Suprafața laterală a prismei. Buna ziua! În această publicație vom analiza un grup de probleme în stereometrie. Să luăm în considerare o combinație de corpuri - o prismă și un cilindru. În acest moment, acest articol completează întreaga serie de articole legate de luarea în considerare a tipurilor de sarcini în stereometrie.

Dacă apar altele noi în banca de activități, atunci, desigur, vor exista adăugări la blog în viitor. Dar ceea ce există deja este suficient pentru ca tu să înveți cum să rezolvi toate problemele cu un răspuns scurt ca parte a examenului. Va fi suficient material pentru anii următori (programul de matematică este static).

Sarcinile prezentate implică calcularea ariei unei prisme. Observ că mai jos considerăm o prismă dreaptă (și, în consecință, un cilindru drept).

Fără a cunoaște vreo formulă, înțelegem că suprafața laterală a unei prisme sunt toate fețele sale laterale. O prismă dreaptă are fețe laterale dreptunghiulare.

Aria suprafeței laterale a unei astfel de prisme este egală cu suma ariilor tuturor fețelor sale laterale (adică dreptunghiuri). Dacă vorbim despre o prismă regulată în care este înscris un cilindru, atunci este clar că toate fețele acestei prisme sunt dreptunghiuri EGALE.

Formal, suprafața laterală prismă corectă se poate reflecta astfel:

27064. O prismă patruunghiulară obișnuită este circumscrisă unui cilindru a cărui rază de bază și înălțime sunt egale cu 1. Aflați aria suprafeței laterale a prismei.

Suprafața laterală a acestei prisme este formată din patru dreptunghiuri de suprafață egală. Înălțimea feței este 1, marginea bazei prismei este 2 (acestea sunt două raze ale cilindrului), prin urmare aria feței laterale este egală cu:

Suprafața laterală:

73023. Aflați aria suprafeței laterale a regulatului prismă triunghiulară, descris în jurul unui cilindru a cărui rază de bază este √0,12 și înălțimea este 3.

Aria suprafeței laterale a unei prisme date este egală cu suma ariilor celor trei fețe laterale (dreptunghiuri). Pentru a găsi zona feței laterale, trebuie să cunoașteți înălțimea acesteia și lungimea marginii bazei. Înălțimea este de trei. Să găsim lungimea marginii bazei. Luați în considerare proiecția (vedere de sus):

Avem un triunghi regulat în care este înscris un cerc cu raza √0,12. Din triunghiul dreptunghic AOC putem găsi AC. Și apoi AD (AD=2AC). Prin definiția tangentei:

Aceasta înseamnă AD = 2AC = 1,2 Astfel, aria suprafeței laterale este egală cu:

27066. Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme hexagonale regulate circumscrise unui cilindru a cărui rază de bază este √75 și înălțimea este 1.

Suprafața necesară este egală cu suma ariilor tuturor fețelor laterale. O prismă hexagonală regulată are fețe laterale care sunt dreptunghiuri egale.

Pentru a găsi zona unei fețe, trebuie să cunoașteți înălțimea acesteia și lungimea marginii bazei. Înălțimea este cunoscută, este egală cu 1.

Să găsim lungimea marginii bazei. Luați în considerare proiecția (vedere de sus):

Avem un hexagon regulat în care este înscris un cerc cu raza √75.

Să luăm în considerare triunghi dreptunghic ABO. Cunoaștem piciorul OB (aceasta este raza cilindrului). De asemenea, putem determina unghiul AOB, acesta este egal cu 300 (triunghiul AOC este echilateral, OB este bisectoare).

Să folosim definiția tangentei într-un triunghi dreptunghic:

AC = 2AB, deoarece OB este mediana, adică împarte AC la jumătate, ceea ce înseamnă AC = 10.

Astfel, aria feței laterale este 1∙10=10, iar aria suprafeței laterale este:

76485. Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme triunghiulare regulate înscrise într-un cilindru a cărui rază de bază este 8√3 și înălțimea este 6.

Aria suprafeței laterale a prismei specificate a trei fețe de dimensiuni egale (dreptunghiuri). Pentru a găsi zona, trebuie să cunoașteți lungimea marginii bazei prismei (știm înălțimea). Dacă luăm în considerare proiecția (vedere de sus), avem un triunghi regulat înscris într-un cerc. Latura acestui triunghi se exprimă în termeni de rază ca:

Detalii despre această relație. Deci va fi egal

Atunci aria feței laterale este: 24∙6=144. Și zona necesară:

245354. O prismă pătrangulară obișnuită este circumscrisă unui cilindru a cărui rază de bază este 2. Aria suprafeței laterale a prismei este de 48. Aflați înălțimea cilindrului.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profilîn matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secretele examenului unificat de stat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

În geometria spațială, la rezolvarea problemelor cu prisme, problema apare adesea cu calcularea ariei laturilor sau fețelor care formează aceste figuri volumetrice. Acest articol este dedicat problemei determinării zonei bazei prismei și a suprafeței sale laterale.

