Variabila aleatoare este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de diverse circumstanțe și variabila aleatoare se numeste continua , dacă poate lua orice valoare din orice interval limitat sau nelimitat. Pentru o variabilă aleatoare continuă, este imposibil să se indice toate valorile posibile, așa că desemnăm intervale ale acestor valori care sunt asociate cu anumite probabilități.

Exemple de variabile aleatoare continue includ: diametrul unei piese la care se măcina dimensiune dată, înălțimea umană, raza de acțiune a proiectilului etc.

Deoarece pentru variabile aleatoare continue funcţia F(x), spre deosebire de variabile aleatoare discrete, nu are salturi nicăieri, atunci probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero.

Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare continuă nu are sens să vorbim despre distribuția probabilității dintre valorile sale: fiecare dintre ele are probabilitate zero. Cu toate acestea, într-un sens, printre valorile unei variabile aleatoare continue există „mai mult și mai puțin probabil”. De exemplu, aproape nimeni nu s-ar îndoi că valoarea unei variabile aleatoare - înălțimea unei persoane întâlnite aleatoriu - 170 cm - este mai probabilă decât 220 cm, deși ambele valori pot apărea în practică.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue și densitatea de probabilitate

Ca lege de distribuție care are sens numai pentru variabile aleatoare continue, este introdus conceptul de densitate de distribuție sau densitate de probabilitate. Să o abordăm comparând semnificația funcției de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă și pentru o variabilă aleatoare discretă.

Deci, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare (atât discrete cât și continue) sau funcţie integrală se numește funcție care determină probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare X mai mică sau egală cu valoarea limită X.

Pentru o variabilă aleatoare discretă în punctele valorilor sale x1 , x 2 , ..., x eu,... se concentrează mase de probabilităţi p1 , p 2 , ..., p eu,..., iar suma tuturor maselor este egală cu 1. Să transferăm această interpretare în cazul unei variabile aleatoare continue. Să ne imaginăm că o masă egală cu 1 nu este concentrată în puncte individuale, ci este continuu „untată” de-a lungul axei absciselor Oh cu o oarecare densitate neuniformă. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în orice zonă Δ x va fi interpretată ca masa pe secțiune, iar densitatea medie la acea secțiune ca raportul dintre masă și lungime. Tocmai am introdus un concept important în teoria probabilității: densitatea distribuției.

Densitatea probabilității f(x) a unei variabile aleatoare continue este derivata funcției sale de distribuție:

.

Cunoscând funcția de densitate, puteți găsi probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue să aparțină intervalului închis [ o; b]:

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ o; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate variind de la o la b:

.

În acest caz, formula generală a funcției F(x) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă este cunoscută funcția de densitate f(x) :

.

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție (figura de mai jos).

Aria unei figuri (umbrite în figură) delimitată de o curbă, linii drepte trasate din puncte oŞi b perpendicular pe axa x și pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de o la b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii care este limitată de graficul funcției f(x) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenţei distribuţiei valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(x), precum și funcția de distribuție F(x), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele mai importante două tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue în practică.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(x) variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ o; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, apoi aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției densității distribuției este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului, iar atunci când se îndepărtează de centru, sunt colectate cele mai diferite de medie (graficul funcției seamănă cu o secțiune de un clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1. Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Funcția de căutare f(x) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul unei funcții F(x) - parabola:

Graficul unei funcții f(x) - Drept:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2. Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați coeficientul C. Funcția de căutare F(x) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Prin integrare, găsim funcția F(x) distribuții de probabilitate. Dacă x < 0 , то F(x) = 0 . Daca 0< x < 10 , то

.

x> 10, atunci F(x) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul unei funcții f(x) :

Graficul unei funcții F(x) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitatea , și . Găsiți coeficientul O, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde . Aşa,

.

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4. Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .

Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue. Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de funcția de distribuție f(x)

Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de către funcția de distribuție f(x). Să presupunem că totul valori posibile variabile aleatoare aparțin intervalului [ a,b].

Definiţie. Așteptări matematice o variabilă aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită

Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt luate în considerare pe întreaga axă numerică, atunci așteptarea matematică se găsește prin formula:

În acest caz, desigur, se presupune că integrala improprie converge.

Definiţie. Varianta a unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia.

Prin analogie cu varianța unei variabile aleatoare discrete, pentru a calcula practic varianța, se utilizează formula:

Definiţie. Abaterea standard numit rădăcină pătrată din dispersie.

Definiţie. Modă M 0 al unei variabile aleatoare discrete se numește valoarea sa cea mai probabilă. Pentru o variabilă aleatoare continuă, modul este valoarea variabilei aleatoare la care densitatea de distribuție are un maxim.

Dacă poligonul de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă sau curba de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă are două sau mai multe maxime, atunci o astfel de distribuție se numește bimodal sau multimodal. Dacă o distribuție are un minim, dar nu un maxim, atunci este numită antimodal.

