Să învățăm să construim secțiuni. Lucrări de cercetare pe tema „metode de construire a secțiunilor de poliedre”

În această lecție ne vom uita la tetraedrul și elementele acestuia (marginea tetraedrului, suprafața, fețele, vârfurile). Și vom rezolva câteva probleme de construire a secțiunilor într-un tetraedru, folosind metoda generală de construire a secțiunilor.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Tetraedrul. Probleme la construirea secțiunilor într-un tetraedru

Cum se construiește un tetraedru? Să luăm un triunghi arbitrar ABC. Orice punct D, care nu se află în planul acestui triunghi. Obținem 4 triunghiuri. Suprafața formată din aceste 4 triunghiuri se numește tetraedru (Fig. 1.). Punctele interne delimitate de această suprafață fac, de asemenea, parte din tetraedru.

Orez. 1. Tetraedrul ABCD

Elementele unui tetraedru
O,B, C, D - vârfurile unui tetraedru.
AB, A.C., AD, B.C., BD, CD - margini tetraedrice.
ABC, ABD, BDC, ADC - fețe tetraedrice.

Comentariu: poate fi luat plat ABC pentru baza tetraedrului, și apoi punct D este vârful unui tetraedru. Fiecare muchie a tetraedrului este intersecția a două plane. De exemplu, coastă AB- aceasta este intersecția planurilor ABDŞi ABC. Fiecare vârf al unui tetraedru este intersecția a trei plane. Vertex O zace în avioane ABC, ABD, ODCU. Punct O este intersecția celor trei plane desemnate. Acest fapt este scris astfel: O= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definiția tetraedrului

Aşa, tetraedru este o suprafață formată din patru triunghiuri.

Marginea tetraedrului- linia de intersecție a două plane ale tetraedrului.

Faceți 4 triunghiuri egale din 6 potriviri. Este imposibil să rezolvi problema într-un avion. Și acest lucru este ușor de făcut în spațiu. Să luăm un tetraedru. 6 chibrituri sunt marginile sale, cele patru fețe ale tetraedrului și vor fi patru triunghiuri egale. Problema este rezolvată.

Dat un tetraedru ABCD. Punct M aparține unei margini a tetraedrului AB, punct N aparține unei margini a tetraedrului ÎNDși punct R aparține marginii DCU(Fig. 2.). Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan MNP.

Orez. 2. Desen pentru problema 2 - Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Luați în considerare fața unui tetraedru DSoare. Pe această față a subiectului NŞi P aparțin fețelor DSoare, și deci tetraedrul. Dar după condiția punctului N, P aparțin planului de tăiere. Mijloace, NP- aceasta este linia de intersecție a două plane: planul feței DSoareși planul de tăiere. Să presupunem că linii drepte NPŞi Soare nu paralel. Ei zac în același plan DSoare. Să găsim punctul de intersecție al liniilor NPŞi Soare. Să o notăm E(Fig. 3.).

Orez. 3. Desen pentru problema 2. Găsirea punctului E

Punct E aparține planului de secțiune MNP, deoarece se află pe linie NP, și linia dreaptă NP se află în întregime în planul de secțiune MNP.

De asemenea, punct E zace într-un avion ABC, pentru că se află pe o linie dreaptă Soare din avion ABC.

Înțelegem asta EM- linia de intersecție a planelor ABCŞi MNP, din moment ce puncte EŞi M se află simultan în două planuri - ABCŞi MNP. Să conectăm punctele MŞi E, și continuați drept EM până la intersecția cu linia AC. Punctul de intersecție al liniilor EMŞi AC să notăm Q.

Deci in acest caz NPQМ- secțiunea necesară.

Orez. 4. Desen pentru problema 2. Rezolvarea problemei 2

Să luăm acum în considerare cazul când NP paralel B.C.. Dacă drept NP paralel cu o linie, de exemplu, o linie dreaptă Soare din avion ABC, apoi drept NP paralel cu întregul plan ABC.

