Proprietățile înmulțirii fracțiilor. Înmulțirea fracțiilor simple și mixte cu numitori diferiți
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ...discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor... au fost implicate în studiul problemei; analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Pentru următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va mai alerga o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea broaștei țestoase.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct momente diferite timp, dar distanța nu poate fi determinată de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă posibilități diferite pentru cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Aplicabil teorie matematică seturi către matematicienii înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru se poate aplica și altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: pe diferite monede există cantități diferite murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...
Și acum am cel mai mult intrebare interesanta: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. CU un număr mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, să ne uităm la numărul 26 din articolul despre . Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.
Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleaşi acţiuni cu unităţi de măsură diferite ale aceleiaşi mărimi conduc la rezultate diferite după ce le comparăm, înseamnă că nu are nicio legătură cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
-Tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.
Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.
Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Ca o reamintire, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Adică:
De exemplu:
Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu e nevoie de el aici...
Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să inversați doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:
De exemplu:
Dacă întâlniți înmulțiri sau împărțiri cu numere întregi și fracții, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu unul la numitor - și mergeți mai departe! De exemplu:
În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:
Cum pot face ca această fracție să arate decent? Da, foarte simplu! Folosiți împărțirea în două puncte:
Dar nu uitați de ordinea împărțirii! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar este ușor să faci o greșeală într-o fracțiune de trei etaje. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:
În primul caz (expresie din stânga):
În a doua (expresie din dreapta):
Simți diferența? 4 și 1/9!
Ce determină ordinea împărțirii? Fie cu paranteze, fie (ca aici) cu lungimea liniilor orizontale. Dezvoltați-vă ochiul. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:
apoi împărțiți și înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!
Și o altă tehnică foarte simplă și importantă. În acțiuni cu grade, îți va fi atât de util! Să împărțim unul la orice fracție, de exemplu, la 13/15:
Lovitura s-a răsturnat! Și asta se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar invers.
Asta e pentru operațiuni cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Vă rugăm să rețineți sfaturi practice, și vor fi mai puține dintre ele (erori)!
Sfaturi practice:
1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie urgentă! Efectuați toate calculele pentru examenul de stat unificat ca o sarcină cu drepturi depline, concentrată și clară. Este mai bine să scrieți două rânduri suplimentare într-o ciornă decât să dați greșelii atunci când faceți calcule mentale.
2. În exemplele cu diferite tipuri fracții - mergeți la fracții obișnuite.
3. Reducem toate fracțiile până se opresc.
4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).
5. Împărțiți o unitate la o fracție în cap, pur și simplu răsturnând fracția.
Iată sarcinile pe care cu siguranță trebuie să le rezolvați. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Estimați câte exemple ați reușit să rezolvați corect. Chiar prima dată! Fara calculator! Și trageți concluziile corecte...
Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (mai ales a treia) oară nu contează! Așa este viața aspră.
Aşa, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la prima până la sfârșit. Și numai Apoi uita-te la raspunsuri.
Calcula:
Te-ai hotarat?
Căutăm răspunsuri care se potrivesc cu ale dumneavoastră. Le-am notat voit în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, scrise cu punct și virgulă.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Acum tragem concluzii. Daca totul a iesit, ma bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...
Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar... Asta rezolvabil probleme.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
§ 87. Adunarea fracţiilor.
Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile unităților termenilor.
Vom lua în considerare trei cazuri secvenţial:
1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiti.
3. Adunarea numerelor mixte.
1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.
Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.
Să luăm segmentul AB (Fig. 17), să îl luăm ca unul și să îl împărțim în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și o parte a aceluiași segment CD va fi egală cu 2/5 AB.
Din desen este clar că dacă luăm segmentul AD, acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci putem scrie:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.
De aici ajungem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.
Să ne uităm la un exemplu:
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
Să adunăm fracțiile: 3 / 4 + 3 / 8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:
Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu a putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.
Astfel, pentru a adăuga fracții cu diferiți numitori, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să etichetați numitorul comun.
Să luăm în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari deasupra fracțiilor corespunzătoare):
3. Adunarea numerelor mixte.
Să adunăm numerele: 2 3/8 + 3 5/6.
Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:
Acum adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:
§ 88. Scăderea fracțiilor.
Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune cu ajutorul căreia, având în vedere suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri succesive:
1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.
1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
Să ne uităm la un exemplu:
13 / 15 - 4 / 15
Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va reprezenta 1/15 din AB, iar o parte AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED egal cu 4/15 AB.
Trebuie să scădem fracția 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:
Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, dar numitorul a rămas același.
Prin urmare, pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
Exemplu. 3/4 - 5/8
Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:
Linkul intermediar 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis de acum înainte.
Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le reducă la cel mai mic numitor comun, apoi să scazi numărătorul minuendului de la numărătorul minuendului și să semnezi numitorul comun sub diferența lor.
Să ne uităm la un exemplu:
3. Scăderea numerelor mixte.
Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.
Să reducem părțile fracționale ale minuendului și subtraendului la cel mai mic numitor comun:
Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:
§ 89. Înmulțirea fracțiilor.
Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:
1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.
1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. A înmulți o fracție (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a crea o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.
Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci se poate face astfel:
Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,
Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întregul număr. Și întrucât creșterea unei fracții se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia
sau prin reducerea numitorului acestuia 
, atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.
De aici obținem regula:
Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.
La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste probleme și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme și apoi vom introduce o metodă de rezolvare a acestora.
Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru a cumpăra cărți. Cât au costat cărțile?
Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă o distanță între orașele A și B egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri este asta?
Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul din lemn. Câte case din cărămidă sunt în total?
Acestea sunt câteva dintre numeroasele probleme care implică găsirea unei părți dintr-un anumit număr pe care le întâlnim. Ele sunt de obicei numite probleme pentru a găsi fracția dintr-un număr dat.
Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Aceasta înseamnă că pentru a găsi costul cărților trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:
Rezolvarea problemei 2. Ideea problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm mai întâi 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:
300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).
Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:
100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).
Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă care alcătuiesc 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,
400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).
Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:
100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).
Pe baza soluției la aceste probleme, putem deriva următoarea regulă:
Pentru a afla valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). În acest paragraf (punctul 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.
În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.
Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, înmulțirea: 9 2 / 3. Este clar că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.
Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.
Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicand) cu o fracție (multiplicand) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicandului.
Și anume, înmulțirea lui 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.
Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce sunt așa diverse actiuni cum să găsești suma numere egaleși găsirea fracțiilor de numere, în aritmetică sunt numite același cuvânt „înmulțire”?
Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea numărului cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracției din număr) dau răspunsuri la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau sarcini omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.
Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?
Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).
Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca o fracție: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?”
Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).
Puteți schimba numerele din el de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.
Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.
Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?
Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:
Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Să găsim mai întâi 1/4 din 50 și apoi 3/4.
1/4 din 50 este 50/4;
3/4 din numărul 50 este .
Prin urmare.
Să luăm în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 =?
1/8 din numărul 12 este 12/8,
5/8 din numărul 12 este .
Prin urmare,
De aici obținem regula:
Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.
Să scriem această regulă folosind litere:
Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să se compare regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38
Este important să rețineți că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, De exemplu:
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulțiți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția care se află în factorul din prima fracție (multiplicand).
Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Să luăm un exemplu: 3/4 înmulțit cu 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Să găsim mai întâi 1/7 din 3/4 și apoi 5/7
1/7 din numărul 3/4 va fi exprimat astfel:
5/7 numere 3/4 vor fi exprimate astfel:
Astfel,
Un alt exemplu: 5/8 înmulțit cu 4/9.
1/9 din 5/8 este ,
4/9 din numărul 5/8 este .
Astfel, 
Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:
Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea produs numitorul produsului.
Aceasta este regula în vedere generală se poate scrie asa:
La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să ne uităm la exemple:
5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că în cazurile în care multiplicantul, sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați numere mixte, apoi sunt înlocuite cu fracții improprii. Să înmulțim, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi să înmulțim fracțiile rezultate conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție:
Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor cu fracții.
Nota. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:
6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere că multe cantități nu permit nicio subdiviziune, ci diviziuni care le sunt firești. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau o bucată de zece copeici. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu o iau, de exemplu, 2/7 dintr-o rublă pentru că rubla nu este împărțită în șapte.
Unitatea de greutate, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu 1/10 kg sau 100 g, iar fracțiile de kilogram precum 1/6, 1/11, 1/13 nu sunt comune.
În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.
Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de diviziune bine justificată este „a suta” diviziune. Să luăm în considerare câteva exemple referitoare la cele mai diverse domenii ale practicii umane.
1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.
Exemplu. Prețul anterior al cărții era de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici
2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma depusă pentru economii în cursul anului.
Exemplu. În casa de marcat sunt depuse 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.
3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.
EXEMPLU La școală erau doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit.
A sutimea parte a unui număr se numește procent.
Cuvântul „procent” este împrumutat de la limba latină iar rădăcina sa „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul unei astfel de expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea creditorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (să spunem centimetru).
De exemplu, în loc să spunem că în ultima lună fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea a fost defecte, vom spune așa: în ultima lună, fabrica a produs un procent din defecte. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.
Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:
1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.
2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma depusă în economii.
3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii școlii.
Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul % în loc de cuvântul „procent”.
Cu toate acestea, trebuie să rețineți că în calcule semnul % nu este scris de obicei în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu acest simbol.
Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:
Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu simbolul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:
7. Aflarea procentului unui număr dat.
Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de foc de mesteacăn era acolo?
Sensul acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn constituia doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată în fracția 30/100. Aceasta înseamnă că avem sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției unui număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu fracția.).
Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.
Fracția 30/100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se facă această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.
Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?
În această problemă trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și în final de 13 ani.
Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Să facem asta:
1) Câți copii de 11 ani au fost?
2) Câți copii de 12 ani au fost?
3) Câți copii de 13 ani au fost?