Definiţie. Median M D a unei variabile aleatoare X este valoarea acesteia în raport cu care este la fel de probabil să se obțină o valoare mai mare sau mai mică a variabilei aleatoare.

Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria limitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate. Rețineți că dacă distribuția este unimodală, atunci modul și mediana coincid cu așteptarea matematică.

Definiţie. Momentul de pornire comanda k variabila aleatoare X este așteptarea matematică a valorii X k.

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

.

Momentul inițial de ordinul întâi este egal cu așteptarea matematică.

Definiţie. Moment central comanda k variabila aleatoare X este așteptarea matematică a valorii

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

Pentru o variabilă aleatoare continuă: .

Momentul central de ordinul întâi este întotdeauna zero, iar momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia. Momentul central de ordinul trei caracterizează asimetria distribuției.

Definiţie. Raportul dintre momentul central de ordinul trei și medie abatere pătrată la a treia putere este numită coeficient de asimetrie.

Definiţie. Pentru a caracteriza vârful și planeitatea distribuției, o cantitate numită exces.

Pe lângă cantitățile luate în considerare, se mai folosesc așa-numitele momente absolute:

Moment de pornire absolut: . Punct central absolut: . Momentul central absolut de ordinul întâi se numește abaterea medie aritmetică.

Exemplu. Pentru exemplul discutat mai sus, determinați așteptarea matematică și varianța variabilei aleatoare X.

Exemplu.Într-o urnă sunt 6 bile albe și 4 negre. O minge este scoasă din ea de cinci ori la rând și de fiecare dată bila îndepărtată este returnată înapoi și bilele sunt amestecate. Luând numărul de bile albe extrase ca variabilă aleatoare X, se întocmește o lege de distribuție pentru această valoare, se determină așteptarea matematică și dispersia acesteia.

Deoarece bilele din fiecare experiment sunt returnate înapoi și amestecate, apoi testele pot fi considerate independente (rezultatul experimentului anterior nu afectează probabilitatea apariției sau neapariției unui eveniment într-un alt experiment).

Astfel, probabilitatea ca o minge albă să apară în fiecare experiment este constantă și egală cu

Astfel, în urma a cinci încercări consecutive, mingea albă poate să nu apară deloc, sau să apară o dată, de două ori, de trei, de patru sau de cinci ori. Pentru a elabora o lege de distribuție, trebuie să găsiți probabilitățile fiecăruia dintre aceste evenimente.

1) Bila albă nu a apărut deloc:

2) Bila albă a apărut o dată:

3) Bila albă va apărea de două ori: .

Capitolul 6. Variabile aleatoare continue.

§ 1. Funcţia de densitate şi distribuţie a unei variabile aleatoare continue.

Setul de valori ale unei variabile aleatoare continue este de nenumărat și reprezintă de obicei un interval finit sau infinit.

Variabila aleatoare x(w), definit în spațiul de probabilitate (W, S, P), se numește continuu(absolut continuă) W, dacă există o funcție nenegativă astfel încât pentru orice x funcția de distribuție Fx(x) poate fi reprezentată ca integrală

Funcția se numește funcție densitățile distribuției probabilităților.

Definiția implică proprietățile funcției de densitate de distribuție:

1..gif" width="97" height="51">

3. În punctele de continuitate, densitatea de distribuție este egală cu derivata funcției de distribuție: .

4. Densitatea distribuției determină legea distribuției unei variabile aleatoare, deoarece determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul:

5. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o anumită valoare este zero: . Prin urmare, sunt valabile următoarele egalități:

Se numește graficul funcției de densitate de distribuție curba de distributie, iar aria delimitată de curba de distribuție și de axa x este egală cu unitatea. Apoi, geometric, valoarea funcției de distribuție Fx(x) în punctul x0 este aria mărginită de curba de distribuție și de axa x și situată la stânga punctului x0.

Sarcina 1. Funcția de densitate a unei variabile aleatoare continue are forma:

Determinați constanta C, construiți funcția de distribuție Fx(x) și calculați probabilitatea.

Soluţie. Constanta C se găsește din condiția Avem:

de unde C=3/8.

Pentru a construi funcția de distribuție Fx(x), rețineți că intervalul împarte intervalul de valori ale argumentului x (axa numerică) în trei părți: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

întrucât densitatea x pe semiaxă este zero. În al doilea caz

În sfârșit, în ultimul caz, când x>2,

Deoarece densitatea dispare pe semiaxă. Deci, se obține funcția de distribuție

Probabilitate Să calculăm folosind formula. Astfel,

§ 2. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare continue

Aşteptare pentru variabile aleatoare distribuite continuu este determinată de formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

dacă integrala din dreapta converge absolut.

Dispersia x poate fi calculat folosind formula , și de asemenea, ca și în cazul discret, după formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Toate proprietățile așteptărilor și dispersiei matematice prezentate în Capitolul 5 pentru variabile aleatoare discrete sunt valabile și pentru variabile aleatoare continue.

Problema 2. Pentru variabila aleatoare x din problema 1, calculați așteptarea și varianța matematică .