Planul de secțiune necesar trece prin linie dreaptă NP, paralel cu planul ABC, și intersectează planul într-o linie dreaptă MQ. Deci linia de intersecție MQ paralel cu linia NP. Primim NPQМ- secțiunea necesară.

Punct M se află pe marginea laterală ODÎN tetraedru ABCD. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin punct M paralel cu baza ABC.

Orez. 5. Desen pentru problema 3 Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Planul de tăiere φ paralel cu planul ABC conform condiției, aceasta înseamnă că acest avion φ paralele cu liniile AB, AC, Soare.
În avion ABD prin punct M hai sa facem un direct PQ paralel AB(Fig. 5). Drept PQ zace într-un avion ABD. La fel și în avion ACD prin punct R hai sa facem un direct PR paralel AC. Am un punct R. Două linii care se intersectează PQŞi PR avion PQR respectiv paralel cu două drepte care se intersectează ABŞi AC avion ABC, ceea ce înseamnă avioane ABCŞi PQR paralel. PQR- secțiunea necesară. Problema este rezolvată.

Dat un tetraedru ABCD. Punct M- punct intern, punct de pe fața tetraedrului ABD. N- punctul intern al segmentului DCU(Fig. 6.). Construiți punctul de intersecție al unei drepte N.M.și avioane ABC.

Orez. 6. Desen pentru problema 4

Soluţie:
Pentru a rezolva acest lucru, vom construi un plan auxiliar DMN. Să fie drept DM intersectează linia AB în punct LA(Fig. 7.). Apoi, SKD- aceasta este o secțiune a avionului DMNși tetraedru. În avion DMN minciuni si dreptate N.M., și linia dreaptă rezultată SK. Deci dacă N.M. nu paralel SK, apoi se vor intersecta la un moment dat R. Punct Rși acolo va fi punctul de intersecție dorit al dreptei N.M.și avioane ABC.

Orez. 7. Desen pentru problema 4. Rezolvarea problemei 4

Dat un tetraedru ABCD. M- punctul intern al fetei ABD. R- punctul intern al fetei ABC. N- punctul intern al marginii DCU(Fig. 8.). Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan care trece prin puncte M, NŞi R.

Orez. 8. Desen pentru problema 5 Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Să luăm în considerare primul caz, când linia dreaptă MN nu paralel cu planul ABC. În problema anterioară am găsit punctul de intersecție al dreptei MNși avioane ABC. Acesta este punctul LA, se obtine folosind planul auxiliar DMN, adică conducem DMși obținem un punct F. Realizam CF iar la intersectie MN primim un punct LA.

Orez. 9. Desen pentru problema 5. Găsirea punctului K

Să facem o directă KR. Drept KR se află atât în ​​planul de secţiune cât şi în plan ABC. Obținerea punctelor P 1Şi R 2. Conectare P 1Şi Mși ca o continuare obținem ideea M 1. Conectarea punctului R 2Şi N. Drept urmare, obținem secțiunea dorită Р 1 Р 2 NM 1. Problema in primul caz este rezolvata.
Să luăm în considerare al doilea caz, când linia dreaptă MN paralel cu planul ABC. Avion MNP trece printr-o linie dreaptă MN paralel cu planul ABCși intersectează planul ABC de-a lungul vreunei linii drepte R1R2, apoi drept R1R2 paralel cu linia dată MN(Fig. 10.).

Orez. 10. Desen pentru problema 5. Secțiunea necesară

Acum să tragem o linie dreaptă R 1 Mși obținem un punct M 1.P 1 P 2 NM 1- secțiunea necesară.