După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:
63 + 183 + 54 = 300
De asemenea, trebuie remarcat faptul că suma procentelor date în enunțul problemei este 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Acest lucru sugerează că număr total copiii din tabără au fost luați ca 100%.
3 a d a h a 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Din acestea, a cheltuit 65% pe alimente, 6% pe apartamente și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a făcut economii. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?
Pentru a rezolva această problemă trebuie să găsiți fracția de 1.200 de 5 ori.
1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigurile totale, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:
2) Câți bani ați plătit pentru un apartament cu încălzire? Raționând similar celui precedent, ajungem la următorul calcul:
3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?
4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?
5) Câți bani a economisit muncitorul?
Pentru a verifica, este util să adunăm numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea numerelor procentuale indicate în declarația problemei.
Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.
§ 90. Împărțirea fracțiilor.
Pe măsură ce studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:
1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.
Să le luăm în considerare secvenţial.
1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
După cum s-a indicat în departamentul numerelor întregi, împărțirea este acțiunea care constă în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.
Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg la un număr întreg în secțiunea despre numere întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 rest). Putem spune deci că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu întregul. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).
De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă găsirea unui număr al cărui produs cu 12 ar fi egal cu 7. Un astfel de număr este fracția 7 / 12 deoarece 7 / 12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14 / 25, deoarece 14 / 25 25 = 14.
Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să creați o fracție al cărei numărător este egal cu dividendul și numitorul este egal cu divizorul.
2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg.
Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un al doilea factor care, înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.
Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:
ÎN în acest caz, Numătorul lui 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie să fie înjumătățit.
Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:
Pe baza acesteia, se poate face o regulă: Pentru a împărți o fracție la un număr întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg.(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.
3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
Să fie necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție proprie. , iar la înmulțirea unui număr produsul unei fracții adecvate trebuie să fie mai mic decât produsul înmulțit. Pentru a face acest lucru mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , ceea ce înseamnă x 1 / 2 = 5.
Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă a găsi 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 data necunoscuta X este egal cu 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.
Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Să verificăm: 
Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că doriți să împărțiți 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).
Fig.19
Să desenăm un segment AB egal cu 6 unități și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Folosind paranteze mici, conectăm cele 18 segmente rezultate din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,
Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind numai calcule? Să raționăm astfel: trebuie să împărțim 6 la 2/3, adică trebuie să răspundem la întrebarea de câte ori 2/3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este conținut în 6? Într-o unitate întreagă sunt 3 treimi, iar în 6 unități sunt de 6 ori mai multe, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, la împărțirea 6 la 2/3 am făcut următoarele:
De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.
Să scriem regula folosind litere:
Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparăm regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Vă rugăm să rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.
La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:
4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
Să presupunem că trebuie să împărțim 3/4 la 3/8. Ce va însemna numărul rezultat din împărțire? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).
Să luăm un segment AB, să-l luăm ca unul, să-l împărțim în 4 părți egale și să marchem 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente originale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că un segment egal cu 3/8 este cuprins într-un segment egal cu 3/4 exact de 2 ori; Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 15/16 la 3/32:
Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 număr necunoscut X sunt 15/16
1/32 dintr-un număr necunoscut X este,
32 / 32 de numere X inventa .
Prin urmare,
Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul.
Să scriem regula folosind litere:
La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:
5. Împărțirea numerelor mixte.
La împărțirea numerelor mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, iar apoi fracțiile rezultate trebuie împărțite conform regulilor de împărțire a fracțiilor. Să ne uităm la un exemplu:
Să transformăm numerele mixte în fracții improprii:
Acum să împărțim:
Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți folosind regula de împărțire a fracțiilor.
6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
Printre diversele probleme cu fracțiile, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și trebuie să găsiți acest număr. Acest tip de problemă va fi inversul problemei de a găsi fracția dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracțiune din acest număr, aici a fost dat o fracțiune dintr-un număr și a fost necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.
Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?
Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.
Casa avea 150 de ferestre.
Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, adică 3/8 din stocul total de făină pe care îl avea magazinul. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?
Soluţie. Din condițiile problemei reiese clar că 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din această rezervă va fi de 3 ori mai mică, adică pentru a o calcula trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:
1.500: 3 = 500 (aceasta este 1/8 din rezervă).
Evident, întreaga aprovizionare va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,
500 8 = 4.000 (kg).
Stocul inițial de făină din magazin a fost de 4.000 kg.
Luând în considerare această problemă, se poate deduce următoarea regulă.
Pentru a găsi un număr dintr-o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.
Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede în mod deosebit din ultima, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).
Totuși, după ce am învățat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate cu o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.
De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:
În viitor, vom rezolva problemele de a găsi un număr din fracția sa cu o singură acțiune - împărțire.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.
În aceste probleme, va trebui să găsiți un număr cunoscând câteva procente din acel număr.
Sarcina 1. La începutul acestui an am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Câți bani am băgat în banca de economii? (Casierele oferă deponenților o rentabilitate de 2% pe an.)
Sensul problemei este că am băgat o anumită sumă de bani într-o casă de economii și am stat acolo un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am depus. Câți bani am băgat?