Soluţie.

Și asta înseamnă

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Pentru un grafic al densității distribuției uniforme, vezi Fig. .

Fig.6.2. Funcția de distribuție și densitatea distribuției. lege uniformă

Funcția de distribuție Fx(x) a unei variabile aleatoare distribuite uniform este egală cu

Fx(x)=

Așteptări și variații; .

Distribuție exponențială (exponențială). O variabilă aleatoare continuă x, luând valori nenegative, are o distribuție exponențială cu parametrul l>0 dacă densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare este egală cu

рx(x)=

Orez. 6.3. Funcția de distribuție și densitatea de distribuție a legii exponențiale.

Funcția de distribuție a distribuției exponențiale are forma

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> iar dacă densitatea sa de distribuţie este egală cu

.

Prin denotă mulțimea tuturor variabilelor aleatoare distribuite conform unei legi normale cu parametrii parametri și .

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite normal este egală cu

.

Orez. 6.4. Funcția de distribuție și densitatea normală de distribuție

Parametrii distribuției normale sunt așteptările matematice https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

În cazul special când https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribuția normală se numește standard, iar clasa unor astfel de distribuții este indicată de https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

și funcția de distribuție

O astfel de integrală nu poate fi calculată analitic (nu este luată în „quadraturi”) și, prin urmare, au fost compilate tabele pentru funcție. Funcția este legată de funcția Laplace introdusă în capitolul 4

,

prin următoarea relație . În cazul valorilor arbitrare ale parametrilor https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este legată de funcția Laplace folosind relația:

.

Prin urmare, probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să cadă într-un interval poate fi calculată folosind formula

.

O variabilă aleatoare nenegativă x se numește lognormal distribuită dacă logaritmul ei h=lnx respectă legea normală. Valoarea așteptată și varianța unei variabile aleatoare lognormal distribuite sunt Mx= și Dx=.

Sarcina 3. Să fie dată o variabilă aleatorie https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Soluţie. Aici https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Distribuția Laplace este dat de funcția fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> iar kurtoza este gx=3.

Fig.6.5. Funcția de densitate de distribuție Laplace.

Variabila aleatoare x este distribuită peste legea lui Weibull, dacă are o funcție de densitate de distribuție egală cu https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribuția Weibull guvernează timpii fără defecțiuni ale multora dispozitive tehnice. În sarcinile acestui profil caracteristică importantă este rata de eșec (rata mortalității) l(t) a elementelor studiate de vârstă t, determinată de relația l(t)=. Dacă a=1, atunci distribuția Weibull se transformă într-o distribuție exponențială, iar dacă a=2 - în așa-numita distribuție Rayleigh.

Așteptările matematice ale distribuției Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, unde Г(а) este Euler functia.

În diverse probleme de statistică aplicată, sunt adesea întâlnite așa-numitele distribuții „trunchiate”. De exemplu, autoritățile fiscale sunt interesate de distribuirea veniturilor acelor persoane venitul anual care depaseste un anumit prag c0 stabilit de legile fiscale. Aceste distribuții se dovedesc a coincide aproximativ cu distribuția Pareto. Distribuția Pareto dat de funcţii

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> a unei variabile aleatoare x și a unei funcții diferențiabile monotone ..gif" width="200" height="51">

Aici https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Sarcina 4. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Aflați densitatea unei variabile aleatoare.

Soluţie. Din condiţiile problemei rezultă că

În continuare, funcția este o funcție monotonă și diferențiabilă pe un interval și are functie inversa , a cărui derivată este egală cu Prin urmare,

§ 5. Pereche de variabile aleatoare continue

Să fie date două variabile aleatoare continue x și h. Apoi perechea (x, h) definește un punct „aleatoriu” pe plan. Se numește perechea (x, h). vector aleatoriu sau variabilă aleatoare bidimensională.

Funcția de distribuție comună variabile aleatoare x și h și funcția se numește F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densitatea articulațiilor distribuția de probabilitate a variabilelor aleatoare x și h se numește funcție astfel încât .

Sensul acestei definiții a densității distribuției comune este următorul. Probabilitatea ca un „punct aleatoriu” (x, h) să cadă într-o regiune a unui plan este calculată ca volumul unei figuri tridimensionale – un cilindru „curbiliniu” delimitat de suprafața https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

Cel mai simplu exemplu de distribuție comună a două variabile aleatoare este bidimensional distribuție uniformă pe platouO. Fie dată o mulțime mărginită M cu aria. Este definită ca distribuția perechii (x, h), definită de următoarea densitate a îmbinării:

Sarcina 5. Fie un vector aleator bidimensional (x, h) distribuit uniform în interiorul triunghiului. Calculați probabilitatea inegalității x>h.