Deci, ne-am uitat la tetraedru și am rezolvat câteva probleme tipice cu tetraedrul. În lecția următoare ne vom uita la un paralelipiped.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : bolnav. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (de bază și niveluri de profil)

2. Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru instituțiile de învățământ general

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p. :il. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituțiile de învățământ general cu studiu aprofundat și de specialitate al matematicii

Resurse web suplimentare

2. Cum se construiește o secțiune transversală a unui tetraedru. Matematică ().

3. Festivalul idei pedagogice ().

Faceți probleme acasă pe tema „Tetraedru”, cum să găsiți marginea unui tetraedru, fețele unui tetraedru, vârfurile și suprafața unui tetraedru

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. Sarcinile 18, 19, 20 p. 50

2. Punct E coasta mijlocie MA tetraedru MAVS. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin puncte B, CŞi E.

3. În tetraedrul MABC, punctul M aparține feței AMV, punctul P aparține feței BMC, punctul K aparține muchiei AC. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin puncte M, R, K.

4. Ce forme se pot obține în urma intersecției unui tetraedru cu un plan?

Problemele care implică construirea de secțiuni ale unui cub folosind un plan sunt, de regulă, mai simple decât, de exemplu, problemele care implică secțiuni ale unei piramide.

Putem trasa o linie dreaptă prin două puncte dacă acestea se află în același plan. Când construiți secțiuni ale unui cub, este posibilă o altă opțiune pentru construirea unei urme a unui plan de tăiere. Deoarece al treilea plan intersectează două plane paralele de-a lungul unor linii paralele, atunci dacă o linie dreaptă a fost deja construită pe una dintre fețe, iar în cealaltă există un punct prin care trece secțiunea, atunci putem trage o linie paralelă cu aceasta. punct prin acest punct.

Să ne uităm la exemple specifice despre cum să construim secțiuni ale unui cub folosind un plan.

1) Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin punctele A, C și M.

Problemele de acest tip sunt cele mai simple dintre toate problemele pentru construirea secțiunilor unui cub. Deoarece punctele A și C se află în același plan (ABC), putem trage o linie dreaptă prin ele. Urma sa este segmentul AC. Este invizibil, așa că înfățișăm AC cu o lovitură. În mod similar, conectăm punctele M și C, care se află în același plan (CDD1) și punctele A și M, care se află în același plan (ADD1). Triunghiul ACM este secțiunea necesară.

2) Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin punctele M, N, P.

Aici doar punctele M și N se află în același plan (ADD1), așa că tragem o linie dreaptă prin ele și obținem o urmă MN (invizibilă). Deoarece fețele opuse ale cubului se află în planuri paralele, planul de tăiere intersectează planurile paralele (ADD1) și (BCC1) de-a lungul liniilor paralele. Am construit deja una dintre liniile paralele - aceasta este MN.

Prin punctul P trasăm o dreaptă paralelă cu MN. Intersectează muchia BB1 în punctul S. PS este urma planului de tăiere în față (BCC1).

Tragem o linie dreaptă prin punctele M și S situate în același plan (ABB1). Am primit o urmă de SM (vizibilă).

Planurile (ABB1) și (CDD1) sunt paralele. Există deja o linie dreaptă MS în plan (ABB1), așa că prin punctul N din plan (CDD1) tragem o dreaptă paralelă cu MS. Această linie intersectează muchia D1C1 în punctul L. Urma sa este NL (invizibilă). Punctele P și L se află în același plan (A1B1C1), așa că tragem o linie dreaptă prin ele.

Pentagonul MNLPS este secțiunea necesară.

3) Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin punctele M, N, P.

Punctele M și N se află în același plan (ВСС1), astfel încât prin ele poate fi trasată o linie dreaptă. Obținem urma MN (vizibilă). Planul (BCC1) este paralel cu planul (ADD1), prin urmare, prin punctul P situat în (ADD1), tragem o dreaptă paralelă cu MN. Intersectează muchia AD în punctul E. Am obținut o urmă PE (invizibilă).

Nu mai există puncte situate în același plan sau o linie dreaptă și puncte în planuri paralele. Prin urmare, trebuie să continuăm una dintre liniile existente pentru a obține un punct suplimentar.