Figura cu prismă

Înainte de a trece la considerarea formulelor pentru aria de bază și suprafața unei prisme de un tip sau altul, ar trebui să înțelegeți despre ce fel de figură vorbim.

O prismă în geometrie este o figură spațială constând din două poligoane paralele care sunt egale între ele și mai multe patrulatere sau paralelograme. Numărul acestuia din urmă este întotdeauna egal cu numărul de vârfuri ale unui poligon. De exemplu, dacă o figură este formată din două n-gonuri paralele, atunci numărul de paralelograme va fi n.

Paralelogramele care leagă n-gonurile se numesc laturile laterale ale prismei, iar aria lor totală este aria suprafeței laterale a figurii. N-gonurile în sine sunt numite baze.

Imaginea de mai sus prezintă un exemplu de prismă făcută din hârtie. Dreptunghiul galben este baza sa superioară. Figura se află pe o a doua bază similară. Dreptunghiurile roșii și verzi sunt fețele laterale.

Ce tipuri de prisme există?

Există mai multe tipuri de prisme. Toate diferă unele de altele doar prin doi parametri:

• tipul de n-gon care formează baza;
• unghiul dintre n-gon și fețele laterale.

De exemplu, dacă bazele sunt triunghiuri, atunci prisma se numește triunghiulară, dacă este patrulater, ca în figura anterioară, atunci figura se numește prismă patruunghiulară și așa mai departe. În plus, un n-gon poate fi convex sau concav, apoi această proprietate este adăugată și la numele prismei.

Unghiul dintre fețele laterale și bază poate fi drept, acut sau obtuz. În primul caz se vorbește de o prismă dreptunghiulară, în al doilea - de una înclinată sau oblică.

ÎN tip special Figurile se disting prin prisme regulate. Ele au cea mai mare simetrie între alte prisme. Va fi regulat numai dacă este dreptunghiular și baza sa este un n-gon regulat. Figura de mai jos prezintă un set de prisme regulate în care numărul de laturi ale unui n-gon variază de la trei la opt.

Suprafața prismei

Suprafața figurii de tip arbitrar luată în considerare este înțeleasă ca mulțimea tuturor punctelor care aparțin fețelor prismei. Este convenabil să studiezi suprafața unei prisme examinând dezvoltarea acesteia. Mai jos este un exemplu de astfel de dezvoltare pentru o prismă triunghiulară.

Se poate observa că întreaga suprafață este formată din două triunghiuri și trei dreptunghiuri.

În cazul unei prisme generale, suprafața acesteia va fi formată din două baze n-gonale și n patrulatere.

Să aruncăm o privire mai atentă la problema calculării suprafeței prismelor diferite tipuri.

Zona de bază a unei prisme regulate

Poate cea mai simplă problemă atunci când lucrați cu prisme este problema găsirii zonei de bază figura potrivită. Deoarece este format dintr-un n-gon în care toate unghiurile și lungimile laturilor sunt aceleași, poate fi întotdeauna împărțit în triunghiuri identice ale căror unghiuri și laturi sunt cunoscute. Aria totală a triunghiurilor va fi aria lui n-gon.

O altă modalitate de a determina porțiunea suprafeței unei prisme (bază) este utilizarea unei formule binecunoscute. Arata cam asa:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Adică, aria S n a unui n-gon este determinată în mod unic pe baza cunoașterii lungimii laturii sale a. O anumită dificultate la calcularea utilizând formula poate fi calculul cotangentei, mai ales când n>4 (pentru n≤4 valorile cotangentei sunt date tabelare). Pentru a determina acest lucru functie trigonometrica Se recomandă utilizarea unui calculator.

Când puneți o problemă geometrică, ar trebui să fiți atenți, deoarece poate fi necesar să găsiți zona bazei prismei. Apoi valoarea obținută din formulă trebuie înmulțită cu două.

Zona de bază a unei prisme triunghiulare

Folosind exemplul unei prisme triunghiulare, să vedem cum puteți găsi aria bazei acestei figuri.

Să luăm mai întâi în considerare un caz simplu - o prismă obișnuită. Aria bazei este calculată folosind formula dată în paragraful de mai sus, trebuie să înlocuiți n=3; Primim:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Rămâne să înlocuiți valorile specifice ale lungimii laturii a a triunghiului echilateral în expresie pentru a obține aria unei baze.

Să presupunem acum că există o prismă a cărei bază este un triunghi arbitrar. Cele două laturi ale sale a și b și unghiul dintre ele α sunt cunoscute. Această cifră este prezentată mai jos.

Cum să găsiți în acest caz aria bazei unei prisme triunghiulare? Trebuie amintit că aria oricărui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii și înălțimea coborâtă în această latură. În figură, înălțimea h este trasă în partea b. Lungimea h corespunde produsului dintre sinusul unghiului alfa și lungimea laturii a. Atunci aria întregului triunghi este:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Aceasta este aria de bază a prismei triunghiulare prezentate.

