Să aplicăm regulile funcției par. Funcții pare și impare

Semne de sarcină după implantarea embrionului

Conversia graficelor.

Descrierea verbală a funcției.

Metoda grafică.

Metoda grafică de specificare a unei funcții este cea mai vizuală și este adesea folosită în tehnologie. ÎN analiză matematică Metoda grafică de specificare a funcțiilor este folosită ca ilustrație.

Graficul unei funcții f este mulțimea tuturor punctelor (x;y) ale planului de coordonate, unde y=f(x) și x „parcurge” întregul domeniu de definire al acestei funcții.

O submulțime a planului de coordonate este un grafic al unei funcții dacă nu are mai mult de un punct comun cu orice dreaptă paralelă cu axa Oy.

Exemplu. Cifrele prezentate mai jos sunt grafice ale funcțiilor?

Avantajul unei sarcini grafice este claritatea acesteia. Puteți vedea imediat cum se comportă funcția, unde crește și unde scade. Din grafic puteți recunoaște imediat câteva caracteristici importante funcții.

În general, metodele analitice și grafice de definire a unei funcții merg mână în mână. Lucrul cu formula ajută la construirea unui grafic. Iar graficul sugerează adesea soluții pe care nici măcar nu le-ai observa în formulă.

Aproape orice student cunoaște cele trei moduri de a defini o funcție la care tocmai ne-am uitat.

Să încercăm să răspundem la întrebarea: „Există și alte moduri de a defini o funcție?”

Există o astfel de cale.

Funcția poate fi specificată fără ambiguitate în cuvinte.

De exemplu, funcția y=2x poate fi specificată prin următoarea descriere verbală: fiecare valoare reală a argumentului x este asociată cu valoarea sa dublă. Se stabilește regula, se specifică funcția.

Mai mult, puteți specifica verbal o funcție care este extrem de dificil, dacă nu imposibil, de definit folosind o formulă.

De exemplu: fiecare valoare a argumentului natural x este asociată cu suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x. De exemplu, dacă x=3, atunci y=3. Dacă x=257, atunci y=2+5+7=14. Și așa mai departe. Este problematic să scrieți acest lucru într-o formulă. Dar semnul este ușor de făcut.

Metoda descrierii verbale este o metodă destul de rar folosită. Dar uneori o face.

Dacă există o lege a corespondenței unu-la-unu între x și y, atunci există o funcție. Ce lege, în ce formă este exprimată - o formulă, o tabletă, un grafic, cuvinte - nu schimbă esența materiei.

Să luăm în considerare funcțiile ale căror domenii de definiție sunt simetrice față de origine, i.e. pentru oricine X din domeniul definiției numărului (- X) aparține și domeniului definiției. Printre astfel de funcții se disting par și impar.

Definiţie. O funcție f este apelată chiar dacă pentru oricare X din domeniul său de definire

Exemplu. Luați în considerare funcția

Este chiar. Să verificăm.



Pentru oricine X egalitățile sunt satisfăcute

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Definiţie. O funcție f se numește impar dacă pentru oricare X din domeniul său de definire

Exemplu. Luați în considerare funcția

Este ciudat. Să verificăm.

Domeniul de definiție este întreaga axă a numerelor, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul (0;0).

Pentru oricine X egalitățile sunt satisfăcute

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Graficele prezentate în prima și a treia figură sunt simetrice față de axa ordonatelor, iar graficele prezentate în figurile a doua și a patra sunt simetrice față de origine.

Care dintre funcțiile ale căror grafice sunt prezentate în figuri sunt pare și care sunt impare?

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, asta metoda universala va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului web în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind cod simplu puteți conecta rapid scriptul MathJax la site-ul dvs. web, care va fi în momentul potrivit se încarcă automat de pe un server la distanță (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.

Pentru a face acest lucru, utilizați hârtie milimetrică sau un calculator grafic. Selectați orice număr de valori numerice pentru variabila independentă x (\displaystyle x) și conectați-le la funcția pentru a calcula valorile pentru variabila dependentă y (\displaystyle y) . Trasează coordonatele găsite ale punctelor pe plan de coordonate, apoi conectați aceste puncte pentru a reprezenta grafic funcția.