Dacă continuăm dreapta MN, atunci, deoarece se află în planul (BCC1), trebuie să căutăm punctul de intersecție al lui MN cu una dintre liniile acestui plan. Există deja puncte de intersecție cu CC1 și B1C1 - acestea sunt M și N. Ceea ce rămân sunt drepte BC și BB1. Să continuăm BC și MN până când se intersectează în punctul K. Punctul K se află pe linia BC, ceea ce înseamnă că aparține planului (ABC), deci putem trage o dreaptă prin el și punctul E, care se află în acest plan. Intersectează marginea CD în punctul H. EH este urma sa (invizibilă). Deoarece H și N se află în același plan (CDD1), o linie dreaptă poate fi trasată prin ele. Obținem o urmă HN (invizibilă).

Planurile (ABC) și (A1B1C1) sunt paralele. Într-una dintre ele există o dreaptă EH, în cealaltă există un punct M. Putem trasa o dreaptă paralelă cu EH prin M. Obținem urma MF (vizibilă). Desenați o dreaptă prin punctele M și F.

Hexagonul MNHEPF este secțiunea necesară.

Dacă ar fi să continuăm dreapta MN până când aceasta se intersectează cu un alt plan drept (BCC1), BB1, am obține punctul G aparținând planului (ABB1). Aceasta înseamnă că prin G și P putem trage o linie dreaptă a cărei urmă este PF. Apoi, trasăm linii drepte prin puncte situate în planuri paralele și ajungem la același rezultat.

Lucrul cu PE drept dă aceeași secțiune MNHEPF.

4) Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin punctul M, N, P.

Aici putem trage o linie dreaptă prin punctele M și N situate în același plan (A1B1C1). Amprenta ei este MN (vizibilă). Nu mai există puncte situate în același plan sau în planuri paralele.

Să continuăm linia dreaptă MN. Se află în plan (A1B1C1), deci se poate intersecta doar cu una dintre liniile acestui plan. Există deja puncte de intersecție cu A1D1 și C1D1 - N și M. Încă două linii drepte ale acestui plan - A1B1 și B1C1. Punctul de intersecție a lui A1B1 și MN este S. Deoarece se află pe linia A1B1, aparține planului (ABB1), ceea ce înseamnă că prin el poate fi trasată o dreaptă și punctul P, care se află în același plan. Linia PS intersectează muchia AA1 în punctul E. PE este urma sa (vizibilă). Prin punctele N și E, situate în același plan (ADD1), puteți trage o linie dreaptă, a cărei urmă este NE (invizibilă). În planul (ADD1) există o dreaptă NE, în planul paralel cu aceasta (BCC1) există un punct P. Prin punctul P putem trasa o dreaptă PL paralelă cu NE. Intersectează muchia CC1 în punctul L. PL este urma acestei drepte (vizibilă). Punctele M și L se află în același plan (CDD1), ceea ce înseamnă că prin ele poate fi trasă o linie dreaptă. Urma ei este ML (invizibil). Pentagonul MLPEN este secțiunea necesară.

A fost posibil să se continue linia dreaptă NM în ambele direcții și să se caute punctele ei de intersecție nu numai cu dreapta A1B1, ci și cu dreapta B1C1, care se află și în plan (A1B1C1). În acest caz, prin punctul P trasăm două drepte deodată: una în plan (ABB1) prin punctele P și S, iar a doua în plan (BCC1), prin punctele P și R. După care rămâne de conectat puncte situate în același plan: M c L, E - cu N.

Știți cum se numește secțiunea poliedrelor după un plan? Dacă încă te îndoiești de corectitudinea răspunsului tău la această întrebare, te poți verifica destul de simplu. Vă sugerăm să faceți un scurt test mai jos.

Întrebare. Care este numărul figurii care arată secțiunea unui paralelipiped după un plan?

Deci, răspunsul corect este în figura 3.

Dacă răspunzi corect, confirmă că înțelegi cu ce ai de-a face. Dar, din păcate, chiar și răspunsul corect la o întrebare test nu vă garantează cele mai mari note la lecțiile cu tema „Secțiuni de poliedre”. La urma urmei, cel mai dificil lucru nu este recunoașterea secțiunilor în desenele finite, deși acest lucru este foarte important, dar construcția lor.

