Nu voi încerca să te conving să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și de ce sunt utile foile de înșelăciune. Și aici sunt informații despre cum să nu înveți, dar să reții câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat Folosim asocieri pentru memorare!

1. Formule de adunare:

Cosinusurile „vin întotdeauna în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. „Totul este în neregulă” pentru ei, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - „mix”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinusurile „vin mereu în perechi”. Adăugând două cosinus - „koloboks”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom obține niciun kolobok. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - „mix” :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și diferență.

Când obținem o pereche de cosinus? Când adăugăm cosinus. De aceea

Când primim câteva sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât la adăugarea, cât și la scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă se adună:

În prima și a treia formulă, suma este între paranteze. Rearanjarea locurilor termenilor nu modifică suma. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând - suma

Cheat sheets în buzunar vă oferă liniște sufletească: dacă uitați formula, o puteți copia. Și îți dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, îți poți aminti cu ușurință formulele.

Sunt specificate relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și deoarece există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să reduceți gradul, al patrulea - exprimă toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice de bază definiți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente a unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule de reducere

Formule de reducere rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea de simetrie, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale acelor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere a gradului

Formule trigonometrice pentru reducerea gradelor sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți puterile funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvare ecuații trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența dintre sinusuri și cosinusuri.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la o sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către cleverstudents

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și aspectul, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Examen de stat unificat pentru 4? Nu vei izbucni de fericire?

Intrebarea, dupa cum se spune, este interesanta... Se poate, se poate trece cu 4! Și în același timp să nu izbucnești... Condiția principală este să faci exerciții regulate. Iată pregătirea de bază pentru examenul de stat unificat la matematică. Cu toate secretele și misterele examenului de stat unificat, despre care nu veți citi în manuale... Studiați această secțiune, rezolvați mai multe sarcini din diverse surse - și totul va funcționa! Se presupune că secțiunea de bază „A C este suficient pentru tine!” nu iti pune probleme. Dar dacă dintr-o dată... Urmărește linkurile, nu fi leneș!

Și vom începe cu un subiect grozav și teribil.

Trigonometrie

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest subiect creează o mulțime de probleme studenților. Este considerat unul dintre cele mai severe. Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente? Ce este un cerc numeric? De îndată ce pui aceste întrebări inofensive, persoana devine palidă și încearcă să distragă conversația... Dar în zadar. Acestea sunt concepte simple. Și acest subiect nu este mai dificil decât alții. Trebuie doar să înțelegeți clar răspunsurile la aceste întrebări chiar de la început. Acest lucru este foarte important. Dacă înțelegeți, vă va plăcea trigonometria. Aşa,

Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente?

Să începem cu vremurile străvechi. Nu vă faceți griji, vom trece prin toate cele 20 de secole de trigonometrie în aproximativ 15 minute și, fără să observăm, vom repeta o bucată de geometrie din clasa a VIII-a.

Să desenăm un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, cși unghi X. Iată-l.

Permiteți-mi să vă reamintesc că laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. a și c– picioare. Sunt doi dintre ei. Latura rămasă se numește ipotenuză. Cu– ipotenuza.

Triunghi și triunghi, gândește-te! Ce să faci cu el? Dar oamenii din vechime știau ce să facă! Să le repetăm ​​acțiunile. Să măsurăm latura V. În figură, celulele sunt desenate special, ca în Teme de examen de stat unificat Se întâmplă. Latura V egal cu patru celule. BINE. Să măsurăm latura O. Trei celule.

Acum să împărțim lungimea laturii O pe lungimea laturii V. Sau, cum se spune și ei, să luăm atitudinea O La V. a/v= 3/4.

Dimpotrivă, puteți împărți V pe O. Primim 4/3. Can Vîmpărțiți cu Cu. Ipotenuză Cu Este imposibil de numărat după celule, dar este egal cu 5. Obținem calitate superioară= 4/5. Pe scurt, puteți împărți lungimile laturilor între ele și puteți obține câteva numere.

Şi ce dacă? Ce rost are asta activitate interesantă? Nici unul încă. Un exercițiu fără rost, ca să spunem direct.)

Acum hai să facem asta. Să mărim triunghiul. Să extindem părțile laterale in si cu, dar astfel încât triunghiul să rămână dreptunghiular. Colţ X, desigur, nu se schimbă. Pentru a vedea acest lucru, plasați mouse-ul peste imagine sau atingeți-o (dacă aveți o tabletă). petreceri a, b și c se va transforma in m, n, k, și, desigur, lungimile laturilor se vor schimba.

Dar relația lor nu este!

