Unde funcția ia cea mai mare valoare. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-un domeniu închis
Adesea în fizică și matematică trebuie să găsești cea mai mică valoare funcții. Vă vom spune acum cum să faceți acest lucru.
Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții: instrucțiuni
- Pentru a calcula cea mai mică valoare functie continua pe un anumit segment, trebuie să urmați următorul algoritm:
- Aflați derivata funcției.
- Găsiți pe un segment dat punctele în care derivata este egală cu zero, precum și toate punctele critice. Apoi aflați valorile funcției în aceste puncte, adică rezolvați ecuația în care x este egal cu zero. Aflați care este valoarea cea mai mică.
- Identificați ce valoare are o funcție asupra punctelor finale. Determinați cea mai mică valoare a funcției în aceste puncte.
- Comparați datele obținute cu cea mai mică valoare. Cel mai mic dintre numerele rezultate va fi cea mai mică valoare a funcției.
Rețineți că dacă o funcție pe un segment nu are cele mai mici puncte, aceasta înseamnă că este în creștere sau descreștere pe acest segment. Prin urmare, cea mai mică valoare ar trebui calculată pe segmentele finite ale funcției.
În toate celelalte cazuri, valoarea funcției este calculată conform algoritmului specificat. În fiecare punct al algoritmului va trebui să rezolvați un simplu ecuație liniară cu o singură rădăcină. Rezolvați ecuația folosind o imagine pentru a evita greșelile.
Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment pe jumătate deschis? Într-o perioadă pe jumătate deschisă sau deschisă a funcției, cea mai mică valoare ar trebui găsită după cum urmează. La punctele finale ale valorii funcției, calculați limita unilaterală a funcției. Cu alte cuvinte, rezolvați o ecuație în care punctele de tendință sunt date de valorile a+0 și b+0, unde a și b sunt numele punctelor critice.
Acum știți cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții. Principalul lucru este să faceți toate calculele corect, precis și fără erori.
Fie ca funcția $z=f(x,y)$ să fie definită și continuă în unele mărginite zonă închisă$D$. Fie ca funcția dată din această regiune să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi (cu excepția, poate, a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.
Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis $D$.
- Aflați punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ aparținând domeniului $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
- Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$, găsind punctele valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
- Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, selectați cel mai mare și cel mai mic.
Care sunt punctele critice? arată\ascunde
Sub puncte critice implică puncte la care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.
Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.
Exemplul nr. 1
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ într-o regiune închisă, limitat de linii$x=3$, $y=0$ și $y=x+1$.
Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenul unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Suntem dat ecuații de trei linii drepte care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa ordonatelor (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi dreapta $y=x+1$, vom găsi două puncte prin care vom trasa această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ intersectează dreptele $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom ucide câteva păsări dintr-o singură piatră: vom obține două puncte pentru a construi linia $y=x+1$ și în același timp vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte linii care limitează aria dată. Linia $y=x+1$ intersectează linia $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ se intersectează în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera mersul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.
Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată\ascunde
Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei, cât și celei de a doua drepte, prin urmare, pentru a găsi coordonatele necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Solutia unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.
Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Să compunem și să rezolvăm din nou sistemul de ecuații:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa x).
Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:
Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul este vizibil în poză. Cu toate acestea, merită să ne amintim că un desen nu poate servi drept dovadă. Desenul are doar scop ilustrativ.
Zona noastră a fost definită folosind ecuații în linie dreaptă care o legau. Evident, aceste linii definesc un triunghi, nu? Sau nu este complet evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:
Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza afișată este incorectă. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Suntem interesați de partea de plan situată sub dreapta $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, asta înseamnă $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități pot fi ușor combinate într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Aceste inegalități definesc regiunea $D$ și o definesc fără ambiguitate, fără a permite nicio ambiguitate. Dar cum ne ajută acest lucru cu întrebarea formulată la începutul notei? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Aşa:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.
Ambele inegalități sunt valabile. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.
Acum este timpul să studiem comportamentul funcției la limita regiunii, adică. hai sa mergem la . Să începem cu linia dreaptă $y=0$.
Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Să substituim $y=0$ în funcţie dată$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Notăm funcția unei variabile $x$ obținută ca rezultat al substituirii ca $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că vom adăuga și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, să calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. în punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului luat în considerare, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.
Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. Voi scrie asta în detaliu:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)
Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de înregistrări detaliate, iar în viitor vom nota pe scurt toate calculele:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Acum să trecem la linia dreaptă $x=3$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Să substituim $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al acestei substituții obținem funcția $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Pentru funcția $f_2(y)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că vom adăuga și $M_5(3;3)$ la punctele găsite anterior. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. la punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. La punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ în punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)
Și, în cele din urmă, luați în considerare ultima graniță a regiunii $D$, adică. dreapta $y=x+1$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata funcției $f_(3)(x)$ și să o echivalăm cu zero:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Al doilea pas al soluției este finalizat. Am primit șapte valori:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Să ne întoarcem la . Alegând cele mai mari și cele mai mici valori dintre numerele obținute în al treilea paragraf, vom avea:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$
Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.
Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Exemplul nr. 2
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.
Mai întâi, să construim un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de delimitare a unei zone date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ $25 satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.
Vom acționa conform. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. haideti sa gasim puncte stationare.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(aliniat) \right $$.
Am obținut un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ este valabilă, ceea ce definește regiunea noastră $D$. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este valabilă. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține zonei $D$.
Deci, nu există puncte critice în interiorul regiunii $D$. Să trecem la... Trebuie să studiem comportamentul funcției la limita unei regiuni date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Putem, desigur, să exprimăm $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuim expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația unui cerc obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil să aplicăm metoda Lagrange în această situație. Ne va interesa doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, vom obține puncte la care vom examina funcția $z$ pentru valori minime și maxime.
Compunem funcția Lagrange:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $
Pentru a rezolva acest sistem, să subliniem imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Contradicția rezultată $0=6$ indică faptul că valoarea $\lambda=-1$ este inacceptabilă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)
Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul $1+\lambda\neq 0$.
Să substituim expresiile rezultate pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Astfel avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)
Deci, am obținut două puncte ale unui posibil extremum condiționat, i.e. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Să găsim valorile funcției $z$ în punctele $M_1$ și $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)
Ar trebui să selectăm cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în în acest caz, alegerea este mică :) Avem:
$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 USD.
Cu acest serviciu poți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
Reguli de intrare în funcții:
Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile
Ecuația f" 0 (x *) = 0 este conditie necesara extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Identifică punctele staționare x c la care funcția nu crește sau descrește.Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile
Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Atunci punctul x * este punctul minimului local (global) al funcției.
Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Atunci punctul x * este un maxim local (global).
Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie.
Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1
Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.
Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte este necesar să se utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile pentru extremum.
Declarația problemei 2:
Dată o funcție care este definită și continuă pe un anumit interval. Trebuie să găsiți cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției în acest interval.
Fundamente teoretice.
Teorema (a doua teoremă Weierstrass):
Dacă o funcție este definită și continuă într-un interval închis, atunci ea își atinge valorile maxime și minime în acest interval.
Funcția poate atinge valorile cele mai mari și cele mai mici fie în punctele interne ale intervalului, fie la limitele acestuia. Să ilustrăm toate opțiunile posibile.
Explicaţie:
1) Funcția atinge cea mai mare valoare la limita stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punctul .
2) Funcția atinge cea mai mare valoare în punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punctul respectiv.
3) Funcția își atinge valoarea maximă pe limita stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă în punctul (acesta este punctul minim).
4) Funcția este constantă pe interval, adică. își atinge valorile minime și maxime în orice punct al intervalului, iar valorile minime și maxime sunt egale între ele.
5) Funcția își atinge valoarea maximă în punctul , iar valoarea sa minimă la punctul (în ciuda faptului că funcția are atât un maxim, cât și un minim pe acest interval).
6) Funcția atinge cea mai mare valoare într-un punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă într-un punct (acesta este punctul minim).
Comentariu:
„Maximum” și „ valoarea maxima"- lucruri diferite. Aceasta rezultă din definiția maximului și înțelegerea intuitivă a expresiei „valoare maximă”.
Algoritmul de rezolvare a problemei 2.
4) Selectați cea mai mare (mai mică) dintre valorile obținute și notați răspunsul.
Exemplul 4:
Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe segment.
Soluţie:
1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți puncte staționare (și puncte suspectate de extremum) rezolvând ecuația. Acordați atenție punctelor în care nu există o derivată finită cu două fețe.
3) Calculați valorile funcției în punctele staționare și la limitele intervalului.
4) Selectați cea mai mare (mai mică) dintre valorile obținute și notați răspunsul.
Funcția de pe acest segment atinge cea mai mare valoare în punctul cu coordonatele .
Funcția de pe acest segment atinge valoarea minimă în punctul cu coordonatele .
Puteți verifica corectitudinea calculelor privind graficul funcției studiate.
Comentariu: Funcția atinge cea mai mare valoare în punctul maxim și minimă la limita segmentului.
Un caz special.
Să presupunem că trebuie să găsiți valorile maxime și minime ale unei anumite funcții pe un segment. După completarea primului punct al algoritmului, i.e. calcul derivat, devine clar că, de exemplu, este nevoie doar valori negative pe întregul segment considerat. Amintiți-vă că dacă derivata este negativă, atunci funcția scade. Am constatat că funcția scade pe întregul segment. Această situație este prezentată în graficul nr. 1 de la începutul articolului.
Funcția scade pe segment, adică. nu are puncte extreme. Din imagine este clar că funcția va lua cea mai mică valoare pe limita dreaptă a segmentului și cea mai mare valoare- la stânga. dacă derivata de pe segment este pozitivă peste tot, atunci funcția crește. Cea mai mică valoare este pe marginea din stânga a segmentului, cea mai mare este în dreapta.