistenței unei grinzi la sarcina de încovoiere. Mărimea momentului de inerție pentru o grindă dreptunghiulară simplă poate fi calculată folosind formula simplă W=b*h 3 /12, unde b și h sunt dimensiunile secțiunii transversale ale grinzii.

Din formulă este clar că aceeași riglă sau o placă de secțiune transversală dreptunghiulară poate avea absolut moment diferit inerția și cantitatea de deviere dacă îl puneți pe suporturi mod tradițional sau pune-l pe muchie. Nu e de mirare că aproape toate elementele sistem de căpriori Acoperișurile sunt realizate nu din cherestea de 100x150, ci din scânduri de 50x150.

Secțiuni reale structuri de constructii poate avea o varietate de profile, de la pătrat, cerc până la forme complexe de grinzi în I sau canale. În același timp, determinarea manuală a momentului de inerție și a cantității de deviere, „pe hârtie”, pentru astfel de cazuri devine o sarcină netrivială pentru un constructor neprofesionist.

Formule pentru utilizare practică

În practică, cel mai adesea se confruntă sarcina opusă - determinarea marjei de siguranță a podelelor sau a pereților pentru un caz specific pe baza unei valori cunoscute de deformare. În domeniul construcțiilor, este foarte dificil să se evalueze factorul de siguranță folosind alte metode, nedistructive. Adesea, pe baza mărimii deformarii, este necesar să se efectueze un calcul, să se estimeze factorul de siguranță al clădirii și starea generala structuri portante. Mai mult, pe baza măsurătorilor efectuate se determină dacă deformația este acceptabilă, conform calculului, sau dacă clădirea se află în stare de urgență.

Sfat! În ceea ce privește calcularea stării limită a unui fascicul pe baza cantității de deformare, cerințele SNiP oferă un serviciu de neprețuit. Prin setarea limitei de deviere într-o valoare relativă, de exemplu, 1/250, codurile de constructii facilitează semnificativ determinarea stării de urgență a unei grinzi sau plăci.

De exemplu, dacă intenționați să cumpărați o clădire finită care a stat destul de mult timp pe un sol problematic, ar fi util să verificați starea tavanului pe baza deformarii existente. Cunoscând rata maximă de deformare admisă și lungimea grinzii, puteți evalua fără niciun calcul cât de critică este starea structurii.

Inspecția construcției în timpul evaluării și evaluării deformației capacitatea portantă suprapunerea merge într-un mod mai complicat:

• Inițial se măsoară geometria plăcii sau grinzii și se înregistrează valoarea deformarii;
• Pe baza parametrilor măsurați, se determină sortimentul fasciculului, apoi se selectează formula pentru momentul de inerție din cartea de referință;
• Momentul de forță este determinat de deformarea și momentul de inerție, după care, cunoscând materialul, se pot calcula tensiunile reale într-o grindă de metal, beton sau lemn.

Întrebarea este de ce este atât de dificil dacă deformarea poate fi obținută folosind formula de calcul pentru o grindă simplă pe suporturi articulate f=5/24*R*L 2 /(E*h) sub o forță distribuită. Este suficient să cunoașteți lungimea deschiderii L, înălțimea profilului, rezistența de proiectare R și modulul elastic E pentru un anumit material de pardoseală.

Sfat! Utilizați în calculele dumneavoastră colecțiile departamentale existente ale diferitelor organizații de proiectare, care conțin toate formulele necesare pentru determinarea și calcularea stării maxime de încărcare într-o formă condensată.

Concluzie

Majoritatea dezvoltatorilor și proiectanților de clădiri serioase acționează într-un mod similar. Programul este bun, ajută la calcularea foarte rapidă a parametrilor de deformare și de încărcare de bază ai pardoselii, dar este și important să se pună la dispoziție clientului dovezi documentare ale rezultatelor obținute sub formă de calcule secvențiale specifice pe hârtie.