  • Înlocuiți valorile numerice pozitive x (\displaystyle x) și valorile numerice negative corespunzătoare în funcție. De exemplu, având în vedere funcția . Înlocuiți următoarele valori x (\displaystyle x) în el:
    • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\ displaystyle (1,3)) .
    • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Obținem un punct cu coordonatele (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
    • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Obținem un punct cu coordonatele (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
    • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Obținem un punct cu coordonatele (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

  • Verificați dacă graficul funcției este simetric față de axa Y Prin simetrie înțelegem imaginea în oglindă a graficului în jurul axei Y. Dacă partea graficului din dreapta axei Y (valorile pozitive ale variabilei independente) este aceeași cu partea graficului din stânga axei Y (valorile negative ale variabilei independente ), graficul este simetric față de axa Y Dacă funcția este simetrică față de axa Y, funcția este pară.

    • Puteți verifica simetria graficului folosind puncte individuale. Dacă valoarea lui y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) se potrivește cu valoarea lui y (\displaystyle y) care se potrivește cu valoarea lui − x (\displaystyle -x) , funcția este pară. În exemplul nostru cu funcția f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) am obținut următoarele coordonate ale punctelor:
      • (1,3) și (-1,3)
      • (2,9) și (-2,9)
    • Rețineți că pentru x=1 și x=-1 variabila dependentă este y=3, iar pentru x=2 și x=-2 variabila dependentă este y=9. Astfel funcția este egală. De fapt, pentru a determina cu exactitate forma funcției, trebuie să luați în considerare mai mult de două puncte, dar metoda descrisă este o bună aproximare.

  • Verificați dacă graficul funcției este simetric față de origine.

    • Originea este punctul cu coordonatele (0,0). Simetria cu privire la origine înseamnă că o valoare y pozitivă (pentru o valoare x pozitivă) corespunde unei valori y negative (pentru o valoare x negativă) și invers. Funcțiile impare au simetrie față de origine. Dacă înlocuim mai multe pozitive și corespunzătoare valori negative
      • x (\displaystyle x) , valorile lui y (\displaystyle y) vor diferi ca semn. De exemplu, având în vedere o funcție f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Înlocuiți mai multe valori ale lui x (\displaystyle x) în el:
      • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Obținem un punct cu coordonatele (1,2).
      • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
      • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
    • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Am primit un punct cu coordonate (-2,-10).

  • Astfel, f(x) = -f(-x), adică funcția este impară.

    • Verificați dacă graficul funcției are vreo simetrie.
      • Ultimul tip de funcție este o funcție al cărei grafic nu are simetrie, adică nu există o imagine în oglindă atât față de axa ordonatelor, cât și față de origine. De exemplu, având în vedere funcția .
      • Înlocuiți mai multe valori pozitive și negative corespunzătoare ale lui x (\displaystyle x) în funcție:
      • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Obținem un punct cu coordonatele (1,4).
      • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Obținem un punct cu coordonate (-1,-2).
    • Conform rezultatelor obținute, nu există simetrie. Valorile lui y (\displaystyle y) pentru valori opuse ale lui x (\displaystyle x) nu sunt aceleași și nu sunt opuse. Astfel, funcția nu este nici pară, nici impară.
    • Vă rugăm să rețineți că funcția f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) poate fi scrisă după cum urmează: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Când este scrisă în această formă, funcția apare chiar pentru că există un exponent par. Dar acest exemplu demonstrează că tipul funcției nu poate fi determinat rapid dacă variabila independentă este cuprinsă în paranteze. În acest caz, trebuie să deschideți parantezele și să analizați exponenții obținuți.

    • chiar dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărat: \(f(-x)=f(x)\) .

    Graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(y\):

    Exemplu: funcția \(f(x)=x^2+\cos x\) este pară, deoarece \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

    \(\blacktriangleright\) Funcția \(f(x)\) se numește impară dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărat: \(f(-x)=-f(x) \) .