Pentru început, să formulăm definiția unei secțiuni a unui poliedru. Deci, o secțiune a unui poliedru este un poligon ale cărui vârfuri se află pe marginile poliedrului și ale cărui laturi se află pe fețele sale.

Acum să exersăm rapid și precis construirea punctelor de intersecție rândul dat cu avion dat. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm următoarea problemă.

Construiți punctele de intersecție ale dreptei MN cu planele bazelor inferioare și superioare prismă triunghiulară ABCA 1 B 1 C 1, cu condiția ca punctul M să aparțină muchiei laterale CC 1, iar punctul N să aparțină muchiei BB 1.

Să începem prin a extinde linia dreaptă MN în ambele direcții în desen (Fig. 1). Apoi, pentru a obține punctele de intersecție cerute de problemă, extindem liniile aflate în bazele superioare și inferioare. Și acum vine cel mai dificil moment în rezolvarea problemei: ce linii din ambele baze trebuie extinse, deoarece fiecare dintre ele are trei linii.

Pentru a finaliza corect etapa finală a construcției, este necesar să stabilim care dintre bazele directe se află în același plan cu dreapta MN care ne interesează. În cazul nostru, acesta este CB drept în bazele inferioare și C 1 B 1 în bazele superioare. Și tocmai pe acestea le extindem până când se intersectează cu linia dreaptă NM (Fig. 2).

Punctele rezultate P și P 1 sunt punctele de intersecție ale dreptei MN cu planele bazelor superioare și inferioare ale prismei triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 .

După analizarea problemei prezentate, puteți trece direct la construirea secțiunilor de poliedre. Punctul cheie Aici va exista un raționament care vă va ajuta să ajungeți la rezultatul dorit. Ca rezultat, în cele din urmă vom încerca să creăm un șablon care să reflecte succesiunea acțiunilor atunci când rezolvăm probleme de acest tip.

Deci, să luăm în considerare următoarea problemă. Construiți o secțiune a unei prisme triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 după un plan care trece prin punctele X, Y, Z aparținând muchiilor AA 1, AC și, respectiv, BB 1.

Soluție: Să desenăm un desen și să stabilim ce perechi de puncte se află în același plan.

Perechile de puncte X și Y, X și Z pot fi conectate, deoarece se află în același plan.

Să construim un punct suplimentar care să se afle pe aceeași față cu punctul Z. Pentru a face acest lucru, vom extinde liniile XY și CC 1, deoarece se află în planul feței AA 1 C 1 C. Să numim punctul rezultat P.

Punctele P și Z se află în același plan - în planul feței CC 1 B 1 B. Prin urmare, le putem conecta. Linia dreaptă PZ intersectează muchia CB într-un anumit punct, să-i spunem T. Punctele Y și T se află în planul inferior al prismei, leagă-le. Astfel, s-a format patrulaterul YXZT, iar aceasta este secțiunea dorită.

Să rezumam. Pentru a construi o secțiune a unui poliedru cu un plan, trebuie să:

1) trageți linii drepte prin perechi de puncte situate în același plan.

2) găsiți dreptele de-a lungul cărora se intersectează planele de secțiune și fețele poliedrului. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale unei linii drepte aparținând planului de secțiune cu o linie dreaptă situată pe una dintre fețe.

Procesul de construire a secțiunilor de poliedre este complicat deoarece este diferit în fiecare caz specific. Și nicio teorie nu o descrie de la început până la sfârșit. Există într-adevăr doar unul calea corectăînvățarea de a construi rapid și precis secțiuni ale oricărei poliedre este o practică constantă. Cu cât construiți mai multe secțiuni, cu atât vă va fi mai ușor să faceți acest lucru în viitor.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

După cum știți, orice examen de matematică conține rezolvarea de probleme ca parte principală. Capacitatea de a rezolva probleme este principalul indicator al nivelului de dezvoltare matematică.