Soluţie. Aria triunghiului indicat este egală cu (vezi Fig. Nr.?). În virtutea definiției unei distribuții uniforme bidimensionale, densitatea comună a variabilelor aleatoare x, h este egală cu

Un eveniment corespunde unui set într-un avion, adică un semiplan. Apoi probabilitatea

Pe semiplanul B, densitatea îmbinării este zero în afara setului https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Astfel, semiplanul B este împărțit în două seturi și https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> și , iar a doua integrală este egală cu zero, deoarece densitatea îmbinării acolo este egală cu zero. De aceea

Dacă este dată densitatea distribuției comune pentru o pereche (x, h), atunci densitățile ambelor componente x și h se numesc densități privateși se calculează folosind formulele:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Pentru variabile aleatoare distribuite continuu cu densitățile рx(х), рh(у), independența înseamnă că

Sarcina 6.În condițiile problemei anterioare, determinați dacă componentele vectorului aleator x și h sunt independente?

Soluţie. Să calculăm densitățile parțiale și . Avem:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Evident, în cazul nostru https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> este densitatea comună a cantităților x și h și j( x, y) este o funcție a două argumente, atunci

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Sarcina 7.În condițiile problemei anterioare, calculați .

Soluţie. Conform formulei de mai sus avem:

.

Reprezentând triunghiul ca

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Densitatea sumei a două variabile aleatoare continue

Fie x și h variabile aleatoare independente cu densități https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Densitatea variabilei aleatoare x + h se calculează prin formulă convoluţie

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calculați densitatea sumei.

Soluţie. Deoarece x și h sunt distribuite conform legii exponențiale cu parametrul , densitățile lor sunt egale

Prin urmare,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Dacă x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">este negativ și, prin urmare, . Prin urmare, dacă https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Astfel am primit răspunsul:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> este distribuit în mod normal cu parametrii 0 și 1. Variabilele aleatoare x1 și x2 sunt independente și au valori normale distribuții cu parametrii a1, respectiv a2 Demonstrați că x1 + x2 are o distribuție normală Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt distribuite și independente și au aceeași funcție de densitate de distribuție.

.

Găsiți funcția de distribuție și densitatea distribuției valorilor:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt independente și uniform distribuite pe intervalul [a, b]. Găsiți funcțiile de distribuție și funcțiile de densitate ale distribuțiilor de cantități

x(1) = min (x1,x2, ... xn) și x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Demonstrați că Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Variabila aleatoare este distribuită conform legii lui Cauchy Aflați: a) coeficientul a; b) funcţia de distribuţie; c) probabilitatea de a cădea în intervalul (-1, 1). Arătați că așteptarea matematică a lui x nu există. Variabila aleatoare este supusă legii lui Laplace cu parametrul l (l>0): Aflați coeficientul a; construiți grafice de densitate de distribuție și funcții de distribuție; găsiți Mx și Dx; găsiți probabilitățile evenimentelor (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Scrieți o formulă pentru densitatea distribuției, găsiți Mx și Dx.

Sarcini de calcul.

Un punct aleator A are o distribuție uniformă într-un cerc cu raza R. Aflați așteptările matematice și varianța distanței r a punctului la centrul cercului. Să se arate că valoarea r2 este distribuită uniform pe segment.

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:

Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:

Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x), , varianța și probabilitatea O variabilă aleatoare are o funcție de distribuție

Calculați densitatea unei variabile aleatoare, așteptarea matematică, varianța și probabilitatea Verificați dacă funcția =
poate fi o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi: Mx și Dx. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Notați densitatea distribuției. Găsiți funcția de distribuție. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă pe segment și pe segment. Densitatea distribuției x este egală cu

.

Aflați constanta c, densitatea distribuției h = și probabilitatea

P (0,25

Timpul de funcționare fără defecțiuni al unui calculator este distribuit conform unei legi exponențiale cu parametrul l = 0,05 (defecțiuni pe oră), adică are o funcție de densitate

p(x) = .

Rezolvarea unei anumite probleme necesită funcționarea fără probleme a mașinii timp de 15 minute. Dacă apare o eroare în timpul rezolvării unei probleme, eroarea este detectată numai după ce soluția este finalizată și problema este rezolvată din nou. Aflați: a) probabilitatea ca în timpul rezolvării problemei să nu se producă nici o singură defecțiune; b) timpul mediu în care se va rezolva problema.

O tijă de 24 cm lungime este ruptă în două părți; Vom presupune că punctul de rupere este distribuit uniform pe toată lungimea tijei. Care este lungimea medie a majorității tijei? O bucată cu lungimea de 12 cm este tăiată aleatoriu în două părți. Punctul de tăiere este distribuit uniform pe toată lungimea segmentului. Care este lungimea medie a părții mici a segmentului? Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Aflați densitatea de distribuție a variabilei aleatoare a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Să se arate că dacă x are o funcție de distribuție continuă