Vom începe cu cel mai simplu caz, așa-numita curba pură.

Există o curbă curată caz specialîncovoiere, în care forța transversală în secțiunile grinzii este zero. Îndoirea pură poate apărea numai atunci când greutatea proprie a grinzii este atât de mică încât influența sa poate fi neglijată. Pentru grinzi pe două suporturi, exemple de sarcini care provoacă pur

îndoire, prezentată în Fig. 88. În secțiuni ale acestor grinzi, unde Q = 0 și, prin urmare, M = const; are loc îndoirea pură.

Forțele din orice secțiune a fasciculului în timpul îndoirii pure sunt reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune trece prin axa grinzii, iar momentul este constant.

Tensiunile pot fi determinate pe baza următoarelor considerații.

1. Componentele tangențiale ale forțelor de-a lungul zonelor elementare din secțiunea transversală a unei grinzi nu pot fi reduse la o pereche de forțe al căror plan de acțiune este perpendicular pe planul de secțiune. Rezultă că forța de îndoire în secțiune este rezultatul acțiunii de-a lungul zonelor elementare

numai forțe normale și, prin urmare, la încovoiere pură, tensiunile sunt reduse doar la normal.

2. Pentru ca eforturile pe site-urile elementare să se reducă la doar câteva forțe, printre ele trebuie să existe atât pozitive, cât și negative. Prin urmare, atât fibrele de tensiune, cât și cele de compresie ale fasciculului trebuie să existe.

3. Datorită faptului că forțele în secțiuni diferite sunt aceleași, tensiunile în punctele corespunzătoare ale secțiunilor sunt aceleași.

Să luăm în considerare un element din apropierea suprafeței (Fig. 89, a). Deoarece nu sunt aplicate forțe de-a lungul marginii sale inferioare, care coincide cu suprafața grinzii, nu există solicitări asupra acesteia. Prin urmare, nu există solicitări pe marginea superioară a elementului, deoarece altfel elementul nu ar fi în echilibru Considerând elementul adiacent acestuia în înălțime (Fig. 89, b), ajungem la

Aceeași concluzie etc. Rezultă că nu există solicitări de-a lungul marginilor orizontale ale oricărui element. Având în vedere elementele care alcătuiesc stratul orizontal, începând cu elementul din apropierea suprafeței grinzii (Fig. 90), ajungem la concluzia că nu există solicitări de-a lungul marginilor verticale laterale ale vreunui element. Astfel, starea de solicitare a oricărui element (Fig. 91, a), iar la limită, fibrele, ar trebui reprezentată așa cum se arată în Fig. 91,b, adică poate fi fie tensiune axială, fie compresie axială.

4. Datorită simetriei aplicării forțelor exterioare, secțiunea de-a lungul mijlocului lungimii grinzii după deformare trebuie să rămână plată și normală față de axa grinzii (Fig. 92, a). Din același motiv, secțiunile în sferturi din lungimea grinzii rămân, de asemenea, plate și normale pe axa grinzii (Fig. 92, b), cu excepția cazului în care secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axa grinzii. grinda. O concluzie similară este valabilă pentru secțiuni în optimi din lungimea grinzii (Fig. 92, c), etc. În consecință, dacă în timpul îndoirii secțiunile exterioare ale grinzii rămân plate, atunci pentru orice secțiune rămâne

