Convertiți fracția în calculator zecimal. Fracții ordinare și zecimale și operații asupra acestora

În acest articol vom vedea cum conversia fracțiilor în zecimale, și luați în considerare, de asemenea, procesul invers - conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite. Aici vom anunța regulile de conversie a fracțiilor și vom da soluții detaliate exemple tipice.

Navigare în pagină.

Conversia fracțiilor în zecimale

Să notăm succesiunea în care ne vom ocupa conversia fracțiilor în zecimale.

În primul rând, ne vom uita la cum să reprezentăm fracții cu numitorii 10, 100, 1.000, ... ca zecimale. Acest lucru se explică prin faptul că fracțiile zecimale sunt în esență o formă compactă de scriere a fracțiilor obișnuite cu numitori 10, 100, ....

După aceea, vom merge mai departe și vom arăta cum se scrie orice fracție obișnuită (nu doar cele cu numitorii 10, 100, ...) ca fracție zecimală. Când fracțiile obișnuite sunt tratate în acest fel, se obțin atât fracții zecimale finite, cât și fracții zecimale periodice infinite.

Acum să vorbim despre totul în ordine.

Conversia fracțiilor comune cu numitorii 10, 100, ... în zecimale

Unele fracții adecvate necesită „pregătire preliminară” înainte de transformarea în zecimale. Acest lucru se aplică fracțiilor obișnuite, numărul de cifre al căror numărător este mai mic decât numărul de zerouri din numitor. De exemplu, fracția comună 2/100 trebuie mai întâi pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală, dar fracția 9/10 nu necesită nicio pregătire.

„Pregătirea preliminară” a fracțiilor ordinare adecvate pentru conversia în fracții zecimale constă în adăugarea atât de multe zerouri la stânga în numărător, încât numărul total de cifre de acolo devine egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, o fracție după adăugarea zerourilor va arăta ca .

Odată ce ați pregătit o fracție adecvată, puteți începe să o transformați într-o zecimală.

Să dăm regula pentru transformarea unei fracții comune propriu-zise cu un numitor de 10, sau 100, sau 1.000, ... într-o fracție zecimală. Acesta constă din trei etape:

• scrie 0;
• după el punem o virgulă zecimală;
• Notăm numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate, dacă le-am adăugat).

Să luăm în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Transformați fracția proprie 37/100 într-o zecimală.

Soluţie.

Numitorul conține numărul 100, care are două zerouri. Numătorul conține numărul 37, notația sa are două cifre, prin urmare, această fracție nu trebuie să fie pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală.

Acum scriem 0, punem virgulă zecimală și scriem numărul 37 de la numărător și obținem fracția zecimală 0,37.

Răspuns:

0,37 .

Pentru a consolida abilitățile de conversie a fracțiilor ordinare proprii cu numărătorii 10, 100, ... în fracții zecimale, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția proprie 107/10.000.000 ca zecimală.

Soluţie.

Numărul de cifre din numărător este 3, iar numărul de zerouri din numitor este 7, așa că această fracție comună trebuie pregătită pentru conversia într-o zecimală. Trebuie să adăugăm 7-3=4 zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. Primim.

Tot ce rămâne este să creați fracția zecimală necesară. Pentru a face acest lucru, în primul rând, scriem 0, în al doilea rând, punem o virgulă, în al treilea rând, scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile 0000107, ca urmare avem o fracție zecimală 0,0000107.

Răspuns:

0,0000107 .

Fracțiile improprii nu necesită nicio pregătire atunci când se convertesc în zecimale. Ar trebui respectate următoarele reguli de conversie a fracțiilor improprii cu numitorii 10, 100, ... în zecimale:

• notează numărul de la numărător;
• Folosim virgulă zecimală pentru a separa atâtea cifre din dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Să ne uităm la aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția improprie 56.888.038.009/100.000 într-o zecimală.

Soluţie.

În primul rând, notăm numărul de la numărătorul 56888038009, iar în al doilea rând, separăm cele 5 cifre din dreapta cu un punct zecimal, deoarece numitorul fracției inițiale are 5 zerouri. Ca rezultat, avem fracția zecimală 568880,38009.

Răspuns:

568 880,38009 .

