3 5 soluție. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale la matematică

Calculatorul gratuit pe care îl aducem în atenție are un arsenal bogat de posibilități pentru calcule matematice. Vă permite să utilizați un calculator online în diverse domenii activitati: educativ, profesionalŞi comercial. Desigur, utilizarea unui calculator online este deosebit de populară printre elevilorŞi şcolari, le este mult mai ușor să efectueze o varietate de calcule.

În același timp, calculatorul poate deveni instrument utilîn unele domenii de afaceri și pentru oameni diferite profesii. Desigur, necesitatea de a folosi un calculator în afaceri sau activitatea muncii determinată în primul rând de tipul de activitate în sine. Dacă afacerea și profesia dvs. sunt asociate cu calcule și calcule constante, atunci merită să încercați un calculator electronic și să evaluați gradul de utilitate al acestuia pentru o anumită sarcină.

Acest calculator online poate

• Efectuați corect standardul functii matematice, scris pe un rând ca - 12*3-(7/2) și poate procesa numere mai mari decât putem număra numere uriașe într-un calculator online Nici măcar nu știm cum să numim corect un astfel de număr (. sunt 34 de caractere și aceasta nu este deloc limita).
• Cu excepţia tangentă, cosinus, sinusși alte funcții standard - calculatorul acceptă operațiuni de calcul arctangent, arccotangent si altele.
• Disponibil în Arsenal logaritmi, factorialeși alte caracteristici interesante
• Acest calculator online știe să construiască grafice!!!

Pentru a reprezenta grafice, serviciul folosește un buton special (graficul este desenat cu gri) sau o reprezentare cu litere a acestei funcție (Plot). Pentru a construi un grafic într-un calculator online, trebuie doar să scrieți funcția: plot(tan(x)),x=-360..360.

Am luat cel mai simplu grafic pentru tangentă, iar după virgulă zecimală am indicat intervalul variabilei X de la -360 la 360.

Puteți construi absolut orice funcție, cu orice număr de variabile, de exemplu aceasta: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) sau chiar mai complex cu care poți veni. Acordați atenție comportamentului variabilei X - intervalul de la și până este indicat cu două puncte.

Singurul negativ (deși este dificil să-l numim un dezavantaj) al acestui lucru calculator online asta este că nu știe să construiască sfere și alte figuri tridimensionale - doar un avion.

Cum se utilizează Calculatorul de matematică

1. Afișajul (ecranul de calcul) afișează expresia introdusă și rezultatul calculului acesteia în simboluri obișnuite, așa cum scriem pe hârtie. Acest câmp este pur și simplu pentru vizualizarea tranzacției curente. Intrarea apare pe ecran pe măsură ce introduceți o expresie matematică în linia de introducere.

2. Câmpul de introducere a expresiei este destinat pentru înregistrarea expresiei care trebuie calculată. Trebuie remarcat aici că simbolurile matematice folosite în programele de calculator nu sunt întotdeauna aceleași cu cele pe care le folosim de obicei pe hârtie. În prezentarea generală a fiecărei funcții de calculator, veți găsi denumirea corectă pentru o anumită operație și exemple de calcule în calculator. Pe această pagină de mai jos este o listă cu toate operațiunile posibile din calculator, indicând și ortografia lor corectă.

3. Bara de instrumente - acestea sunt butoanele calculatorului care înlocuiesc introducerea manuală a simbolurilor matematice care indică operația corespunzătoare. Unele butoane ale calculatorului (funcții suplimentare, convertor de unități, matrice de rezolvare și ecuații, grafice) completează bara de activități cu câmpuri noi în care sunt introduse date pentru un anumit calcul. Câmpul „Istoric” conține exemple de scriere a expresiilor matematice, precum și cele mai recente șase intrări ale tale.

Vă rugăm să rețineți că atunci când apăsați butoanele pentru apelarea funcțiilor suplimentare, convertirea cantităților, rezolvarea matricelor și ecuațiilor și trasarea graficelor, întregul panou al calculatorului se mișcă în sus, acoperind o parte a afișajului. Completați câmpurile obligatorii și apăsați tasta „I” (evidențiată cu roșu în imagine) pentru a vedea afișajul la dimensiune completă.