Este o afirmație corectă că după deformare rămâne plată și normală față de axa grinzii curbe. Dar, în acest caz, este evident că modificarea alungirii fibrelor fasciculului de-a lungul înălțimii sale ar trebui să aibă loc nu numai continuu, ci și monoton. Dacă numim un strat un set de fibre care au aceleași alungiri, atunci din cele spuse rezultă că fibrele întinse și comprimate ale grinzii ar trebui să fie situate pe părțile opuse ale stratului în care alungirile fibrelor sunt egale. la zero. Vom numi fibre ale căror alungiri sunt zero neutre; un strat format din fibre neutre este un strat neutru; linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale al fasciculului - linia neutră a acestei secțiuni. Apoi, pe baza raționamentului anterior, se poate argumenta că la îndoirea pură a unei grinzi, în fiecare secțiune există o linie neutră care împarte această secțiune în două părți (zone): o zonă de fibre întinse (zonă întinsă) și o zonă de fibre întinse. zona de fibre comprimate (zona comprimata). În consecință, în punctele zonei întinse a secțiunii ar trebui să acționeze tensiuni normale de întindere, în punctele zonei comprimate - tensiuni de compresiune, iar în punctele liniei neutre tensiunile sunt egale cu zero.

Astfel, cu îndoirea pură a unui fascicul cu secțiune transversală constantă:

1) doar tensiunile normale acţionează în secţiuni;

2) întreaga secțiune poate fi împărțită în două părți (zone) - întinsă și comprimată; limita zonelor este linia de secțiune neutră, în punctele căreia tensiunile normale sunt egale cu zero;

3) orice element longitudinal al grinzii (în limită, orice fibră) este supus unei tensiuni sau compresii axiale, astfel încât fibrele adiacente să nu interacționeze între ele;

4) dacă secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale cu axa, atunci toate secțiuni transversale rămân plane și normale față de axa fasciculului curbat.

Starea de efort a unei grinzi sub încovoiere pură

Să luăm în considerare un element al unui fascicul supus unei îndoiri pure, concluzionând situate între secțiunile m-m și n-n, care sunt distanțate una de alta la o distanță infinitezimală dx (Fig. 93). Datorită poziției (4) din paragraful anterior, secțiunile m- m și n - n, care erau paralele înainte de deformare, după îndoire, rămânând plate, vor forma un unghi dQ și se vor intersecta de-a lungul unei drepte care trece prin punctul C, care este centrul de curbură fibra neutră NN. Apoi partea AB a fibrei închise între ele, situată la o distanță z de fibra neutră (direcția pozitivă a axei z este luată spre convexitatea fasciculului în timpul îndoirii), se va transforma după deformare într-un arc AB bucată de fibră neutră O1O2, transformată într-un arc, O1O2 nu își va schimba lungimea, în timp ce fibra AB va primi o alungire:

înainte de deformare

după deformare

unde p este raza de curbură a fibrei neutre.

Prin urmare, prelungirea absolută a segmentului AB este egală cu

și alungirea relativă

Deoarece, conform poziției (3), fibra AB este supusă unei tensiuni axiale, atunci în timpul deformării elastice

Aceasta arată că solicitările normale de-a lungul înălțimii grinzii sunt distribuite conform unei legi liniare (Fig. 94). Deoarece forța egală a tuturor forțelor peste toate secțiunile elementare ale secțiunii trebuie să fie egală cu zero, atunci

de unde, înlocuind valoarea din (5.8), aflăm

Dar ultima integrală este un moment static în jurul axei Oy, perpendicular pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere.

Datorită egalității sale cu zero, această axă trebuie să treacă prin centrul de greutate O al secțiunii. Astfel, linia neutră a secțiunii grinzii este o dreaptă y, perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. Apoi din (5.8) rezultă că tensiunile în puncte situate la aceeași distanță de axa neutră sunt aceleași.

Cazul de încovoiere pură, în care forțele de încovoiere acționează doar într-un singur plan, provocând îndoirea doar în acel plan, este îndoirea pură plană. Dacă planul menționat trece prin axa Oz, atunci momentul forțelor elementare în raport cu această axă ar trebui să fie egal cu zero, adică.