Atitudine a/v a fost: a/v= 3/4, a devenit m/n= 6/8 = 3/4. Relațiile celorlalte părți relevante sunt, de asemenea nu se va schimba . Puteți modifica lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic după cum doriți, creșteți, micșorați, fără a modifica unghiul x – relația dintre părțile relevante nu se va schimba . Puteți să-l verificați sau puteți crede cuvantul oamenilor din vechime.

Dar acest lucru este deja foarte important! Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic nu depind în niciun fel de lungimile laturilor (la același unghi). Acest lucru este atât de important încât relația dintre părți și-a câștigat propriul nume special. Numele dumneavoastră, ca să spunem așa.) Întâlnește-te.

Care este sinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre latura opusă față de ipotenuză:

sinx = a/c

Care este cosinusul unghiului x ? Este o atitudine picior alăturat la ipotenuza:

Cuosx= calitate superioară

Ce este tangenta x ? Acesta este raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:

tgx =a/v

Care este cotangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre latura adiacentă și cea opusă:

ctgx = v/a

Este foarte simplu. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt câteva numere. Fără dimensiuni. Doar numere. Fiecare unghi are al lui.

De ce repet totul atât de plictisitor? Atunci ce este asta trebuie să-ți amintești. Este important să ne amintim. Memorarea poate fi mai ușoară. Este cunoscută expresia „Să începem de la distanță...”? Așa că începe de departe.

Sinusul unghiul este un raport îndepărtat de la unghiul catetei la ipotenuză. Cosinus– raportul dintre vecin și ipotenuză.

Tangentă unghiul este un raport îndepărtat de la unghiul piciorului la cel apropiat. Cotangentă- viceversa.

E mai ușor, nu?

Ei bine, dacă vă amintiți că în tangentă și cotangentă există doar catete, iar în sinus și cosinus apare ipotenuza, atunci totul va deveni destul de simplu.

Toată această familie glorioasă - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea numite funcții trigonometrice.

Și acum o întrebare de luat în considerare.

De ce spunem sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ? Vorbim despre relația dintre părți, de genul... Ce legătură are cu asta? colţ?

Să ne uităm la a doua poză. Exact la fel ca primul.

Treceți mouse-ul peste imagine. Am schimbat unghiul X. A crescut de la x la x. Toate relațiile s-au schimbat! Atitudine a/v a fost de 3/4, iar raportul corespunzător televizor a devenit 6/4.

Și toate celelalte relații au devenit diferite!

Prin urmare, rapoartele laturilor nu depind în niciun fel de lungimile lor (la un unghi x), ci depind foarte mult chiar de acest unghi! Și numai de la el. Prin urmare, termenii sinus, cosinus, tangentă și cotangentă se referă la colţ. Unghiul de aici este cel principal.

Trebuie să se înțeleagă clar că unghiul este indisolubil legat de funcțiile sale trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria sa tangentă și cotangentă. Acest lucru este important. Se crede că, dacă ni se dă un unghi, atunci sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestuia stim noi ! Și invers. Având în vedere un sinus sau orice altă funcție trigonometrică, înseamnă că știm unghiul.

Există tabele speciale în care pentru fiecare unghi sunt descrise funcțiile sale trigonometrice. Se numesc mese Bradis. Au fost compilate cu foarte mult timp în urmă. Când încă nu existau calculatoare sau calculatoare...

Desigur, este imposibil să memorezi funcțiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor. Vi se cere să le cunoașteți doar pentru câteva unghiuri, mai multe despre asta mai târziu. Dar vraja Cunosc un unghi, ceea ce înseamnă că îi cunosc funcțiile trigonometrice” - merge mereu!

Așa că am repetat o bucată de geometrie din clasa a VIII-a. Avem nevoie de el pentru examenul de stat unificat? Necesar. Iată o problemă tipică de la examenul de stat unificat. Pentru a rezolva această problemă, clasa a VIII-a este suficientă. Poza dată:

Toate. Nu mai sunt date. Trebuie să găsim lungimea laterală a aeronavei.

Celulele nu prea ajută, triunghiul este poziționat cumva greșit.... Intenționat, presupun... Din informații rezultă lungimea ipotenuzei. 8 celule. Din anumite motive, unghiul a fost dat.

Aici trebuie să vă amintiți imediat despre trigonometrie. Există un unghi, ceea ce înseamnă că îi cunoaștem toate funcțiile trigonometrice. Pe care dintre cele patru funcții ar trebui să folosim? Să vedem, ce știm? Știm ipotenuza și unghiul, dar trebuie să găsim adiacent cateter la acest colt! Este clar, cosinusul trebuie pus în acțiune! Începem. Pur și simplu scriem, după definiția cosinusului (raportul adiacent picior la ipotenuză):

cosC = BC/8

Unghiul nostru C este de 60 de grade, cosinusul său este 1/2. Trebuie să știi asta, fără tabele! Aşa:

1/2 = BC/8

Elementar ecuație liniară. Necunoscut - Soare. Cei care au uitat cum să rezolve ecuații, aruncați o privire pe link, restul rezolvă:

BC = 4

Când oamenii antici și-au dat seama că fiecare unghi are propriul său set de funcții trigonometrice, au avut o întrebare rezonabilă. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt într-un fel legate între ele? Deci, cunoscând o funcție de unghi, le puteți găsi pe celelalte? Fără a calcula unghiul în sine?