În consecință, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele probleme sunt rezolvate prin diviziune:
Aceasta înseamnă că 3.000 de ruble au fost depuse la banca de economii.
Sarcina 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, recoltând 512 tone de pește. Care era planul lor?
Din condițiile problemei se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.
Astfel de probleme sunt rezolvate prin diviziune:
Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.
Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri a întrebat un conductor care trecea cât de mult au parcurs deja călătoria. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?
Din condițiile de problemă este clar că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:
§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.
Să luăm fracția 2/3 și să înlocuim numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.
Pentru a obține inversul unei fracții date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:
3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5
Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua, iar numitorul primei este numărătorul celei de-a doua, se numesc reciproc invers.
Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând fracția inversă a celei date, am obținut un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu un numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:
1/3, invers 3; 1/5, reversul 5
Întrucât în găsirea fracțiilor reciproce am întâlnit și numere întregi, în cele ce urmează vom vorbi nu despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce.
Să ne dăm seama cum să scriem inversul unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține inversul unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Aceasta înseamnă că inversul lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10 inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1
Această idee poate fi exprimată diferit: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unu la un număr dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. De fapt, dacă trebuie să scriem inversul fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.
Acum să subliniem un lucru proprietate numere reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproce este egal cu unu. De fapt:
Folosind această proprietate, putem găsi numere reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsim inversul lui 8.
Să o notăm prin literă X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1/8. Să găsim un alt număr care este inversul lui 7/12 și să îl notăm cu literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1: 7 / 12 sau X = 12 / 7 .
Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.
Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:
Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .
Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri se întâmplă același lucru. Prin urmare putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu inversul divizorului.
Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.
În acest articol ne vom uita înmulțirea numerelor mixte. În primul rând, vom schița regula pentru înmulțirea numerelor mixte și vom lua în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple. În continuare vom vorbi despre înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural. În cele din urmă, vom învăța cum să înmulțim un număr mixt și fracție comună.
Navigare în pagină.
Înmulțirea numerelor mixte.
Înmulțirea numerelor mixte poate fi redusă la înmulțirea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, este suficient să convertiți numerele mixte în fracții improprii.
Să-l notăm regula de multiplicare a numerelor mixte:
- În primul rând, numerele mixte care sunt înmulțite trebuie înlocuite cu fracții improprii;
- În al doilea rând, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor cu fracții.
Să ne uităm la exemple de aplicare a acestei reguli atunci când înmulțim un număr mixt cu un număr mixt.
Efectuați înmulțirea numerelor mixte și .
Mai întâi, să reprezentăm numerele mixte înmulțite ca fracții improprii: 
Şi 
. Acum putem înlocui înmulțirea numerelor mixte cu înmulțirea fracțiilor ordinare: 
. Aplicând regula de înmulțire a fracțiilor, obținem 
. Fracția rezultată este ireductibilă (vezi fracții reductibile și ireductibile), dar este improprie (vezi fracții proprii și improprie), prin urmare, pentru a obține răspunsul final, rămâne să izolăm întreaga parte de fracția improprie: .
Să scriem întreaga soluție într-o singură linie: .
.
Pentru a consolida abilitățile de înmulțire a numerelor mixte, luați în considerare rezolvarea unui alt exemplu.
Efectuați înmulțirea.
Numerele amuzante și sunt egale cu fracțiile 13/5 și, respectiv, 10/9. Apoi 
. În această etapă, este timpul să vă amintiți despre reducerea unei fracții: înlocuiți toate numerele din fracție cu descompunerea lor în factori primi și efectuați o reducere a factorilor identici.
Înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural
După înlocuirea unui număr mixt cu o fracție improprie, înmulțind un număr mixt și un număr natural duce la înmulțirea unei fracții obișnuite și a unui număr natural.
Înmulțiți un număr mixt și numărul natural 45.
Atunci un număr mixt este egal cu o fracție 
. Să înlocuim numerele din fracția rezultată cu descompunerea lor în factori primi, să efectuăm o reducere și apoi să selectăm întreaga parte: .
.
Înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural se realizează uneori în mod convenabil folosind proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare. În acest caz, produsul dintre un număr mixt și un număr natural este egal cu suma produselor părții întregi cu numărul natural dat și ale părții fracționale cu numărul natural dat, adică 
.
Calculați produsul.
Să înlocuim numărul mixt cu suma părților întregi și fracționale, după care aplicăm proprietatea distributivă a înmulțirii: .
Înmulțirea numerelor și fracțiilor mixte Cel mai convenabil este să o reduceți la înmulțirea fracțiilor obișnuite prin reprezentarea numărului mixt înmulțit ca o fracție improprie.
Înmulțiți numărul mixt cu fracția comună 4/15.
Înlocuind numărul mixt cu o fracție, obținem 
.
www.cleverstudents.ru
Înmulțirea fracțiilor
§ 140. Definiţii. 1) Înmulțirea unei fracții cu un întreg este definită în același mod ca și înmulțirea numerelor întregi și anume: a înmulți un număr (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a alcătui o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.