F(x) = P(x

Aflați funcția de densitate și funcția de distribuție a sumei a două mărimi independente x și h cu legi uniforme de distribuție pe segmente și, respectiv. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe segmente și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe segmente și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe segmente și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare sunt independente și au o distribuție exponențială cu densitate . Aflați densitatea de distribuție a sumei lor. Aflați distribuția sumei variabilelor aleatoare independente x și h, unde x are o distribuție uniformă pe interval, iar h are o distribuție exponențială cu parametrul l. Găsiți P , dacă x are: a) distribuţie normală cu parametrii a şi s2; b) distribuţie exponenţială cu parametrul l; c) distribuţie uniformă pe segmentul [-1;1]. Distribuția comună a lui x, h este uniformă la pătrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Găsiți probabilitatea . Sunt x și h independente? O pereche de variabile aleatoare x și h sunt distribuite uniform în interiorul triunghiului K=. Calculați densitățile x și h. Sunt aceste variabile aleatoare independente? Găsiți probabilitatea. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și distribuite uniform pe segmente și [-1,1]. Găsiți probabilitatea. O variabilă aleatoare bidimensională (x, h) este distribuită uniform într-un pătrat cu vârfuri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Aflați valoarea funcției de distribuție comună în punctul (1, -1). Un vector aleator (x, h) este distribuit uniform în interiorul unui cerc cu raza 3 centrat la origine. Scrieți o expresie pentru densitatea distribuției comune. Determinați dacă aceste variabile aleatoare sunt dependente. Calculați probabilitatea. O pereche de variabile aleatoare x și h sunt distribuite uniform în interiorul unui trapez cu vârfuri în punctele (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Găsiți densitatea distribuției comune pentru această pereche de variabile aleatoare și densitatea componentelor. Sunt x și h dependente? O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform în interiorul unui semicerc. Găsiți densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Densitatea comună a două variabile aleatoare x și h este egală cu .
Aflați densitățile x, h. Investigați problema dependenței lui x și h. O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform pe mulțime. Găsiți densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Găsiți M(xh). Variabilele aleatoare x și h sunt independente și distribuite conform unei legi exponențiale cu parametrul Find

VARIABILE ALEATORII

Exemplul 2.1. Variabila aleatoare X dat de funcţia de distribuţie

Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valori cuprinse în intervalul (2,5; 3,6).

Soluţie: Xîn intervalul (2,5; 3,6) poate fi determinat în două moduri:

Exemplul 2.2. La ce valori ale parametrilor OŞi ÎN funcţie F(x) = A + Fi - x poate fi o funcție de distribuție pentru valorile nenegative ale unei variabile aleatorii X.

Soluţie: Deoarece toate valorile posibile ale variabilei aleatoare X aparțin intervalului , atunci pentru ca funcția să fie o funcție de distribuție pentru X, proprietatea trebuie să fie satisfăcută:

.

Răspuns: .

Exemplul 2.3. Variabila aleatoare X este specificată de funcția de distribuție

Găsiți probabilitatea ca, în urma a patru teste independente, valoarea X exact de 3 ori va lua o valoare aparținând intervalului (0,25;0,75).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o valoare Xîn intervalul (0,25;0,75) găsim folosind formula:

Exemplul 2.4. Probabilitatea ca mingea să lovească coșul cu o lovitură este de 0,3. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de lovituri cu trei aruncări.

Soluţie: Variabila aleatoare X– numărul loviturilor din coș cu trei lovituri – poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3. Probabilități ca X

X:

Exemplul 2.5. Doi trăgători trag fiecare o lovitură către o țintă. Probabilitatea ca primul trăgător să-l lovească este de 0,5, al doilea - 0,4. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de lovituri pe o țintă.

Soluţie: Să aflăm legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X– numărul de lovituri pe țintă. Fie evenimentul să fie primul trăgător care lovește ținta, iar al doilea trăgător să lovească ținta și, respectiv, să fie ratați.

Să compunem legea distribuției de probabilitate a SV X:

Exemplul 2.6. Sunt testate trei elemente, care funcționează independent unul de celălalt. Durata de timp (în ore) de funcționare fără defecțiuni a elementelor are o funcție de densitate de distribuție: pentru prima: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, pentru al doilea: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, pentru al treilea: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Aflați probabilitatea ca în intervalul de timp de la 0 la 5 ore: un singur element să eșueze; doar două elemente vor eșua; toate cele trei elemente vor eșua.

Soluţie: Să folosim definiția funcției generatoare de probabilități:

Probabilitatea ca în încercări independente, în primul dintre care probabilitatea apariției unui eveniment O egal cu , în al doilea etc., eveniment O apare exact o dată, egal cu coeficientul de extindere a funcției generatoare în puteri de . Să găsim probabilitățile de eșec și, respectiv, de neeșec ale primului, al doilea și al treilea element în intervalul de timp de la 0 la 5 ore:

Să creăm o funcție generatoare:

Coeficientul at este egal cu probabilitatea ca evenimentul O va apărea exact de trei ori, adică probabilitatea de eșec a tuturor celor trei elemente; coeficientul at este egal cu probabilitatea ca exact două elemente să cedeze; coeficientul la este egal cu probabilitatea ca un singur element să eșueze.