4. Tastatura numerică conține numere și simboluri aritmetice. Butonul „C” șterge întreaga intrare din câmpul de introducere a expresiei. Pentru a șterge caracterele unul câte unul, trebuie să utilizați săgeata din dreapta liniei de introducere.

Încercați să închideți întotdeauna parantezele la sfârșitul unei expresii. Pentru majoritatea operațiunilor acest lucru nu este critic; calculatorul online va calcula totul corect. Cu toate acestea, în unele cazuri pot apărea erori. De exemplu, atunci când se ridică la o putere fracțională, parantezele neînchise vor face ca numitorul fracției din exponent să intre în numitorul bazei. Paranteza de închidere este afișată cu gri deschis pe afișaj și ar trebui să fie închisă când înregistrarea este finalizată.

Cheie	Simbol	Operațiunea
pi	pi	pi constantă
e	e	numărul lui Euler
%	%	La sută
()	()	Deschide/Închide paranteze
,	,	Virgulă
păcat	păcat(?)	Sinusul unghiului
cos	ca(?)	Cosinus
bronzat	bronzat(y)	Tangentă
sinh	sinh()	Sinus hiperbolic
cosh	cosh()	Cosinus hiperbolic
tanh	tanh()	Tangenta hiperbolica
păcatul -1	asin()	Sinus invers
cos -1	acos()	Cosinus invers
bronzat -1	atan()	tangentă inversă
sinh -1	asinh()	Sinus hiperbolic invers
cosh -1	acosh()	Cosinus hiperbolic invers
tanh -1	atanh()	tangentă hiperbolică inversă
x 2	^2	Pătrare
x 3	^3	Cub
x y	^	Exponentiație
10 x	10^()	Exponentiație la baza 10
e x	exp()	Exponentiarea numarului lui Euler
vx	sqrt(x)	Rădăcină pătrată
3 vx	sqrt3(x)	a 3-a rădăcină
yvx	sqrt(x,y)	Extracția rădăcinilor
log 2 x	log2(x)	Logaritm binar
jurnal	log(x)	Logaritm zecimal
ln	ln(x)	Logaritmul natural
log y x	log(x,y)	Logaritm
I/II		Minimizați/Apelați funcții suplimentare
Unitate		Convertor de unitate
Matrice		Matrici
Rezolva		Ecuații și sisteme de ecuații
		Grafic
Funcții suplimentare (apel cu tasta II)
mod	mod	Împărțire cu rest
!	!	Factorială
i/j	i/j	Unitate imaginară
Re	Re()	Izolarea întregii părți reale
Im	Im()	Excluzând partea reală
|x|	abs()	Modulul numeric
Arg	arg()	Argumentul funcției
nCr	ncr()	Coeficient binominal
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
sumă	sumă()	Valoarea totală a tuturor soluțiilor
fac	factorizați()	Factorizarea primilor
dif	diff()	Diferenţiere
Deg		Grade
Rad		Radiani