Deci, înmulțirea cu 5 înseamnă găsirea sumei:
2) Înmulțirea unui număr (multiplicand) cu o fracție (factor) înseamnă găsirea acestei fracții a multiplicandului.
Astfel, acum vom numi găsirea unei fracții dintr-un număr dat, pe care am considerat-o mai înainte, înmulțire cu o fracție.
3) A înmulți un număr (multiplicand) cu un număr mixt (factor) înseamnă a înmulți mai întâi multiplicantul cu numărul întreg al multiplicatorului, apoi cu fracția multiplicatorului și adunăm rezultatele acestor două înmulțiri.
De exemplu:
Se numește numărul obținut după înmulțire în toate aceste cazuri lucru, adică la fel ca la înmulțirea numerelor întregi.
Din aceste definiții este clar că înmulțirea numerelor fracționale este o acțiune care este întotdeauna posibilă și întotdeauna lipsită de ambiguitate.
§ 141. oportunitatea acestor definiţii. Pentru a înțelege oportunitatea introducerii ultimelor două definiții ale înmulțirii în aritmetică, să luăm următoarea problemă:
Sarcină. Un tren, care se deplasează uniform, parcurge 40 km pe oră; cum să aflați câți kilometri va parcurge acest tren într-un anumit număr de ore?
Dacă am rămâne cu acea singură definiție a înmulțirii, care este indicată în aritmetica întregi (adunarea termenilor egali), atunci problema noastră ar avea trei diverse solutii, si anume:
Dacă numărul de ore dat este un întreg (de exemplu, 5 ore), atunci pentru a rezolva problema trebuie să înmulțiți 40 km cu acest număr de ore.
Dacă un anumit număr de ore este exprimat ca o fracție (de exemplu, o oră), atunci va trebui să găsiți valoarea acestei fracții de la 40 km.
În cele din urmă, dacă numărul dat de ore este amestecat (de exemplu, ore), atunci 40 km vor trebui înmulțiți cu numărul întreg conținut în numărul mixt, iar la rezultat adăugați o altă fracțiune de 40 km, care se află în amestecul. număr.
Definițiile pe care le-am dat ne permit să dăm un răspuns general tuturor acestor cazuri posibile:
trebuie să înmulți 40 km cu un anumit număr de ore, oricare ar fi acesta.
Astfel, dacă problema este prezentată în formă generală, după cum urmează:
Un tren, care se deplasează uniform, parcurge v km într-o oră. Câți kilometri va parcurge trenul în t ore?
atunci, indiferent care sunt numerele v și t, putem da un singur răspuns: numărul dorit este exprimat prin formula v · t.
Nota. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat, după definiția noastră, înseamnă același lucru cu înmulțirea unui număr dat cu această fracție; prin urmare, de exemplu, găsirea a 5% (adică cinci sutimi) dintr-un număr dat înseamnă același lucru cu înmulțirea unui număr dat cu sau cu ; a găsi 125% dintr-un număr dat înseamnă același lucru cu înmulțirea acestui număr cu sau cu etc.
§ 142. O notă despre când un număr crește și când scade din înmulțire.
Înmulțirea cu o fracție proprie scade numărul, iar înmulțirea cu o fracție improprie mărește numărul dacă această fracție improprie este mai mare decât unu și rămâne neschimbată dacă este egală cu unu.
Comentariu. La înmulțirea numerelor fracționale, precum și a numerelor întregi, produsul este luat egal cu zero dacă oricare dintre factori este egal cu zero, deci .
§ 143. Derivarea regulilor de multiplicare.
1) Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg. Să fie înmulțită o fracție cu 5. Aceasta înseamnă mărită de 5 ori. Pentru a crește o fracție de 5 ori, este suficient să-i creșteți numărătorul sau să-i micșorați numitorul de 5 ori (§ 127).
De aceea:
Regula 1. Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg, dar lăsați numitorul același; în schimb, puteți împărți și numitorul fracției la întregul dat (dacă este posibil) și lăsați numărătorul același.
Comentariu. Produsul unei fracții și numitorul ei este egal cu numărătorul ei.
Aşa:
Regula 2. Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.
Regula 3. Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul produsului.
Comentariu. Această regulă poate fi aplicată și la înmulțirea unei fracții cu un întreg și a unui număr întreg cu o fracție, doar dacă considerăm întregul ca o fracție cu numitor de unu. Aşa:
Astfel, cele trei reguli prezentate acum sunt cuprinse într-una, care în general poate fi exprimată astfel:
4) Înmulțirea numerelor mixte.
Regula a 4-a. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulilor de înmulțire a fracțiilor. De exemplu:
§ 144. Reducerea în timpul înmulţirii. La înmulțirea fracțiilor, dacă este posibil, este necesar să se facă o reducere preliminară, așa cum se poate observa din următoarele exemple:
O astfel de reducere se poate face deoarece valoarea unei fracții nu se va modifica dacă numărătorul și numitorul ei sunt reduse de același număr de ori.