Erau atât de neliniştiţi...)

Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi.

Desigur, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt legate între ele. Orice legătură între expresii este dată în matematică prin formule. În trigonometrie există un număr colosal de formule. Dar aici ne vom uita la cele mai elementare. Aceste formule se numesc: identități trigonometrice de bază. Iată-le:

Trebuie să cunoașteți temeinic aceste formule. Fără ele, în general, nu există nimic de făcut în trigonometrie. Din aceste identități de bază urmează încă trei identități auxiliare:

Te avertizez imediat că ultimele trei formule îți ies repede din memorie. Din anumite motive.) Puteți, desigur, să derivați aceste formule din primele trei. Dar, în moment dificil... Înţelegi.)

În problemele standard, precum cele de mai jos, există o modalitate de a evita aceste formule de uitat. ŞI reduce drastic erorile din cauza uitării, dar și în calcule. Această practică este în Secțiunea 555, lecția „Relații între funcțiile trigonometrice cu același unghi”.

În ce sarcini și cum sunt utilizate identitățile trigonometrice de bază? Cea mai populară sarcină este să găsești o funcție unghiulară dacă este dată alta. În examenul de stat unificat o astfel de sarcină este prezentă de la an la an.) De exemplu:

Aflați valoarea lui sinx dacă x este un unghi ascuțit și cosx=0,8.

Sarcina este aproape elementară. Căutăm o formulă care să conțină sinus și cosinus. Iată formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Inlocuim aici o valoare cunoscuta, si anume, 0,8 in loc de cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ei bine, numărăm ca de obicei:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Asta e practic tot. Am calculat pătratul sinusului, nu rămâne decât să extragem rădăcina pătrată și răspunsul este gata! Rădăcina lui 0,36 este 0,6.

Sarcina este aproape elementară. Dar cuvântul „aproape” există pentru un motiv... Faptul este că răspunsul sinx= - 0,6 este de asemenea potrivit... (-0,6) 2 va fi și 0,36.

Există două răspunsuri diferite. Și ai nevoie de unul. Al doilea este greșit. cum sa fii!? Da, ca de obicei.) Citiți cu atenție sarcina. Din anumite motive, scrie:... daca x este un unghi ascutit...Și în sarcini, fiecare cuvânt are un sens, da... Această frază este o informație suplimentară pentru soluție.

Un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90°. Și în astfel de colțuri Toate funcții trigonometrice - sinus, cosinus și tangentă cu cotangentă - pozitiv. Aceste. Pur și simplu eliminăm răspunsul negativ aici. Avem dreptul.

De fapt, elevii de clasa a opta nu au nevoie de asemenea subtilități. Ele funcționează doar cu triunghiuri dreptunghiulare, unde colțurile pot fi doar acute. Și nu știu, fericiți, că există atât unghiuri negative, cât și unghiuri de 1000°... Și toate aceste unghiuri groaznice au propriile lor funcții trigonometrice, atât plus cât și minus...

Dar pentru elevii de liceu, fără să țină cont de semn - în niciun caz. Multa cunoastere inmulteste necazurile, da...) Si pt decizia corectă Sarcina trebuie să conțină informații suplimentare (dacă este necesar). De exemplu, poate fi dat de următoarea intrare:

Sau într-un alt mod. Veți vedea în exemplele de mai jos.) Pentru a rezolva astfel de exemple trebuie să știți În ce sfert se încadrează unghiul dat x și ce semn are funcția trigonometrică dorită în acest trimestru?

Aceste elemente de bază ale trigonometriei sunt discutate în lecțiile despre ce este un cerc trigonometric, măsurarea unghiurilor pe acest cerc, măsura în radian a unui unghi. Uneori trebuie să cunoașteți tabelul sinusurilor, cosinusurilor tangentelor și cotangentelor.

Deci, să notăm cel mai important lucru:

Sfaturi practice:

1. Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Va fi foarte util.

2. Înțelegem clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiuri. Știm un lucru, ceea ce înseamnă că știm altul.

3. Înțelegem clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi sunt legate între ele prin identități trigonometrice de bază. Cunoaștem o funcție, ceea ce înseamnă că le putem calcula (dacă avem informațiile suplimentare necesare) pe toate celelalte.

Acum să decidem, ca de obicei. În primul rând, sarcini din sfera clasei a VIII-a. Dar și liceenii o pot face...)