Destul de des la examenele școlare, precum și la examenele susținute la universități și școli tehnice, există cazuri când studenții arată rezultate buneîn domeniul teoriei, cei care cunosc toate definițiile și teoremele necesare se încurcă atunci când rezolvă probleme foarte simple.

Pe parcursul anilor de școală, fiecare elev decide număr mare sarcini, dar aceleași sarcini sunt oferite tuturor elevilor. Și dacă unii elevi învață reguli generaleși metode de rezolvare a problemelor, apoi alții, întâmpinând o problemă de tip necunoscut, nici măcar nu știu cum să o abordeze.

Unul dintre motivele acestei situații este că, în timp ce unii elevi se adâncesc în procesul de rezolvare a unei probleme și încearcă să realizeze și să înțeleagă tehnicile și metodele generale de rezolvare a acestora, alții nu se gândesc la asta și încearcă să rezolve la fel de repede problemele propuse. pe cât posibil.

Mulți elevi nu analizează problemele în curs de rezolvare și nu identifică tehnici și metode generale de rezolvare a acestora. În astfel de cazuri, problemele sunt rezolvate doar de dragul obținerii răspunsului dorit.

De exemplu, mulți studenți nici măcar nu știu care este esența rezolvării problemelor de construcție. Dar sarcini de construcție sunt sarcini obligatorii la cursul de stereometrie. Aceste probleme nu sunt doar frumoase și originale în metodele lor de rezolvare, dar au și o mare valoare practică.

Datorită sarcinilor de construcție, se dezvoltă capacitatea de a imagina mental una sau alta. figură geometrică, gândirea spațială se dezvoltă, gândire logică, precum și intuiția geometrică. Problemele de construcție dezvoltă abilități practice de rezolvare a problemelor.

Problemele de construcție nu sunt simple, deoarece nu există o singură regulă sau un algoritm pentru rezolvarea lor. Fiecare sarcină nouă este unică și necesită o abordare individuală a soluției.

Procesul de rezolvare a oricărei probleme de construcție este o succesiune a unor construcții intermediare care conduc la obiectiv.

Construcția secțiunilor poliedrelor se bazează pe următoarele axiome:

1) Dacă două puncte ale unei linii se află într-un anumit plan, atunci întreaga linie se află în acest plan;

2) Dacă două plane au un punct comun, atunci ele se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin acest punct.

Teorema: Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci liniile drepte de intersecție sunt paralele.

Construiți o secțiune a poliedrului cu un plan care trece prin punctele A, B și C. Luați în considerare următoarele exemple.

Metoda urmei

eu. Construi secțiunea transversală a prismei un plan care trece printr-o dreaptă dată g (urmă) pe planul uneia dintre bazele prismei și punctului A.

Cazul 1.

Punctul A aparține unei alte baze a prismei (sau unei fețe paralele cu linia g) - planul de tăiere intersectează această bază (față) de-a lungul segmentului BC paralel cu urma g .

Cazul 2.

Punctul A aparține feței laterale a prismei:

Segmentul BC al dreptei AD este intersecția acestei fețe cu planul de tăiere.

Cazul 3.

Construcția unei secțiuni prismă pătrangulară un plan care trece prin dreapta g în planul bazei inferioare a prismei și punctul A pe una dintre muchiile laterale.

II. Construi secțiune transversală a unei piramide un plan care trece printr-o dreaptă dată g (urmă) pe planul bazei piramidei și al punctului A.

Pentru a construi o secțiune a unei piramide cu un plan, este suficient să construiți intersecțiile fețelor sale laterale cu planul de tăiere.

Cazul 1.

Dacă punctul A aparține unei fețe paralele cu dreapta g, atunci planul de tăiere intersectează această față de-a lungul segmentului BC paralel cu urma lui g.

Cazul 2.

Dacă punctul A, aparținând secțiunii, este situat pe o față care nu este paralelă cu fața urmei g, atunci:

1) se construiește punctul D în care planul feței intersectează urma dată g;

2) trageți o linie dreaptă prin punctele A și D.

Segmentul BC al dreptei AD este intersecția acestei fețe cu planul de tăiere.