§ 145. Schimbarea unui produs cu factori schimbatori. Când factorii se modifică, produsul numerelor fracționale se va modifica exact în același mod ca produsul numerelor întregi (§ 53), și anume: dacă creșteți (sau micșorați) orice factor de mai multe ori, atunci produsul va crește (sau scade) cu aceeasi suma.
Deci, dacă în exemplu:
pentru a înmulți mai multe fracții, trebuie să înmulțiți numărătorii lor între ei și numitorii între ei și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul produsului.
Comentariu. Această regulă poate fi aplicată și la astfel de produse în care unii dintre factorii numărului sunt întregi sau amestecați, doar dacă considerăm întregul ca o fracție cu numitor de unu și transformăm numerele mixte în fracții improprii. De exemplu:
§ 147. Proprietăţile de bază ale înmulţirii. Acele proprietăți de înmulțire pe care le-am indicat pentru numerele întregi (§ 56, 57, 59) se aplică și înmulțirii numerelor fracționale. Să indicăm aceste proprietăți.
1) Produsul nu se modifică atunci când factorii sunt modificați.
De exemplu:
Într-adevăr, conform regulii paragrafului anterior, primul produs este egal cu fracția, iar al doilea este egal cu fracția. Dar aceste fracții sunt aceleași, deoarece termenii lor diferă doar în ordinea factorilor întregi, iar produsul numerelor întregi nu se schimbă atunci când se schimbă locurile factorilor.
2) Produsul nu se va schimba dacă orice grup de factori este înlocuit cu produsul lor.
De exemplu:
Rezultatele sunt aceleași.
Din această proprietate a înmulțirii se poate trage următoarea concluzie:
pentru a înmulți un număr cu un produs, puteți înmulți acest număr cu primul factor, înmulțiți numărul rezultat cu al doilea etc.
De exemplu:
3) Legea distributivă a înmulțirii (față de adunare). Pentru a înmulți o sumă cu un număr, puteți înmulți fiecare termen separat cu acel număr și puteți adăuga rezultatele.
Această lege a fost explicată de noi (§ 59) ca fiind aplicată numerelor întregi. Rămâne adevărat fără nicio modificare pentru numerele fracționale.
Să arătăm, de fapt, că egalitatea
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea) rămâne adevărată chiar și atunci când literele înseamnă numere fracționare. Să luăm în considerare trei cazuri.
1) Să presupunem mai întâi că factorul m este un număr întreg, de exemplu m = 3 (a, b, c – orice numere). Conform definiției înmulțirii cu un număr întreg, putem scrie (limitându-ne la trei termeni pentru simplitate):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Pe baza legii asociative a adunării, putem omite toate parantezele din partea dreaptă; Aplicând legea comutativă a adunării și apoi din nou legea asociativă, putem evident rescrie partea dreaptă Aşa:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Aceasta înseamnă că legea distributivă este confirmată în acest caz.
Înmulțirea și împărțirea fracțiilor
Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. Mai întâi, să ne uităm la cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea o fracție reductibilă (și adesea apare) - ea, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracția se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.
Prin definiție avem:
Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative
Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:
- Plus cu minus dă minus;
- Două negative fac o afirmație.
Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
- Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, rețineți numere negative: La înmulțire, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Prin definiție avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu reducere totală Nu a fost posibil să se realizeze acest lucru, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.
Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:
Nu poți face asta!
Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună numărătorul unei fracții, apare suma și nu produsul numerelor. În consecință, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.
Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, deci decizia corectă sarcina anterioară arată astfel:
După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
Înmulțirea fracțiilor.
Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să știi reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.
Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție.
Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.
Să ne uităm la un exemplu:
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și, de asemenea, înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.
Înmulțirea unei fracții cu un număr.
În primul rând, să ne amintim regula, orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \(\bf n = \frac \) .
Să folosim această regulă atunci când înmulțim.
Fracția improprie \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) a fost convertită într-o fracție mixtă.
Cu alte cuvinte, Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărător și lăsăm numitorul neschimbat. Exemplu:
Înmulțirea fracțiilor mixte.
Pentru a înmulți fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție improprie și apoi să utilizați regula înmulțirii. Înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.
Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.
Întrebări înrudite:
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea unui numărător cu un numărător, a unui numitor cu un numitor. Pentru a primi lucrarea fractii mixte trebuie să le convertiți în fracții improprii și să le înmulțiți conform regulilor.
Cum se înmulțesc fracții cu numitori diferiți?
Răspuns: nu contează dacă fracțiile au numitori aceiași sau diferiți, înmulțirea are loc conform regulii de a găsi produsul unui numărător cu numărător, un numitor cu numitor.
Cum se înmulțesc fracțiile mixte?
Răspuns: în primul rând, trebuie să convertiți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul folosind regulile de înmulțire.
Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul, dar numitorul lăsăm același.
Exemplul #1:
Calculați produsul: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Exemplul #2:
Calculați produsele unui număr și ale unei fracții: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
Exemplul #3:
Scrieți reciproca fracției \(\frac \)?
Răspuns: \(\frac = 3\)
Exemplul #4:
Calculați produsul a două fracții reciproc inverse: a) \(\frac \times \frac \)
Exemplul #5:
Fracțiile reciproce pot fi:
a) concomitent cu fracțiile proprii;
b) simultan fracţii improprii;
c) simultan numere naturale?