Exemplul 2.7. Având în vedere densitatea de probabilitate f(x)variabilă aleatorie X:

Găsiți funcția de distribuție F(x).

Soluţie: Folosim formula:

.

Astfel, funcția de distribuție arată astfel:

Exemplul 2.8. Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment.

Soluţie: Variabila aleatoare X– numărul de elemente care au eșuat într-un experiment – ​​poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3. Probabilități care X ia aceste valori, găsim folosind formula lui Bernoulli:

Astfel, obținem următoarea lege a distribuției probabilităților unei variabile aleatoare X:

Exemplul 2.9.Într-un lot de 6 piese există 4 standard. 3 părți au fost selectate la întâmplare. Întocmește o lege de distribuție a numărului de piese standard dintre cele selectate.

Soluţie: Variabila aleatoare X– numărul de piese standard dintre cele selectate – poate lua următoarele valori: 1, 2, 3 și are o distribuție hipergeometrică. Probabilităţi ca X

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese standard dintr-un lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese standard dintre cele selectate.

.

.

.

Exemplul 2.10. Variabila aleatoare are o densitate de distribuție

și nu sunt cunoscute, dar , a și . Găsiți și.

Soluţie:În acest caz, variabila aleatoare X are o distribuție triunghiulară (distribuția Simpson) pe intervalul [ a, b]. Caracteristici numerice X:

Prin urmare, . Rezolvând acest sistem, obținem două perechi de valori: . Deoarece în funcție de condițiile problemei, avem în sfârșit: .

Răspuns: .

Exemplul 2.11.În medie, sub 10% din contracte, compania de asigurări plătește sume de asigurare în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Calculați așteptarea matematică și dispersia numărului de astfel de contracte dintre cele patru alese aleatoriu.

Soluţie: Așteptările și varianța matematică pot fi găsite folosind formulele:

.

Valori posibile ale SV (număr de contracte (din patru) cu apariția unui eveniment asigurat): 0, 1, 2, 3, 4.

Folosim formula lui Bernoulli pentru a calcula probabilitățile unui număr diferit de contracte (din patru) pentru care au fost plătite sumele de asigurare:

.

Seria de distribuție IC (numărul de contracte cu producerea unui eveniment asigurat) are forma:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Răspuns: , .

Exemplul 2.12. Din cei cinci trandafiri, doi sunt albi. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare care exprimă numărul de trandafiri albi dintre doi luați simultan.

Soluţie:Într-o selecție de doi trandafiri, poate să nu existe nici un trandafir alb, fie unul sau doi trandafiri albi. Prin urmare, variabila aleatoare X poate lua valori: 0, 1, 2. Probabilităţi ca X ia aceste valori, o găsim folosind formula:

Unde -- numărul de trandafiri;

-- numărul de trandafiri albi;

– numărul de trandafiri luați în același timp;

-- numărul de trandafiri albi dintre cei luați.

.

.

.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi următoarea:

Exemplul 2.13. Dintre cele 15 unități asamblate, 6 necesită lubrifiere suplimentară. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cinci alese aleatoriu din numărul total.

Soluţie: Variabila aleatoare X– numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele cinci selectate – poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5 și are o distribuție hipergeometrică. Probabilităţi ca X ia aceste valori, o găsim folosind formula:

Unde -- numărul de unități asamblate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară;

– numărul de unități selectate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele selectate.

.

.

.

.

.

.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi următoarea:

Exemplul 2.14. Din cele 10 ceasuri primite pentru reparație, 7 necesită curățarea generală a mecanismului. Ceasurile nu sunt sortate după tipul de reparație. Maestrul, dorind să găsească ceasuri care necesită curățare, le examinează unul câte unul și, după ce a găsit astfel de ceasuri, oprește vizionarea ulterioară. Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de ore vizionate.

Soluţie: Variabila aleatoare X– numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele cinci selectate – poate lua următoarele valori: 1, 2, 3, 4. Probabilități ca X ia aceste valori, o găsim folosind formula:

.

.

.

.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi următoarea:

Acum să calculăm caracteristicile numerice ale cantității:

Răspuns: , .

Exemplul 2.15. Abonatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon de care are nevoie, dar își amintește că este impar. Găsiți așteptările matematice și variația numărului de ori când formează un număr de telefon înainte de a ajunge la numărul dorit, dacă formează ultima cifră la întâmplare și nu formează ulterior cifra formată.

Soluţie: Variabila aleatoare poate lua următoarele valori: . Deoarece abonatul nu formează cifra formată în viitor, probabilitățile acestor valori sunt egale.

Să compilam o serie de distribuție a unei variabile aleatoare:

	0,2

Să calculăm așteptările matematice și varianța numărului de încercări de apelare:

Răspuns: , .

Exemplul 2.16. Probabilitatea de defecțiune în timpul testării de fiabilitate pentru fiecare dispozitiv din serie este egală cu p. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat dacă au fost testate N dispozitive.