Capetele segmentului BC aparțin și ele fețelor învecinate. Prin urmare, folosind metoda descrisă, este posibil să se construiască intersecția acestor fețe cu planul de tăiere. etc.

Cazul 3.

Construcția unei secțiuni piramidă patruunghiulară un plan care trece prin latura bazei și punctul A pe una dintre marginile laterale.

Probleme care implică construirea de secțiuni printr-un punct de pe o față

1. Construiți o secțiune a tetraedrului ABCD printr-un plan care trece prin vârful C și punctele M și N de pe fețele ACD și, respectiv, ABC.

Punctele C și M se află pe fața ACD, ceea ce înseamnă că linia dreaptă CM se află în planul acestei fețe (Fig. 1).

Fie P punctul de intersecție al dreptelor CM și AD. În mod similar, punctele C și N se află în fața ACB, ceea ce înseamnă că linia dreaptă CN se află în planul acestei fețe. Fie Q punctul de intersecție al dreptelor CN și AB. Punctele P și Q aparțin atât planului de secțiune, cât și feței ABD. Prin urmare, segmentul PQ este latura secțiunii. Deci, triunghiul CPQ este secțiunea necesară.

2. Construiți o secțiune a tetraedrului ABCD după planul MPN, unde punctele M, N, P se află respectiv pe muchia AD, în fața BCD și în fața ABC, iar MN nu este paralel cu planul feței ABC. (Fig. 2).

Mai ai întrebări? Nu știți cum să construiți o secțiune transversală a unui poliedru?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

În timpul lecției, toată lumea își va putea face o idee despre subiectul "Probleme la construirea secțiunilor într-un paralelipiped.” În primul rând, vom trece în revistă cele patru proprietăți de bază ale suportului unui paralelipiped. Apoi, folosindu-le, vom rezolva câteva probleme tipice privind construirea secțiunilor într-un paralelipiped și determinarea ariei secțiunii transversale a unui paralelipiped.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Probleme privind construirea secțiunilor într-un paralelipiped

În timpul lecției, toată lumea își va putea face o idee despre subiect „Probleme la construirea secțiunilor într-un paralelipiped”.

Să luăm în considerare paralelipipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 1). Să ne amintim proprietățile sale.

Orez. 1. Proprietățile unui paralelipiped

1) Fețe opuse (paralelograme egale) se află în planuri paralele.

De exemplu, paralelogramele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale (adică pot fi suprapuse) și se află în planuri paralele.

2) Lungimile muchiilor paralele sunt egale.

De exemplu, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (Fig. 2).

Orez. 2. Lungimile muchiilor opuse ale paralelipipedului sunt egale

3) Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

De exemplu, diagonalele paralelipipedului BD 1 și B 1 D se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct (Fig. 3).

4) Secțiunea transversală a unui paralelipiped poate fi triunghi, patrulater, pentagon, hexagon.

Problemă privind secțiunea transversală a unui paralelipiped

De exemplu, luați în considerare rezolvarea următoarei probleme. Având în vedere un paralelipiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 și punctele M, N, K de pe marginile AA 1, A 1 D 1, respectiv A 1 B 1 (Fig. 4). Construiți secțiuni ale paralelipipedului folosind planul MNK. Punctele M și N se află simultan în planul AA 1 D 1 și în planul de tăiere. Aceasta înseamnă că MN este linia de intersecție a celor două plane indicate. În mod similar, obținem MK și KN. Adică, secțiunea transversală va fi triunghiul MKN.

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 13, 14, 15 p. 50

2. Dat un paralelipiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. M și N sunt punctele medii ale muchiilor DC și A 1 B 1.

a) Construiți punctele de intersecție ale dreptelor AM și AN cu planul feței BB 1 C 1 C.

b) Construiți linia de intersecție a planelor AMN și BB 1 C 1

3. Construiți secțiuni ale paralelipipedului ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cu un plan care trece prin BC 1 și mijlocul M al muchiei DD 1.