Soluţie:
a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \(\frac \) este proprie, fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac \) - o fracție improprie. Raspuns: nu.
b) în aproape toate enumerările de fracții această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a fi simultan o fracție improprie. De exemplu, o fracție improprie este \(\frac \) , fracția sa inversă este egală cu \(\frac \). Obținem două fracții improprii. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții când numărătorul și numitorul sunt egali.
c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3, …. Dacă luăm numărul \(3 = \frac \), atunci fracția sa inversă va fi \(\frac \). Fracția \(\frac \) nu este un număr natural. Dacă parcurgem toate numerele, reciproca numărului este întotdeauna o fracție, cu excepția lui 1. Dacă luăm numărul 1, atunci fracția sa reciprocă va fi \(\frac = \frac = 1\). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi simultan numere naturale doar într-un singur caz, dacă acesta este numărul 1.
Exemplul #6:
Faceți produsul fracțiilor mixte: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Soluţie:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Exemplul #7:
Două reciproce pot fi numere mixte în același timp?
Să ne uităm la un exemplu. Să luăm o fracție mixtă \(1\frac \), găsim fracția ei inversă, pentru a face acest lucru o transformăm într-o fracție improprie \(1\frac = \frac \) . Fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac \) . Fracția \(\frac\) este o fracție proprie. Răspuns: Două fracții care sunt reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.
Înmulțirea unei zecimale cu un număr natural
Prezentare pentru lecție
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
- Într-un mod distractiv, prezentați elevilor regula de înmulțire a unei fracții zecimale cu un număr natural, cu o unitate de valoare de loc și regula de exprimare a unei fracții zecimale ca procent. Dezvoltați capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite atunci când rezolvați exemple și probleme.
- Dezvoltați și activați gândire logică studenților, capacitatea de a identifica tipare și de a le generaliza, de a întări memoria, de abilitatea de a coopera, de a oferi asistență, de a-și evalua propria muncă și munca celuilalt.
- Cultivați interesul pentru matematică, activitate, mobilitate și abilități de comunicare.
Echipament: tablă interactivă, un afiș cu o cifergramă, afișe cu declarații ale matematicienilor.
- Moment organizatoric.
- Aritmetică orală – generalizarea materialului studiat anterior, pregătirea pentru studierea materialului nou.
- Explicarea noului material.
- Temă pentru acasă.
- Educație fizică matematică.
- Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite în forma de joc folosind un calculator.
- Notare.
2. Băieți, astăzi lecția noastră va fi oarecum neobișnuită, pentru că nu o voi preda singur, ci cu prietenul meu. Și prietenul meu este, de asemenea, neobișnuit, îl vei vedea acum. (Pe ecran apare un computer de desene animate.) Prietenul meu are un nume și poate vorbi. Cum te cheamă, amice? Komposha răspunde: „Numele meu este Komposha”. Ești gata să mă ajuți astăzi? DA! Ei bine, atunci hai să începem lecția.
Astăzi am primit o cifrgramă criptată, băieți, pe care trebuie să o rezolvăm și să o descifrăm împreună. (Un poster cu numărarea verbală la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale, în urma cărora copiii primesc următorul cod 523914687. )
Komposha ajută la descifrarea codului primit. Rezultatul decodării este cuvântul MULTIPLICARE. Înmulțirea este cuvântul cheie al subiectului lecției de astăzi. Subiectul lecției este afișat pe monitor: „Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural”
Băieți, știm să ne înmulțim numere naturale. Astăzi ne vom uita la înmulțire numere zecimale la un număr natural. Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural poate fi considerată o sumă de termeni, fiecare dintre care este egal cu această fracție zecimală, iar numărul de termeni este egal cu acest număr natural. De exemplu: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Deci, 5,21 ·3 = 15,63. Prezentând 5,21 ca o fracție comună unui număr natural, obținem
Și în acest caz am obținut același rezultat: 15,63. Acum, ignorând virgula, în loc de numărul 5,21, luați numărul 521 și înmulțiți-l cu acest număr natural. Aici trebuie să ne amintim că într-unul dintre factori virgula a fost mutată cu două locuri la dreapta. Înmulțind numerele 5, 21 și 3, obținem un produs egal cu 15,63. Acum, în acest exemplu, mutăm virgula la stânga două locuri. Astfel, de câte ori a fost crescut unul dintre factori, de câte ori a scăzut produsul. Pe baza asemănărilor acestor metode, vom trage o concluzie.
Să se înmulțească zecimal pentru un număr natural, aveți nevoie de:
1) fără a fi atent la virgulă, înmulțiți numerele naturale;
2) în produsul rezultat, separați câte cifre de la dreapta cu virgulă sunt în fracția zecimală.