    Graficul unei funcții impare este simetric față de origine:

    Exemplu: funcția \(f(x)=x^3+x\) este impară deoarece \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

    \(\blacktriangleright\) Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții vedere generală. O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată în mod unic ca sumă a unei funcții par și impare.

    De exemplu, funcția \(f(x)=x^2-x\) este suma funcției pare \(f_1=x^2\) și a imparei \(f_2=-x\) .

    \(\blacktriangleright\) Unele proprietăți:

    1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate - chiar funcția.

    2) Produsul și câtul a două funcții cu parități diferite este o funcție impară.

    3) Suma și diferența funcțiilor pare - funcție pară.

    4) Suma și diferența de funcții impare - funcție impară.

    5) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară, atunci ecuația \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) are o rădăcină unică dacă și numai când \( x =0\) .

    6) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară sau impară, iar ecuația \(f(x)=0\) are o rădăcină \(x=b\), atunci această ecuație va avea în mod necesar o a doua rădăcină \(x =-b\) .

    \(\blacktriangleright\) Funcția \(f(x)\) se numește periodică pe \(X\) dacă pentru un număr \(T\ne 0\) este valabilă următoarele: \(f(x)=f( x+T) \) , unde \(x, x+T\in X\) . Cea mai mică \(T\) pentru care această egalitate este satisfăcută se numește perioada principală (principală) a funcției.

    O funcție periodică are orice număr de forma \(nT\) , unde \(n\in \mathbb(Z)\) va fi, de asemenea, o perioadă.

    Exemplu: oricare functie trigonometrica este periodică;
    pentru funcțiile \(f(x)=\sin x\) și \(f(x)=\cos x\) perioada principală este egală cu \(2\pi\), pentru funcțiile \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) și \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) perioada principală este egală cu \(\pi\) .

    Pentru a construi un grafic al unei funcții periodice, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime \(T\) (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:

    \(\blacktriangleright\) Domeniul \(D(f)\) al funcției \(f(x)\) este o mulțime formată din toate valorile argumentului \(x\) pentru care funcția are sens (este definit).

    Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x+1\) are un domeniu de definiție: \(x\in

    Sarcina 1 #6364

    Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

    La ce valori ale parametrului \(a\) are ecuația

    are o singura solutie?

    Rețineți că, deoarece \(x^2\) și \(\cos x\) sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină \(x_0\) , va avea și o rădăcină \(-x_0\) .
    Într-adevăr, fie \(x_0\) o rădăcină, adică egalitatea \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) este adevărată. Înlocuiește \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

    Astfel, dacă \(x_0\ne 0\) , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, \(x_0=0\) . Apoi:

    Am primit două valori pentru parametrul \(a\) . Rețineți că am folosit faptul că \(x=0\) este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, trebuie să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului \(a\) în ecuația originală și să verificați pentru ce anume \(a\) rădăcina \(x=0\) va fi cu adevărat unică.

    1) Dacă \(a=0\) , atunci ecuația va lua forma \(2x^2=0\) . Evident, această ecuație are o singură rădăcină \(x=0\) . Prin urmare, valoarea \(a=0\) ni se potrivește.

    2) Dacă \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atunci ecuația va lua forma \ Rescriem ecuația sub forma \ Deoarece \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , apoi \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . În consecință, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin segmentului \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

    Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă ecuația (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

    Astfel, egalitatea (*) poate fi satisfăcută numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Aceasta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește .

    Răspuns:

    \(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

    Sarcina 2 #3923

    Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

    Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \

    simetric fata de origine.

    Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este valabilă pentru orice \(x\) din domeniu de definire a functiei. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)

    \[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]

    Ultima ecuație trebuie satisfăcută pentru toate \(x\) din domeniul definiției \(f(x)\) , prin urmare, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

    Răspuns:

    \(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

    Sarcina 3 #3069

    Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

    Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie numerică și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

    (sarcină de la abonați)

    Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa ordonatelor, prin urmare, pentru \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Astfel, pentru \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) și acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\), funcția este \(f(x)=ax^2\ ).

    1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel:


    Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) :


    Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\right.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este potrivit.

    2) Fie \(a0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a

    Publicații pe această temă