Pentru a converti un număr mixt într-o fracție zecimală, al cărei numitor al părții fracționale este numărul 10, sau 100, sau 1.000, ..., puteți converti numărul mixt într-o fracție ordinară necorespunzătoare și apoi convertiți rezultatul fracție într-o fracție zecimală. Dar puteți folosi și următoarele regula pentru conversia numerelor mixte cu numitorul fracționar de 10, sau 100, sau 1.000, ... în fracții zecimale:

• dacă este necesar, efectuăm „pregătirea preliminară” a părții fracționale a numărului mixt original prin adăugarea cantitatea necesară zerouri în stânga în numărător;
• notează partea întreagă a numărului mixt original;
• pune virgulă zecimală;
• Notăm numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate.

Să ne uităm la un exemplu, atunci când îl rezolvăm vom face totul pașii necesari pentru a reprezenta un număr mixt ca zecimală.

Exemplu.

Traduce număr mixt la o fracție zecimală.

Soluţie.

Numitorul părții fracționale are 4 zerouri, dar numărătorul conține numărul 17, format din 2 cifre, prin urmare, trebuie să adăugăm două zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri la numitor. După ce a făcut acest lucru, numărătorul va fi 0017.

Acum notăm întreaga parte a numărului original, adică numărul 23, punem o virgulă zecimală, după care scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate, adică 0017, și obținem zecimala dorită. fracția 23,0017.

Să scriem pe scurt întreaga soluție: .

Desigur, a fost posibil să se reprezinte mai întâi numărul mixt ca o fracție improprie și apoi să-l convertească într-o zecimală. Cu această abordare, soluția arată astfel: .

Răspuns:

23,0017 .

Conversia fracțiilor în zecimale periodice finite și infinite

Puteți converti nu numai fracțiile obișnuite cu numitorii 10, 100, ... într-o fracție zecimală, ci și fracțiile obișnuite cu alți numitori. Acum ne vom da seama cum se face acest lucru.

În unele cazuri, fracția ordinară inițială este ușor redusă la unul dintre numitorii 10, sau 100, sau 1.000, ... (vezi aducerea unei fracții obișnuite la un nou numitor), după care nu este dificil să se reprezinte fracția rezultată ca fracție zecimală. De exemplu, este evident că fracția 2/5 poate fi redusă la o fracție cu numitorul 10, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2, ceea ce va da fracția 4/10, care, conform regulile discutate în paragraful anterior, este ușor convertită în fracția zecimală 0, 4.

În alte cazuri, trebuie să utilizați o altă metodă de conversie a unei fracții obișnuite într-o zecimală, pe care acum o luăm în considerare.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, numărătorul fracției este împărțit la numitor, numărătorul este mai întâi înlocuit cu o fracție zecimală egală cu orice număr de zerouri după virgulă zecimală (am vorbit despre asta în secțiunea egal și fracții zecimale inegale). În acest caz, împărțirea se efectuează în același mod ca și împărțirea printr-o coloană de numere naturale, iar în cât se pune un punct zecimal când se termină împărțirea întregii părți a dividendului. Toate acestea vor deveni clare din soluțiile la exemplele prezentate mai jos.

Exemplu.

Transformați fracția 621/4 într-o zecimală.

Soluţie.

Să reprezentăm numărul din numărătorul 621 ca o fracție zecimală, adăugând un punct zecimal și câteva zerouri după el. Mai întâi, să adăugăm 2 cifre 0, mai târziu, dacă este necesar, putem adăuga oricând mai multe zerouri. Deci avem 621,00.

Acum să împărțim numărul 621.000 la 4 cu o coloană. Primii trei pași nu diferă de împărțirea numerelor naturale la o coloană, după care ajungem la următoarea imagine:

Așa ajungem la punctul zecimal al dividendului, iar restul este diferit de zero. În acest caz, punem un punct zecimal în coeficient și continuăm împărțirea într-o coloană, fără a acorda atenție virgulelor:

Aceasta completează împărțirea și, ca rezultat, obținem fracția zecimală 155,25, care corespunde fracției ordinare inițiale.

Răspuns:

155,25 .

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Convertiți fracția 21/800 într-o zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti această fracție comună într-o zecimală, împărțim cu o coloană a fracției zecimale 21.000... la 800. După primul pas, va trebui să punem un punct zecimal în coeficient și apoi să continuăm împărțirea:

În cele din urmă, am primit restul 0, aceasta completează conversia fracției comune 21/400 într-o fracție zecimală și am ajuns la fracția zecimală 0,02625.

Răspuns:

0,02625 .

Se poate întâmpla ca atunci când împărțim numărătorul la numitorul unei fracții obișnuite, să nu obținem tot restul de 0. În aceste cazuri, împărțirea poate fi continuată pe termen nelimitat. Totuși, începând de la un anumit pas, resturile încep să se repete periodic, iar numerele din coeficient se repetă și ele. Aceasta înseamnă că fracția originală este convertită într-o fracție zecimală infinit periodică. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplu.