Pe monitor sunt afișate următoarele exemple, pe care le analizăm împreună cu Komposha și băieții: 5,21 ·3 = 15,63 și 7,624 ·15 = 114,34. După aceea arăt înmulțirea cu număr rotund 12,6 ·50 = 630. În continuare, trec la înmulțirea unei fracțiuni zecimale cu o unitate de valoare de loc. Arăt următoarele exemple: 7,423 · 100 = 742,3 și 5,2 · 1000 = 5200. Așadar, introduc regula pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu o unitate de cifre:
Pentru a înmulți o fracție zecimală cu unitățile de cifre 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu atâtea locuri câte zerouri există în unitatea de cifre.
Îmi termin explicația exprimând fracția zecimală ca procent. introduc regula:
Pentru a exprima o fracție zecimală ca procent, trebuie să o înmulțiți cu 100 și să adăugați semnul %.
Voi da un exemplu pe un computer: 0,5 100 = 50 sau 0,5 = 50%.
4. La finalul explicației, le dau copiilor teme, care sunt afișate și pe monitorul computerului: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Pentru ca băieții să se odihnească puțin, facem o sesiune de educație fizică matematică împreună cu Komposha pentru a consolida tema. Toată lumea se ridică, arată clasei exemplele rezolvate și trebuie să răspundă dacă exemplul a fost rezolvat corect sau incorect. Dacă exemplul este rezolvat corect, atunci își ridică brațele deasupra capului și bat din palme. Dacă exemplul nu este rezolvat corect, băieții își întind brațele în lateral și își întind degetele.
6. Și acum te-ai odihnit puțin, poți rezolva sarcinile. Deschide manualul la pagina 205, № 1029. În această sarcină trebuie să calculați valoarea expresiilor:
Sarcinile apar pe computer. Pe măsură ce sunt rezolvate, apare o imagine cu imaginea unei bărci care plutește atunci când este complet asamblată.
Rezolvând această sarcină pe computer, racheta se pliază treptat, rezolvând ultimul exemplu, racheta zboară departe. Profesorul oferă elevilor câteva informații: „În fiecare an de pe pământul Kazahstanului, din Cosmodromul Baikonur, ei decolează spre stele nave spațiale. Kazahstanul își construiește noul cosmodrom Baiterek lângă Baikonur.
Cât de departe va parcurge un autoturism în 4 ore dacă viteza autoturismului este de 74,8 km/h.
Certificat cadou Nu știi ce să-i oferi persoanei însemnate, prietenilor, angajaților, rudelor? Profită de oferta noastră specială: „Certificat cadou pentru Hotelul Blue Sedge Country.” Certificatul oferă […]
Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție nu este o sarcină dificilă. Dar există subtilități pe care probabil le-ați înțeles la școală, dar de atunci le-ați uitat.
Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție - câțiva termeni
Dacă vă amintiți ce sunt numărătorul și numitorul și cum diferă o fracție proprie de o fracție improprie, săriți peste acest paragraf. Este pentru cei care au uitat complet teoria.
Numătorul este partea superioara fracțiile sunt ceea ce împărțim. Numitorul este mai mic. Prin asta împărțim.
O fracție proprie este una al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei. O fracție improprie este una al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul său.
Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție
Regula pentru înmulțirea unui număr întreg cu o fracție este foarte simplă - înmulțim numărătorul cu numărul întreg, dar nu atingem numitorul. De exemplu: doi înmulțiți cu o cincime - obținem două cincimi. Patru înmulțit cu trei șaisprezecele este egal cu douăsprezece șaisprezece.
Reducere
În al doilea exemplu, fracția rezultată poate fi redusă.
Ce înseamnă? Vă rugăm să rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul acestei fracții sunt divizibil cu patru. Împărțiți ambele numere la divizor comunși se numește reducerea unei fracții. Primim trei sferturi.
Fracții improprii
Dar să presupunem că înmulțim patru cu două cincimi. S-a dovedit a fi opt cincimi. Aceasta este o fracție improprie.
Cu siguranță trebuie adusă la ea genul potrivit. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați o parte întreagă din ea.
Aici trebuie să utilizați diviziunea cu un rest. Primim unul și trei ca rest.
Un întreg și trei cincimi este fracția noastră potrivită.
Aducerea a treizeci și cinci de optimi la forma corectă este puțin mai dificilă. Cel mai apropiat număr de treizeci și șapte care este divizibil cu opt este treizeci și doi. Când împărțim, obținem patru. Scădem treizeci și doi din treizeci și cinci și obținem trei. Rezultat: patru întregi și trei optime.
Egalitatea numărătorului și numitorului. Și aici totul este foarte simplu și frumos. Dacă numărătorul și numitorul sunt egali, rezultatul este pur și simplu unul.
Publicații pe această temă
-
Prințul Askold în istoria Rusiei Kievene
Askold și Dir sunt prinți legendari care au condus orașul Kiev la sfârșitul secolului al IX-lea, s-au convertit la creștinism și au pus bazele vechiului rus...
-
„Minciuna albă”: De ce greco-catolicii nu recunosc că nu sunt ortodocși?
Catedrala Patriarhală a Învierii lui Hristos din Kiev. Catedrala Sf. Gheorghe din Lviv.