Serviciul online de rezolvare a ecuațiilor vă va ajuta să rezolvați orice ecuație. Folosind site-ul nostru, nu numai că veți primi răspunsul la ecuație, dar veți și vedea solutie detaliata, adică o afișare pas cu pas a procesului de obținere a rezultatului. Serviciul nostru va fi util elevilor de liceu scoli medii si parintii lor. Elevii se vor putea pregăti pentru teste și examene, își vor testa cunoștințele, iar părinții vor putea controla decizia ecuatii matematice cu copiii tăi. Abilitatea de a rezolva ecuații - cerință obligatorie la şcolari. Serviciul vă va ajuta să vă educați și să vă îmbunătățiți cunoștințele în domeniul ecuațiilor matematice. Cu ajutorul lui poți rezolva orice ecuație: pătratică, cubică, irațională, trigonometrică etc. Beneficiu serviciu onlineși este neprețuit, deoarece pe lângă răspunsul corect, primești o soluție detaliată pentru fiecare ecuație. Beneficiile rezolvării ecuațiilor online. Puteți rezolva orice ecuație online pe site-ul nostru absolut gratuit. Serviciul este complet automat, nu trebuie să instalați nimic pe computer, trebuie doar să introduceți datele și programul vă va oferi o soluție. Sunt excluse orice erori de calcul sau greșeli de scriere. La noi, rezolvarea oricărei ecuații online este foarte ușoară, așa că asigurați-vă că folosiți site-ul nostru pentru a rezolva orice fel de ecuații. Trebuie doar să introduceți datele și calculul va fi finalizat în câteva secunde. Programul funcționează independent, fără intervenție umană și primești un răspuns precis și detaliat. Rezolvarea ecuației în vedere generală. Într-o astfel de ecuație, coeficienții variabili și rădăcinile dorite sunt interconectate. Cea mai mare putere a unei variabile determină ordinea unei astfel de ecuații. Pe baza acestui lucru, pentru ecuații utilizați diverse metodeși teoreme pentru găsirea soluțiilor. Rezolvarea ecuațiilor de acest tip înseamnă găsirea rădăcinilor necesare în formă generală. Serviciul nostru vă permite să rezolvați chiar și cea mai complexă ecuație algebrică online. Puteți obține atât o soluție generală a ecuației, cât și una particulară pentru valorile numerice ale coeficienților pe care îi specificați. Pentru a rezolva o ecuație algebrică pe site, este suficient să completați corect doar două câmpuri: părțile stânga și dreapta ale ecuației date. U ecuații algebrice Cu cote variabile un număr infinit de soluții, iar prin stabilirea anumitor condiții, din setul de soluții sunt selectate cele private. Ecuație cuadratică. Ecuația pătratică are forma ax^2+bx+c=0 pentru a>0. Rezolvarea ecuațiilor pătratice implică găsirea valorilor lui x la care este valabilă egalitatea ax^2+bx+c=0. Pentru a face acest lucru, găsiți valoarea discriminantă folosind formula D=b^2-4ac. Dacă discriminantul mai putin de zero, atunci ecuația nu are rădăcini reale (rădăcinile sunt din câmp numere complexe), dacă este egală cu zero, atunci ecuația are o rădăcină reală, iar dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci ecuația are două rădăcini reale, care se găsesc prin formula: D= -b+-sqrt/2a. Pentru a rezolva o ecuație pătratică online, trebuie doar să introduceți coeficienții ecuației (numere întregi, fracții sau zecimale). Dacă într-o ecuație există semne de scădere, trebuie să puneți semnul minus în fața termenilor corespunzători ai ecuației. Puteți rezolva o ecuație pătratică online în funcție de parametru, adică de variabilele din coeficienții ecuației. Serviciul nostru online pentru găsire solutii generale. Ecuații liniare. Pentru a rezolva ecuații liniare(sau sisteme de ecuații) există patru metode principale utilizate în practică. Vom descrie fiecare metodă în detaliu. Metoda de înlocuire. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda substituției necesită exprimarea unei variabile în termenii celorlalte. După aceasta, expresia este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. De aici denumirea metodei soluției, adică în loc de variabilă, expresia acesteia este substituită prin variabilele rămase. În practică, metoda necesită calcule complexe, deși este ușor de înțeles, așa că rezolvarea unei astfel de ecuații online va ajuta la economisirea de timp și la ușurarea calculelor. Trebuie doar să indicați numărul de necunoscute din ecuație și să completați datele din ecuațiile liniare, apoi serviciul va face calculul. metoda Gauss. Metoda se bazează pe cele mai simple transformări ale sistemului pentru a ajunge la un sistem echivalent în aparență triunghiulară. Din ea, necunoscutele sunt determinate unul câte unul. În practică, este necesar să rezolvi o astfel de ecuație online cu descriere detaliată, datorită căruia veți avea o bună înțelegere a metodei gaussiene pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Scrie la format corect sistem de ecuații liniare și ține cont de numărul de necunoscute pentru a rezolva cu acuratețe sistemul. metoda lui Cramer. Această metodă rezolvă sisteme de ecuații în cazurile în care sistemul are o soluție unică. Principala acțiune matematică aici este calculul determinanților matricei. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Cramer se realizează online, rezultatul îl primiți instantaneu cu o descriere completă și detaliată. Este suficient doar să umpleți sistemul cu coeficienți și să selectați numărul de variabile necunoscute. Metoda matricei. Această metodă constă în colectarea coeficienților necunoscutelor din matricea A, a necunoscutelor din coloana X și a termenilor liberi din coloana B. Astfel, sistemul de ecuații liniare se reduce la ecuația matriceală tipul AxX=B. Această ecuație are o soluție unică numai dacă determinantul matricei A este diferit de zero, în caz contrar sistemul nu are soluții, sau un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuațiilor metoda matricei este să găsești matrice inversă O.