Scrie fracția 19/44 ca zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, efectuați împărțirea pe coloană:

Este deja clar că în timpul împărțirii reziduurile 8 și 36 au început să se repete, în timp ce în coeficient se repetă numerele 1 și 8. Astfel, fracția comună inițială 19/44 este convertită într-o fracție zecimală periodică 0,43181818...=0,43(18).

Răspuns:

0,43(18) .

Pentru a încheia acest punct, ne vom da seama care fracții obișnuite pot fi convertite în fracții zecimale finite și care pot fi convertite doar în fracții periodice.

Să avem în fața noastră o fracție ordinară ireductibilă (dacă fracția este reductibilă, atunci mai întâi reducem fracția) și trebuie să aflăm în ce fracție zecimală poate fi convertită - finită sau periodică.

Este clar că dacă o fracție obișnuită poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1.000, ..., atunci fracția rezultată poate fi ușor convertită într-o fracție zecimală finală conform regulilor discutate în paragraful anterior. Dar la numitorii 10, 100, 1.000 etc. Nu sunt date toate fracțiile obișnuite. Doar fracțiile ai căror numitori sunt cel puțin unul dintre numerele 10, 100, ... pot fi reduse la astfel de numitori și ce numere pot fi divizori ai lui 10, 100, ...? Numerele 10, 100, ... ne vor permite să răspundem la această întrebare și sunt următoarele: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Rezultă că divizorii sunt 10, 100, 1.000 etc. Pot exista doar numere ale căror descompunere în factori primi conțin doar numerele 2 și (sau) 5.

Acum putem face o concluzie generală despre transformarea fracțiilor obișnuite în zecimale:

• dacă în descompunerea numitorului în factori primi sunt prezente doar numerele 2 și (sau) 5, atunci această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală finală;
• dacă, în plus față de doi și cinci, există și alte numere prime în expansiunea numitorului, atunci această fracție este convertită într-o fracție periodică zecimală infinită.

Exemplu.

Fără a converti fracțiile obișnuite în zecimale, spuneți-mi care dintre fracțiile 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 poate fi convertită într-o fracție zecimală finală și care pot fi convertite doar într-o fracție periodică.

Soluţie.

Numitorul fracției 47/20 este factorizat în factori primi ca 20=2·2·5. Această expansiune conține doar doi și cinci, astfel încât această fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1.000, ... (în acest exemplu, la numitorul 100), prin urmare, poate fi convertită într-o fracție zecimală finală.

Descompunerea numitorului fracției 7/12 în factori primi are forma 12=2·2·3. Deoarece conține un factor prim de 3, diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o zecimală finită, ci poate fi convertită într-o zecimală periodică.

Fracţiune 21/56 – contractil, după contracție ia forma 3/8. Factorizarea numitorului în factori primi conține trei factori egali cu 2, prin urmare, fracția comună 3/8 și, prin urmare, fracția egală 21/56, poate fi convertită într-o fracție zecimală finală.

În cele din urmă, expansiunea numitorului fracției 31/17 este însăși 17, prin urmare această fracție nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finită, ci poate fi convertită într-o fracție periodică infinită.

Răspuns:

47/20 și 21/56 pot fi convertite într-o fracție zecimală finită, dar 7/12 și 31/17 pot fi convertite doar într-o fracție periodică.

Fracțiile obișnuite nu se convertesc în zecimale infinite neperiodice

Informațiile din paragraful anterior dau naștere la întrebarea: „În împărțirea numărătorului unei fracții la numitor poate rezulta o fracție neperiodică infinită?”

Raspuns: nu. Când convertiți o fracție comună, rezultatul poate fi fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Să explicăm de ce este așa.

Din teorema de divizibilitate cu rest este clar că restul este întotdeauna mai mic decât divizorul, adică dacă împărțim un număr întreg la un număr întreg q, atunci restul poate fi doar unul dintre numerele 0, 1, 2, ..., q−1. Rezultă că după ce coloana a încheiat împărțirea părții întregi a numărătorului unei fracții ordinare la numitorul q, în cel mult q pași va apărea una dintre următoarele două situații:

• sau vom obține un rest de 0, aceasta va încheia împărțirea și vom obține fracția zecimală finală;
• sau vom obține un rest care a apărut deja înainte, după care resturile vor începe să se repete ca în exemplul anterior (deoarece la împărțirea numere egale se obțin resturi egale pe q, ceea ce decurge din teorema de divizibilitate deja menționată), aceasta va avea ca rezultat o fracție zecimală periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni, prin urmare, la conversia unei fracțiuni obișnuite într-o fracție zecimală, nu se poate obține o fracție zecimală neperiodică infinită.