Înlocuind aici valoarea lui σ din (5.8), găsim

Integrala din partea stângă a acestei egalități, după cum se știe, este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele y și z, deci

Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero se numesc axele principale de inerție ale acestei secțiuni. Dacă, în plus, trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci ele pot fi numite principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Astfel, la îndoirea plană pură, direcția planului de acțiune al forțelor de încovoiere și axa neutră a secțiunii sunt principalele axe centrale de inerție ale acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, pentru a obține o îndoire plată, pură a unei grinzi, nu i se poate aplica în mod arbitrar o sarcină: ea trebuie redusă la forțe care acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunilor grindă; în acest caz, cealaltă axă centrală principală de inerție va fi axa neutră a secțiunii.

După cum se știe, în cazul unei secțiuni care este simetrică față de orice axă, axa de simetrie este una dintre principalele sale axe centrale de inerție. În consecință, în acest caz particular vom obține cu siguranță îndoire pură prin aplicarea unor sarcini adecvate într-un plan care trece prin axa longitudinală a grinzii și axa de simetrie a secțiunii acesteia. O linie dreaptă perpendiculară pe axa de simetrie și care trece prin centrul de greutate al secțiunii este axa neutră a acestei secțiuni.

După ce s-a stabilit poziția axei neutre, nu este dificil să găsești magnitudinea tensiunii în orice punct al secțiunii. De fapt, deoarece suma momentelor forțelor elementare relativ la axa neutră yy trebuie să fie egală cu momentul încovoietor, atunci

de unde, înlocuind valoarea lui σ din (5.8), aflăm

Din moment ce integrala este. momentul de inerție al secțiunii față de axa yy, atunci

iar din expresia (5.8) obţinem

Produsul EI Y se numește rigiditatea la încovoiere a grinzii.

Cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune în valoare absolută acționează în punctele secțiunii pentru care valoarea absolută a lui z este cea mai mare, adică în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Cu notația, Fig. 95 avem

Valoarea Jy/h1 se numește momentul de rezistență a secțiunii la întindere și este desemnată Wyr; în mod similar, Jy/h2 se numește momentul de rezistență al secțiunii la compresiune

și indică Wyc, deci

şi prin urmare

Dacă axa neutră este axa de simetrie a secțiunii, atunci h1 = h2 = h/2 și, prin urmare, Wyp = Wyc, deci nu este nevoie să le distingem și folosesc aceeași notație:

denumind W y pur și simplu momentul de rezistență al secțiunii. În consecință, în cazul unei secțiuni simetrice față de axa neutră.

Toate concluziile de mai sus au fost obținute pe baza ipotezei că secțiunile transversale ale grinzii, atunci când sunt îndoite, rămân plate și normale față de axa acesteia (ipoteza secțiunilor plate). După cum sa arătat, această ipoteză este valabilă numai în cazul în care secțiunile extreme (capete) ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii. Pe de altă parte, din ipoteza secțiunilor plane rezultă că forțele elementare din astfel de secțiuni ar trebui distribuite conform unei legi liniare. Prin urmare, pentru validitatea teoriei rezultate a îndoirii pure plane, este necesar ca momentele încovoietoare de la capetele grinzii să fie aplicate sub formă de forțe elementare distribuite de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare (Fig. 96), care coincide cu legea distribuției tensiunilor de-a lungul înălțimii grinzilor de secțiune. Cu toate acestea, pe baza principiului Saint-Venant, se poate susține că schimbarea metodei de aplicare a momentelor încovoietoare la capetele grinzii va provoca doar deformații locale, a căror influență va afecta doar o anumită distanță de aceste capete (aproximativ egală). până la înălțimea secțiunii). Secțiunile situate pe restul lungimii grinzii vor rămâne plate. În consecință, teoria enunțată a îndoirii plate pure pentru orice metodă de aplicare a momentelor de încovoiere este valabilă numai în partea de mijloc a lungimii grinzii, situată de la capetele acesteia la distanțe aproximativ egale cu înălțimea secțiunii. De aici este clar că această teorie este în mod evident inaplicabilă dacă înălțimea secțiunii depășește jumătate din lungimea sau deschiderea grinzii.