Soluţie: Variabila aleatorie discretă X este numărul de dispozitive defectate în N teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de eșec este egală cu p, distribuite conform legii binomiale. Așteptările matematice ale unei distribuții binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:

Exemplul 2.17. Variabilă aleatorie discretă X ia 3 valori posibile: cu probabilitate ; cu probabilitate și cu probabilitate. Găsiți și , știind că M( X) = 8.

Soluţie: Folosim definițiile așteptărilor matematice și legea distribuției unei variabile aleatoare discrete:

Găsim: .

Exemplul 2.18. Departamentul de control tehnic verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot contine 5 produse. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X– numărul de loturi, fiecare dintre ele conţinând exact 4 produse standard, dacă sunt supuse inspecţiei 50 de loturi.

Soluţie:În acest caz, toate experimentele efectuate sunt independente, iar probabilitățile ca fiecare lot să conțină exact 4 produse standard sunt aceleași, prin urmare, așteptările matematice pot fi determinate prin formula:

,

unde este numărul de părți;

Probabilitatea ca un lot să conțină exact 4 produse standard.

Găsim probabilitatea folosind formula lui Bernoulli:

Răspuns: .

Exemplul 2.19. Aflați varianța unei variabile aleatoare X– numărul de apariții ale evenimentului Oîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a unui eveniment în aceste încercări sunt aceleași și se știe că M(X) = 0,9.

Soluţie: Problema poate fi rezolvată în două moduri.

1) Valori posibile ale SV X: 0, 1, 2. Folosind formula Bernoulli, determinăm probabilitățile acestor evenimente:

, , .

Apoi legea distribuției X are forma:

Din definiția așteptării matematice, determinăm probabilitatea:

Să găsim dispersia SV X:

.

2) Puteți folosi formula:

.

Răspuns: .

Exemplul 2.20. Așteptarea și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X respectiv egal cu 20 şi 5. Aflaţi probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15; 25).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatorie normală X pe secțiunea de la până este exprimată prin funcția Laplace:

Exemplul 2.21. Funcția dată:

La ce valoare a parametrului C această funcție este densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X? Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X.

Soluţie: Pentru ca o funcție să fie densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, ea trebuie să fie nenegativă și trebuie să îndeplinească proprietatea:

.

Prin urmare:

Să calculăm așteptările matematice folosind formula:

.

Să calculăm varianța folosind formula:

T este egal p. Este necesar să se găsească așteptarea și varianța matematică a acestei variabile aleatoare.

Soluţie: Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale unui eveniment în încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a evenimentului este egală cu , se numește binom. Așteptările matematice ale unei distribuții binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare:

.

Exemplul 2.25. Trei focuri independente sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,25. Determinați abaterea standard a numărului de lovituri cu trei lovituri.

Soluţie: Deoarece sunt efectuate trei încercări independente, iar probabilitatea apariției evenimentului A (o lovitură) în fiecare încercare este aceeași, vom presupune că variabila aleatoare discretă X - numărul de lovituri pe țintă - este distribuită în funcție de legea binomială.

Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea apariției și neapariției unui eveniment într-o singură încercare:

Exemplul 2.26. Numărul mediu de clienți care vizitează o companie de asigurări în 10 minute este de trei. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un client să ajungă în următoarele 5 minute.

Numărul mediu de clienți care sosesc în 5 minute: . .

Exemplul 2.29. Timpul de așteptare pentru o aplicație în coada procesorului respectă o lege de distribuție exponențială cu o valoare medie de 20 de secunde. Găsiți probabilitatea ca următoarea solicitare (aleatorie) să aștepte pe procesor mai mult de 35 de secunde.

Soluţie:În acest exemplu, așteptarea matematică , iar rata de eșec este egală cu .

Atunci probabilitatea dorită:

Exemplul 2.30. Un grup de 15 elevi ține o întâlnire într-o sală cu 20 de rânduri a câte 10 locuri fiecare. Fiecare elev ia un loc în sală aleatoriu. Care este probabilitatea ca nu mai mult de trei persoane să fie pe locul șapte al rândului?

Soluţie:

Exemplul 2.31.

Apoi, conform definiției clasice a probabilității:

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese nestandard din lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese non-standard dintre cele selectate.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi după cum urmează.

Funcția de distribuție variabilă aleatoare X numită funcție F(X), exprimând pentru fiecare X probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua o valoare mai mică decât X:.

Funcţie F(X) se numește uneori funcția de distribuție integrală, sau legea integrală a distribuţiei.

Variabila aleatoare X numit continuu, dacă funcția sa de distribuție este continuă în orice punct și diferențiabilă peste tot, cu excepția, poate, în puncte individuale.

Exemple variabile aleatoare continue: diametrul piesei pe care o întoarce la o dimensiune dată, înălțimea unei persoane, raza de zbor a unui proiectil etc.

Teorema. Probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero

.

Consecinţă. Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, apoi probabilitatea ca variabila aleatoare să cadă în interval
nu depinde dacă acest interval este deschis sau închis, adică

Dacă o variabilă aleatoare continuă X poate lua doar valori între O la b(Unde OŞi b- unele constante), atunci funcția sa de distribuție este egală cu zero pentru toate valorile
și unitate pentru valori
.