Din raționamentul dat în acest paragraf mai rezultă că lungimea perioadei unei fracții zecimale este întotdeauna mai mică decât valoarea numitorului fracției ordinare corespunzătoare.

Conversia zecimale în fracții

Acum să ne dăm seama cum să convertim o fracție zecimală într-o fracție obișnuită. Să începem prin a converti fracțiile zecimale finale în fracții obișnuite. După aceasta, vom lua în considerare o metodă de inversare a fracțiilor zecimale periodice infinite. În concluzie, să spunem despre imposibilitatea transformării fracțiilor zecimale neperiodice infinite în fracții obișnuite.

Conversia zecimalelor finale în fracții

Obținerea unei fracții care este scrisă ca zecimală finală este destul de simplă. Regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-o fracție comună constă din trei etape:

• în primul rând, scrieți fracția zecimală dată în numărător, după ce ați aruncat anterior punctul zecimal și toate zerourile din stânga, dacă există;
• în al doilea rând, scrieți unul în numitor și adăugați-i atâtea zerouri câte cifre sunt după punctul zecimal în fracția zecimală originală;
• în al treilea rând, dacă este necesar, reduceți fracția rezultată.

Să ne uităm la soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Convertiți zecimala 3,025 într-o fracție.

Soluţie.

Dacă eliminăm punctul zecimal din fracția zecimală inițială, obținem numărul 3.025. Nu există zerouri în stânga pe care le-am arunca. Deci, scriem 3.025 la numărătorul fracției dorite.

Scriem numărul 1 la numitor și adăugăm 3 zerouri în dreapta acestuia, deoarece în fracția zecimală inițială există 3 cifre după virgulă.

Deci avem fracția comună 3.025/1.000. Această fracție poate fi redusă cu 25, obținem .

Răspuns:

.

Exemplu.

Convertiți fracția zecimală 0,0017 într-o fracție.

Soluţie.

Fără un punct zecimal, fracția zecimală originală arată ca 00017, eliminând zerourile din stânga obținem numărul 17, care este numărătorul fracției ordinare dorite.

Scriem unul cu patru zerouri la numitor, deoarece fracția zecimală originală are 4 cifre după virgulă.

Ca urmare, avem o fracție obișnuită 17/10.000. Această fracție este ireductibilă, iar conversia unei fracții zecimale într-o fracție obișnuită este completă.

Răspuns:

.

Când partea întreagă a fracției zecimale finale inițiale este diferită de zero, aceasta poate fi convertită imediat într-un număr mixt, ocolind fracția comună. Să dăm regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-un număr mixt:

• numărul înainte de virgulă zecimală trebuie scris ca o parte întreagă a numărului mixt dorit;
• în numărătorul părții fracționale trebuie să scrieți numărul obținut din partea fracțională a fracției zecimale inițiale după ce ați aruncat toate zerourile din stânga;
• în numitorul părții fracționale trebuie să scrieți numărul 1, la care adăugați atâtea zerouri la dreapta câte cifre sunt după virgulă zecimală în fracția zecimală originală;
• dacă este necesar, reduceți partea fracțională a numărului mixt rezultat.

Să ne uităm la un exemplu de conversie a unei fracții zecimale într-un număr mixt.

Exemplu.

Exprimați fracția zecimală 152,06005 ca număr mixt

Deja în scoala elementara elevii întâlnesc fracții. Și apoi apar în fiecare subiect. Nu poți uita acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte nu sunt complicate, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viata de zi cu ziîmpinge în mod constant oamenii să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata este formată din mai multe bucăți. Luați în considerare o situație în care țigla lui este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Poate fi împărțit cu ușurință în trei. Dar nu va fi posibil să oferi cinci persoane un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți dintr-un singur. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Ceea ce este în jos (dreapta) este numitorul.

În esență, slash-ul se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Ce fracții există?

În matematică există doar două tipuri: fracții ordinare și zecimale. Scolarii se intalnesc pentru prima data in școală primară, numindu-le pur și simplu „fracții”. Acesta din urmă se va învăța în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o linie. De exemplu, 4/7. O zecimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de numărul întreg printr-o virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să înțeleagă clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scris sub formă zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca fracție comună.

Ce subtipuri au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începi ordine cronologică, pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Printre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corecta. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul său.

Greşit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul său.

