Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri

Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza sarcina tipică și cea mai comună – cum se calculează aria folosind o integrală definită figură plată . În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu se știe niciodată. Va trebui să o aducem mai aproape în viață teren cabana de vara funcții elementare și găsiți-i aria folosind o integrală definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrală definită. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, cu atât mai mult problemă de actualitate vor fi cunoștințele și abilitățile tale în desen. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor principale functii elementareși, cel puțin, să poată construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (pentru mulți, este necesar) folosind material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea este familiarizată cu sarcina de a găsi zona folosind o integrală definită încă de la școală și nu vom merge mult mai departe de programa școlară. Acest articol poate să nu fi existat deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev suferă de o școală urâtă și stăpânește cu entuziasm un curs de matematică superioară.

Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbat.

Trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un interval care nu își schimbă semnul pe acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai jos axa x:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă Integrală definită. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. În primul rând și cel mai important moment soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.

Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi– parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct, tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi umbri trapezul curbat aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. ÎN în acest caz,„prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria figurii, limitat de linii, , și axa

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă este localizat un trapez curbat sub ax(sau cel putin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Dacă este posibil, este mai bine să nu utilizați această metodă..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:

Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe segment mai mare sau egal cu unele funcție continuă, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și liniile , , poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este caz special formule . Deoarece axa este specificată de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție

Exemplul 5

Exemplul 6

Aflați aria figurii delimitată de liniile , .

Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a dat peste cap umilul tău servitor de mai multe ori. Aici caz real din viata:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Mai întâi, să facem un desen:

...Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare a fi lizibil.

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea un „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită. verde!

Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Serios:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o altă sarcină semnificativă.

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct:

Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este făcut cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?

În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale unei drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:


,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,

Soluţie: Să reprezentăm această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și, scuze, nu am vrut să refac poza. Nu este o zi de desen, pe scurt, azi este ziua =)

Pentru construcția punct cu punct trebuie să știți aspect sinusoide (și în general util de știut grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

Exemplul 1 . Calculați aria figurii delimitată de liniile: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi figura) Construim o dreaptă x + 2y – 4 = 0 folosind două puncte A(4;0) și B(0;2). Exprimând y prin x, obținem y = -0,5x + 2. Folosind formula (1), unde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, găsim

S = = [-0,25=11,25 sq. unitati

Exemplul 2. Calculați aria figurii delimitată de liniile: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 și y = 0.

Soluţie. Să construim figura.

Să construim o dreaptă x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C - de o linie dreaptă

Pentru triunghiul AMN avem: ; y = 0,5x + 2, adică f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3. Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, trebuie să calculați aria unui trapez curbat mărginit de parabola y = x 2 , linii drepte x = 2 și x = 3 și axa Ox (vezi figura) Utilizând formula (1) găsim aria trapezului curbiliniu

= = 6 mp. unitati

Exemplul 4. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - x 2 + 4 și y = 0

Să construim figura. Aria necesară este cuprinsă între parabola y = - x 2 + 4 și axa Ox.

Să găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa Ox. Presupunând y = 0, găsim x = Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul obținut: = +4x]sq. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5. Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici trebuie să calculați aria unui trapez curbiliniu delimitat de ramura superioară a parabolei 2 = x, axa Ox și linii drepte x = 1 și x = 4 (vezi figura)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități pătrate.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Suprafața necesară este limitată de semi-undă a sinusoidei și de axa Ox (vezi figura).

Avem - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unitati

Exemplul 7. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - 6x, y = 0 și x = 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi figura).

Prin urmare, găsim aria sa folosind formula (3)

= =

Exemplul 8. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = și x = 2. Construiți curba y = din puncte (vezi figura). Astfel, găsim aria figurii folosind formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria cuprinsă de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc cu raza r cu centrul la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone luând limitele integrării de la 0

înainte; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10. Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y= x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y = x 2 iar dreapta y = 2x (vezi figura) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= graficul unei funcții y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou , De aceea:

Răspuns: S =9 unități mp

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax Oh?

b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbat complet situat sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior.

Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y=2x-x 2, y=-x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei si drept Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S =4,5 unități mp

Problema 1(despre calcularea ariei unui trapez curbat).

În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, este dată o cifră (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (un trapez curbat. Este necesar să se calculeze aria trapezului curbat.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.

Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.

Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a.

Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului, \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Daca miscarea ar fi uniforma, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, i.e. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului pe o perioadă de timp, vom desemna această valoare aproximativă s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Deci asta model matematic trebuie studiate special.

Conceptul de integrală definită

Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

În știință analiză matematică s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcţii continue (sau continuă pe bucăţi). Îl sună o anumită integrală a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și notată după cum urmează:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).

Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Aceasta este semnificația geometrică a unei integrale definite.

Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă după cum urmează:

formula Newton-Leibniz

Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?

Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); Aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivata lui v(t).

Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivata lui f(x).

Formula dată este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.

În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.

Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.

Proprietatea 1. Integrală a sumei funcțiilor egal cu suma integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită

Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbate, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [o; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, calculată prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$