1. Calculați valoarea tgA dacă ctgA = 0,4.

2. β este un unghi dintr-un triunghi dreptunghic. Aflați valoarea lui tanβ dacă sinβ = 12/13.

3. Definiți sinusul unghi ascuțit x dacă tgх = 4/3.

4. Găsiți sensul expresiei:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Găsiți sensul expresiei:

(1-cosx)(1+cosx), dacă sinx = 0,3

Răspunsuri (separate prin punct și virgulă, în dezordine):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

A funcționat? Mare! Elevii de clasa a VIII-a pot deja să-și ia A.)

Nu a mers totul? Sarcinile 2 și 3 nu sunt cumva foarte bune...? Nici o problemă! Există o tehnică frumoasă pentru astfel de sarcini. Totul se poate rezolva practic fără formule! Și, prin urmare, fără erori. Această tehnică este descrisă în lecția: „Relații între funcțiile trigonometrice ale unui unghi” din Secțiunea 555. Toate celelalte sarcini sunt, de asemenea, tratate acolo.

Acestea au fost probleme precum examenul de stat unificat, dar într-o versiune redusă. Examen de stat unificat - lumină). Și acum aproape aceleași sarcini, dar într-un format cu drepturi depline. Pentru elevii de liceu împovărați de cunoștințe.)

6. Aflați valoarea lui tanβ dacă sinβ = 12/13 și

7. Determinați sinх dacă tgх = 4/3, iar x aparține intervalului (- 540°; - 450°).

8. Aflați valoarea expresiei sinβ cosβ dacă ctgβ = 1.

Răspunsuri (în dezordine):

0,8; 0,5; -2,4.

Aici in problema 6 unghiul nu este specificat foarte clar... Dar in problema 8 nu este specificat deloc! Acest lucru este intenționat). Informații suplimentare nu numai luat din sarcină, ci și din cap.) Dar dacă te hotărăști, o sarcină corectă este garantată!

Dacă nu te-ai hotărât? Hmm... Ei bine, secțiunea 555 va ajuta aici. Acolo soluțiile pentru toate aceste sarcini sunt descrise în detaliu, este greu de înțeles.

Această lecție oferă o înțelegere foarte limitată a funcțiilor trigonometrice. În clasa a VIII-a. Și bătrânii mai au întrebări...

De exemplu, dacă unghiul X(uită-te la a doua poză de pe această pagină) - fă-o prost!? Triunghiul se va destrama complet! Deci ce ar trebui să facem? Nu va exista picior, nici ipotenuză... Sinusul a dispărut...

Dacă oamenii din antichitate nu ar fi găsit o cale de ieșire din această situație, acum nu am avea telefoane mobile, televizor sau electricitate. Da, da! Baza teoretică pentru toate aceste lucruri fără funcții trigonometrice este zero fără un băț. Dar oamenii antici nu au dezamăgit. Cum au ieșit este în lecția următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Note importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum să faceți acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă Pentru

Sinus, cosinus, tangent, cotangent

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la de la început și înțelegeți conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Se numește un unghi de (un grad). unghiul centralîntr-un cerc, bazat pe un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de dimensiunea circumferinței.

Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.

Deci, figura prezintă un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iată-l:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:

Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului

Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile? triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghi drept), și, dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (distant) față de ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru.

Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinu → atinge → atinge → adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Cu ce ​​este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

Cu ce ​​este egal triunghiul? Ei bine desigur! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în nici un caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.

Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei revoluții completeși se oprește în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, deci:

Nu există;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.

De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru coordonata punctului.

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Astfel,

Deci, în vedere generală coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului,

Unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (în apropiere) și latura opusă (depărtată).

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit buna educatie, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiză detaliată și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC|

la lungimea piciorului adiacent |AB| . Cotangent () ctg α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB|

la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă Unde

n
.
;
;
.

- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:

la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă Unde

Graficul funcției tangente, y = tan x
.
Cotangentă
;
;
.

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei Periodicitate Funcțiile y = tg xși y =

ctg x

sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare. Tangentă Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere

	Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( Periodicitate	Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( tg x
- întreg).
y =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Domeniul de aplicare și continuitatea		-
Gama de valori	-
În creștere	-	-
Descendent 0
Extreme 0	Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( 0	-

Zerouri, y =

Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x =

; ;
; ;
;

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

;
;

Expresii folosind numere complexe

; .

.
Expresii prin funcții hiperbolice
.
Derivate

Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:

Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >> >>

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii în serie de putere pentru funcții sin xŞi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, .

Aceasta produce următoarele formule.

La .
la . Unde Bn
;
;
- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
Unde .

Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg Tangentă Unde

, Unde

Arctangent, arctg Tangentă Unde

Arccotangent, arcctg
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.