Reductibil/ireductibil. Se poate dovedi a fi corect sau greșit. Un alt lucru important este dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci este necesar să împărțiți ambele părți ale fracției cu ele, adică să o reduceți.

Amestecat. Un număr întreg este alocat părții sale fracționale obișnuite (neregulate). Mai mult, este mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite între ele. Adică conține trei linii fracționale simultan.

Fracțiile zecimale au doar două subtipuri:

finit, adică unul a cărui parte fracțională este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere pe baza regulii - după cum aud, așa că scriu. Adică, trebuie să o citiți corect și să o scrieți, dar fără virgulă, dar cu o bară fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, trebuie să vă amintiți că este întotdeauna unul și mai multe zerouri. Trebuie să scrieți atâtea dintre acestea din urmă câte cifre există în partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă partea lor întreagă lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Tot ce rămâne este să notăm părțile fracționale. Primul număr va avea numitorul 10, al doilea va avea 100. Adică exemple date răspunsurile vor fi numere: 9/10, 5/100. Mai mult, se pare că acesta din urmă poate fi redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris ca 1/20.

Cum puteți converti o fracție zecimală într-o fracție obișnuită dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. În ambele exemple, întreaga parte este citită și valoarea ei este scrisă. În primul caz este 5, în al doilea este 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Aceeași operațiune ar trebui să fie efectuată cu ei. Primul număr apare 23/100, al doilea - 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul arată așa fractii mixte: 5 23/100 si 13 27/25000.

Cum se transformă o fracție zecimală infinită într-o fracție obișnuită?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu va fi posibilă. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită într-o fracție finită sau periodică.

Singurul lucru pe care îl poți face cu o astfel de fracție este rotunjirea ei. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: convertirea în zecimală nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt convertite în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită ca fracție obișnuită?

În aceste numere, există întotdeauna una sau mai multe cifre după virgulă zecimală care se repetă. Ele sunt numite o perioadă. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” este în perioada. Ele sunt clasificate ca fiind raționale deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracționată începe cu câteva numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită ca fracție comună va fi diferită pentru cele două tipuri de numere indicate. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finite, acestea trebuie convertite: notați perioada la numărător, iar numitorul va fi numărul 9, repetat de câte ori numărul de cifre conține perioada.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să începeți imediat cu partea fracțională. Scrieți 5 ca numărător și 9 ca numitor, adică răspunsul va fi fracția 5/9.

Regula despre cum se scrie o fracție periodică zecimală obișnuită care este amestecată.

Uită-te la durata perioadei. Cam atat va avea numitorul.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența dintre două numere. Toate numerele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Deductibilă - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului conține o cifră. Deci va fi un zero. Există, de asemenea, un singur număr în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scazi 5 din 58. Rezultă 53. De exemplu, răspunsul ar trebui scris ca 53/90.

Cum se convertesc fracțiile în zecimale?

Cel mai mult varianta simpla se dovedește a fi un număr al cărui numitor conține numărul 10, 100 etc. Apoi numitorul este pur și simplu eliminat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Trebuie doar să înmulțiți nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă este utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri posibile: o fracție zecimală finită sau periodică.

Operații cu fracții obișnuite

Adunarea și scăderea

Elevii îi cunosc mai devreme decât alții. Mai mult, la început fracțiile au aceiași numitori, apoi au alții diferiți. Reguli generale poate fi redusă la un astfel de plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii specificați pentru ei.

Adăugați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflăm dacă avem un număr mixt sau o fracție proprie.

În primul caz, trebuie să împrumutați unul din întreaga parte. Adaugă numitorul la numărătorul fracției. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea, este necesar să se aplice regula scăderii unui număr mai mare dintr-un număr mai mic. Adică din modulul subtraendului, scădeți modulul minuendului și, ca răspuns, puneți semnul „-”.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a le efectua, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru facilitează efectuarea acțiunilor. Dar încă vă cer să respectați regulile.

Când înmulțiți fracții, trebuie să vă uitați la numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă rezultatul este o fracție reductibilă, atunci trebuie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu fracția reciprocă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând de la punctul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.



Operații cu zecimale

Adunarea și scăderea

Desigur, puteți converti oricând o zecimală într-o fracție. Și acționează conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adăugarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Adăugați numărul de zerouri lipsă.

Scrieți fracțiile astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru a înmulți, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, ignorând virgulele.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul din dreapta al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să transformați divizorul: faceți-l un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracțională a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o zecimală cu număr natural.

Pune o virgulă în răspunsul tău în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.