Suprafata laterala

Ne-am uitat la cum să găsim aria bazei unei prisme. Suprafața laterală a acestei figuri este întotdeauna formată din paralelograme. Pentru prismele drepte, paralelogramele devin dreptunghiuri, astfel încât aria lor totală este ușor de calculat:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Aici b este lungimea muchiei laterale, a i este lungimea laturii dreptunghiului i, care coincide cu lungimea laturii n-gonului. În cazul unei prisme n-gonale regulate, obținem o expresie simplă:

Dacă prisma este înclinată, atunci pentru a determina aria suprafeței sale laterale, trebuie să faceți o tăietură perpendiculară, să calculați perimetrul P sr și să-l înmulțiți cu lungimea marginii laterale.

Imaginea de mai sus arată cum trebuie făcută această tăietură pentru o prismă pentagonală înclinată.

Diferitele prisme sunt diferite unele de altele. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi zona bazei prismei, va trebui să înțelegeți ce tip are.

Teoria generala

O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, baza sa poate fi orice poliedru - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale este faptul că acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate necesita cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori problemele implică înălțimea. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria de bază a unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre pe fețele de sus și de jos, atunci zonele lor vor fi egale.

Prismă triunghiulară

Are la baza o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, poate fi diferit. Dacă da, este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notația matematică arată astfel: S = ½ av.

Pentru a afla zona bazei în vedere generală, vor fi de folos formulele: Stârc și cel în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.

Prima formulă trebuie scrisă după cum urmează: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Această notație conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.

Al doilea: S = ½ n a * a.

Dacă doriți să aflați aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Există o formulă pentru aceasta: S = ¼ a 2 * √3.

Prismă patruunghiulară

Baza sa este oricare dintre patrulaturile cunoscute. Poate fi dreptunghi sau pătrat, paralelipiped sau romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = ab, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.

Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la temelie. S = a 2.

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n a. Se întâmplă să fie date latura unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: n a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea n este opusă acestui unghi.

Dacă la baza prismei există un romb, atunci pentru a-i determina aria veți avea nevoie de aceeași formulă ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar poți folosi și asta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.

Prismă pentagonală regulată

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să aibă un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.

Prismă hexagonală regulată

Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibil să se împartă hexagonul bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria de bază a unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai că ar trebui înmulțit cu șase.

Formula va arăta astfel: S = 3/2 a 2 * √3.

Sarcini

Nr. 1. Având în vedere o linie dreaptă regulată, diagonala acesteia este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.

Soluţie. Baza prismei este un pătrat, dar latura sa este necunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (h). x 2 = d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 = a 2 + a 2. Astfel, rezultă că a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați aria bazei: 12 * 12 = 144 cm 2.

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori suprafața de bază și să multiplicați de patru ori zona laterală. Acesta din urmă poate fi găsit cu ușurință folosind formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei se dovedește a fi de 960 cm 2.

Răspuns. Aria bazei prismei este de 144 cm 2. Toata suprafata este de 960 cm2.

Nr. 2. Având în vedere La bază există un triunghi cu latura de 6 cm În acest caz, diagonala feței laterale este de 10 cm. Calculați ariile: baza și suprafața laterală.

Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat, înmulțit cu ¼ și cu rădăcina pătrată a lui 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm. Pentru a calcula suprafețele lor, trebuie doar să înmulțiți aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale a rănii se dovedește a fi de 180 cm 2.

Răspuns. Zone: baza - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.

Definiţie.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale

Coastă laterală- este latura comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei- acesta este un segment perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt indicate prin literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețe laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare fiind dreptunghi
• Suprafața laterală - suma suprafețelor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Costuri laterale AA 1, BB 1, CC 1 și DD 1.
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secțiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2.

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Fețele laterale sunt dreptunghiuri
• Marginile laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• Unghiuri de secțiune perpendiculară - drepte
• Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prismă patruunghiulară regulată" înseamnă că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află un poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică, o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patrulatere regulate) Nota. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (secțiunea stereometrie - prismă). Iată probleme care sunt greu de rezolvat. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. Pentru a indica acțiunea de recuperare rădăcină pătrată simbolul este folosit în rezolvarea problemelor√ .

Sarcină.

Într-o prismă pătrangulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm Aflați diagonala prismei și aria totală a suprafeței.

Soluţie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală

√144 = 12 cm.
De unde diagonala bazei unei prisme dreptunghiulare regulate va fi egală cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonala unei prisme regulate formează un triunghi dreptunghic cu diagonala bazei și înălțimea prismei. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătrangulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Determinați suprafața totală a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței sale laterale este de 4 cm.

Soluţie.
Deoarece baza unei prisme pătraunghiulare obișnuite este un pătrat, găsim latura bazei (notată cu a) folosind teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.