pentru a rezolva matematica. Găsiți rapid rezolvarea unei ecuații matematiceîn mod online. Site-ul www.site permite rezolva ecuatia aproape orice dat algebric, trigonometric sau ecuația transcendentală online. Când studiezi aproape orice ramură a matematicii în diferite etape, trebuie să te decizi ecuații online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc site-ului www.site rezolva ecuatii online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvăm matematică ecuații online- aceasta este viteza și acuratețea răspunsului oferit. Site-ul este capabil să rezolve orice ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, ecuații transcendentale online, și de asemenea ecuații Cu parametri necunoscuțiîn mod online. Ecuații servesc ca un puternic aparat matematic solutii probleme practice. Cu ajutorul ecuatii matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea confuze și complexe la prima vedere. Cantitati necunoscute ecuații poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă ecuațiiŞi decide sarcină primită în mod online pe site-ul www.site. Orice ecuație algebrică, ecuație trigonometrică sau ecuații conţinând transcendental caracteristici pe care le puteți ușor decide online și obțineți răspunsul exact. Studiind stiintele naturii, inevitabil te confrunți cu nevoia rezolvarea ecuatiilor. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie obținut imediat în modul online. Prin urmare pentru rezolvarea ecuațiilor matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră indispensabil pentru rezolva ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, și de asemenea ecuații transcendentale online sau ecuații cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de găsire a rădăcinilor diverselor ecuatii matematice resursa www.. Rezolvarea ecuații online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind rezolvarea de ecuații online pe site-ul www.site. Trebuie să scrieți corect ecuația și să obțineți instantaneu soluție online, după care tot ce rămâne este să compari răspunsul cu soluția ta la ecuație. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, este suficient rezolva ecuația onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie si corecteaza raspunsul la timp cand rezolvarea de ecuații online fie el algebric, trigonometric, transcendental sau ecuaţie cu parametri necunoscuți.

În acest videoclip vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este un zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca și în cazul nostru ultimul exemplu);
2. Apoi aduceți similare
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu chiar sarcini simple.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina nr. 1

Primul pas ne cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai sa o scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțim la coeficient:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Deci am primit răspunsul.

Sarcina nr. 2

Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:

Iată câteva asemănătoare:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina nr. 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aici sunt mai multe paranteze, dar nu sunt înmulțite cu nimic, pur și simplu sunt precedate de semne diferite. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hai să facem calculul:

Realizam ultimul pas— împărțiți totul la coeficientul lui „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și ceilalți;

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegând asta simplu fapt vă va permite să evitați să faceți greșeli stupide și jignitoare în liceu, când a face astfel de acțiuni este de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diferitelor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula cu siguranță.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:

\[\varnothing\]

sau nu există rădăcini.

Exemplul nr. 2

Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:

\[\varnothing\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem puțină confidențialitate:

Iată câteva asemănătoare:

Să parcurgem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.

Sarcina nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „X” la stânga, iar cei fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Încă o dată am primit răspunsul final.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este că, de îndată ce începem să înmulțim parantezele care conțin mai mult de un termen, o face prin următoarea regulă: luam primul termen din primul si inmultim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.

Despre suma algebrică

Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ ne referim design simplu: scade sapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.

De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc de algoritmul nostru:

1. Deschideți parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți la raport.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în ​​stânga cât și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți la raport.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.

Exemplul nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să extindem:

Izolam variabila:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema este rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.

Puncte cheie

Constatările cheie sunt:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu-ți face griji dacă vezi funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare vor scădea.
• Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice soluții, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Din moment ce aritmetica rădăcină pătrată există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - în incomplet ecuații pătratice Nu există deloc calcule complexe. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă acolo număr pozitiv- vor fi două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.