Cum se face verificarea matricei inverse. Găsiți matrice inversă online
Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă este îndeplinită condiția $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.
O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice singulară este una al cărei determinant este egal cu zero.
Matrice inversă$A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.
Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua metodă de găsire a matricei inverse (metoda transformărilor elementare), care presupune utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este discutată în partea a doua.
Metoda matricei adjuncte
Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:
- Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nesingulară.
- Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și scrieți matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din algebricul găsit completează.
- Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matricea $(A^(*))^T$ este adesea numită adjunctă (reciprocă, aliată) la matricea $A$.
Dacă soluția se face manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrici de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi inversul unei matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gaussiană, care este discutată în partea a doua.
Exemplul nr. 1
Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.
Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este singulară). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă matricei $A$.
Exemplul nr. 2
Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsirea complementelor algebrice
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)
Compunem o matrice de adunări algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transpunem matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matricea rezultată este adesea numită matrice adjunctă sau aliată matricei $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Deci, se găsește matricea inversă: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ și în forma $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(matrice )\right)$:
Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Exemplul nr. 3
Găsiți matricea inversă pentru matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element dintr-o matrice dată:
Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ și în forma $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Verificarea a avut succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.
Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Exemplul nr. 4
Găsiți inversul matricei a matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Cu toate acestea, astfel de exemple în testeîntâlni.
Pentru a găsi inversul unei matrice, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este extinderea determinantului de-a lungul unui rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementele algebrice ale fiecărui element din rândul sau coloana selectată.
Similar cu inversul în multe proprietăți.
YouTube enciclopedic
1 / 5
✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy
✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)
✪ Matrice inversă #1
✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3
✪ 27-01-2015. Matricea inversă 2x2
Subtitrări
Proprietățile unei matrice inverse
- det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
- (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Şi B (\displaystyle B).
- (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
- E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.
Metode de găsire a matricei inverse
Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:
Metode exacte (directe).
metoda Gauss-Jordan
Să luăm două matrice: the O si singura E. Să prezentăm matricea O la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.
Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Folosind matricea complementului algebric
Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma
A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;
Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.
Folosind descompunerea LU/LUP
Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).
Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lasă PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Şi D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități reprezintă un sistem de n² ecuații liniare Pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.
Complexitatea algoritmului este O(n³).
Metode iterative
metodele Schultz
( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))
Estimarea erorii
Selectarea unei aproximări inițiale
Problema alegerii aproximării inițiale în procesele de inversare iterativă a matricelor luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca independente. metode universale, concurând cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), Și ordin înalt viteza de convergenţă nu va fi dezvăluită imediat.
Exemple
Matrice 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca.
a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0)
Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată. Scopul serviciului . Folosind acest serviciu în modul online poate fi găsit adunări algebrice , matricea transpusă A T , matricea aliată și matricea inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). cm..
exemplu de proiectare
Următorul Vezi de asemenea
Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss
- Algoritm pentru găsirea matricei inverse
- Aflarea matricei transpuse A T .
- Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
- asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.
- Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta. Calculul determinantului unei matrice
- O. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
- Definiția complementelor algebrice.
- Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
- Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.
Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:
Adunări algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse
Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.- Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
- Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
- Scriem adunări algebrice ale elementelor rând în coloane (transpunere).
- Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.
Caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.
Definiția 1: o matrice se numește singulară dacă determinantul ei este zero.
Definiția 2: o matrice se numește nesingulară dacă determinantul ei nu este egal cu zero.
Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea unitară) este îndeplinită.
O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.
Schema de calcul a matricei inverse:
1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.
2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".
3) Creați o matrice de adunări algebrice (Aij)
4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T
5) Înmulțiți matricea transpusă cu inversul determinantului acestei matrice.
6) Efectuați verificarea:
La prima vedere poate părea complicat, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.
Acum să rezolvăm împreună o sarcină practică calculând matricea inversă.
Sarcină: găsiți matricea inversă „A” prezentată în imaginea de mai jos:
1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":
Explicaţie:
Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale de bază. Mai întâi, am adăugat la liniile a 2-a și a 3-a elementele primei linii, înmulțite cu un număr.
În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.
În al treilea rând, am scos factorul comun (-1) din a doua linie, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.
Avem un determinant triunghiular ale cărui elemente de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 este egal cu produsul elementelor diagonale. Până la urmă am primit ∆ A = 26, deci matricea inversă există.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:
5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:
6. Acum trebuie doar să verificăm:
În timpul testului, am primit o matrice de identitate, prin urmare, soluția a fost efectuată absolut corect.
2 moduri de a calcula matricea inversă.
1. Transformarea matricei elementare
2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.
Transformarea matricei elementare include:
1. Înmulțirea unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.
2. Adăugând la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.
3. Schimbați rândurile matricei.
4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.
O -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Să ne uităm la asta exemplu practic cu numere reale.
Exercita: Aflați matricea inversă.
Soluţie:
Să verificăm:
O mica precizare asupra solutiei:
Mai întâi, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).
După aceea, am înmulțit primul rând cu (-2) și l-am adăugat cu al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit linia 2 cu 1/4.
Etapa finală a transformării a fost înmulțirea a doua linie cu 2 și adăugarea acesteia cu prima. Ca urmare, avem matricea de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.
După verificare, ne-am convins că decizia a fost corectă.
După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.
La sfârșitul acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să petrec puțin timp asupra proprietăților unei astfel de matrice.
Publicații pe această temă
-
Prințul Askold în istoria Rusiei Kievene
Askold și Dir sunt prinți legendari care au condus orașul Kiev la sfârșitul secolului al IX-lea, s-au convertit la creștinism și au pus bazele vechiului rus...
-
„Minciuna albă”: De ce greco-catolicii nu recunosc că nu sunt ortodocși?
Catedrala Patriarhală a Învierii lui Hristos din Kiev. Catedrala Sf. Gheorghe din Lviv.