Ce se întâmplă dacă un exemplu conține ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. În astfel de sarcini există două soluții posibile. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel optim.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă diviziunea sau translația rezultă în fracții finite. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

Al doilea mod: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică se dovedește a fi convenabilă dacă partea de după virgulă zecimală conține 1-2 cifre. Dacă sunt mai multe, puteți obține o fracție obișnuită foarte mare și notații zecimale vă va permite să calculați sarcina mai rapid și mai ușor. Prin urmare, trebuie întotdeauna să evaluați cu atenție sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.

Un număr mare de studenți, și nu numai, se întreabă cum să transforme o fracție într-un număr. Pentru a face acest lucru, există mai multe moduri destul de simple și de înțeles. Alegerea unei metode specifice depinde de preferințele celui care decide.

În primul rând, trebuie să știi cum sunt scrise fracțiile. Și sunt scrise după cum urmează:

1. Comun. Se scrie cu numărătorul și numitorul folosind o înclinare sau o coloană (1/2).
2. Zecimal. Se scrie separat prin virgule (1.0, 2.5 etc.).

Înainte de a începe rezolvarea, trebuie să știți ce este o fracție necorespunzătoare, deoarece apare destul de des. Are un numărător mai mare decât numitorul, de exemplu, 15/6. Fracțiile improprii pot fi și ele rezolvate în aceste moduri, fără niciun efort sau timp.

Un număr mixt este atunci când rezultatul este un număr întreg și o parte fracțională, de exemplu 52/3.

Orice număr natural poate fi scris ca o fracție cu numitori naturali complet diferiți, de exemplu: 1= 2/2=3/3 = etc.

Puteți traduce și folosind un calculator, dar nu toate au această funcție. Există o specială calculator de inginerie, unde există o astfel de funcție, dar nu este întotdeauna posibil să o folosești, mai ales la școală. Prin urmare, este mai bine să înțelegeți acest subiect.

Primul lucru la care ar trebui să fii atent este ce fracție este. Dacă poate fi înmulțit cu ușurință până la 10 cu aceleași valori ca și numărătorul, atunci puteți utiliza prima metodă. De exemplu: înmulțiți un ½ obișnuit în numărător și numitor cu 5 și obțineți 5/10, care poate fi scris ca 0,5.

Această regulă se bazează pe faptul că o zecimală are întotdeauna o valoare rotundă la numitorul său, cum ar fi 10.100.1000 și așa mai departe.

De aici rezultă că, dacă înmulțiți numărătorul și numitorul, atunci trebuie să obțineți exact aceeași valoare în numitor ca urmare a înmulțirii, indiferent de ceea ce iese în numărător.

Merită să ne amintim că unele fracții nu pot fi convertite pentru a face acest lucru, trebuie să o verificați înainte de a începe soluția.

De exemplu: 1,3333, unde numărul 3 se repetă la infinit și nici calculatorul nu va scăpa de el. Singura soluție la această problemă este să o rotunjiți la un număr întreg, dacă este posibil. Dacă acest lucru nu este posibil, atunci ar trebui să reveniți la începutul exemplului și să verificați corectitudinea soluției problemei;

Figura 1-3. Conversia fracțiilor prin înmulțire.

Pentru a consolida informațiile descrise, luați în considerare următorul exemplu de traducere:

1. De exemplu, trebuie să convertiți 6/20 într-o zecimală. Primul pas este să îl verificați, așa cum se arată în Figura 1.
2. Doar după ce ne-am asigurat că poate fi extins, ca în în acest caz, pe 2 și 5, trebuie să începeți traducerea în sine.
3. Cea mai simplă opțiune ar fi înmulțirea numitorului, obținând rezultatul 100, care este 5, deoarece 20x5=100.
4. Urmând exemplul din Figura 2, rezultatul va fi 0,3.

Puteți consolida rezultatul și revizui totul din nou conform Figura 3. Pentru a înțelege pe deplin subiectul și a nu mai recurge la studierea acestui material. Această cunoaștere va ajuta nu numai copilul, ci și adultul.

Traducere după diviziune

A doua opțiune pentru conversia fracțiilor este puțin mai complicată, dar mai populară. Această metodă este folosită în principal de profesorii din școli pentru a explica. În general, este mult mai ușor de explicat și mai rapid de înțeles.

Merită să ne amintim că pentru a converti corect o fracție simplă, trebuie să împărțiți numărătorul acesteia la numitorul ei. La urma urmei, dacă te gândești bine, soluția este procesul de divizare.