Pentru o variabilă aleatoare continuă

Toate proprietățile funcțiilor de distribuție ale variabilelor aleatoare discrete sunt satisfăcute și pentru funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare continue.

Specificarea unei variabile aleatoare continue folosind o funcție de distribuție nu este singura modalitate.

Densitatea probabilității (densitatea de distribuție sau densitate) r(X) variabilă aleatoare continuă X se numește derivata funcției sale de distribuție

.

Densitatea de probabilitate r(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, ea există doar pentru continuu variabile aleatorii.

Densitatea de probabilitate este uneori numită funcția diferențială sau legea distribuției diferențiale.

Graficul densității probabilității se numește curbă de distribuție.

Proprietăți densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue:

Orez. 8.1

Orez. 8.2

4.
.

Din punct de vedere geometric, proprietățile densității de probabilitate înseamnă că graficul său - curba de distribuție - nu se află sub axa absciselor, iar aria totală a figurii delimitată de curba de distribuție și axa de abscisă este egală cu unu.

Exemplul 8.1. Minutele unui ceas electric se mișcă în salturi în fiecare minut. Te-ai uitat la ceas. Ei arată O minute. Atunci, pentru tine, timpul real la un moment dat va fi o variabilă aleatorie. Găsiți funcția de distribuție.

Soluţie. Este evident că funcția de distribuție a timpului real este egală cu 0 pentru toate
si unitate pentru
. Timpul curge uniform. Prin urmare, probabilitatea ca timpul adevărat să fie mai mică O+ 0,5 min, egal cu 0,5, deoarece este la fel de probabil dacă a trecut după O mai puțin sau mai mult de jumătate de minut. Probabilitatea ca timpul adevărat să fie mai mică O+ 0,25 min, egal cu 0,25 (probabilitatea acestui timp este de trei ori mai mică decât probabilitatea ca timpul adevărat să fie mai mare O+ 0,25 min, iar suma lor este egală cu unu, ca sumă a probabilităților de evenimente opuse). Raționând în mod similar, aflăm că probabilitatea ca timpul adevărat este mai mică O+ 0,6 min, egal cu 0,6. În general, probabilitatea ca timpul adevărat să fie mai mică O + + α min
, este egal α . Prin urmare, funcția de distribuție a timpului real are următoarea expresie:

DESPRE on este continuă peste tot, iar derivata sa este continuă în toate punctele, cu excepția a două: x = aŞi x = a+ 1. Graficul acestei funcții arată astfel (Fig. 8.3):

Orez. 8.3

Exemplul 8.2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este funcția

Soluţie.

Toate valorile acestei funcții aparțin segmentului
, adică
. Funcţie F(X) este nedescrescătoare: în interval
este constantă, egală cu zero, în interval
crește între ele
este de asemenea constantă, egală cu unitatea (vezi Fig. 8.4). Funcția este continuă în fiecare punct X 0 zonă a definiției sale - interval
, prin urmare este continuu pe stanga, i.e. egalitatea este valabilă

,
.

Egalitățile sunt valabile și:

,
.

Prin urmare, funcția
satisface toate proprietatile caracteristice functiei de distributie. Deci această funcție
este funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X.

Exemplul 8.3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este funcția

Soluţie. Această funcție nu este o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare, deoarece între
scade si nu este continua. Graficul funcției este prezentat în Fig. 8.5.

Orez. 8.5

Exemplul 8.4. Variabila aleatoare X dat de funcţia de distribuţie

Găsiți coeficientul Oși densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X. Determinați probabilitatea inegalității
.

Soluţie. Densitatea distribuției este egală cu derivata întâi a funcției de distribuție

Coeficient O definim folosind egalitatea

,

.

Același rezultat ar putea fi obținut utilizând continuitatea funcției
la punct

,
.

Prin urmare,
.

Prin urmare densitatea de probabilitate are forma

Probabilitate
hit-uri ale unei variabile aleatorii Xîntr-o perioadă dată se calculează prin formula

Exemplul 8.5. Variabila aleatoare X are o densitate de probabilitate (legea lui Cauchy)

.

Găsiți coeficientul Oși probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua ceva valoare din interval
. Găsiți funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare.

Soluţie. Să găsim coeficientul O din egalitate

,

Prin urmare,
.

Aşa,
.

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua ceva valoare din interval
, este egal

Să găsim funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare

P Exemplul 8.6. Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatorii X prezentat în Fig. 8.6 (Legea lui Simpson). Scrieți o expresie pentru densitatea de probabilitate și funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare.

Orez. 8.6

Soluţie. Folosind graficul, notăm expresia analitică pentru densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare date

Să găsim funcția de distribuție.

Dacă
, Asta
.

Dacă
, Asta .

Dacă
, Asta

Dacă
, Asta

Prin urmare, funcția de distribuție are forma