Pentru a înțelege această regulă simplă, trebuie să luați în considerare următorul exemplu de soluție:

1. Să luăm 78/200, care trebuie convertit în zecimală. Pentru a face acest lucru, împărțiți 78 la 200, adică numărătorul la numitor.
2. Dar înainte de a începe, merită verificat, așa cum se arată în Figura 4.
3. Odată ce sunteți convins că poate fi rezolvată, ar trebui să începeți procesul. Pentru a face acest lucru, merită împărțit numărătorul la numitor într-o coloană sau colț, așa cum se arată în Figura 5. În școlile primare, o astfel de împărțire este predată și nu ar trebui să existe dificultăți cu aceasta.

Figura 6 prezintă exemple ale celor mai comune exemple, pur și simplu, le puteți aminti, astfel încât, dacă este necesar, să nu pierdeți timpul rezolvându-le; Până la urmă, la școală, la fiecare test sau munca independenta Se acordă puțin timp pentru rezolvare, așa că nu ar trebui să-l pierzi cu ceva ce poți învăța și pur și simplu să-ți amintești.

Transferul dobânzii

Conversia procentelor în zecimale este, de asemenea, destul de ușoară. Acest lucru începe să fie predat în clasa a V-a, iar în unele școli chiar mai devreme. Dar dacă copilul tău nu a înțeles acest subiect în timpul unei lecții de matematică, îi poți explica din nou clar. În primul rând, ar trebui să înveți definiția a ceea ce este un procent.

Un procent este o sutime dintr-un număr, cu alte cuvinte, este complet arbitrar. De exemplu, de la 100 va fi 1 și așa mai departe.

Figura 7 prezintă un exemplu clar de conversie a dobânzii.

Pentru a converti un procent, trebuie doar să eliminați semnul % și apoi să îl împărțiți la 100.

Un alt exemplu este prezentat în Figura 8.

Dacă trebuie să efectuați o „conversie” inversă, trebuie să faceți totul exact invers. Cu alte cuvinte, numărul trebuie înmulțit cu o sută și apoi trebuie adăugat un simbol procentual.

Și pentru a converti obișnuitul în procente, puteți folosi și acest exemplu. Numai inițial ar trebui să convertiți fracția într-un număr și abia apoi într-un procent.

Pe baza celor de mai sus, puteți înțelege cu ușurință principiul traducerii. Folosind aceste metode, puteți explica un subiect unui copil dacă nu l-a înțeles sau nu a fost prezent în lecție la momentul finalizării acesteia.

Și nu va fi niciodată nevoie să angajezi un tutore care să-i explice copilului tău cum să transformi o fracție într-un număr sau procent.

Materiale pe fracții și studiați secvențial. Mai jos pentru tine informatii detaliate cu exemple si explicatii.

1. Număr amestecat într-o fracție comună.Să-l scriem vedere generală număr:

Ne amintim o regulă simplă - înmulțim întreaga parte cu numitorul și adăugăm numărătorul, adică:

Exemple:

2. Dimpotrivă, o fracție obișnuită într-un număr mixt. *Desigur, acest lucru se poate face doar cu o fracție improprie (când numărătorul este mai mare decât numitorul).

Cu numere „mici”, în general, nu trebuie luate acțiuni, rezultatul este „vizibil” imediat, de exemplu, fracții:

*Mai multe detalii:

15:13 = 1 rest 2

4:3 = 1 rest 1

9:5 = 1 rest 4

Dar dacă numerele sunt mai multe, atunci nu te poți descurca fără calcule. Totul este simplu aici - împărțiți numărătorul la numitorul cu un colț până când restul este mai mic decât divizorul. Schema de împărțire:

De exemplu:

*Numătorul nostru este dividendul, numitorul este divizorul.

Obținem întreaga parte (coeficient incomplet) și restul. Scriem un număr întreg, apoi o fracție (numătorul conține restul, dar numitorul rămâne același):

3. Convertiți zecimal în obișnuit.

Parțial în primul paragraf, unde am vorbit despre fracții zecimale, am atins deja acest lucru. O notăm așa cum o auzim. De exemplu - 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015

Avem primele trei fracții fără o parte întreagă. Și al patrulea și al cincilea îl au, să le transformăm în altele obișnuite, știm deja cum să facem asta:

*Vedem că și fracțiile pot fi reduse, de exemplu 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 și altele, dar nu vom face acest lucru aici. În ceea ce privește reducerea, mai jos veți găsi un paragraf separat, unde vom analiza totul în detaliu.

4. Convertiți obișnuit în zecimal.

Nu este atât de simplu. Cu unele fracții este imediat evident și clar ce să faci cu ele, astfel încât să devină o zecimală, de exemplu:

Folosim minunata noastră proprietate de bază a unei fracții - înmulțim numărătorul și numitorul cu 5, 25, 2, 5, 4, 2 și obținem:

Dacă există o parte întreagă, atunci nici nimic complicat:

Înmulțim partea fracțională cu 2, 25, 2 și, respectiv, 5 și obținem:

Și există acelea pentru care, fără experiență, este imposibil să se determine că pot fi convertite în zecimale, de exemplu:

Cu ce ​​numere ar trebui să înmulțim numărătorul și numitorul?

Aici, din nou, o metodă dovedită vine în ajutor - împărțirea după un colț, o metodă universală, o puteți folosi oricând pentru a converti o fracție comună într-o zecimală:

În acest fel, puteți determina întotdeauna dacă o fracție este convertită într-o zecimală. Faptul este că nu orice fracție obișnuită poate fi convertită într-o zecimală, de exemplu, cum ar fi 1/9, 3/7, 7/26 nu sunt convertite. Care este atunci fracția obținută la împărțirea 1 la 9, 3 la 7, 5 la 11? Răspunsul meu este zecimal infinit (am vorbit despre ele în paragraful 1). Să împărțim:

Asta e tot! Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

Un număr destul de mare de oameni pun întrebări despre cum se transformă o fracție într-o fracție zecimală. Există mai multe moduri. Alegerea unei metode specifice depinde de tipul de fracție care trebuie convertită într-o altă formă sau, mai precis, de numărul din numitorul său. Cu toate acestea, pentru fiabilitate, este necesar să se indice că o fracție obișnuită este o fracție care este scrisă cu un numărător și un numitor, de exemplu, 1/2. Cel mai adesea, linia dintre numărător și numitor este trasată mai degrabă orizontal decât oblic. Se scrie fracția zecimală număr obișnuit cu virgulă: de exemplu, 1,25; 0,35 etc.

Deci, pentru a converti o fracție într-o zecimală fără un calculator, trebuie să:

Atenție la numitorul fracției comune. Dacă numitorul poate fi înmulțit cu ușurință până la 10 cu același număr ca și numărătorul, atunci ar trebui să utilizați această metodă ca fiind cea mai simplă. De exemplu, fracția comună 1/2 se înmulțește ușor la numărător și numitor cu 5, rezultând numărul 5/10, care poate fi deja scris ca fracție zecimală: 0,5. Această regulă se bazează pe faptul că o fracție zecimală are întotdeauna un numitor număr rotund: 10, 100, 1000 și similare. Prin urmare, dacă înmulțiți numărătorul și numitorul unei fracții, atunci este necesar să obțineți exact același număr la numitor ca urmare a înmulțirii, indiferent de ceea ce se obține la numărător.

Există fracții obișnuite, al căror calcul după înmulțire prezintă anumite dificultăți. De exemplu, este destul de dificil să se determine cât de mult trebuie înmulțită fracția 5/16 pentru a obține unul dintre numerele de mai sus la numitor. În acest caz, ar trebui să utilizați împărțirea obișnuită, care se face într-o coloană. Răspunsul ar trebui să fie o fracție zecimală, care va marca sfârșitul operațiunii de transfer. În exemplul de mai sus, numărul rezultat este 0,3125. Dacă calculele pe coloană sunt dificile, atunci nu puteți face fără ajutorul unui calculator.

În cele din urmă, există fracții obișnuite care nu pot fi convertite în zecimale. De exemplu, când convertiți fracția comună 4/3, rezultatul este 1,33333, unde trei se repetă la infinit. Calculatorul nu va scăpa nici de cei trei care se repetă. Există mai multe astfel de fracții, trebuie doar să le cunoașteți. O ieșire din situația de mai sus poate fi rotunjirea, dacă condițiile exemplului sau problemei care se rezolvă permit rotunjirea. Dacă condițiile nu permit acest lucru, iar răspunsul trebuie scris exact sub forma unei fracții zecimale, înseamnă că exemplul sau problema a fost rezolvată incorect și ar trebui să dai înapoi câțiva pași pentru a găsi eroarea.

Astfel, convertirea unei fracții într-o zecimală este destul de simplă, iar această sarcină nu este dificil de rezolvat fără ajutorul unui calculator. Este și mai ușor să convertiți fracțiile zecimale în fracții obișnuite, efectuând pașii inversi descriși în metoda 1.

Video: clasa a VI-a. Transformarea unei fracții într-o zecimală.